20 занятие

Математический кружок
n
Занятие №20
19.03.2011
Площади.
1. Дан треугольник АВС. Найдите все такие точки М, для которых площадь
треугольника АМС будет такой же, как и площадь треугольника АВС.
2. Докажите, что медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника.
3. Докажите, что три медианы делят треугольник на шесть равновеликих треугольников.
4. Диагонали делят трапецию на четыре треугольника. Докажите, что
площади треугольников, прилегающих к боковым сторонам,
равны.
S2
S1
5. Найдите площадь большого треугольника, если площадь
закрашенного треугольника равна 1.
6. В выпуклом четырехугольнике соединили середины
противоположных сторон, и получившиеся части раскрасили в
шахматном порядке. Докажите, что сумма площадей черных
частей равна сумме площадей белых.
7. На острове, имеющем форму равностороннего треугольника, построен маяк.
Докажите, где бы он ни находился, сумма расстояний от него до трех берегов
постоянна.
B
C
8. Дан квадрат ABCD, на двух его сторонах отметили по точке.
Какая часть площади квадрата больше: серая или черная?
M
9. (Теорема Чевы). На сторонах ВС, АС, АВ треугольника АВС
взяты соответственно точки А1, В1, С1. так, что отрезки AA1,
CC1, BB1 пересекаются в одной точке. Докажите, что
А
N
D
AC1 BA1 CB1
=1


C1 B A1C B1 A
Разнобой.
10.Бизнесмен Борис Петрович и тракторист Вася решили устроить
гонки. Первая половина трассы проходит по шоссе, а вторая — по
проселку. Васин трактор по любой дороге едет с одной и той же
скоростью, а «Лексус» Бориса Петровича по шоссе едет вдесятеро
быстрее трактора, а по проселку — вдвое медленнее. На старте у Васиного трактора
отвалилось колесо, и Вася выехал тогда, когда Борис Петрович уже проехал половину
пути по шоссе. Кто первым приедет к финишу?
11.Имеется 64 монеты, причём известно, что любые две монеты различаются по весу.
а) За 94 взвешивания на двухчашечных весах без гирь найдите самую
тяжёлую и самую лёгкую монеты.
б) За 68 взвешиваний найдите две самые тяжёлые монеты.