Задача 1: Экспедиция издательства отправила газеты в три

Задача 1: Экспедиция издательства отправила газеты в три почтовых отделения.
Вероятность своевременной доставки газет в первое отделение равна 0,95, во второе - 0,9,
в третье - 0,8. Найти вероятность следующих событий:
а) только одно отделение получит газеты вовремя;
б) хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием.
Решение: Введем события
А1 = (газеты доставлены своевременно в первое отделение),
А2 = (газеты доставлены своевременно во второе отделение),
А3 = (газеты доставлены своевременно в третье отделение),
по условию P(A1)=0,95; P(A2) = 0,9; P(A3)=0,8.
Найдем вероятность события Х = (только одно отделение получит газеты вовремя).
Событие Х произойдет, если
или газеты доставлены своевременно в 1 отделение, и доставлены не вовремя во 2 и 3,
или газеты доставлены своевременно в 2 отделение, и доставлены не вовремя во 1 и 3,
или газеты доставлены своевременно в 3 отделение, и доставлены не вовремя во 2 и 1.
Таким образом,
Так как события А1, А2, А3 - независимые, по теоремам сложения и умножения получаем
Найдем вероятность события У=(хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием).
Введем противоположное событие =(все отделения получат газеты вовремя). Вероятность
этого события
Тогда вероятность события У:
Ответ: 0,032; 0,316.
Задача 2: Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих
сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для
первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при аварии
сработает только один сигнализатор.
Решение: Введем независимые события:
А1 = (при аварии сработает первый сигнализатор);
А2 = (при аварии сработает второй сигнализатор);
по условию задачи P(A1)=0,95, P(A2)=0,9.
Введем событие Х = (при аварии сработает только один сигнализатор). Это событие
произойдет, если при аварии сработает первый сигнализатор и не сработает второй, или
если при аварии сработает второй сигнализатор и не сработает первый, то есть
Тогда вероятность события Х по теоремам сложения и умножения вероятностей равна
Задача 3: Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах равна
0,9984. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.
Решение: Пусть - вероятность попадания в цель при одном выстреле. Введем событие X =
{при четырех выстрелах есть хотя бы одно попадание} и противоположное ему событие =
{при четырех выстрелах нет ни одного попадания}.
Вероятность события равна , тогда вероятность события Х равна . По условию эта
вероятность равна 0,9984, откуда получаем уравнение относительно ответ: 0,8
ЛЕКЦИЯ 3
ТЕМА: ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.
Теория вероятностей позволяет определять вероятность события по известным
вероятностям других событий, связанных с этим событием. В этом случае используют
теоремы сложения и умножения вероятностей.
1. Теорема умножения вероятностей.
Прежде чем познакомиться с теоремой, введем сопутствующие понятия: зависимые и
независимые события. Рассмотрим примеры:
а) Два спортсмена стреляют по мишени. Событие А- попал первый стрелок, вероятность
появления этого события Р(А) , В- попал второй стрелок, вероятность Р(В). Появление
или не появление события, например, А не повлияет на вероятность появления события В.
б) Бросают два одинаковых кубика. Событие С- выпало 2 очка на первом кубике,
вероятность этого события Р(С). Событие Д- 3 очка на втором кубике, вероятность - Р(Д).
Появление события Д не повлияет на вероятность появления события С.
В данных примерах описаны независимые события.
Два события А и В называются независимыми, если появление одного из них не
изменяет вероятности появления другого.
Рассмотрим другой пример:
В урне 2 белых и 2 черных шара. Событие А- вынут 1 белый шар, событие В- вынут 1
черный шар.
Вероятность их появления при испытании- из урны наудачу вынут один шар, одинакова и
равна 1/2. Рассмотрим событие: первым вынут белый шар, т.е. происходит событие А, его
вероятность 1/2, затем возвращается в урну и вторым вынимают черный шар, т.е.
происходит событие В. Найдем вероятность события В в такой ситуации : Р(В)=2/4=1/2.
Итак, появление события А не изменило появление события В.
Теперь изменим условия: вынутый первым белый шар не будем возвращать в урну, тогда
вероятность события В будет равна Р(В)=2/3, сравнивая результаты 1/2 и 2/3 можно
сделать вывод, что появление события А изменило вероятность появления события В.
Такие события называются зависимыми , а вероятность события В, в данном случае
называется условной вероятностью и обозначается РА(В), т.е. вероятность события В при
условии, что А произошло.
События А и В называются зависимыми, если появление одного из них изменяет
вероятность появления другого.
Условной вероятностью РА(В) называется вероятность события В, вычисленная в
предположении, что событие А уже произошло.
Теперь познакомимся с теоремами, которые позволяют вычислить вероятность
совместного появления двух событий. В первой теореме речь идет о зависимых событиях,
во второй- о независимых.
Теорема1: Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна
произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, в
предположении, что первое уже произошло, т.е. Р(АВ)= Р(А)РА(В).
Доказательство:
Пусть в результате опыта возможны N исходов, из них М благоприятствуют появлению
события А, их этихМ- К исходов благоприятствуют событию В. Одновременному
появлению событий А и В благоприятствуют L исходов из К.. По классической формуле
имеем: Р(АВ)=L/N. Умножим и разделим на М:
Первая дробь- вероятность наступления события А, вторая- вероятность события В, при
условии, что А уже произошло, т.е. условная вероятность события В, что и требовалось
доказать.
Теорема2: Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна
произведению их вероятностей Р(АВ)=Р(А)Р(В).
Доказательство:
Т.к. события независимые, то верно равенство РА(В)=Р(В), тогда получим
Р(АВ)=Р(А)Р(В).
Справедлива обратная теорема:
Если для событий А и В выполняется равенство Р(АВ)=Р(А)Р(В), то эти события
независимы.
Решим задачи.
Пример1. По мишени стреляют три стрелка. Вероятности попадания соответственно
равны 0,7; 0,8 и 0,9. Найти вероятность того, что попадут все три.
Пример2. В урне находятся 3 белых, 2 черных и 4 синих шара. Какова вероятность того,
что первым будет вынут белый шар, вторым- синий, третьим- черный. Шары не
возвращаются.
.
Теорема сложения вероятностей.
Рассмотрим теоремы, позволяющие вычислить вероятность появления события А или В в
результате одного испытания, т.е. вероятность суммы этих событий А+В. Возможны два
случая: события совместны и несовместны.
Теорема1: Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме
вероятностей этих событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В).
Число всех исходов N, число исходов благоприятствующих событию А- К, событию В- L.
Так как А и В несовместны, то ни один из этих исходов не может благоприятствовать А и
В одновременно, т.е. А и В взаимно исключающие, следовательно число
благоприятствующих исходов для события А+В равно К+L. Тогда вероятность равна
Теорема2: Вероятность суммы двух совместных событий А и В равна сумме их
вероятностей без вероятности их совместного появления, т.е. Р(А+В)=Р(А)+Р(В)Р(АВ).
Всего исходов N, благоприятствующих событию А- К, событию В- L, совместному
появлению А и В- М. Следовательно, благоприятных исходов для события А+В : K+L-M.
Откуда вероятность события А+В:
Пример1. Найти вероятность суммы противоположных событий.
Пример2. В урне 3 красных, 5 синих и 2 белых шара. Наудачу вынимают один шар.
Какова вероятность того, что шар окажется цветным?
Пример3. В посевах пшеницы на поле 95% здоровых растений. Берут любые два
растения. Найти вероятность того, что хотя бы одно из них здоровое.
Пример4. По мишени стреляют три стрелка. Вероятности попадания соответственно
равны 0,7; 0,8 и 0,9. Найти вероятность того, что попадут какие – либо два стрелка.
3.
Вероятность наступления хотя бы одного из нескольких попарно независимых
событий.
При решении некоторых задач событие, вероятность которого необходимо найти,
приходится представлять в виде суммы нескольких событий. Это представление может
быть громоздким. В этом случае имеет смысл воспользоваться вычислением вероятности
противоположного события. Рассмотрим пример.
Три станка работают независимо. Вероятность поломки каждого из них соответственно
равна 0,1; 0,2; 0,3. Найти вероятность того, что хотя бы один станок выйдет из строя.
Пусть событие- поломка 1-го станка -А; поломка 2-го- В, поломка 3-го- С. Тогда событие
D - поломка хотя бы одного (одного или двух, или трех) запишется следующим образом:
Вычислять вероятность по полученному представлению неудобно из-за большого
количества вычислений. Составим противоположное событие событию D. Итак , D исправны все три станка. Это событие представим в виде произведения- А В С.
Вероятность появления хотя бы одного из событий А1, А2,…,Аn независимых в
совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей
противоположных событий, т.е.
П р и м е р 1. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0,8, а для второго — 0,6. Стрелки
независимо друг от друга сделали по одному выстрелу. Какова вероятность того, что в мишень попадет
хотя бы один из стрелков?
Р е ш е н и е . Введем обозначения: событие А — попадание первого стрелка, событие В —
попадание второго стрелка, событие С — попадание хотя бы одного из стрелков. Тогда, очевидно, С = А +
В, причем события А и В совместны. Следовательно, по формуле (3)
р(С)=р(А
)
+р(В)-р(АВ).
Так как события А к В независимы, то
р(С) = р ( А ) + р ( В ) — р (Л) р ( В ) . Наконец, учитывая, что р (Л) = 0,8, р
( В ) = 0,6, получаем: р ( С ) = 0,8 + 0,6 — 0,8 • 0,6 = 0,92.
П р и м е р 2. Монета брошена три раза. Найдите вероятность того, что герб выпадет ровно два раза.
Р е ш е н и е . Введем обозначения: A t — выпадение герба при 1-м бросании монеты ( i = 1, 2, 3), А —
выпадение 2 гербов при 3 бросаниях монеты. Тогда А = A IA 2A 3 + A IA 2A 3 + A IA 2A 3. Так как слагаемые правой
части этого равенства попарно несовместны, то по правилу сложения вероятностей имеем:
р (А) = р (AiA2A3) + р (AiA2A3) + р (А,А2А3).
Наконец, учитывая независимость событий А и А 2 9 Л з, по правилу умножения вероятностей получаем:
р(А) = р (А,) р (А2) р (А3) + р (А,) р (А2) р (А3) + р (А,) р (А2)р(А3) «
П р и м е р 1. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0,8, а для второго — 0,6. Стрелки
независимо друг от друга сделали по одному выстрелу. Какова вероятность того, что в мишень попадет
хотя бы один из стрелков?
Р е ш е н и е . Введем обозначения: событие А — попадание первого стрелка, событие В —
попадание второго стрелка, событие С — попадание хотя бы одного из стрелков. Тогда, очевидно, С = А +
В, причем события А и В совместны. Следовательно, по формуле (3)
р(С)=р(А
)
+р(В)-р(АВ).
Так как события А к В независимы, то
р(С) = р ( А ) + р ( В ) — р (Л) р ( В ) . Наконец, учитывая, что р (Л) = 0,8, р
( В ) = 0,6, получаем: р ( С ) = 0,8 + 0,6 — 0,8 • 0,6 = 0,92.
П р и м е р 2. Монета брошена три раза. Найдите вероятность того, что герб выпадет ровно два раза.
Р е ш е н и е . Введем обозначения: A t — выпадение герба при 1-м бросании монеты ( i = 1, 2, 3), А —
выпадение 2 гербов при 3 бросаниях монеты. Тогда А = A IA 2A 3 + A IA 2A 3 + A IA 2A 3. Так как слагаемые правой
части этого равенства попарно несовместны, то по правилу сложения вероятностей имеем:
р (А) = р (AiA2A3) + р (AiA2A3) + р (А,А2А3).
Наконец, учитывая независимость событий А и А 2 9 Л з, по правилу умножения вероятностей получаем:
р(А) = р (А,) р (А2) р (А3) + р (А,) р (А2) р (А3) + р (А,) р (А2)р(А3) «
П р и м е р з . В команде из 12 спортсменов 5 мастеров спорта. По жеребьевке из команды выбирают 3
спортсменов. Какова вероятность того, что все выбранные спортсмены являются мастерами спорта?
Р е ш е н и е . Укажем 2 способа решения, из которых первый состоит в непосредственном подсчете
искомой вероятности по классической схеме, а второй — в применении формулы (7).
Первый способ. Представим себе урну, в которой 5 красных и 7 белых шаров. Красные шары
соответствуют мастерам спорта, а белые — остальным спортсменам. Из этой урны наудачу извлекаются 3
шара, и пусть событие А состоит в появлении 3 красных
Сс
1
шаров. Тогда искомая вероятность равна: р ( А ) = — 3- ^ rz.
С
12 22
Второй способ. Из урны последовательно без возвращения извлекаются 3 шара. Введем обозначения: —
первый шар красный, А 2 — второй красный, А 3 — третий красный и А — все 3 шара красные. Тогда А =
А г А 2 А 3 и по формуле (7) при п = 3 имеем:
р ( А ) = р ( А г ) р ( А 2 / А у) р ( А 3 / А х А 2 ) = 1 . 1 . 1 = 1 .
П р и м е р 4. 3 стрелка попадают в мишень соответственно с с вероятностями 0,9, 0,8, 0,7. Какова
вероятность того, что при одном выстреле хотя бы один из них попадет в мишень (событие D)?
Р е ш е н и е . Пусть события Л, В , С — соответственно попадание в мишень 1, 2 и 3-го
стрелка. Тогда D = А + В + С . Однако лучше представить D как событие,
противоположное A B C (ни одного попадания): D s= A B C . По формуле (10) тогда
имеем: р ( D ) = 1 — р ( А ) р ( В ) р (С) = 1 — 0,1 ♦ 0,2 - 0,3 = 0,994