Расчет элементов прямоугольного сечения с симетричной арматурой на косое внецентренное сжатие (п. 3.74 Пособие к СНиП 2.03.01-84) Исходные данные: Размеры элемента: - Расчетная длина элемента l0 = 200 см = 200 / 100 = 2 м; - Пролет элемента l = 200 см = 200 / 100 = 2 м; - Расстояние между сечениями элемента, закрепленными от смещения lf = 200 см = 200 / 100 = 2 м; Коэффициенты условия работы: - Коэффициент условия работы бетона gb2 = 1,1 ; Усилия: - Нормальная сила N = 265,12622 тс = 265,12622 / 101,97162123 = 2,6 МН; - Изгибающий момент (от всех нагрузок; относительно нейтральной оси) M = 24,47319 тс м = 24,47319 / 101,97162123 = 0,24 МН м; Размеры сечения: - Высота сечения h = 60 см = 60 / 100 = 0,6 м; - Ширина прямоугольного сечения b = 40 см = 40 / 100 = 0,4 м; Толщина защитного слоя: - Расстояние от равнодействующей усилий в арматуре S до грани сечения a = 5 см = 5 / 100 = 0,05 м; Характеристики продольной арматуры: - Расчетное сопротивление растяжению для предельных состояний второй группы Rs, ser = 390 МПа; - Расчетное сопротивление продольной арматуры растяжению Rs = 365 МПа; - Расчетное сопротивление продольной арматуры сжатию Rsc = 365 МПа; - Модуль упругости арматуры Es = 200000 МПа; Характеристики бетона: - Расчетное сопротивление бетона осевому сжатию для пред. состояний I группы R b = 14,5 МПа; - Расчетное сопротивление бетона растяжению для пред. состояний I группы R bt = 1,05 МПа; - Расчетное сопротивление бетона осевому сжатию для пред. состояний II группы Rb, ser = 18,5 МПа; - Расчетное сопротивление бетона растяжению для пред. состояний II группы R bt, ser = 1,6 МПа; - Модуль упругости бетона Eb = 27000 МПа; Площадь наиболее растянутой продольной арматуры: - Площадь наиболее растянутой продольной арматуры As = 1111111 см 2 = 1111111 / 10000 = 111,1111 м 2; Усилия при косом изгибе: - Изгибающий момент относительно оси Y M y = 24,473 тс м = 24,473 / 101,97162123 = 0,24 МН м; - Изгибающий момент относительно оси X Mx = 18,6098 тс м = 18,6098 / 101,97162123 = 0,1825 МН м; - Нормальная сила N = 265,126 тс = 265,126 / 101,97162123 = 2,6 МН; Размеры сечения при косом изгибе: - Высота грани сечения нормальной оси Y hy = 40 см = 40 / 100 = 0,4 м; - Высота грани сечения нормальной оси X hx = 60 см = 60 / 100 = 0,6 м; Характеристики арматуры при косом изгибе: - Количество промежуточных стержней по грани нормальной оси Y n y = 1 ; - Количество промежуточных стержней по грани нормальной оси X nx = 0 ; - Диаметр промежуточного стержня по грани нормальной оси Y ds1, y = 2 см = 2 / 100 = 0,02 м; - Диаметр промежуточного стержня по грани нормальной оси X ds1, x = 0 см = 0 / 100 = 0 м; - Диаметр углового стержня dso = 3,2 см = 3,2 / 100 = 0,032 м; Расчетные длины элемента при косом изгибе: - Расчетная длина элемента в плоскости действия момента М y loy = 200 см = 200 / 100 = 2 м; - Расчетная длина элемента в плоскости действия момента Мх lox = 200 см = 200 / 100 = 2 м; Результаты расчета: 1) Расчет элементов прямоугольного сечения с симетричной арматурой на косое внецентренное сжатие (п. 3.74 Пособие к СНиП 2.03.01-84) (начало расчета) Площадь каждого из промежуточных стержней по грани нормальной оси X: As1, x = 3,14159265 ds1, x 2/4=3,14159 · 0 2/4 = 0 м 2 . Площадь каждого из промежуточных стержней по грани нормальной оси Y: As1, y = 3,14159265 ds1, y 2/4=3,14159 · 0,02 2/4 = 0,000314159 м 2 . Площадь углового стержня: Aso = 3,14159265 dso 2/4=3,14159 · 0,032 2/4 = 0,0008 м 2 . Площадь всей арматуры в сечении: As, tot = 2 (As1, x nx+As1, y ny)+4 Aso = =2 · (0 · 0+0,000314159 · 1)+4 · 0,0008 = 0,00383 м 2 . Коэффициент: b = (Mx /My ) (hy/hx)=(0,1825/0,24) · (0,4/0,6) = 0,50695 . Площадь арматуры по грани нормальной оси X: Asx = As1, x (nx+1)+(2 Aso-As1, x-As1, y) b/(1+ b) = =0 · (0+1)+(2 · 0,0008-0-0,000314159) · 0,50695/(1+0,50695) = 0,000432567 м 2 (формула (151); п. 3.74 Пособие к СНиП 2.03.01-84). Площадь арматуры по грани нормальной оси Y: Asy = As, tot/2-Asx = =0,00383/2-0,000432567 = 0,00148 м 2 (формула (152); п. 3.74 Пособие к СНиП 2.03.01-84). Определение относительной высоты сжатой зоны бетона Бетон - тяжелый. Коэффициент: a=0,85 . Характеристика сжатой зоны бетона: w = a-0,008 Rb gb2=0,85-0,008 · 14,5 · 1,1 = 0,7224 . Напряжения в арматуре: sSR = Rs =365 МПа . Т.к. gb2 t 1 : Предельные напряжения в арматуре сжатой зоны: ssc, u=400 МПа . Граничная относительная высота сжатой зоны: xR = w/(1+( sSR/ ssc, u) (1-( w/1,1))) = =0,7224/(1+(365/400) · (1-(0,7224/1,1))) = 0,55009 (формула (14); п. 3.14 Пособие к СНиП 2.03.01-84). 2) Продолжение расчета по п. 3.74 Пособие к СНиП 2.03.01-84 Определение момента Mx, действующего в плоскости нормальной оcи X. Высота сечения: h = hy =0,4 м . Рабочая высота сечения: h0 = h-a=0,4-0,05 = 0,35 м . Ширина прямоугольного сечения: b = hx =0,6 м . Изгибающий момент (от всех нагрузок; относительно нейтральной оси): M = Mx =0,1825 МН м . As = Asx =0,000432567 м 2 . Площадь арматуры промежуточных стержней на одной гране сечения: Asl = Asy =0,00148 м 2 . Площадь стержней основной арматуры у одной из граней сечения: Ast = Asx =0,000432567 м 2 . Способ учета влияния длительности действия нагрузки - принято максимальное влияние, предусмотренное СНиП. Расчетная длина элемента: l0 = lox =2 м . Определение коэффициентов: Коэффициент: an1 = N/( gb2 Rb b h)=2,6/(1,1 · 14,5 · 0,6 · 0,4) = 0,67921 . Коэффициент: d1 = a/h=0,05/0,4 = 0,125 . Коэффициент: asl = Rs Asl/( gb2 Rb b h (0,5- d1)) = =365 · 0,00148/(1,1 · 14,5 · 0,6 · 0,4 · (0,5-0,125)) = 0,37631 . Коэффициент: ast = Rs Ast/( gb2 Rb b h)=365 · 0,000432567/(1,1 · 14,5 · 0,6 · 0,4) = 0,04125 . Учет влияния прогиба на несущую способность внецентренно-сжатых элементов прямоугольного сечения Геометрические характеристики прямоугольного сечения Момент инерции поперечного сечения бетона: I = b h 3/12=0,6 · 0,4 3/12 = 0,0032 м 4 . Площадь поперечного сечения бетона: A = b h=0,6 · 0,4 = 0,24 м 2 . Радиус инерции поперечного сечения бетона: i = ; I/A =; 0,0032/0,24 = 0,11547 м . 3) Продолжение расчета по п. 3.54 Пособие к СНиП 2.03.01-84 Т.к. l0/ i=2/0,11547=17,32052 > 14 : Требуется учет влияния прогиба на несущую способность. Бетон - тяжелый. Коэффициент: По табл. 16 Пособие к СНиП 2.03.01-84 b = 1. Способ учета влияния длительности действия нагрузки - принято максимальное влияние, предусмотренное СНиП. Коэффициент, учитывающий влияние длительного действия нагрузки на прогиб: fl = 1+ b=1+1 = 2 . Определение случайного эксцентриситета продольной силы (по п. 1.21 СНиП 2.03.01-84): Элемент - не входит в состав сборной конструкции. Случайный эксцентриситет: ea = max(l/600 ; lf/600 ; h/30)=max(2/600;2/600;0,4/30) = 0,01333 м . Определение эксцентриситета продольной силы (по п. 3.50 СНиП 2.03.01-84): Элемент - статически неопределимой конструкции. Эксцентриситет продольной силы N относительно центра тяжести приведенного сечения: e0 = M/N=0,1825/2,6 = 0,07019 м . Эксцентриситет eo принмается не ниже случайного. Т.к. e0=0,07019 м t ea=0,01333 м : e0=0,07019 t ea=0,01333 (526,55664% от предельного значения) - условие выполнено . Коэффициент: de = e0/h=0,07019/0,4 = 0,17548 . Коэффициент: de, min = 0,5-0,01 (l0/h)-0,01 gb2 Rb = =0,5-0,01 · (2/0,4)-0,01 · 1,1 · 14,5 = 0,2905 (формула (95); п. 3.54 Пособие к СНиП 2.03.01-84). Т.к. de=0,17548 < de, min=0,2905 : Коэффициент: de = de, min =0,2905 . 4) Продолжение расчета по п. 3.54 Пособие к СНиП 2.03.01-84 Коэффициент: a = Es/Eb=200000/27000 = 7,40741 . Для прямоугольного сечения с одинаковой арматурой S и S': Момент инерции сечения арматуры относительно центра тяжести сечения элемента: Is = 2 As (h/2-a) 2=2 · 0,000432567 · (0,4/2-0,05) 2 = 0,000019466 м 4 . Арматура расположена - по высоте сечения. Коэффициент: ma = (As, tot/(b h)) (Es/Eb)=(0,00383/(0,6 · 0,4)) · (200000/27000) = 0,11821 . Условная критическая сила: Ncr = (1,6 Eb b h/((l0/h) 2)) ((0,11/(0,1+ de)+0,1)/(3 fl)+ ma ((h0-a)/h) 2) = =(1,6 · 27000 · 0,6 · 0,4/((2/0,4) 2)) · ((0,11/(0,1+0,2905)+0,1)/(3 · 2)+0,11821 · ((0,35-0,05)/0,4) 2) = 53,95845 МН (формула (93); п. 3.54 Пособие к СНиП 2.03.01-84). N=2,6 МН r Ncr=53,95845 МН (4,81852% от предельного значения) - условие выполнено . Коэффициент: h = 1/(1-(N/Ncr))=1/(1-(2,6/53,95845)) = 1,05062 . Проверка требования минимального процента армирования (п. 5.16 СНиП 2.03.01-84). Арматура расположена по контуру сечения - равномерно. Элемент - внецентренно-сжатый. Площадь сечения бетона: A = b h=0,6 · 0,4 = 0,24 м 2 . I=b Момент инерции поперечного сечения бетона: · 0,4 3/12 = 0,0032 м 4 . h 3/12=0,6 Радиус инерции поперечного сечения бетона: i = ; I/A =; 0,0032/0,24 = 0,11547 м . Т.к. l0/ i=2/0,11547=17,32052 t 17 и l0/ i=2/0,11547=17,32052 r 35 требуется расчет по следующим формулам . Минимальный процент армирования: amin=0,1 % . amin=0,1 % r 100 2 As /A =100 · 2 · 0,000432567/0,24=0,36047 % (27,74137% от предельного значения) - условие выполнено . 5) Продолжение расчета по п. 3.74 Пособие к СНиП 2.03.01-84 Коэффициент: hx = h =1,05062 . Определение предельного изгибающего момента Высота сжатой зоны бетона: x = N/( gb2 Rb b)=2,6/(1,1 · 14,5 · 0,6) = 0,27168 м . Т.к. x=0,27168 > xR h0=0,55009 · 0,35=0,19253 : Относительная высота сжатой зоны: x = ( an1+ asl)/(1+2 asl/ w) = =(0,67921+0,37631)/(1+2 · 0,37631/0,7224) = 0,51695 . Коэффициент: x1 = x/ w=0,51695/0,7224 = 0,7156 . Т.к. x=0,51695 r xR=0,55009 : Предельный изгибающий момент определяется как правая часть формулы (117). Предельный изгибающий момент: Mo = gb2 Rb b h 2 (0,5 x (1- x)+ asl ( x1- d1) (1- x1- d1)-0,05 asl x1 2+ ast (1-2 d1)) = =1,1 · 14,5 · 0,6 · 0,4 2 · (0,5 · 0,51695 · (1-0,51695)+0,37631 · (0,7156-0,125) · (1-0,7156-0,125)-0,05 · 0,37631 · 0,7156 2+0,04125 · (1-2 · 0,125)) = 0,27804 МН м . Mo > 0 - условие выполнено . 6) Продолжение расчета по п. 3.74 Пособие к СНиП 2.03.01-84 Предельный изгибающий момент: Mxo = Mo =0,27804 МН м . Отношение Mx с учетом коэффициента h к Mxo: mx = hx Mx /Mxo=1,05062 · 0,1825/0,27804 = 0,68961 . mx r 1 (68,961% от предельного значения) - условие выполнено . Определение момента My, действующего в плоскости нормальной оcи Y. Высота сечения: h = hx =0,6 м . Рабочая высота сечения: h0 = h-a=0,6-0,05 = 0,55 м . Ширина прямоугольного сечения: b = hy =0,4 м . Изгибающий момент (от всех нагрузок; относительно нейтральной оси): M = My =0,24 МН м . As = Asy =0,00148 м 2 . Площадь арматуры промежуточных стержней на одной гране сечения: Asl = Asx =0,000432567 м 2 . Площадь стержней основной арматуры у одной из граней сечения: Ast = Asy =0,00148 м 2 . Способ учета влияния длительности действия нагрузки - принято максимальное влияние, предусмотренное СНиП. Расчетная длина элемента: l0 = loy =2 м . Определение коэффициентов: Коэффициент: an1 = N/( gb2 Rb b h)=2,6/(1,1 · 14,5 · 0,4 · 0,6) = 0,67921 . Коэффициент: d1 = a/h=0,05/0,6 = 0,08333 . Коэффициент: asl = Rs Asl/( gb2 Rb b h (0,5- d1)) = =365 · 0,000432567/(1,1 · 14,5 · 0,4 · 0,6 · (0,5-0,08333)) = 0,09899 . Коэффициент: ast = Rs Ast/( gb2 Rb b h)=365 · 0,00148/(1,1 · 14,5 · 0,4 · 0,6) = 0,14112 . Учет влияния прогиба на несущую способность внецентренно-сжатых элементов прямоугольного сечения Геометрические характеристики прямоугольного сечения Момент инерции поперечного сечения бетона: I = b h 3/12=0,4 · 0,6 3/12 = 0,0072 м 4 . Площадь поперечного сечения бетона: A = b h=0,4 · 0,6 = 0,24 м 2 . Радиус инерции поперечного сечения бетона: i = ; I/A =; 0,0072/0,24 = 0,17321 м . 7) Продолжение расчета по п. 3.54 Пособие к СНиП 2.03.01-84 Т.к. l0/ i=2/0,17321=11,54668 r 14 : Учета влияния прогиба на несущую способность внецентренно-сжатых элементов прямоугольного сечения не требуется (п. 3.3 СНиП 2.03.01-84). Коэффициент: h=1 . Проверка требования минимального процента армирования (п. 5.16 СНиП 2.03.01-84). Арматура расположена по контуру сечения - равномерно. Элемент - внецентренно-сжатый. Площадь сечения бетона: A = b h=0,4 · 0,6 = 0,24 м 2 . Момент инерции поперечного сечения бетона: I = b h 3/12=0,4 · 0,6 3/12 = 0,0072 м 4 . Радиус инерции поперечного сечения бетона: i = ; I/A =; 0,0072/0,24 = 0,17321 м . Т.к. l0/ i=2/0,17321=11,54668 < 17 : Минимальный процент армирования: amin=0,05 % . amin=0,05 % r 100 2 As /A =100 · 2 · 0,00148/0,24=1,23333 % (4,05405% от предельного значения) условие выполнено . 8) Продолжение расчета по п. 3.74 Пособие к СНиП 2.03.01-84 Коэффициент: hy = h =1 . Определение предельного изгибающего момента Высота сжатой зоны бетона: x = N/( gb2 Rb b)=2,6/(1,1 · 14,5 · 0,4) = 0,40752 м . Т.к. x=0,40752 > xR h0=0,55009 · 0,55=0,30255 : Относительная высота сжатой зоны: x = ( an1+ asl)/(1+2 asl/ w) = =(0,67921+0,09899)/(1+2 · 0,09899/0,7224) = 0,6108 . Коэффициент: x1 = x/ w=0,6108/0,7224 = 0,84551 . Т.к. x=0,6108 > xR=0,55009 : Предельный изгибающий момент определяется как правая часть формулы (118). Относительная величина продольной силы при равномерном сжатии: ana = 1+(Rs As, tot)/(Rb h b)=1+(365 · 0,00383)/(14,5 · 0,6 · 0,4) = 1,40171 . Коэффициент: x1R = xR/ w=0,55009/0,7224 = 0,76148 . Относительная величина изгибающего момента: amR = 0,5 xR (1- xR)+ asl ( x1R- d1) (1- x1R- d1)-0,05 asl x1R 2+ ast (1-2 d1) = =0,5 · 0,55009 · (1-0,55009)+0,09899 · (0,76148-0,08333) · (1-0,76148-0,08333)-0,05 · 0,09899 · 0,76148 2+0,14112 · (1-2 · 0,08333) = 0,24889 . Относительная величина продольной силы: anR = xR+ asl (2 x1R-1)=0,55009+0,09899 · (2 · 0,76148-1) = 0,60186 . Предельный изгибающий момент: Mo = gb2 Rb b h 2 amR ( ana- an1)/( ana- anR) = =1,1 · 14,5 · 0,4 · 0,6 2 · 0,24889 · (1,40171-0,67921)/(1,40171-0,60186) = 0,51637 МН м . Mo > 0 - условие выполнено . 9) Продолжение расчета по п. 3.74 Пособие к СНиП 2.03.01-84 Предельный изгибающий момент: Myo = Mo =0,51637 МН м . Отношение My с учетом коэффициента h к Myo: my = hy My /Myo=1 · 0,24/0,51637 = 0,46478 . my r 1 (46,478% от предельного значения) - условие выполнено . Коэффициент: as = Rs As, tot/( gb2 Rb b h) = =365 · 0,00383/(1,1 · 14,5 · 0,4 · 0,6) = 0,36519 . Проверка несущей способности по графику на черт. 42 Проверка условий возможности применения черт. 42: as t 0,2 (182,595% от предельного значения) - условие выполнено . Т.к. as=0,36519 > 0,2 и as=0,36519 r 0,4 требуется расчет по следующим формулам . Т.к. an1=0,67921 t 0,4 и an1=0,67921 < 0,8 требуется расчет по следующим формулам . По черт. 42а при an1=0,4 Предельное отношение Mo/Mxo: mx, cr = 0,75999 . mx=0,68961 r mx, cr=0,75999 (90,73935% от предельного значения) - условие выполнено . По черт. 42а при an1=0,8 Предельное отношение Mo/Mxo: mx, cr = 0,80119 . mx=0,68961 r mx, cr=0,80119 (86,07322% от предельного значения) - условие выполнено . По черт. 42б при an1=0,4 Предельное отношение Mo/Mxo: mx, cr = 0,75577 . mx=0,68961 r mx, cr=0,75577 (91,24601% от предельного значения) - условие выполнено . По черт. 42б при an1=0,8 Предельное отношение Mo/Mxo: mx, cr = 0,77619 . mx=0,68961 r mx, cr=0,77619 (88,84551% от предельного значения) - условие выполнено .