Задание 1. Вводя координаты точек А, В, С, D, вычисляется скалярное произведение векторов AB и CD и сравнивается с выражением в числителе дроби. Оказывается, что AB CD AD 2 BC 2 AC 2 BD 2 , откуда 1 2 следует требуемое равенство. Задание 2. Уравнение окружности радиуса R, проходящей через начало координат (вершину параболы y 2 2 px ), имеет вид: ( x R) 2 y 2 R 2 . (Из соображений симметрии центр окружности должен находиться на оси y 2 2 px, Ох). Решая систему уравнений 2 2 2 ( x R) y R с учетом того, что точка (0, 0) должна быть единственной точкой пересечения (кратности 2), получаем R = p. Задание 3. Вычислить определитель любым способом, получается выражение 1+ х, которое больше нуля при x > -1. Задание 4. Вычисляя и сравнивая левую и правую части равенства, получаем 0 2 α и множество 1 α 2 при α = -2 – единственное решение X α 21 1 a b , где a, b R . решений при α = -1: X 2 1 a b Задание 5. Пусть z a bi . Тогда, решая иррациональное неравенство a 2 b 12 a 2 b 12 4 , приходим к неравенству a2 b2 1 , которое 3 4 на комплексной плоскости задает внутренность эллипса с центром в начале координат и полуосями 3 и 2. Задание 6. Вычисляя производную f (x) , получим выражение, которое содержит 2014 слагаемых, причем 2013 из них содержат множитель x 2013 , который при подстановке вместо х числа 2013 обращается в ноль. Единственное ненулевое слагаемое имеет вид: xx 1x 2...x 2012 , которое при x 2013 равно 2013!. x xo y y o z z o проходит 2 xo 4 yo 1 1 xo y 2 zo через точку М, то получаем . Покажем, что yo 0 . Если o 2 xo 4 yo 1 yo 0 , то получаем 1 xo xo 2 xo 2, z o 7 4 , тогда 1 xo 7 2 y o2 z o xo2 4 0 , что невозможно. Итак, yo 0 , тогда z o 2 и 4 2 xo Задание 7. Так как нормаль к поверхности z o xo2 , то есть xo находится из уравнения: 2 xo3 3 xo 1 0 . Корни уравнения: x1 1, x 2 1 3 1 3 , x3 . Получаем три точки: 2 2 M1 1, 0,1, M 2 x2 ; 0; x22 , M 3 x3 ; 0; x32 . Проверкой убеждаемся, что δ min MM 2 11 6 3 . 2 Задание 8. В задании была опечатка. За правильно вычисленный интеграл выставлялся 1 балл. Задание 9. Пусть график y ( x ) пересекает ось Ох, т.е. y( x o ) ( x o ) 0 . Тогда единственное решение исходного уравнения в силу теоремы Коши y( x) 0 . Действительно, правая часть уравнения и ее производная по у непрерывны в окрестности любой точки ( x o , y o ) , в частности, и точки (хо, 0). Задание 10. Пусть А – случайное событие, вероятность которого нужно (1) ( 2) найти. Тогда A 1 B1 2 D1 2 2 , где П – бактерия погибла на первом или втором шаге, В – выжила, D – разделилась на две. П2(i) – погибает i –я бактерия на втором шаге. Учитывая несовместность и независимость событий, получим: Р(А) = 0,25 + 0,252 + 0,5·0,252 = 0,34375.