« А МАТЕМАТИКУ УЖЕ ЗАТЕМ УЧИТЬ СЛЕДУЕТ, ЧТО ОНА УМ В
реклама
МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА Автор: Разумова Зинаида Андреевна, учитель математики высшей квалификационной категории МОУ «Средняя общеобразовательная школа №27 г.Йошкар-Олы» « А МАТЕМАТИКУ УЖЕ ЗАТЕМ УЧИТЬ СЛЕДУЕТ, ЧТО ОНА УМ В ПОРЯДОК ПРИВОДИТ. » М.В.ЛОМОНОСОВ 2 ОГЛАВЛЕНИЕ Предмет «Логика»……………………………………………………… 4 Логические приемы…………………………………………………….. 7 Графы …………………………………………………………………… 12 Круги Эйлера…………………………………………………………… 18 Затруднительные ситуации…………………………………………….. 21 Переливания……………………………………………………………... 25 Переправы и разъезды………………………………………………….. 30 Передвижения…………………………………………………………… 33 Искусные перестановки………………………………………………… 36 Расположения……………………………………………………………. 38 Фальшивые монеты……………………………………………………... 40 Старинные задачи……………………………………………………….. 42 Календарь………………………………………………………………... 43 Магические квадраты…………………………………………………… 44 Упражнения со спичками………………………………………………. 47 Ребусы……………………………………………………………………. 50 Кроссворды………………………………………………………………. 51 Таинственные истории………………………………………………….. 53 Веселые вопросы………………………………………………………... 54 Сообразите !……………………………………………………………... 55 Творческие работы учащихся…………………………………………... 57 Упражнения развивающего характера………………………………… 59 Заключение………………………………………………………………. 63 3 П Р Е Д М Е Т «Л О Г И К А» Новым содержанием в математическом образовании являются: язык и логика, теория вероятности. Логика – это наука о законах мышления. Мыслить логически – мыслить последовательно, связно, доказательно. К логическим задачам относятся такие, при решении которых главное - отыскание связей между фактами (часто скрытых), сопоставление их, установление цепочки суждений. Часто в условии имеется такое обилие фактов, что удержать их все в памяти нелегко. Тогда прибегают к сопоставлению схем, выполнению рисунков и чертежей. За время обучения учащихся логике мы рассматриваем с ними немало тем, решаем много различных задач, проводим интелектуальные игры. Для умственной гимнастики решаем большое количество задач занимательного характера, имеющие различную степень трудности: 1)задачи-шутки, 2)головоломки, 3)ребусы, 4)кроссворды, 5)задачи на смекалку, 6)задачи-загадки, 7)игры: «Почему?» или «По чему?»; «Сто к одному» (ученики дают несколько вариантов ответов на поставленный вопрос); «Кто хочет стать миллионером?» (составление логических цепочек и проведение игры); игра, развивающая чувство времени, Часто кроссворды и ребусы составляют сами ребята. Для развития внимания, наблюдательности, воображения, памяти проводятся упражнения развивающего характера. Большое внимание уделяется решению задач «Затруднительные положения»: 1. Переправы и разъезды. 2. Переливания. 3 .Фальшивые монеты. 4. Перекладывания. 5. Взвешивания. 6. Маленькие хитрости. 7. Искусные передвижения. Задачи по геометрии: 4 на тему: 1. Задачи со спичками. 2. Задачи с квадратом. 3. Разрезание фигур. 4. Решение задач из дидактического материала. Математика дисциплинирует ум, приучает к логическому мышлению. В этом помогают задачи по темам: 1. Графы. 2. Задачи с календарем. 3. Магические квадраты. 4. Сравнения. 5. Аналогия. 6. Верные и неверные высказывания. 7. Задачи про лжецов. 8. Решение задач логического характера: - олимпиадных, - «Кенгуру», - математических турниров, - из учебника. Важнейшими видами мыслей, в которых отражается фрагмент действительности в процессе абстрактного мышления являются понятия. Понятие есть мысль, в которой отражаются отличительные свойства предметов и отношения между ними. Понятие имеет две основные характеристики: содержание и объем. Понятия бывают: 1. Единичные и общие. Единичные понятия - понятия, в которых мыслится лишь один предмет (явление, событие).Общие понятия – понятия, в которых мыслится совокупность однородных элементов. Например: Самый большой город в мире – единичное понятие; Город – общее понятие. 2. Конкретные и абстрактные . 5 Например: Книга, государство - конкретные понятия; Смелость, цвет - абстрактные понятия. 3. Положительные и отрицательные понятия. Например: Верность, говорящий по английски – положительные; Беззаконие, произвол, не говорящий по английски – отрицательные понятия Суждение представляет собой такую мысль, в которой при высказывании ее нечто утверждается о предметах действительности и которая объективно является либо истинной, либо ложной и при этом непременно одной из двух. 6 ЛОГИЧЕСКИЕ ПРИЕМЫ 1) Дедуктивные умозаключения ( выводы из простых суждений ). 2) Дедуктивные умозаключения ( выводы из сложных суждений ). 3) Индуктивные умозаключения – умозаключения степени общности к знанию от знаний меньшей большей степени общности, от частных положений к общим, от фактов к обобщениям. 4) Доказательство – это логический прием, обосновывающий истинность какого-либо суждения с помощью других суждений, истинность которых уже установлена. 5) Опровержение - это логический прием, при помощи которого устанавливается ложность или недоказуемость выдвинутого положения. 6) Аналогия – рассуждение, в котором из сходства двух объектов в некоторых признаках делается вывод и об их сходстве в других признаках. Чтобы научиться правильно рассуждать, надо изучить способы, методы рассуждений. Анализом методов рассуждений занимается наука логика, а а исследованием математических рассуждений – математическая логика. В математической логике для исследований применяется математический аппарат. Чтобы правильно рассуждать,надо научиться из простых высказываний правильно составлять сложные высказывания, или, как говорят в математической логике, выполнять операции над высказываниями. При этом необходимо знать, вытекает ли истинность сложных высказываний из истинности составляющих их более простых предложений. Простейшие операции над высказываниями: 1) Отрицание. Обозначается, как и в в обыденной речи, частицей «не» или словом «неверно». Отрицанием высказывания: «Прямая а паралельна прямой в» является предложение: «Прямая а не параллельна прямой в», или «Неверно, 7 что прямая а параллельна прямой в». В символической форме это отрицание записывается так: а в или (а || в). Ясно, что отрицание А истинно тогда и только тогда, когда ложно А, и наоборот. 2) Конъюнкция. Два высказывания могут быть соединены союзом «и». Из высказываний «Число 5 простое» (обозначим его А), «Число 5 нечетное» (обозначим его В) можно составить сложное высказывание А и В (обозначается А Λ В): «Число 5 простое и нечетное». Такое сложное высказывание А Λ В называется конъюнкцией А и В. Если каждое из высказываний А и В истинно, то истинно и высказывание А Λ В. Если хотя бы одно из высказываний А, В ложно, то ложным будет и высказывание А Λ В. 3) Дезъюнкция. Два высказывания могут образовать сложное высказывание, будучи соединены союзом «или», употребляемом в неразделенном смысле. А или В – означает истинность хотя бы одного из высказываний А и В. Такое сложное высказывание называется дезъюнкцией высказываний А и В. Обозначается АVВ Примеры: 1. А: «Число 5 простое», В: «Число 5 четное». Дезъюнкция А и В: «Число 5 простое или четное». В этом случае А – истинное, В – ложное, но А V В– истинное, так как дезъюнкция истинных высказываний А и В, то есть А V В. (Число 5 простое и нечетное) есть истинное высказывание. 2. Высказывание «а в» верно тогда, когда верно хотя бы одно из высказываний а < в или а=в. 4) Импликация. Эта операция известна как «логическое следование». Обзначается А В. В русском языке А В обычно означает «Из А следует В» или «Если А, то В». Полезно знать, что тот же смысл имеют высказывания «А влечет В», «В при условии, что А», «А только тогда, когда В», «А есть достаточное 8 условие для В», «В есть необходимое условие для А». Часто высказывание А в импликации А В называется посылкой (основанием), а высказывание В – следствием или заключением. Очевидно, что из истинности А следует истинность В, а из ложности В – ложность А. 5) Эквиваленция (логическая равносильность). Это операция над высказываниями А и В, при которой А В, и В А. Обозначается А В. Словами: «Если А, то В, и если В, то А» или «А тогда и только тогда, когда В», или «А есть необходимое и достаточное условие для В». Решение следующих задач поможет лучше усвоить смысл и значение операций над высказываниями, то есть поможет в развитии правильного мышления. Условие и заключение. Необходимые идостаточные условия. Верные и неверные высказывания. Обратная и противоположная теоремы. Верные и неверные высказывания. 1) Если произведение двух натуральных чисел делиться на 6, то хотя бы один из множителей делиться на 6. (Нет. 12:6, но 12=4*3.) 2)Для того, чтобы число делилось на 2, необходимо, чтобы оно оканчивалось нулем. ( Нет.) 3)Сумма двух нечетных чисел есть нечетное число. (Нет. 12=5+7) 4)Если а = в , то а = в. (Нет. 3 = 3 , но -3 3.) 5)Если а = в, то a = в . (Да.) 6)Если а в>0, то а>0 и в>0. (Нет. а<0, в<0,то а в >0) 7) a >1, а (- ;-1) (1;+ ). ( Да.) 7класс. Тема:”Треугольник”. 9 1) Если треугольник равносторонний, то длина любой его высоты равна длине любой его биссектрисы. 2) Медиана равнобедренного треугольника является одновременно его биссектрисой и высотой. 3) 2 высоты равнобедренного треугольника равны. 4) Если медиана треугольника равна половине стороны , к которой она проведена, то треугольник является прямоугольным. 5) Высота любого треугольника проходит во внутренней его области. 6) Треугольник равносторонний, если он равнобедренный и один из углов равен шестидесяти градусам. 7) Если треугольник равнобедренный, то наименьшая из сторон является его основанием. 8) Если биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на равные отрезки, то этот треугольник равнобедренный. 9) Если периметр треугольника в 3 раза больше одной из сторон, то он равносторонний. 3+4+5=12 4*3=12 Примеры: 1) По мишени произведено 3 выстрела. Что означает следующее высказывания: А) А1 А2 А3 (а) хотя бы одно попадание) Б) А1^ А2^А3 и (б) все выстрелы попали в цель ) В) (А1 ^А2^А3) (А1^А2^А3) (А1^А2^А3) (в) попал А1 или А2 или А3 мишень поражена 1 и т.1 выстрелом). 2) Упростить высказывание: (А (А^В)) (А ^В). (Ответ: А В). 3) Следует ли из первого предложения второе, следует ли из второго-первое? А) x>3; x>5. (из 1 не 2, из 2 1). Б) x <3; x <5 (из 1 2; из 2 не 1). В) x>3; x<5. (ни одно из данных предложений не следует из другого) Г) АВС - равнобедр., АВС - равностор., 10 (из 1 не 2; из 2 1). 1. Найдите логическую ошибку в определении: «двугранным углом наз. Угол, образованный двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой.” (Ответ: упомянутое в “определении” понятие “угол” не явл. В действительности родовым для понятия “двугранный угол”. Под “двугр. углом” понимается пространственная фигура, а под “углом” – плоская фигура). 2. Выявите лишние слова в след. определениях: А) 2 непересек. прямые наз. скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости; (Ответ: слово “не пересекающиеся”). Б) диаметром круга наз. наиб. хорда проходящая через центр; (Ответ: слово “наибольшая ”) В) 2 плоскости называются параллельными, если они не пересекаются сколько бы их не продолжали; (Ответ: слова “сколько бы их не продолжали”). 3. Сформулируйте различные определения окружности. А) ГМТ плоскости, находящейся на данном расстоянии от данной точки Б) Замкнутая плоская кривая постоянной кривизны; В) замкнутая кривая, описанная концом отрезка, который вращается на плоскости вокруг своего другого неподвижного конца; Г) множество всех точек, коорд. которых удовлетворяют уравнению (x-a)2+(y-b)2=r2, где a,b,r – произвольные числа, r>0. 11 Г Р А Ф Ы. Понятие графы используют не только в математике, но и в технике и даже в повседневной жизни под разными названиями – схема, диаграмма. Большую помощь оказывают графы при решении логических задач. Представляя изучаемые обьекты в наглядной форме, графы помогают держать в памяти многочисленные факты, содержащиеся в условии задачи, устанавливать связь между ними. На первом занятии по этой теме учащимся следует сказать, что часто по самым разным поводам мы чертим фигуру, состоящую из точек, изображающих какие-то обьекты,соединяем эти точки линиями, если соответствующие обьекты находятся друг к другу в каких-то отношениях. При этом у нас получается граф. Графом называется любое множество точек, некоторые из которых соединены линиями или стрелками. Точки, изображающие элементы множества, называются вершинами графа. Если начало и конец стрелки совпадают, то ее называют петлей. В 18 веке в Калининграде (Кенигсберге) в городе было 7 мостов. Через город протекает река Преголя. Она делится на два рукава и огибает остров. Рассказывают, что однажды житель города спросил у своего знакомого, сможет ли он пройти по всем мостам так, чтобы на каждом из них побывать только один раз и вернуться к тому же месту, откуда началась прогулка. Многие горожане заинтересовались этой задачей, однако 12 придумать решение никто не смог. Этот вопрос привлек внимание ученых разных стран. Разрешить проблему удалось известному математику Л.Эйлеру. Причем, он не только решил задачу, но придумал общий метод решения подобных задач. Эйлер поступил следующим образом: он «сжал» сушу в точки, а мосты «вытянул» в линии. C A D B Такую фигуру, состоящую из точек и линий, связывающих эти точки,называют графом. Точки А, В, С, D называют вершинами графа, а линии, которые соединяют вершины – ребрами графа. На рисунке из вершин В, С, D выходят по три ребра, а из вершины А – 5 ребер. Вершины, из которых выходит нечетное число ребер, называются нечетными вершинами, а вершины, из которых выходит четное количество ребер – четными. Решая задачи про кенигсбергские мосты, Эйлер установил, в частности,свойства графа: - Если все вершины графа четные, то можно одним росчерком ( т.е. не отрывая карандаша от бумаги и не проводя дважды по одной и той же линии) начертить граф. При этом движение окончить в той же вершине. - Граф с двумя нечетными вершинами тоже можно начертить одним росчерком. Движение надо начинать от любой нечетной вершины, а заканчивать на другой нечетной вершине. - Граф с более , чем двумя нечетными вершинами, невозможно начертить одним росчерком. - В задаче о 7 кенигсбергских мостах все 4 вершины соответствующего графа нечетные, т.е. нельзя пройти по всем мостам один раз и закончить 13 путь там, где он был начат. Задача. «Муха в банке» Муха забралась в банку из-под сахара. Банка имеет форму куба. Сможет ли муха последовательно обойти все 12 ребер куба, не проходя дважды по одному ребру? (Подпрфгивать и перелетать с места на место не разрешается). Решение: Ребра и вершины куба образуют граф, все 8 вершин которого имеют кратность 3, и , следовательно требуемый обход невозможен. Задача. Миша хочет обвести каждую из фигур фломастером от листа бумаги и не проводя по одной линии дважды. Какую фигуру он не сможет обвести? А B Ответ: С. C D E « Кенгуру-2004», 3-4 кл. (на 3 балла) Задача. «Первенство класса». В первенстве класса по настольному теннису 6 участников6 Андрей, Борис, Виктор, Галина, Дмитрий и Елена. Первенство проводят по круговой системе – каждый из участников играет с каждым из остальных один раз. К настоящему времени некоторые игры уже проведены : Андрей сыграл с Борисом, Галиной и Еленой; Борис – с Андреем, Галиной; Виктор – с Галиной, Дмитрием, Еленой; Галина – с Андреем, Виктором, Борисом. Сколько игр проведено к настоящему моменту и сколько еще осталось? Решение: Построим граф. Б В А Г Е Д 14 Проведено 7 игр. Сколько осталось ребер? Осталось не проведено 8 ребер, т.е. 8 игр. Б В Г А Д Е Т.к. 6 игроков, то из каждой вершины должно выходить 5 ребер! Задача. Встретились трое подруг: Белова, Краснова, Чернова. На одной из них было надето черное платье, на другой-красное, а на третьей-белое. Девочка в белом платье говорит : «Нам надо поменяться платьями, а то цвет наших платьев не соответствуют фамилиям». Решение: Имеем два множества Белова белое Краснова красное Чернова черное Между ними нужно установить взаимно-однозначное соответствие. Сплошная линия – соответствие правильно. Штриховая – нет соответствия. А) Девочка в белом – не Чернова, она и не Белова, значит она Краснова. Б) Остались два цвета: красный и черный. Значит, Чернова – в красном, Белова – в черном, т.к. цвет платьев не соответствует фамилиям. Белова – в черном, Краснова – в белом, Чернова – в красном. Эту задачу можно решить с помощью таблицы. 15 Белое Красное Белова нет Краснова да нет Чернова нет да Черное да нет Условие, что девочка в белом не может быть Черновой, отмечается словом «нет» (иногда используют слова «ложно», «неверно» или знак «-» . Из таблицы видно, что Краснова одета в белое. Чернова – в красное, Белова – в черное. Задача. Четыре брата – Коля, Саша, Вася, Петя – учились в 3,5,6,7 классах. Кто в каком классе учился, если Петя – отличник и младшие стараются брать с него пример. Саша уже изучает в школе физику, а Коля помогает младшему брату решать задачи? Решение: Коля 3 класс Саша 5 класс Вася 6 класс Петя 7 класс Саша учится в 7 классе, т.к. изучает физику. Петя – в 6 классе, т.к. младшие батья берут с него пример. Коля – в 5 классе, т.к. помогает младшему брату. Вася – в 3 классе. Задача. У кого какое имя и возраст? В лагерь приехали 3 мальчика: Буров, Гриднев, Клименко. Их имена: Коля, Петя, Гриша. Известно, что Буров – не Коля. Отец Нади Серовой, находящейся также в лагере, - родной брат матери 16 Бурова. Петя пошел в школу семи лет и учится отлично, в письме товарищу недавно писал: «Наконец геометрию,физику. в этом году Пасечник лагеря я начну изучать алгебру, Семен Захарович Мокроусов приходится Пете родным дедушкой. Гриднев старше Пети на 1 год. Гриша старше Пети на 1 год. Решение: Буров Коля Гриднев Петя Клименко Гриша Буров – не Коля. Фамилия Пети не Гриднев. Мать Бурова - родная сестра Серова, т.е. ее девичья фамилия Серова. Дедушка Пети – Мокроусов. Значит он отец матери Пети, а не отца. Иначе бы фамилия отца Пети ( сына пасечника ) и самого Пети была бы Мокроусов. А такой фамилии у мальчиков нет. Значит у Пети фамилия или Буров, или Клименко. Итак, фамилия матери Пети была Мокроусова, а матери Бурова – Серова. Следовательно, фамилия Пети – Клименко, т.е. Петя не Буров. Отсюда, Буров – это Гриша (сплошная линия – верное суждение), а Гриднев – Коля. Возраст: Пете – 12 лет, Грише и Коле – по 13 лет. 17 К Р У Г И Э Й Л Е Р А. 1. В классе 30 учащихся. Из них 18 занимаются в секции легкой атлетики, 10 – в секции плавания, 3 – в обеих секциях. Сколько учащихся этого класса не занимаются ни в одной из этих секций? л/а 15 3 7 плавание 18 – 3 = 15 ( только л/а), 10 – 3 = 7 ( только плавание). 30 – (15+3+7) = 5 (ничем). 2. В одном украинском городе все жители говорят на русском и украинском языках. По-украински говорят 85 % всех жителей, а по-русски – 75 %. Сколько % всех жителей этого города говорят на обоих языках? Укр.яз. 25 60 15 Рус.яз. 85 + 75 = 160 % 160 – 100 = 60 % 3. Из 100 туристов, выехавших в заграничное путешествие, владеюнемецким языком 30 человек, английским – 28, французским – 42, английским и немецким – 8, английским и французским – 10, немецким и французским – 5, тремя этими языками – 3. Сколько туристов не владеют ни одним из этих языков, владеют одним английским, одним французским, одним немецким? 5 Нем. 20 3 2 13 Англ. 7 30 Фр. 18 8 – 3 = 5; 10 – 3 = 7; 5 – 3 = 2. 30 – ( 5+3 + 2 ) = 20; 28 – ( 5 + 3 + 7 ) = 13; 42 – ( 3 + 7 + 2 ) = 30. 100 – ( 20 +13 + 30 + 5 + 3 + 7 + 2 ) = 100 – 80 = 20. 4. В одной семье было много детей. Семеро из них любили капусту, шестеро любили морковь, пятеро – горох. Четверо из детей любили капусту и морковь, трое – капусту и горох, двое – морковь и горох, а один – капусту, и морковь, и горох. Сколько было детей в этой семье? 3 Капуста 1 1 2 1 Морковь 1 1 Горох 4 – 1 = 3; 3 – 1 = 2; 2 – 1 = 1. 7 – ( 3 + 1 + 2 ) = 1; 6 – ( 3 + 1+ 1 ) = 1; 5 – ( 2 + 1 + 1 ) = 1 1 + 1+ 1 +3 + 1 + 1 +2 = 10. 5. Всего 35 человек. Яблоки любят 20 человек, сливы – 16 человек,груши – 15 человек, яблоки и груши – 9, яблоки и сливы – 10, сливы игруши – 8, все фрукты любят 3 человека. Сколько человек не яблоки, сливы, груши? яблоки 4 7 1 сливы 3 6 5 1 груши 10 – 3 = 7; 9 – 3 = 6; 8 – 3 = 5. 20 – ( 7 + 3 + 6 ) = 4; 16 – ( 7 + 3 + 5 ) = 1; 15 – ( 6 + 3 +5 ) = 1. 19 4 + 1 + 1 + 7 + 6 + 5 + 3 = 27; 35 – 27 = 8. 6. Каждая из 30 невест красива, воспитана или умна. Воспитанных – 21, красивых – 18, умных – 15, красивых и воспитанных – 11, умных и воспитанных – 9, умных и красивых – 7, Сколько невест обладают тремя качествами? 21 + 18 + 15 – 11 – 9 - 7 + х = 30 х = 3. Умные 4 2 3 6 8 4 Воспитанные 20 3 Красивые ЗАТРУДНИТЕЛЬНЫЕ СИТУАЦИИ 1. Как с помощью шаблона в 19 градусов построить угол в 1 градус? ( 19° * 19 = 361°) 2. На плоскости даны отрезки длиной 40 см и 55 см и прямая. Как, пользуясь только циркулем, отложить на прямой отрезок длиной 50 см? 40 15 25 55 25 40 3. Докажите, что любое число рублей можно уплатить, если покупатель и кассир имеют лишь трехрублевые и пятирублевые денежные знаки ? Решение: 3 = 3 – 5 = 1; 5 – 3 = 2; 3 + 3 + 3 + 3 – 5 = 7; 5 = 5 – ( 3 + 3 ) = 4; 5 + 3 = 8; 3 = 3 = 6; 3 + 3 + 3 = 9; 5 + 5 = 10. 4. Требуется поджарить 3 котлеты. На сковороде умещаются лишь 2. На поджаривание котлет с обеих сторон должно уйти кротчайшее время, причем на обжаривание с одной стороны уходит 2 минуты. ( Время на перевертывание и перекладывание котлет в расчет не принимать). Решение: 1 и 2 – по 1 стороне – 2 минуты, 1 и 3 – по 1 стороне – 2 минуты, 2 и 3 - по 1 стороне - 2 минуты. Всего 6 минут. 5. Перед входом в парк культуры и отдыха продавали в киосках букетики цветов. В первом киоске было 33 букетика, во втором – 29, в третьем – 27. Букетики были проданы одновременно по одной и той же цене. 21 Распродав цветы, подсчитали полученные деньги. Оказалось, что в каждом киоске продано цветов на одну и ту же сумму. Как это могло случиться? Решение: Букетики продавались одновременно по одинаковой, но меняющейся цене. Например: могло случиться так: 1 – 23 1 р. * 3 = 3 р. 33 – 3 = 30 ----- 10 р. 2 – 29 1 р. * 5 = 5 р. 29 – 5 = 24 ----- 8 р. 3 – 27 1 р. * 6 = 6 р. 27 – 6 = 19 ----- 7 рублей ( 1 р. за 3 букета ) 6. Два лесоруба, Иван и Прохор, работали в лесу и сели перекусить. У Ивана было 4 лепешки, а у Прохора – 8. Тут к ним подошел охотник. « Вот, братцы, заблудился в лесу, До деревни далеко, а есть хочется, Пожалуйста, поделитесь со мной хлебом-солью!». « Ну что ж, садись, чем богаты, тем и рады» - сказали лесорубы. Двенадцать лепешек были разделены поровну на троих. После еды охотник пошарил в карманах, нашел гривенник ( 10 к.) и полтинник ( 50 к.) и сказал: « Не обессудьте, братцы, больше при себе ничего нет. Поделитесь, как знаете!» Охотник ушел, а лесорубц заспорили. Прохор говорит: «По-моему, деньги надо разделить поровну!» А Иван ему возражает: « За 12 лепешек – 60 копеек, значит за каждую лепешку по 5 копеек. Раз у тебя было 8 лепешек – тебе 40 копеек, у меня 4 лепешки – мне 20 копеек. А как бы Вы разделили эти деньги между лесорубами? Решение: Ошибаются и Иван, и Прохор. На каждого едока пришлось по 4 лепешки, следовательно, Иван съел все свои лепешки сам, а Прохор половину своих лепешек отдал охотнику. Значит, все 60 копеек должен получить Прохор. 7. Мачеха, уезжая на бал, дала Золушке мешок, в котором были перемешаны мак и просо, и велела перебрать их. Когда Золушка уезжала на бал, она оставила три мешка: в одном было просо, в другом – мак, в третьем – еше не разобранная смесь. Чтобы не перепутать мешки, Золушка к кждому из них прикрепила по табличке: «Мак», «Просо», «Смесь». Мачеха 22 вернулась с бала первой и нарочно поменяла местами таблички так, чтобы на каждом мешке оказалась неправильная запись. Ученик Феи успел предупредить Золушку, что теперь ни одна надпись на мешках не соответствует действительности. Тогда Золушка достала одно-единственное зернышко из одного мешка и догадалась, где что лежит.Как она это сделала? Решение: Надо взять зернышко из того мешка, на котором написано «Смесь». В нем не может быть смеси, значит в нем лежат именно те зерна, которые мы оттуда достали. Пусть там лежат зерна мака. Это значит, что в мешке с надписью «Мак» может лежать только просо ( если бы там лежала смесь, то в мешке с надписью «Просо» лежало бы просо, что невозможно). Отсюда следует, что в мешке с надписью «Просо» лежит смесь. 8. На лесопилке имеются бревна длиной 6м и 7м. Надо напилить 42 чурбака длиной 1 метр. Как бревна выгоднее пилить? Решение: Чтобы напилить метровые чурбаки из шестиметровых бревенЮ потребуется 42 : 6 = 7 бревен, каждое из которых надо пилить 5 раз. Всего 5*7 = 35 распилов. А чтобы распилить такие же чурбаки из семиметровых бревен, потребуется 42 : 7 = 6 бревен, каждое из которых пилим 6 раз, т.е. всего 6*6 = 36 распилов. Значит, выгоднее пилить шестиметровые бревна 9. Ученик покупает в магазине 18 карандашей, 6 тетрадей, 12 резинок, 9 блокнотов и несколько тетрадей для рисования по 15 копеек. Девушкапродавец выписала чек на 1р.52к. Взглянув на чек, мальчик сразу же сказал продавцу: «Вы ошиблись в подсчете». Девушка пересчитала и исправила свою ошибку. Как удалось ученику так быстро обнаружить просчет? Решение: Так как все слагаемы стоимости купленных таваров делятся на 3, то должна делиться на 3 и сумма, указанная в чеке. Но 152 не делится на 3. 23 10.Вот что рассказал один человек: «Проснувшись сегодня утром, я посмотрел на свои стенные часы. Они стояли. Других часов у меня не было. Радио молчало. Я подумал, как мне правильно поставить часы, и вот что я сделал. Встав, я отправился к приятелю, живущему через 2 квартала от меня. Придя к нему,я сразу же посмотрел на часы, которые шли правильно. Побеседовав немного с приятелем, я простился с ним, посмотрел на его часы еще раз и пошел домой. Как только пришел домой, я немедленно поставил свои часы и поставил почти точно. Как я это сделал? Догадайтесь». Решение: Дома я завел часы. Заметил время. Пришел домой – посмотрел на часы. Вычел время, проведенное у друга в доме, из времени отсутствия в доме. Разделил на 2 ( чтобы в один конец). Время на часах приятеля при уходе плюс результат деления на 2. 24 ПЕРЕЛИВАНИЯ 1. Три литра сока. Имеются трехлитровая банка сока и 2 пустые банки: одна – литровая, другая – двухлитровая. Как разлить сок так, чтобы во всех трех банках было по 1 литру? Решение 1: Банки 3л 2л 1л До переливания 3 0 0 После 1 переливания 2 0 1 После 2 переливания 2 1 0 После 3 переливания 1 1 1 Банки 3л 2л 1л До переливания 3 0 0 После 1 переливания 1 2 0 После 2 переливания 1 1 1 Решение 2: Очевидно, что второе решение экономно: решение получается за 2 переливания, а не за 3. 2. Шесть литров сока. Имеются шестилитровая банка сока и 2 пустых банки: по 3 л и 4 л. Как налить в трехлитровую банку 1 л сока? Решение: Банки 6л 4л 3л До переливания 6 0 0 После 1 переливания 2 4 0 После 2 2 1 3 После 3 5 1 0 После 4 5 0 1 25 3. 12 ведерная бочка наполнена бензином. Разлить его на 2 равные части, пользуясь пустыми 5 и 8 ведерными бочками. Решение: Бочки 5 ведер 8 ведер 12 ведер До переливания 0 0 12 После 1 переливания 0 8 4 После 2 4 8 0 После 3 4 0 8 После 4 0 4 8 После 5 5 4 3 После 6 1 8 3 После 7 1 0 11 После 8 0 1 11 После 9 5 1 6 После 10 6 0 6 4. Перед Вами кувшин, содержащий 4 л молока. Вам необходимо разделить эти 4 л поровну между двумя товарищами, но у Вас из посуды только еще 2 пустых кувшина: один вмещает 2,5 л, а другой – 1,5 л. Решение: Кувшины 4л 1,5 л 2,5 л До переливания 4 0 0 После 1 переливания 0 1,5 2,5 После 2 1,5 0 2,5 После 3 1,5 1,5 1 После 4 3 0 1 После 5 3 1 0 26 5. Можно ли, имея лишь 2 сосуда емкостью 3л и 5л, набрать из водопроводного крана 4л воды? Решение: Сосуды: 3л 5л 1 3 0 2 0 3 3 3 3 4 1 5 – вылили вообще 5 1 0 6 0 1 7 3 1 8 0 4 6. Как, имея 2 сосуда емкостью 5л и 9л, набрать из водоема 3л воды? Решение 1: Емкости 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 5л 5 0 5 1 1 0 5 0 5 2 2 0 5 0 5 «3» 9л 0 5 . 5 9 - вылить вообще 0 1 1 6 6 9 - вылить вообще 0 2 2 7 7 9 27 Решение 2: Емкости 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 5л 9л 0 9 5 4 (вылить) 0 4 4 0 4 9 5 8 (вылить) 0 8 5 «3» 7. Десять ведер кваса. Имеются 3 бочонка вместимостью 6 ведер , 3 ведра и 7 ведер. В первом бочонке содержится 4 ведра кваса, в третьем – 6 ведер. Требуется, пользуясь только этими тремя бочонками, разделить квас между перым и третьим бочонками поровну, т.е. по 5 ведер. Решение 1: Бочонки До переливания После 1 После 2 После 3 После 4 После 5 Решение 2: Бочонки До переливания После 1 После 2 После 3 После 4 После 5 6 ведер 4 1 1 6 5 5 3 ведра 0 3 2 2 3 0 6 ведер 4 4 6 2 2 5 3 ведра 0 3 1 1 3 0 28 7 ведер 6 6 7 2 2 5 7 ведер 6 3 3 7 5 5 Таблицы не дают ответа на вопрос: каким же правилом руководствоваться для нахождения решения. С целью найти такое правило, давайтк представим себе задачу геометрически. Для определенности рассмотрим последнюю задачу. Обозначим через х и у количество жидкости, содержащейся после какого-либо переливания соответственно в 1 и 2 бочонках. При переливании общее количество жидкости не изменяется, т.е. все время остается равным 4 + 6 = 10 ведрам. Поэтому в 3 бочонке будет находиться ( 10 – х – у ) ведер жидкости. Количество жидкости, содержащееся в бочонке, не может быть больше объема бочонка. Видим, что числа х и у удовлетворяют таким условиям: 0 х 6 0 у 3 0 10 х у 7 0 х 6 0 у 3 3 х у 10 или у Q R 0 P х S х+у=3 х + у = 10 3 х+у 10 1) 0 х 6 , следовательно точка 2) 0 у 3 , следовательно точка Каждой паре чисел х,у мы сможем поставить некоторую точку с координатами х,у. Видим, что геометрический прием решения очень сложен. 29 ПЕРЕПРАВЫ И РАЗЪЕЗДЫ 1. Отряд солдат. Отряд солдат подходит к реке, через которую необходимо переправиться. Но мост сломан, а река глубока. Как быть? Вдруг командир замечает 2 мальчиков, которые катаются на лодке недалеко от берега. Но лодка так мала, что на ней может переправиться только один солдат или только двое мальчиков не больше! Однако все солдаты переправились через реку именно на этой лодке. Как это было сделано? Решение: Берег 1 Берег 2 1,2, С 0 С 1,2 1,С 2 С С,2 1,2,С и т.д., где 1 и 2 – мальчики, С – солдаты. 2.Волк, коза и капуста. Крестьянину нужно перевезти через реку волка, козу и капусту. Но лодка такова, что в ней может поместиться крестьянин, а с ним или только волк, или только коза, или только капуста. Но если оставить волка с козой, то волк съест козу, а если оставить козу с капустой, то коза съест капусту. Как перевез свой груз крестьянин? Решение: Необходимо начинать с козы. Крестьянин, перевозя козу, возвращается и берет волка, которого перевозит на другой берег, где его и оставляет, но зато берет и везет обратно на первый берег козу. Здесь он оставляет ее и перевозит к волку капусту. Вслед за тем, возвратившись, он перевозит козу, и переправа оканчивается благополучно. 30 3.Разъезд шести пароходов. По каналу один за другим идут 3 парохода: А,Б,В. Навстречу им показались еще 3 парохода, которые тоже идут один за другим: Г,Д,Е. Канал такой ширины, что 2 парохода в нем разойтись не могут, но в канале с одной стороны есть залив, в котором может поместиться только 1 пароход. Могут ли пароходы разойтись так, чтобы продолжать свой путь? Е Д Г А Б В Решение: Б,В – назад (вправо), А – в залив. Г,Д,Е – проходят по каналу мимо залива. А – из залива и идет своей дорогой. Е,Д,Г – назад (на прежнее место). Все повторяется для Б. Таким же образом и для В. 4. Поезда на станции. По ж-д одноколейному пути движутся навстречу друг другу 2 поезда, состоящие каждый из паровоза и 9 вагонов. Они должны разъехаться на станции, около которой путь разделяется на 2 отдельные ветви, снова соединяющиеся на противоположном конце в одну линию.На каждой ветви может поместиться или 5 вагонов , или паровоз и 4 вагона. Как разъехаться поездам, чтобы продолжать свой путь? Решение: Оба поезда останавливаются до разъезда. От одного из них (например, левого) отцепляют последние 5 вагонов, а паровоз и 4 вагона входит в одну из ветвей; другой поезд (правый) по свободной ветви подходит 31 к 5 отцепленным от первого, которые к нему прицепляются, и продвигается вперед (влево). Первый поезд продвигается вперед как можно дальше. Второй дает задний ход и продвигается направо до тех пор, пока прицепленные к нему вагоны не станут на ветку; после этого их отцепляют и поезд, продвинувшийся еще далее направо задним ходом, переезжает затем по свободной ветке в противоположную сторону (Конечно, уже передним ходом). Остается отцепить стоящие на ветке 5 вагонов с первого поездом и каждому продолжить свой путь. 32 ПЕРЕДВИЖЕНИЯ 1. Рейс через океан. Каждый день в полдень отправляется пароход из Гавра через Атлантический океан в Нью-Йорк, и в то же время пароход той же компании отправляется из Нью-Йорка в Гавр. Переезд в том и другом направлении совершается ровно за 7 дней. Сколько судов своей компании, идущих в противоположном направлении, встречает пароход на пути из Гавра в Нью-Йорк? Напрашивающийся ответ: «Семь», конечно же, неверен. Нужно учитывать как те суда, которые уже плывут в Гавр, так и те, которые еще будут отправляться в путь. Решение: В момент выхода парохода из Гавра в пути, направляясь в Гавр, находится 8 судов компании (одно из них входит в Гавр и одно выходит из Нью-Йорка). Наш пароход встретит в пути все эти 8 судов. Кроме того, в течение его 7-дневного плавания из Нью-Йорка выйдет еще 7 судов (последнее – в момент прихода парохода в Нью-Йорк). Они также будут встречены пароходом. Итак, правильный ответ – 15 судов. Представим себе решение задачи нагляднее. Гавр 1 1 2 3 4 5 2 3 4 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 Нью-Йорк 33 На рисунке показаны графики движения пароходов компании, дни отложены по горизонтальным осям.Из рисунка видно,что пароход, график движения которого изображен жирной линией, встретит в океане 13 судов, да еще 2 – в момент отправления и прибытия, а всего – 15 судов. График показывает,кроме того, что встречи будут происходить ежедневно и в полдень, и в полночь. 2. Гусеница. В 6 часов утра в воскресенье гусеница начала вползать на дерево. В течение дня, т.е. до 18 часов, она вползала на высоту 5м, а в течение ночи спускалась на 2м. В какой день и час она вползет на высоту 9м? Решение: Часто при решении подобных задач рассуждают так: гусеница за сутки, т.е. за 24 часа, вползет на 5м без 2м. Значит, в сутки она вползет на 3м.Следовательно, высоты 9м она достигнет по истечении трех суток, т.е. она будет на этой высоте в среду в 6 часов утра. Но такой ответ, очевидно, неверен: в конце вторых суток, т.е. во вторник в 6 часов утра, гусеница будет на высоте 6м; но в тот же день, начиная с 6 утра, она до 18 часов может вползти еще на 5м. Следовательно, на высоте 9м, как легко расчитать, она окажется во вторник в 13 часов 12 минут. (Естественно, надо считать, что гусеница све время движется равномерно). 3. Велосипедист и муха. Два города А и В находятся на расстоянии 300км друг от друга. Из этих городов одновременно выехали навстречу друг другу 2 веловипедиста и помчались, не останавливаясь, со скоростью 50 км в час. Но вместе с первым веловипедистом из города А вылетела муха, пролетающая в час 100 км. Опередив первого велосипедиста, муха полетела навствечу второму велосипедисту, выехавшему из В. Встретив его, она сразу повернула назад к велосипедисту А. Повстречав его, она опять полетела обратно навстречу 34 велосипедисту В, и так она продолжала свои полеты вперед и назад до тех пор, пока велосипедисты не встретились. Тогда она успокоилась и села одному из велосипедистов на шапку. Сколько км пролетела муха? Решение: Очень часто при решении этой задачи пускаются в разные тонкие и сложные выкладки и соображения, не дав себе труда уяснить, что муха, не останавливаясь, летала ровно 3 часа, т.к. 300 : ( 50 + 50 ) = 3 (часа). 4. Два поезда. Два поезда двигались по параллельным путям навстречу друг другу. Один со скоростью 18 км в час, а другой – 24 км в час. Пассажир, сидевший в первом поезде, заметил, что второй поезд шел мимо него в течении 12 секунд. Какова длина второго поезда? Решение: Если считать, что пассажир сидит в неподвижном поезде, то второй поезд идет мимо него со скоростью 18+24 =42 (км в час) = 35/3 (м/с). Т.к. поезд шел мимо пассажира 12 секунд, то его длина равна 12 * (35/3)=140 (м). 5. Лисица и борзая собака. Борзая собака травит лисицу. В начале травли лисица находилась от собаки на расстоянии 60 собачьих прыжков. Лисица делает 9 прыжков в то время, как собака делает всего 6 прыжков; длина же 3 прыжков собаки составляет 7 прыжков лисицы. Сколько прыжков сделает собака, пока догонит лисицу? Решение: Х – число прыжков собаки, 3 прыжка собаки = 7 прыжкам лисицы, 1 прыжок собаки = 7/3 прыжка лисицы, Х прыжков собаки = 7/3*Х прыжков лисицы, 7/3 * Х – путь собаки (выражен в прыжках лисицы), С другой стороны: 6 прыжков собаки = 9 прыжкам лисицы, 1 прыжок собаки = 9/6 прыжка лисицы, Х прыжков собаки = 9/6 прыжка лисицы. Составляем уравнение 7/3 * Х = 9/6 * Х + 60. Х = 72. 35 ИСКУС НЫЕ ПЕРЕСТАНОВКИ. 1) Белые и вороные. В конюшне 9 стоил. В них расположены 4 вороные и 4 белые лошади. Вороные стоят в стойлах 1, 2, 3, 4, а белые – в стойлах 6, 7, 8, 9. Пятое стойло пустое. Нужно перевести вороных лошадей на места белых, а белых на места вороных. Каждую лошадь можно переводить только в пустое соседнее стойло или же через одно занятое стойло, но обязательно в пустое. Переводить лошадей в пустые стойла через 2, 3 или больше занятых стойл нельзя. В каждом стойле не может одновременно помещаться больше одной лошади. (для игры нужны 8 фишек – 4 одного цвета и 4 другого цвета) Решение: Условно обозначим фишки начальной буквой их цвета: Б – белые, В – вороные, а те фишки, которые будем переносить через одну занятую клетку, обозначим Б1 и В1. Порядок ходов: В, Б1, Б, В1, В1, В, Б1, Б1, Б1, Б, В1, В1, В1, В1, Б, Б1, Б1, Б1, В, В1, В1, Б, Б1, В. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2) Бычок. В коровнике 13 стойл. В них размещены 8 коров и 1 бычок. Коровы обозначены кружочком, а бычок двойным кружочком. Стойла и животные для удобства пронумерованы. Четыре стойла (1, 11, 12, 13) пустые. В каждом стойле может помещаться только одно животное. 1 2 3 4 11 5 6 7 12 36 8 13 9 10 Задача играющего состоит в том, чтобы бычка перевести из стойла 10 в стойло 1. При этом после такого перемещения все коровы должны оказаться в своих прежних стойлах. При перемещении можно пользоваться пустыми стойлами. Для игры нужны 9 шашек с цифрами от 1 до 9. Первая цифра показывает номер шашки, вторая цифра обозначает, на какую клетку становится шашка: 2 на 1, 3 - 2, 4 - 3, 5 - 11, 6 - 4, 7 - 5, 8 - 12, 9 - 6, 1 - 13, 9 - 10, 8 - 9, 1 - 12, 7 - 13, 6 - 8, 1 - 11, 4 - 12, 3 - 6, 2 - 5, 1 - 1. Дальше решение ясно. 3) Чижи и синички. В клетках сидят птички: чижи и синички. Тех и других по 4, а всего 8. Чижи и синички чередуются. Нужно пересадить птичек так, чтобы синички сидели рядом с синичками, а чижи рядом с чижами. Одновременно можно пересаживать любую пару соседних птичек, не меняя их вз. положение. Пересаживать нужно каждый раз в пару пустых клеток. Для игры нужно 8 фишек - четыре одного и четыре другого цвета. Две клетки остаются пустыми. 1 2 3 4 5 6 7 Фишки переставляются в следующем порядке: с клеток 3 и 4 на клетки 1 и 2, 8и9 3 и 4, 2и3 8 и 9, 4и5 2 и 3, 7и8 4 и 5, 5и6 7 и 8. 37 8 9 10 РАСПОЛОЖЕНИЯ 1. Каким образом можно расставить 10 стульев в квадратной комнате так, чтобы у каждой стены стояло по одинаковому количеству стульев? Решение: 2. Расстановка часовых. Вдоль стен квадратного бастиона требовалось поставить 16 часовых. Комендант разместил их так, как показано на рисунке, по 5 человек с каждой стороны. 1 3 3 1 1 3 3 1 Затем пришел полковник и, недовольный размещением часовых, распорядился расставить солдат так, чтобы с каждой стороны их было по 6. Вслед за полковником пришел генерал, рассердился на полковника за его распоряжение и разместил солдат по 7 человек с каждой стороны. Каково было размещение в двух случаях? Решение: 2 2 2 2 2 2 3 2 1 2 3 38 1 3 1 1 3 3. Рамка. Рамка в форме квадрата была сколочена по углам 40 гвоздями так, чтобы на каждую сторону рамки пришлось по 14 гвоздей. Можно ли сколотить рамку теми же гвоздями так, чтобы на каждой ее стороне было по 14 гвоздей, да еще 4 осталось? Условие задачи: Решение: 39 Ф А Л Ь Ш И В Ы Е М О Н Е Т Ы. 1) Три монеты. Из трех монет одна фальшивая, более легкая. Как при помощи одного взвешивания на чашечных весах определить ее? Решение: Положить обе монеты на чашки весов. Если они окажутся в равновесии, то фальшивой будет третья монета. Если весы не будут в равновесии, то фальшивая - более легкая, т.е. лежащая на поднятой чашке весов). 2) Девять монет. Из 9 монет одна фальшивая, более легкая. Как при помощи двух взвешиваний на чашечных весах определить ее ? Решение: Положить по 3 монеты на каждую чашку весов. Если весы в равновесии, то фальшивая – среди 3 не лежащих на весах. Если весы не в равновесии, то фальшивая – среди 3, лежащих на поднятой чашке. Таким образом, одним взвешиванием мы определяем 3 монеты, среди которых находится фальшивая. Затем еще одним взвешиванием, как в предыдущей задаче, выясняем, какая фальшивая. 3) Опять три монеты. Из 3 монет одна фальшивая. Известно, что она отличается по весу от настоящих монет, т. е. или более легкая или более тяжелая. Как при помощи не более двух взвешиваний на чашечных весах определить фальшивую монету ? Решение: Положить 2 монеты на чашки весов. Если они в равновесии, то фальшивая монета третья. Если они не в равновесии, то надо снять более легкую монету с чашки весови положить на ее место третью монету. Если весы будут в равновесии, то фальшивой является снятая монета. Если весы не будут в равновесии, то более тяжелая монета фальшивая. 40 4) Задача про гири. Имеется 5 гирь. Их массы 1000 г, 1001 г, 1002 г, 1004 г, 1007 г, но надписей на гирях нет, и внешне они не отличаются. Имеются весы со стрелкой, которые показывают массу в граммах. Как с помощью трех взвешиваний определить гирю в 1000 г ? Решение: Взвесим любые 2 гири. Возможны следующие показания весов: 2001 = 1000 + 1001 2002 = 1000 + 1002 2003 = 1002 + 1001 2004 = 1000 + 1004 2005 = 1001 + 1004 2006 = 1002 + 1004 2007 = 1000 + 1007 2008 = 1001 + 1007 2009 = 1002 + 1007 2011 = 1004 + 1007 Если весы показывают 2001, 2002, 2004, 2007, то гиря 1000 г - на весах. Вторым взвешиванием мы определяем ее из двух. Если весы показали другие числа, тогда гиря 1000 г среди оставшихся трех. За два последние взвешивания узнаем вес любых двух из них, выяснив тем самым, какая из трех гирь искомая. 41 СТАРИННЫЕ ЗАДАЧИ 1. За 25 бубликов заплатили столько рублей, сколько бубликов можно купить на 1 рубль. Сколько стоит 1 бублик? Решение: Пусть на 1 рубль можно купить Х бубликов, тогда на Х р. можно купить Х * Х бубликов. Составим уравнение Х * Х = 25, Х = 5, следовательно на 1 рубль можно купить 5 бубликов, значит 1 бублик стоит 20 копеек. 2. В старинных задачника по арифметике можно встретить такую задачу: Отец завещал трем своим сыновьям 19 лошадей. Старший сын должен получить половину, средний – четверть и младший – пятую часть всех лошадей. Когда умер отец, его сыновья никак не могли поделить между собой завещанных им лошадей и решили обратиться за помощью к приятелю отца. Тот, подумав, решил помочь братьям. Для этого он привел свою лошадь, так чтобы оказалось всего 20 лошадей. Из них 10 лошадей получил старший, 5 – средний, 4 – младший. Оставшуюся лошадь приятель отца привел домой. Какая и кем была допущена ошибка при разделе этого наследства? Решение: Ошибка была допущена завещателем. Он упустил из виду, что ½ + ¼ + 1/5 = 19/20, а не 1. 3. Пять братьев разделили после отца наследство поровну. В наследстве было 3 дома. Т.к. 3 дома разделить нельзя было на 5 частей, то их взяли 3 старших сына, а младшим за это выделили деньги. Каждый из них ( из троих) заплатил по 800 рублей, меньшие братья разделили эти деньги между собой, и тогда у всех стало поровну. Много ли стоит дом? Решение: ( решение задачи с конца) Младшие братья получили 800 * 3 : 2 = 1200 ( рублей), следовательно 5 братьв имеют 1200 * 5 = 6000 ( рублей), значит стоимость трех домов 6000 рублей, один дом стоит – 2000 рублей. 42 КАЛЕНДАРЬ 1) В одном из месяцев года 3 понедельника оказались четными числами. Каким днем недели было 22 число этого месяца? Решение: Если понедельник начинается 2 числа, то в месяце 5 понедельников. Четные и нечетные чередуются. Если в месяце 3 четных понедельника, то в этом месяце 5 понедельников, значит первый понедельник четный. Это не может быть 4 число, т.к. в этом случае пятый понедельник – 32 число. Значит – первый понедельник – 2 число, а 22 число – воскресенье. 2) Три пятницы некоторого месяца пришлись на четные даты. Какой день недели было 18 число этого месяца? Решение: 5 пятниц: 2,9,16,23,30,следовательно 18 – воскресенье. 3) В одном месяце 3 четверга пришлись на четные числа. Какое число в этом месяце было в воскресенье? Решение: 5 четвергов: 2,9,16,23,30, следовательно 5,12,19,26 – воскресенье. 43 МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ. Так называются таблицы чисел, в которых суммы чисел в каждой строке, в каждом столбце и в каждой из двух диагоналей квадрата все равны между собой. Магические квадраты были известны ещё арабам, к которым, вероятно, они перешли от индусов; затем они сделались достоянием математиков восточной части Римской империи, и, наконец, появились в Западной Европе, где методами получения магических квадратов заинтересовались многие ученые. Из всякого магического квадрата путем различных перестановок составляющих его чисел можно получить множество новых магических квадратов, обладающих теми же свойствами. 1) 2 2 2 5 5 5 8 8 8 3 3 3 6 6 6 9 9 9 4 4 4 7 7 7 10 10 10 Переставить цифры так, чтобы в каждом горизонтальном, вертикальном рядах и по диагоналям сумма чисел составила: в первом квадрате – 9, во втором – 18, в третьем – 27. Решение: 3 2 4 6 5 7 9 8 10 4 3 2 7 6 5 10 9 8 2 4 3 5 7 6 8 10 9 9=3+3+3 18=6+6+6 27=9+9+9 2) В каждой из 9 клеток квадрата поставьте одно из чисел 1,2,3 так, чтобы сумма чисел, стоящих в каждом вертикальном и горизонтальном рядах, а также по любой диагонали равнялось 6. 44 Найти все расстановки. Решение: 1 3 2 3 1 2 2 1 3 2 3 1 3 2 1 1 2 3 3 2 1 1 2 3 2 1 3 2 3 1 1 3 2 3 1 2 «2» - по диагонали, т.к. 6=2+2+2. 3) В квадрате, состоящем из 9 клеток, расставьте числа от 1 до 9 так, чтобы суммы чисел, состоящих в каждом вертикальном и горизонтальном рядах, а также на любой диагонали равны. Решение: 4 9 2 3 5 7 8 1 6 Легко видеть, что магические квадраты из 9 клеток, с числами от 1 до 9, должны иметь число 5 – в середине, а четные числа в 4 углах квадрата. Таким образом возможно лишь 8 таких квадратов. Получив один из них, можно найти все остальные, если найденный вращать и перевертывать всевозможными способами. 2 9 4 8 1 6 6 1 8 7 5 3 3 5 7 7 5 3 6 1 8 4 9 2 2 9 4 Поменяли столбики. Поменяли строчки. Начинаем вращать «вершины». 4) Дописать недостающие числа так, чтобы сумма чисел = 15. Дано: Решение: 2 9 4 5 7 5 7 3 8 6 1 8 45 5) Можно ли клетки квадратной таблицы 3*3 заполнить числами так, чтобы сумма всех чисел была положительна, а сумма чисел в любом квадрате 2*2 – отрицательны. Решение: Можно 1 1 1 1 -7 1 1 1 1 6) Впишите оставшиеся числа от 1 до 25, чтобы получился магический квадрат, у которого сумма чисел по горизонтали, вертикалям и диагоналям равна 65. 15 20 25 5 10 Решение: 15 16 22 2 8 19 25 3 9 14 20 21 1 7 13 6 12 18 24 5 23 4 10 11 17 У П РАЖН ЕНИ Я СО СП ИЧК А МИ . 1. Фигуры из спичек. 1) Дом. Из спичек построен дом. Переложите 2 спички так, чтобы дом повернулся другой стороной. 2) Ключ. Из десяти спичек сделан ключ. Переложите в нем 4 спички так, чтобы получилось 3 квадрата. 3) Корова. Корова смотрит влево. Переложите 2 спички так, чтобы она смотрела вправо. 4) Три квадрата. Построена фигура (см. рис.). Переложите в ней 5 спичек, чтобы получ. 3 квадрата. 5) Четыре квадрата. Из спичек сложена фигура. Переложите 7 спичек, чтобы получ. 4 квадрата. 47 2. Числа из спичек. Задачи этого раздела основываются на превращении одной из цифр в другую путем отнятия или перекладывания спичек. 2 1 4 3 7 6 5 Так, если из восьмерки, сложенной из 7 спичек, убрать спички 1 и 7, то получим цифру 3, если убрать спички 3 и 7, то получим 5, если убрать только спичку 7, то – 9, если же убрать спичку 3, то – 6. Выпишем все цифры, которыми будем пользоваться. Заметим, что выложенная из спичек цмфра 7 немного короче по высоте остальных цифр. В этом разделе исп. и римская запись чисел, например: Число десять можно сложить из 2 или 4 спичек. 1) Можно ли сделать: а) из 10 - три б) из 9 - сто 2) Как сделать: а) из трех - один б) из пяти - два 48 1 I 10 X 2 II 11 XI 5 V 15 XV 3) Уменьшить вдвое: из 8 спичек сложено число 10, переложив 1 спичку, уменьшите это число в 2 раза. (пять на боку). 3. Равенства из спичек. В неверном равенстве переложить одну спичку, чтобы получилось верное равенство. а) б) в) 7-3=4; 7+3=10. 4. Игры со спичками. Из 12 спичек сложить имя Толя. Переложить одну так, чтобы получилось женское имя а) б) И «бокал» и «рюмка» составлены из 4 спичек. Внутри каждого «сосуда» - вишенка. Как нужно переместить «бокал» и «рюмку», переложив по две спички в каждом, чтобы вишенки оказались снаружи? 49 РЕБУСЫ Ребус – это загадка, состоящая в том, что вместо слов в нем поставлены знаки, фигуры, нарисованы предметы, название которых надо отгадать. При отгадывании ребусов надо знать некоторые условности. Иногда перед знаком или перед нарисованным предметом стоит одна или две кавычки. Это означает, что в слове, которое мы называем по знаку или рисунку, надо отбросить 1 или 2 первые буквы. Если кавычки стоят после знака или нарисованного предмета, то надо в соответствующем слове отбросить последние буквы. Например: а) , 100 то ‘ б) до Надо уметь понимать и такие ребусы, как: а) подразумевая «за»( забор) б) подразумевая «над», «под» (подвал) в) подразумевая «в» (вода) Наконец, если предмет нарисован в перевернутом виде, это значит, что слово надо читать не обычно, а с конца. В отдельных случаях в ребусе показано, какую букву надо отбросить в середине слова или заменить ее другой дробью. Пример: т (советы) 50 КРОССВОРДЫ. Кроссворд – переплетение слов. Для того, чтобы разгадать кроссворд, надо в каждой белой клетке фигуры поставить по 1 букве, начиная с занумерованной клетки. Слово считается найденным правильно, если оно заполняет все клетки, расположенные подряд в строчке или в столбце, начиная с той, в которой стоит указанная цифра, и если оно имеет общие буквы с др. словами, пересекающимися с этим словом. Кроссворд 1. 1 2 3 По вертикали: 1) Наименьшее 4-хзначное число; 2) Вывод, который ученик заучивает 4 наизусть; 3) Особое число, которое записывается с помощью двух чисел. По горизонтали: 4) Наименование числа, которое иногда получается при делении. Ответы: 1) тысяча; 2) правило; 3) дробь; 4) остаток. Кроссворд 2. 1 По вертикали: 2 3 1) Мера времени; 2) Наука, основы которой изучают в начальной 4 школе; 3) Необходимая часть текста задачи; 5 По горизонтали: 6 7 4) Название одного из чисел при делении; 5) Ряд чисел, соединенных знаками действий; 6) Число, выраженное пятью единицами третьего разряда; 7) Мера площади. 51 Ответы: 1) год; 2) арифметика; 3) вопрос; 4) делимое; 5) пример; 6) пятьсот; 7) гектар. Кроссворд 3. 1 2 3 5 6 4 7 8 9 10 11 12 13 14 По горизонтали: 1) Трехзначное число. 3) Старая русская единица длины. 8) Единица измерения времени. 9) Математическое действие. 10) Равенство, содержащее букву. 13) Тысячная часть числа. 14) Десятая часть основной единицы длины. По вертикали: 2) Буква латинского алфавита. 4) Черта на шкале. 5) Неметрическая мера объема. 6) Старая русская мера массы. 7) Наименьшее натуральное число. 11) Образцовое средство измерения. 12) Объем килограмма воды. Ответы. По горизонтали: 1) Триста; 3) Вершек; 8) Секунда; 9) Деление; 10) Уравнение; 13) Промилле; 14) Дециметр. По вертикали: 2) Игрек; 4) Штрих; 5) Баррель (159 л); 6) Фунт; 7) Единица; 11) Мера; 12) Литр. 52 ТАИНСТВЕННЫЕ ИСТОРИИ Человеку пришла посылка, в которой лежала мертвая мышь. Он сообщил 1) об этом в полицию, и отправителя посылки привлекли к суду за мошенничество. В чем дело? Решение: Отправитель деолжен был послать драгоценности. Он надеялся, что мышь прогрызет дыру и убежит и почту удастся обвинить в потере драгоценностей. Каждую ночь человек набирает номер телефона и дожидается, пока на 2) другом конце провода снимут трубку. Ничего не говоря, он кладет трубку и засыпает. В чем дело? Решение: Человек живет в гостинице. Звонит он соседу, храп которого не дает ему уснуть. 3) Ковбой вошел в бар и знаками попросил воды. Вместо ответа хозяин выхватил кольт и выстрелил в потолок. Ковбой поблагодарил и вышел. В чем дело? Решение: У ковбоя в горле застряла кость. От неожиданного выстрела он вздрогнул, и кость выскочила. 4) -- « Сколько лет я тебя не видел и не получал никаких вестей!» -- « А у меня уже дочь». -- « Как же ее зовут?» -- « Да так же, как и ее мать» -- « А сколько лет твоей Ниночке?» Встретились два друга детства. Как один из собеседников узнал имя дочери другого? Решение: Второй собеседник была женщина, котрую звали Нина, 53 ВЕСЕЛЫЕ ВОПРОСЫ 1. Мотоциклист ехал в поселок. По дороге он встретил 3 легковых машины и грузовик. Сколько всего машин шло в этот поселок? (1) 2. В одной семье два отца и два сына. Сколько это человек? ( 3 ) 3. Два велосипедиста одновременно выехали навстречу друг другу; первый из пункта А со скоростью 20 км/ч, второй – из В со скоростью 15 км/ч. Который из велосипедистов будет ближе к А в момент встречи? ( Оба одинаково). 4. Когда нельзя сокращать сократимую дробь? (Нумерацию углового дома). 5. В семье 5 сыновей и у каждого есть сестра. Сколько детей в семье? (6). 6. Сколько времени пройдет, если надо сделать 3 укола через 0,5 часа? (1ч). 7. Чему равно произведение последовательных чисел,начинающихся числом 5 и оканчивающихся числом 5? (Среди множителей есть нуль, следовательно произведение равно 0). 8. Одно яйцо варят 4 минуты. Сколько минут нужно варить 5 яиц? (4 мин) 9. Как можно истолковать равенства: 19 + 23 = 18, 9 + 8 = 5, 12 + 12 = 0. ( Язык «часов» ). 10. Книга стоит 1 рубль и еще полкниги. Сколько стоит книга? ( 2 рубля ). 11. Сколько сейчас времени, если оставшаяся часть суток в 2 раза больше прошедшей? ( 8 часов ). 12. Шесть рыбаков съели 6 судаков за 6 дней. За сколько дней 10 рыбаков съедят 10 судаков? ( За 6 дней ). 54 СООБРАЗИТЕ! 1) В одном доме живут 13 учеников одной школы. В этой школе 12 классов, Докажите, что хотя бы 2 ученика, живущие в этом доме, учатся хотя бы в одном классе. 2) В школе 370 учащихся, Докажите, что среди них обязательно найдутся хотя бы 2 ученика, отмечающие свое день рождения в один и тот же день. 3) Если два петуха закричат изо всех сил, то человек проснется. Сколько петухов должно закричать, чтобы проснулось 4 человека? 4) На некотором острове необычайно регулярный климат: по понедельникам и средам всегда идут дожди, по субботам – туман, зато в остальные дни – солнечно. Утром какого дня недели нужно начать свой отдых на этом острове группе туристов, если они хотят пробыть там 44 дня и захватить при этом как можно больше солнечных дней? Ответы: а) понедельник, б) среда, в) вторник, г) четверг, д) пятница. Решение: 44 дня – это 6 недель и еще 2 дня, т.к. 44 = 6 * 7 + 2. Каждую неделю бывает 4 солнечных дня, за 6 недель их будет 24. Туристы должны постараться, чтобы оставшиеся 2 дня тоже были солнечными. Поэтому начать отдых нужно в солнечный день, после которого тоже будет солнечный день: это четверг ( в пятницу тоже солнечно). 5) Герой повести Носова «Незнайка в Солнечном городе» Пачкуля Пестренький придерживался твердого принципа :»Никогда не умываться и ничему не удивляться». Если он отступит от своего принципа, то он обязательно: А) Станет удивляться всему подряд. В) Будет каждый день умываться. С) Каждый день будет умываться или удивляться. Д) Хоть раз умоется или чему-то удивится. Е) Каждый день будет умываться и всему удивляться. Решение: Назовем принцип «Никогда не умываться» принципом А, а «Ничему не удивляться» - принципом В. Принцип Пачкули – придерживаться и А, и В. Нарушить его – значит нарушить хотя бы один из принципов – А или В. 55 Нарушить А – означает «Хоть раз умыться», а нарушить В – означает «Чему-то удивиться». Поэтому правильным ответом является Д. 6) Ученики 7 класса решали задачи. Проверив работы, учитель составил 4 списка: А) список учеников, решивших 1 задачу; В) список учеников, решивших ровно 1 задачу; С) спикок учеников, решивших хотя бы 1 задачу; Д) список учеников, решивших обе задачи. Оказалось, что все эти списки различны. Какой из списков самый длинный? Решение: Если ученик решил 1 задачу, то он решил хотя бы одну задачу. Поэтому список А включается в список С. Если ученик решил ровно 1 задачу, то он решил хотя бы 1 задачу. Поэтому список В тоже содержится в списке С. Наконец, если ученик решил обе задачи, то он решил хотя бы 1 задачу, список Д тоже содержится в списке С. Итак, все списки А,В,Д содержатся в списке С, следовательно список С – самый длинный. 7) В корзине лежат 30 грибов – несколько белых и несколько подберезовиков. Если мы вынем 12 грибов, то среди них обязательно будет хотя бы один белый. Если мы вынем 20 грибов, то среди них обязательно будет хотя бы один подберезовик. Сколько белых грибов в корзине? Решение: Т.к. среди любых 12 грибов хотя бы один – белый, то подберезовиков не может быть больше 11. Т.к. среди любых 20 грибов есть хотя бы один – подберезовик, то белых не может быть больше 19. Итак, подберезовиков небольше 11, а белых – не больше 19, а всего грибов следовательно подберезовиков 11, белых – 19. 56 30 = 11 + 19, Т ВО РЧЕ СК ИЕ РАБО ТЫ УЧ АЩИ ХСЯ . (Вопросы составлены самими учащимися) «С Т О К О Д Н О М У» 1. Без чего нельзя уснуть? 2. Что чаще говорит Дед Мороз? 3. Из-за чего ссорятся друзья (подруги)? 4. Как приветствуют друг друга? 5. Кто больше всего ест? 6. «Кто там?» 7. Гда найти синюю птицу? 8. Какая бывает елка? 9. Что Вы понимаете под словом «ряд»? 10.Что нужно для того, чтобы стать милиционером? 11.Что можно сказать об йогурте? ПОЧЕМУ? ПО ЧЕМУ? 1. Почему газеты соглашаются печатать рекламу? ( Им за это платят). 2. Почему первые помидоры стоят очень дорого, а потом дешевеют? ( Их становится больше). 3. По чему часто ходят и никогда не ездят? ( По лестнице). 4. По чему лучше ходить босиком? ( По траве). 5. Почему крутое яйцо не варят? ( Оно уже сварено). 6. Почему сын моего отца мне не брат? ( Это я сам). 7. По чему в школе пишут мелом? ( По доске). 57 СОСТАВЛЕНИЕ ЛОГИЧЕСКИХ ЦЕПОЧЕК. «КТО ХОЧЕТ СТАТЬ МИЛЛИОНЕРОМ». 1) Кто из данных людей не является поэтом? Пушкин, Маршак, Есенин, Бунин. 2) Среди данных фраз выберите название конфет. Куриные ножки. Гусиные лапки. Козьи рожки. Свиные рульки. 3) Какое предложение лишнее? Понедельник – день тяжелый. Рыбный день – четверг. Раннее утро. Выходной – это здорово. 4) Что здесь лишнее? Корова, Собака, Волк. 1) Домашнее животное, волк; 2) Одна буква О, корова. 5) Какой из данных рисунков следует исключить? 2 круга лишние (в последнем рисунке.) 6) Какого рисунка не достает? 1 5 2 5 7 деревьев и 5 галочек 2 7 3 7 58 УПРАЖНЕНИЯ РАЗВИВАЮЩЕГО ХАРАКТЕРА 1. Для развития внимания и наблюдательности. А) Постарайтесь подольше удержать внимание на восприятии фигуры. Через 1 минуту рассматривания рассказать об увиденном. Б) Показать ребятам рисунок и через 1 минуту рассказать об увиденном. В) Определение на взгляд: количество портретов в кабинете, высоту класса, количество тетрадей в стопке. 2. Для развития воображения. А) Составить рисунок из квадратов, треугольников, кругов. Б) В течение 5 минут придумайте и запишите как можно больше вариантов использования: Газеты, Воды, Веревки, В) Составьте предложение из слов: треугольник, стекло, кино, яблоко, квадрат, окно. Г) Минуты фантазии «Если бы я был волшебником». 3. Для развития памяти. А) Посмотреть на разноцветные фигуры и дать правильный ответ. 59 Б) Мини-сочинение « на уроках математики в этом месяце». 4. Игры, развивающая чувство времени, внимания Первая игра. Одна хорошая минута сделала одно хорошее дело, 10 хороших минут сделали 10 хороших дел. А сколько хороших дел можно сделать за 1 час, за 1 день, за 1 неделю, за 1 месяц, за 1 год, если заниматься делом? Минута пролетает так быстро, что и незаметно. Казалось бы, что за этот срок можно сделать? Но, оказывается, что и за минуту можно сделать не так уж мало, если постараться. Предлагаю детям провести соревнование, кто за 1 минуту больше: 1) напишет аккуратно одну и ту же букву; 2) напишетподряд числа, начиная с единицы ( через запятую ); 3) свяжет обрывки нитки, каждая длиной 10 см (сравнить потом: у кого будет длиннее ). Мы с вами проверили, кто сколько простейших упражнений может выполнить за 1 минуту. Пройдут годы, и вы не в игре, а в работе будете стараться за 1 минуту выполнить как можно больше. Для страны нашей 1 минута очень многое значит. Так, что, ребята, научить ценить минуту ( и время вообще ). Это очень важно. В народе говорят:»Копейка рубль бережет», ну, а из минут вы сами понимаете, складываются часы, дни, недели, годы. Вторая игра. За 5 минут запомнить. Много ли можно запомнить за 5 минут? Оказывается, много, если быть внимательным и очень постараться. В течение 5 минут читаю ребятам небольшой текст, содержащий много разных сведений или приключений, После этого предлагаю кому-нибудь рассказать, 60 что он запомнил. Пусть каждый желающий его дополнит. Победителем считается тот, кто последним сообщит подробности, которые другие не запомнили или на которые не обратили внимания. Текст. Математические олимпиады школьников. Из глубины веков ведут свою историю математические турниры и соревнования; например, с такими турнирами связана история открытия формулы Тарталья-Кордано для решения кубического уравнения. Первенство в регулярном проведении соревнований школьников, повидимому, принадлежит Венгрии, где математические олимпиады устраивают с 1894 года ( сборник задач этих олимпиад издан на русском языке в 1976 году в издательстве «Мир в серии «Задачи и олимпиады»). В СССР первые городские олимпиады по математике состоялись в 1934 году в Ленинграде и Тбилиси. В 1935 году – в Москве. На первых олимпиадах были заложены традиции их проведения. Математические олимпиады стали совместными праздниками математиков разных поколений – школьников, студентов (недавних участников олимпиад), учителей,преподавателей ВУЗов. Задолго до олимпиады члены жюри начинают собирать и обдумывать задачи. Основная цель олимпиады, впрочем, не в том, чтобы выявить победителей, а в том, чтобы заинтересовать всех участников оригинальными задачами, привлечь новичков к систематическим занятиям в математических кружках, слушанию лекций, самостоятельной реботе с книгой. Вместо текста можно прослушать песню А.Апиной «Сенсация». Третья игра. Быстрее и точнее. Нескольким ребятам завязывают глаза и дают по 5-6 монет разного достоинства.Задача состоит в том, чтобы рассортировать монеты и определить их сумму. Кто это сделает быстрее и точнее? 61 Четвертая игра. 1.Прослушать песню А.Пугачевой «Мадам Брошкина» (Игра на развитие внимания ). Сколько раз в песне встречаются слова: Числа ( одна – 2, 2 зимы – 2, 2 лета – 2 ). Какая ( хорошая –1, шикарная – 2, добрая – 1). Мадам Брошкина – 7. 2. Прослушать песню А.Апиной «Тополя». Он –2, она – 2, они – 1, тополя – 9, любовь – 19. 62 ЗАКЛЮЧЕНИЕ. Значение логических задач в обучении учащихся трудно переоценить. Они вырабатывают умения устанавливать связи между обьектами, наблюдательность, настойчивость в преоджолении трудностей. Школьникам необходимо прививать вкус к логическим рассуждениям. Поэтому я использую все свободное время на поиски интересного материала для повышения эффективности обучения. Жизнь идет вперед и каждый новый год вносит в нашу работу новые проблемы, коррективы. Постоянно не дает покоя мысль о том, как научить наших детей лучше мыслить, думать, как научить делать выводы, умозаключения. 63 ИСПОЛЬЗУЕМАЯ 1) Д.В. Клименченко ЛИТЕРАТУРА: «Задачи по математике для любознательных». – книга для учащихся 5-6 кл. средней школы – М.: Просвещение, 1992. – 192с.: ил. 2) Ф.Ф.Нагибин, Е.С. Канин «Математическая шкатулка»: пособие для учащихся 4-8 кл. средней школы – 5-е издание – М.: Просвещение, 1988. – 160с.: ил. 3) «Лучшие задачи на смекалку». – М.: Научно-технический центр «Университетский»: АСТ-ПРЕСС, 1999, - 304с,: ил. 4) Б.А.Кордемский, А.А. Ахадов «Удивительный мир чисел»: (Математические головоломки и задачи для любознательных): Книга для учащихся – М.: Просвещение, 1986. – 144с.: ил. 5) Л.М.Лоповок «Математика на досуге»: Книга для учащихся среднего школьного возраста. – М.: Просвещение, 1981. – 158с. 6) И.Ф.Шарыгин, Л.Н. Ерганжиева «Наглядная геометрия» - учебное пособие для учащихся V-VI классов. – М.: Мирос, 1995ю – 240 с.: ил. 7) В.П.Груднев «Считай, смекай, отгадывай»: Пособие для учащихся начальной школы – 4-е издание, перераб. – М.: Просвещение, 1980. – 127с., ил. 8) А.Г.Гайштут «Развивающие задачи» - Учитель, творческое объединение. 9) Е.М. Минскин «От игры к знаниям» - Пособие для учителя, 2-е издание, дораб. – М.: Просвещение, 1987. – 192с.: ил. 10) Журнал «Математика в школе» №9, 2005г. 11) «Внеклассная работа по математике в 4 -5 классах». Под ред. С.И. Шварцбурда. М., Просвещение, 1974. 191с.: ил. 64
