8 класс 1) Первая слева цифра четырехзначного числа 7. Если

8 класс
1) Первая слева цифра четырехзначного числа 7. Если эту цифру перенести на последнее место, то число уменьшится
на 864. Найдите четырехзначное число.
Ответ: 7681
Решение: 7xyz- искомое четное число
xyz – число после изменения
Проведем разложение по разрядам
7xyz = 7*1000+x*100+y*10+z = 7000+100x+10y+z
X*1000+y*100+z*10+7= 1000 x+ 100y +10z + 7
По условию разность равна 864
(7000 + 100x + 10y +z) – (1000x + 100y + 10z + 7) = 864
7000 + 100 x + 10y + z – 100x – 100y – 10z – 7 = 864
-900x – 90y – 9z = 864 -6993
-900x – 90y – 9z = -6129 /: (-9)
100ч + 10н + я = 681
То есть xyz= 681
Получаем искомое число 7681
Проверка: 7681 – 6871 =- 864 – верно
2) Найдите последнюю цифру числа
Ответ: 2
Решение: шаг 1
шаг 2
шаг 3
шаг 4
шаг 5
8*1=8
82 = 8 * 8 = 64
83 = 64 * 8 = 512
84 = 512 * 8 = 4096
85 = 4096 * 8 = 24768
Таким образом идет повторение через каждые 4 шага
2003 : 4 = 500 ¾, поэтому последняя цифра числа 82003 - 2.
3) Среди 81 монет имеется 1 фальшивая (более легкая). Как ее найти, используя всего 4 взвешивания?
Ответ: 81: 3 = 27
- 2 любые кучи взвешиваем если равны, то фальшивая монета в 3 кучке. Если не равны, то фальшивая монета в
более легкой кучке.
- Берем более легкую кучку, которую мы определили первым взвешиванием. 27: 3= 9 повторяем взвешивание как в
1-вом случае
- берем более легкую кучку после результатов 2 взвешивания. 3:3 = 3 повторяем еще раз. Остается 3 монеты
Взвешиваем любые две. Если они не равны, то более легкая и есть фальшивая. Если они раны, то оставшаяся
монета самая легкая – а значит она фальшивая.
4) Сколькими способами можно разрезать равносторонний треугольник на 2 равных треугольника?
Ответ: 3
Решение: Треугольники равные если у них соответствующие стороны и углы равны. Поэтому если из вершины
угла треугольника провести биссектрису (она делит угол пополам), а по теореме о свойстве медианы
равнобедренного треугольника она будет и медианой и высотой, соответственно разделит противоположную
сторону пополам и получаем два равных треугольника. У нас треугольник равносторонний поэтому из каждой его
вершины можно выпустить биссектрису. Соответственно способов разрезать треугольник на два равных – 3.
5) Упростите выражение
.
Ответ: 0
Решение: Раскроем скобки: а3 – 3а2в + 3ав2 – в3 + в3 – 3в2с + 3вс2 – с3 + с3 – 3с2а + 3са2 – а3
Применяя формулы сокращенного умножения получаем результат - 0
6) Решите уравнение
.
Ответ: x = 49
7) Сколькими нулями оканчивается произведение всех целых чисел от 1 до 100 включительно?
Ответ: 21
Решение: берем числа заканчивающиеся на 0, так как при умножении они будут давать в ответе 0.
10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100 – всего 11 чисел
При умножении двух чисел первое из которых заканчивается на 2, а второе на 5 в ответе также последняя цифра 0.
Таких чисел 10:
2 * 5 = 10
12 * 15 = 180
22 * 25
32 * 35
42 * 45
52 * 55
62 * 65
72 * 75
82 * 85
92 * 95
Всего таких чисел получается 11 + 10 = 21, соответственно произведение всех целых чисел от 1 до 100 закончится
21 нулями.
8) Поезд проходит мимо светофора за 5 с, а мимо платформы длиной 150 метров за 15 с. Найдите длину поезда и его
скорость.
Ответ: длина поезда 50 м, а скорость 10 м/с
Решение: υ = 150 : 15 = 10 м/с
10 м/с * 5 = 50 м/с
9) Зная, что
, найдите значение выражения
Ответ: 1
10) Сосчитайте:
1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-…+2002-2003-2004+2005.
Ответ: 1