Примерный перечень вопросов к экзамену (1 семестр)

Примерный перечень вопросов к экзамену (1 семестр)
1. Понятие вектора. Коллинеарные, компланарные, равные, противоположные вектора.
2. Линейные операции над векторами. Сумма векторов. Ее свойства.
3. Линейные операции над векторами. Умножение вектора на число. Свойства
произведения вектора на число.
4. Деление вектора в заданном отношении.
5. Линейная зависимость и независимость векторов. Теоремы.
6. Геометрический смысл линейной зависимости. Теоремы. Следствия.
7. Линейное пространство. Примеры.
8. Базис линейного пространства. Теоремы.
9. Размерность линейного пространства.
10. Изоморфизм линейных пространств.
11. Аффинные пространства.
12. Аффинные системы координат.
13. Геометрический смысл аффинных координат.
14. Декартовые прямоугольные системы координат.
15. Полярная система координат. Обобщенные полярные координаты.
16. Цилиндрические и сферические координаты.
17. Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения.
Направляющие косинусы.
18. Векторное произведение векторов. Свойства векторного произведения. Теоремы.
19. Смешанное произведение векторов. Теоремы. Следствия.
20. Двойное векторное произведение.
21. Евклидовые пространства.
22. Векторное и общее уравнения плоскости в трехмерном пространстве (прямой на
плоскости). Неполные уравнения.
23. Параметрические уравнения и уравнение «в отрезках» плоскости в трехмерном
пространстве.
24. Уравнение с угловым коэффициентом прямой на плоскости.
25. Угол между двумя плоскостями (прямыми на плоскости). Взаимное расположение
плоскостей (прямых на плоскости).
26. Геометрический смысл неравенств первой степени.
27. Нормированное уравнение плоскости (прямой на плоскости).
28. Прямая в пространстве.
29. Пучки плоскостей (прямых на плоскости).
30. Угол между прямыми. Взаимное расположение прямых в трехмерном пространстве.
31. Угол между прямой и плоскостью. Взаимное расположение прямой и плоскости.
32. Преобразование декартовой прямоугольной системы координат на оси и плоскости.
33. Преобразование декартовой прямоугольной системы координат в пространстве.
34. Геометрический смысл преобразования декартовых координат. Углы Эйлера.
35. Уравнения линий и поверхностей.
36. Алгебраические линии и поверхности.
37. Эллипс. Каноническое и параметрическое уравнения. Исследование формы эллипса.
38. Эллипс. Фокальные радиусы, эксцентриситет, директрисы эллипса. Теорема.
Уравнение эллипса в полярных координатах.
39. Гипербола. Каноническое и параметрическое уравнения гиперболы. Исследование
формы гиперболы.
40. Эксцентриситет, фокальные радиусы, директрисы гиперболы. Теорема. Уравнение
гиперболы в полярных координатах
41. Парабола. Исследование формы. Уравнение параболы в полярных координатах.
42. Преобразование коэффициентов общего уравнения линии второго порядка при
параллельном переносе системы координат.
43. Преобразование коэффициентов общего уравнения линии второго порядка при
повороте системы координат.
44. Приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду.
Классификация линий второго порядка.
45. Инварианты общего уравнения линии второго порядка относительно преобразования
координат.
46. Исследование общего уравнения линии второго порядка с помощью инвариантов.
47. Поверхности вращения.
48. Эллипсоиды. Гиперболоиды. Их свойства.
49. Параболоиды и их свойства.
50. Цилиндрические и конические поверхности.
51. Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида и гиперболического
параболоида.
52. Преобразование коэффициентов общего уравнения поверхности второго порядка при
параллельном переносе системы координат.
53. Преобразование коэффициентов общего уравнения поверхности второго порядка при
повороте системы координат. Стандартное преобразование.
54. Приведение общего уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду.
Классификация поверхностей.
55. Инварианты общего уравнения поверхности второго порядка относительно
преобразования координат.
56. Исследование общего уравнения поверхности второго порядка с помощью
инвариантов.