Примерный перечень вопросов к экзамену (1 семестр)

Вопросы к экзамену по курсу «Геометрия»
(1 семестр, 2015/2016)
1. Понятие вектора. Коллинеарные, сонаправленные, равные, компланарные вектора.
2. Линейные операции над векторами. Сумма векторов. Ее свойства.
3. Линейные операции над векторами. Произведение вектора на число. Свойства
произведения вектора на число. Теорема.
4. Линейная зависимость и независимость векторов. Теоремы.
5. Геометрический смысл линейной зависимости. Теоремы. Следствия.
6. Линейное пространство. Примеры.
7. Базис линейного пространства. Теоремы.
8. Размерность линейного пространства. Теоремы.
9. Изоморфизм линейных пространств.
10. Аффинные пространства.
11. Аффинные системы координат.
12. Геометрический смысл аффинных координат.
13. Декартовые прямоугольные системы координат.
14. Деление вектора в заданном отношении.
15. Полярная система координат.
16. Цилиндрические и сферические координаты.
17. Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения.
Направляющие косинусы.
18. Евклидовы пространства. Примеры. Неравенство Коши-Буняковского.
19. Векторное произведение векторов. Свойства векторного произведения. Теоремы.
20. Смешанное произведение векторов. Теоремы. Следствия.
21. Двойное векторное произведение. Теорема. Следствия.
22. Уравнения линий и поверхностей.
23. Векторное и общее уравнения плоскости в трехмерном пространстве (прямой на
плоскости). Неполные уравнения.
24. Уравнение «в отрезках» плоскости в трехмерном пространстве (прямой на плоскости).
Параметрические уравнения плоскости.
25. Уравнение с угловым коэффициентом прямой на плоскости.
26. Угол между двумя плоскостями (прямыми на плоскости). Взаимное расположение
плоскостей (прямых на плоскости).
27. Геометрический смысл линейных неравенств.
28. Нормированное уравнение плоскости (прямой на плоскости).
29. Прямая в пространстве.
30. Пучки плоскостей (прямых на плоскости).
31. Угол между прямыми. Взаимное расположение прямых в трехмерном пространстве.
32. Угол между прямой и плоскостью. Взаимное расположение прямой и плоскости.
33. Преобразование координат на оси и на плоскости.
34. Преобразование координат в пространстве.
35. Углы Эйлера.
36. Алгебраические линии и поверхности.
37. Эллипс. Каноническое уравнение. Исследование формы эллипса. Параметрическое
уравнение.
38. Эллипс. Фокальные радиусы, эксцентриситет, директрисы эллипса. Теорема.
39. Гипербола. Каноническое уравнение гиперболы. Исследование формы гиперболы.
Параметрическое уравнение гиперболы.
40. Эксцентриситет, фокальные радиусы, директрисы гиперболы. Теорема.
41. Парабола. Каноническое уравнение. Исследование формы параболы.
42. Преобразование коэффициентов общего уравнения линии второго порядка при
параллельном переносе системы координат.
43. Преобразование коэффициентов общего уравнения линии второго порядка при
повороте системы координат.
44. Приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду.
Классификация линий второго порядка.
45. Поверхности вращения.
46. Эллипсоид. Гиперболоиды. Их свойства.
47. Параболоиды и их свойства.
48. Цилиндрические и конические поверхности.
49. Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида и гиперболического
параболоида.
50. Преобразование коэффициентов общего уравнения поверхности второго порядка при
параллельном переносе системы координат.
51. Преобразование коэффициентов общего уравнения поверхности второго порядка при
повороте системы координат. Стандартное преобразование системы координат.
52. Приведение общего уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду.
Классификация поверхностей.