СТЕРЛИТАМАКСКИЙ ФИЛИАЛ ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

СТЕРЛИТАМАКСКИЙ ФИЛИАЛ
ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО
ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра
Согласовано
Председатель УМК факультета
дисциплины
Утверждено
на заседании кафедры
протокол №
от
Зав. кафедрой
Учебно-методический комплекс
Геометрия
Математический и естественнонаучный цикл, базовая часть
цикл дисциплины и его часть (базовая, вариативная, дисциплина по выбору)
Направление подготовки
010400.62 Прикладная математика и информатика
наименование ООП ВПО направления подготовки или специальности с указанием кода
Профиль(и) подготовки
Прикладная математика и информатика
Разработчик (составитель) УМК
канд. физ.- мат. наук,
доцент
Шабаева Альфия Фаритовна
ученая степень, ученое звание, ФИО, подпись
Стерлитамак 2012
дата
Содержание
1.
Место дисциплины в структуре основной образовательной
программы
3
2.
Цели освоения дисциплины
3
3.
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины (модуля)
3
4.
Рабочая программа учебной дисциплины
5
5.
Образовательные технологии
13
6.
Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
(модуля)
14
а) основная литература
б) дополнительная литература
в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы
7.
Материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля)
15
8.
Методические рекомендации (материалы) для преподавателя
15
9.
Методические указания для студентов
17
10. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы
студентов
21
11. Контрольно-оценочные материалы
24
12. Рейтинг-планы дисциплины по семестрам
40
1. Место дисциплины «Геометрия» в структуре основной
образовательной программы
Модуль «Геометрия» относится к базовой части математического и
естественнонаучного цикла (Б2.Б.7). Для освоения дисциплины «Геометрия»
используются знания, умения, навыки, способы деятельности и установки,
полученные и сформированные в ходе изучения дисциплин «Геометрия»,
«Алгебра и начала математического анализа» школьного курса математики.
Применяется
при
изучении
физики,
математического
анализа,
избранных глав математического анализа.
2. Цели освоения дисциплины «Геометрия»
Целями дисциплины являются получение студентами современных
знаний по геометрии и хорошей практической подготовки, необходимых
будущему математику-программисту. Кроме того, изучение многих вопросов
геометрии необходимо для обеспечения межпредметных связей курсов
алгебры, математического анализа и физики.
В курсе геометрии предусматривается изучение векторной алгебры,
аналитической геометрии на плоскости и в пространстве, многомерной
геометрии, квадратичных форм в линейном и евклидовом пространстве.
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины «Геометрия»
Дисциплина «Геометрия» обеспечивает инструментарий формирования
(в
совокупности
с
другими
дисциплинами
математического,
естественнонаучного и профессионального циклов проекта ФГОС ВПО)
следующих
профессиональных
компетенций
«Прикладная математика и информатика»:
бакалавра
направления
 владеет способностью собирать, обрабатывать и интерпретировать данные
современных научных исследований, необходимые для формирования
выводов по соответствующим научным, профессиональным, социальным и
этическим проблемам (ПК-7);
 владеет способностью формировать суждения о значении и последствиях
своей
профессиональной
деятельности
с
учетом
социальных,
профессиональных и этических позиций (ПК-8);
 владеет способностью приобретать и использовать организационноуправленческие навыки в профессиональной и социальной деятельности
(ПК-11).
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
 знать:
− место геометрии в системе современного научного знания и ее значение
как науки,
− основные исторические сведения и главные направления развития
геометрии,
− основные положения аналитической геометрии на плоскости и в
пространстве, многомерной геометрии, свойства линий и поверхностей в
евклидовом пространстве;
 уметь:
− решать типовые задачи в указанной предметной области;
− работать самостоятельно с учебной и дополнительной литературой;
− анализировать и осуществлять поиск различных путей решения
нестандартных задач и задач повышенной сложности;
 владеть:
− основными понятиями геометрии (векторы, фигуры, линии, поверхности,
группы преобразований плоскости и пространства);
− векторным и координатным методами при изучении геометрии на
плоскости и в пространстве;
− логической символикой, основами теории логического вывода.
СТЕРЛИТАМАКСКИЙ ФИЛИАЛ
ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО
ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
по дисциплине
на
1
Геометрия
семестр
Рабочую программу осуществляют:
лекции
канд. физ.-мат. н., доцент Шабаева А.Ф.
практические занятия
канд. физ.-мат. н., доцент
Шабаева А.Ф.
Зачетных единиц трудоемкости (ЗЕТ)
Учебных часов:
лекций (в т.ч. в интерактивных формах)
семинарских (в т.ч. в интерактивных формах)
практических (в т.ч. в интерактивных формах)
лабораторных
консультаций
зачет
экзамен
самостоятельная работа студентов
КСР
3
36
18
27
27
№
п/п
Тема и
содержание
Форма
изучения
материалов
(лекции,
практически
е занятия,
семинарские
занятия,
лабораторн
ые работы,
самостоятел
ьная работа)
1
2
3
4
5
Лк
Пр
СРС
4
2
2
Коллективная
мыслительная
деятельность
(лк,пр)
Лк
Пр
СРС
4
2
3
Лк
Пр
2
2
1.
2.
3.
Элементы
векторной алгебры
Направленные
отрезки. Векторы.
Сложение и
вычитание векторов.
Умножение вектора
на число.
Линейная
зависимость
векторов.
Координаты вектора
Скалярное
произведение
векторов.
Векторные
пространства и
подпространства
Векторное
произведение.
Кол-во
часов
аудитор.
работы
Интерактивн
ые методы
обучения
Коллективная
мыслительная
Межпредметные
связи
6
Модуль 1
Линейная
алгебра
Инновацион
ные методы
в обучении
Основная и
дополнитель
ная
литература,
рекомендуем
ая студентам
Задания по
самостоятель
ной работе
студентов с
указанием
литературы,
номеров
задач
Количество
часов
самосто
ят.
работы
Форма
контроля
самостоя
тельной
работы
студенто
в
(коллокв
иумы,
контроль
ные
работы,
компьют
ерные
тесты и
т.п.)
7
8
9
10
11
Осн. 1,2,3
Осн. 3,4, доп.
1,2,4
2
теор.
опрос,
пров. дом.
зад.
Осн. 1,2,3
Осн. 3,4, доп.
1,2,4
3
Осн. 1,2,3
Осн. 3,4, доп.
1,2,4
2
4.
Смешанное
произведение
векторов
Метод координат
на плоскости.
Аффинная система
координат на
плоскости. Деление
отрезка в данном
отношении
Ориентация
плоскости.
Формулы
преобразования
координат.
Полярные
координаты
Метод координат.
Алгебраическая
линия и ее порядок
СРС
2
Лк
Пр
СРС
4
2
4
деятельность
(лк)
Линейная
алгебра
Применение
проектора на
лекции
4
теор.
опрос,
пров. дом.
зад.
2
теор.
опрос,
пров. дом.
зад.
Осн. 1,2,4
Осн.2,3, доп.
1,2,4
2
Коллокви
ум,
контрольн
ая работа
Осн. 1,2,4
Осн.2,3, доп.
1,2,4
2
Осн. 1,2,4
Осн.2,3, доп.
1,2,4
Осн. 1,2,4
Осн.2,3, доп.
1,2,4
Модуль 2
5.
6.
7.
Прямая линия на
плоскости.
Различные способы
задания прямой.
Общее уравнение
прямой.
Расстояние от
точки до прямой
Угол между
прямыми
Геометрический
смысл
знака
трехчлена
Аx +By +C.
Взаимное
расположение двух
прямых
Эллипс.
Гипербола.
Парабола.
Лк
Пр
СРС
2
1
2
Лк
Пр
СРС
4
1
2
Лк
Пр
СРС
4
2
2
Коллективная
мыслительная
деятельность
(лк)
Линейная
алгебра
Коллективная
мыслительная
деятельность
Общая физика
Применение
проектора на
лекции
8.
9.
10.
Уравнения эллипса,
гиперболы и
параболы в
полярных
координатах
Общая теория
линий второго
порядка
Общее уравнение
линии второго
порядка.
Пересечение линии
второго порядка и
прямой.
Асимптотические
направления.
Центр ЛВП.
Касательная к ЛВП.
Диаметры ЛВП
Главные
направления и
диаметры.
Классификация
ЛВП.
Приведение
уравнения ЛВП к
каноническому
виду.
(пр)
Лк
Пр
СРС
4
2
2
Лк
Пр
СРС
4
2
2
Лк
Пр
СРС
4
2
6
Коллективная
мыслительная
деятельность
(лк,пр)
Линейная
алгебра
Линейная
алгебра
Тестирование
2
письм.
теор.
опрос,
пров. дом.
зад.
Осн. 1,3,4
Осн. 3,4, доп.
1,2,3
2
теор.
опрос,
пров. дом.
зад.
Осн. 1,3,4
Осн. 3,4, доп.
1,2,3
6
Контроль
ная работа
Осн. 1,2,4
Осн.2,3, доп.
1,2,4
СТЕРЛИТАМАКСКИЙ ФИЛИАЛ
ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО
ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
по дисциплине
на
2
Геометрия
семестр
Рабочую программу осуществляют:
лекции
канд. физ.-мат. н., доцент Шабаева А.Ф.
практические занятия
канд. физ.-мат. н., доцент
Шабаева А.Ф.
Зачетных единиц трудоемкости (ЗЕТ)
Учебных часов:
лекций (в т.ч. в интерактивных формах)
семинарских (в т.ч. в интерактивных формах)
практических (в т.ч. в интерактивных формах)
лабораторных
консультаций
зачет
экзамен
самостоятельная работа студентов
КСР
3
18
36
27
27
№
п/п
Тема и
содержание
Форма
изучения
материалов
(лекции,
практически
е занятия,
семинарские
занятия,
лабораторн
ые работы,
самостоятел
ьная работа)
1
2
3
4
5
Лк
Пр
СРС
1
2
1
Коллективная
мыслительная
деятельность
(лк)
Лк
Пр
СРС
1
4
2
Лк
Пр
СРС
2
2
2
1
2
3
Плоскости и
прямые
в пространстве.
Уравнение
плоскости. Общее
уравнение
плоскости.
Расстояние от точки
до плоскости. Угол
между двумя
плоскостями.
Взаимное
расположение двух
плоскостей.
Уравнения прямой в
пространстве.
Взаимное
расположение
прямых.
Кол-во
часов
аудитор.
работы
Интерактивн
ые методы
обучения
Межпредметные
связи
6
Модуль 1
Инновацион
ные методы
в обучении
Основная и
дополнитель
ная
литература,
рекомендуем
ая студентам
Задания по
самостоятель
ной работе
студентов с
указанием
литературы,
номеров
задач
Количество
часов
самосто
ят.
работы
Форма
контроля
самостоя
тельной
работы
студенто
в
(коллокв
иумы,
контроль
ные
работы,
компьют
ерные
тесты и
т.п.)
7
8
9
10
11
1
теор.
опрос,
пров. дом.
зад.
2
теор.
опрос,
пров. дом.
зад.
2
письм.
теор.
опрос,
пров. дом.
зад.
Линейная
алгебра
Осн. 1,2,4,5
Линейная
алгебра
Коллективная
мыслительная
деятельность
(лк,пр)
Осн. 1,2,4,5
Применение
проектора на
лекции
Осн. 1,2,4,5
Осн. 3, доп. 2,3
Осн. 3, доп. 2,3
Осн. 3, доп. 2,3
4
Взаимное
расположение
прямой и плоскости.
Углы между
прямыми, между
прямой и
плоскостью.
Основные задачи на
прямую и
плоскость.
Лк
Пр
СРС
2
6
2
Осн. 1,2,4,5
Осн. 3, доп. 2,3
2
Коллокви
ум, контр.
работа
4
теор.
опрос,
пров. дом.
зад.
Модуль 2
5
6
7
8
9
Поверхности
второго порядка
Метод сечений.
Поверхности
вращения.
Цилиндрические
поверхности.
Конические
поверхности.
Эллипсоид.
Гиперболоиды.
Параболоиды.
Прямолинейные
образующие ПВП.
Аффинное и
евклидово пмерные
пространства
Векторное п-мерное
пространство.
Евклидово
векторное
пространство
Аффинное п-мерное
пространство.
Плоскости пмерного аффинного
пространства.
Гиперплоскости.
Коллективная
мыслительная
деятельность
(лк,пр)
Лк
Пр
СРС
2
2
4
Лк
Пр
СРС
2
2
2
Лк
Пр
СРС
2
4
2
Лк
Пр
СРС
2
4
2
Линейная
алгебра
Лк
Пр
СРС
2
4
4
Линейная
алгебра
Осн. 1,2,4,5
Математически
й анализ
Коллективная
мыслительная
деятельность
(лк,пр)
Математически
й анализ
Применение
проектора на
лекции
Осн. 3, доп. 2,3
Осн. 1,2,4,5
Осн. 3, доп. 2,3
2
Осн. 1,2,4,5
Осн. 3, доп. 2,3
2
Осн. 1,2,4,5
Осн. 3, доп.
2,3,6
Осн. 1,2,4,5
Осн. 3, доп.
2,3,6
теор.
опрос,
пров. дом.
зад.
письм.
теор.
опрос,
пров. дом.
зад.
2
письм.
теор.
опрос,
пров. дом.
зад.
4
теор.
опрос,
пров. дом.
зад.
10
Евклидово п-мерное
пространство.
Движения и
подобия.
Лк
Пр
СРС
1
2
4
11.
Квадратичные
формы и квадрики в
аффинном
пространстве.
Приведение
уравнения квадрики
к нормальному
виду. Квадрики в
евклидовом
пространств
Лк
Пр
СРС
1
4
6
Работа в
группе
(лк,пр)
Линейная
алгебра
Линейная
алгебра
Тестирование
Осн. 1,2,4,5
Осн. 3, доп.
2,3,6
4
теор.
опрос,
пров. дом.
зад.
Осн. 1,2,4,5
Осн. 3, доп.
2,3,6
6
контрольн
ая работа
5.Образовательные технологии
В ходе изучения данного курса студенты слушают лекции, применяют
теоретический
индивидуально.
материал
Освоение
на
практических
курса
занятиях,
предполагает,
помимо
занимаются
посещения
практических занятий, выполнение аудиторных и домашних контрольных
работ.
Удельный вес занятий, проводимых в интерактивных формах,
составляет
28
процентов
аудиторных
занятий
(30
часов).
Занятия
лекционного типа, проводимых в интерактивных формах, составляют 19
процентов аудиторных занятий (10 часов).
В процессе обучения рекомендуется привлекать новые и оригинальные
формы, методы и подходы к изложению учебного материала, с целью
увлечения студентов предметом, повышения эффективности освоения
учебного материала. Именно современные информационные технологии
позволяют педагогу достичь более высокого уровня в обучении.
В нынешнее время, время вхождения в жизнь информационных и
коммуникационных технологий, просто необходимо использование новых
технологий
в
обучении,
ориентированных
на
развитие
творческих
способностей обучающихся.
С целью повышения активизации учебно-познавательной деятельности
студентов
могут
быть
использованы
основные
современные
информационные и коммуникационные технологии обучения математике:

интерактивная доска при обучении;

интернет-ресурсы в образовании;

математические пакеты и обучающие программы;

дистанционный контроль обучения;

разработка тестов и опыт их применения в обучении;

мультимедийные презентации лекций.
Использование электронных презентаций при объяснении нового
материала, решении задач, повторении, контроле знаний дает наглядное
представление определений, формул, теорем и их доказательств, позволяет
осознанно овладевать научными фактами, обеспечивает эффективное
усвоение обучающимися новых знаний и умений.
Преимущество
современного
урока
математики
в
условиях
информатизации заключается в свободе выбора преподавателем методик и
технологий, учебников и программ. Но результативность педагогической
деятельности всегда зависела, и будет зависеть от того, насколько умело
педагог умеет организовать работу с учебной информацией. Применяя
нетрадиционные
достигается
повышения
формы урока
активизация
и новые
познавательной
эмоциональной
насыщенности
педагогические
активности
урока,
технологии,
обучающихся,
которая
помогает
раскрыться способностям студентов.
6. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
а) основная литература
1. Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры:
Учебник.2 изд., стер.- СПб.: Из-во «Лань», 2009.- 512 с.
2. Михайлов П.Н. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия на
плоскости: Учебное пособие.- Стерлитамак: СГПА им. Зайнаб Биишевой,
2008.- 104 с.
3. Привалов И.И. Аналитическая геометрия: Учебник. 37 изд., стер.- СПб.:
«Лань», 2008.- 304 с.
4. Садовничий Ю.В., Федорчук В.В. Аналитическая геометрия. Курс лекций
с задачами. – М.: Из-во «Экзамен», 2009.- 350 с.
б) дополнительная литература:
1. Бахвалов С.В., Моденов П.С., Пархоменко А.С. Сборник задач по
аналитической геометрии: Учебное пособие. 5 изд., стер.- СПб.: Из-во
«Лань», 2009.- 384 с.
2. Беклемишева Л.А., Беклемишева Д.В., Петрович А.Ю., Чубаров И.А.
Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре: Учебное
пособие/ Под ред. Д.В. Беклемишева. 3 изд., испр.- СПб.: Из-во «Лань»,
2008.- 496 с.
3. Сборник задач по геометрии: Учебное пособие. 2 изд., стер./Под ред. В.Т.
Базылева. – СПб.: Из-во «Лань», 2008. – 256 с.
5. Шабаева А.Ф. Элементы векторной алгебры: Методические указания по
курсу геометрии. – Стерлитамак: Стерлитамакская гос. пед. акад., 2006. – 36
с.
6. Шабаева А.Ф. Многомерные пространства. Квадратичные формы и
квадрики: Учебно-методические материалы по курсу геометрии. –
Стерлитамак: Стерлитамакский гос. пед. институт, 2000.- 74 с.
в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы
www.twirpx.com/file/7699/
www.kodges.ru › Наука и образование › Образование
www.twirpx.com/file/557336/
7. Материально-техническое обеспечение дисциплины

Доска обычная и магнитная;

Учебные пособия;

Мультимедийный проектор;

Компьютерный класс;

Интерактивная доска.
8. Методические рекомендации (материалы) для преподавателя
Основным методом изучения тем, вынесенных в лекционный курс,
является информационно-объяснительный метод с элементами проблемных
ситуаций и заданий студентам. На практических занятиях основным является
поисковый метод, связанный с решением различных типов задач.
Средствами обучения являются базовые учебники, дополнительные
пособия
для
демонстрационные
сборники задач.
организации
материалы,
самостоятельной
компьютерные
работы
студентов,
обучающие
программы,
Приёмами организации учебно-познавательной деятельности студентов
являются приёмы, направленные на осмысление и углубление предлагаемого
содержания, и приёмы, направленные на развитие аналитико-поисковой и
исследовательской деятельности.
Важно чётко представлять структуру курса, уметь выделить в каждом
разделе основные, базовые понятия, обозначенные минимумом содержания,
определённого государственным образовательным стандартом.
Учебная программа и другая методическая документация являются
неотъемлемой частью процесса обучения. Для студентов дневного отделения
они особенно важны, поскольку с их помощью идёт самостоятельная работа
студента,
осваивается
теоретический
материал,
готовятся
доклады,
прорабатываются вопросы для самоконтроля и обсуждения. Необходимо
заранее продумать формы самостоятельной работы студентов, и нацеливать
на неё буквально с первой лекции.
Изучение
положением
о
дисциплины
«Геометрия»
модульно-рейтинговой
ведётся
системе
в
соответствии
обучения
и
с
оценки
успеваемости студентов БашГУ. Модульно-рейтинговая система обучения и
оценки успеваемости студентов представляет собой комплексную систему
поэтапного
оценивания
уровня
освоения
дисциплин
основной
образовательной программы по направлению (специальности) высшего
профессионального
образования,
при
которой
осуществляется
структурирование содержания каждой учебной дисциплины на модули и
проводится регулярная оценка знаний и умений студентов в течение
семестра. При рейтинговой системе все знания, умения и навыки,
приобретаемые студентами в процессе изучения дисциплины оцениваются в
рейтинговых баллах. Рейтинговые баллы набираются в течение всего
периода обучения по дисциплине и фиксируются путём занесения в
ведомость учёта рейтинговых баллов студентов.
Модуль – часть учебной дисциплины (совокупность тем, разделов),
имеющая определённую логическую завершённость по отношению к
установленным целям и результатам обучения, по окончании изучения
которой осуществляется рубежный контроль знаний студентов. Изучение
дисциплины «Геометрия» разбивается на 2 модуля в 1,2 семестрах.
Текущий контроль – контроль за всеми видами аудиторной и
внеаудиторной работы студентов по данному дисциплинарному модулю,
результаты которой оцениваются до рубежного контроля. По каждому
модулю устанавливается перечень обязательных видов работы студента,
включающий: посещение лекционных, практических занятий; ответы на
теоретические вопросы на практическом занятии; решение практических
задач и выполнение заданий на практическом занятии; написание рефератов;
тестирование по теме (группе тем); другие виды работ, определяемые
преподавателем.
Рубежный контроль изучения дисциплины «Геометрия» включает в
себя контрольную работу.
Контрольные работы могут проводиться по отдельным вопросам
темы, раздела, могут проводиться аудиторно и внеаудиторно, в виде
домашнего задания. В контрольном задании могут быть одна или несколько
задач по одной или нескольким темам или даже разделам. Часто студент
затрудняется с устным ответом, но лучше отвечает письменно, что помогает
объективнее оценить его знания и умения. Контрольную работу можно
проводить на любом практическом занятии, охватывая либо всех, либо часть
студентов.
Итоговым контролем изучения дисциплины «Геометрия» являются
экзамен в 1 семестре и зачет в 2 семестре.
Возникает необходимость провести вводную лекцию, на которой
условия изучения дисциплины при рейтинговой оценке знаний должны быть
доведены до сведения студентов. При проведении первых занятий требуется
обратить внимание студентов на знания из элементарной математики и основ
информатики, которые будут использоваться в дальнейшем.
9. Методические указания для студентов
Учебная работа студента делится на аудиторную, самостоятельную
подготовку и учебно-контрольные формы оценки успеваемости студентов.
Аудиторная работа
Аудиторная
работа
включает:
лекции,
практические
занятия,
компьютерное тестирование.
Лекции заключаются в основном в изложении учебного материала по
основным разделам. Ряд тем может быть передан на самостоятельную
работу. Лекции читаются и по спорным проблемам, и должны иметь
преимущественно проблемный характер, с изложением различных учений,
точек зрения. Необходимо помнить о том, что даже несколько учебников и
энциклопедий не смогут дать той информации, какую даёт преподаватель во
время лекционной работы. На лекционном курсе даются не только
конкретные знания, но и основное направление в той работе, которую
каждый студент проделывает, готовясь к сдаче зачёта или экзамена. Поэтому
студенты обязаны внимательно слушать лекции и вести их конспекты,
которые могут проверяться преподавателями кафедры. Записи очень
индивидуальны, однако они могут быть нескольких родов: фиксирование
наиболее важных положений лекции, свободное изложение материала
лекции. Полезно использовать общепринятые и индивидуальные сокращения
терминов и слов, но чтобы текст оставался понятным: по свежим следам
нужно обработать его, восполнить пропущенное, исправить неточности,
записать дополнительные интересные и необходимые сведения.
Практические занятия в учебном процессе, как правило, следуют за
лекциями.
В начале практических занятий могут проводятся опросы по
теоретическим вопросам, относящимся к теме занятия. Особое внимание
необходимо уделять знанию основных определений, теоретических фактов,
формул.
Для
выполнения
домашних
заданий
рекомендуется
иметь
специальные тетради, которые регулярно проверяются. Результаты проверки
фиксируются
преподавателем
и
учитываются
при
промежуточных
аттестациях студентов.
Коллективное
обсуждение
любых
вопросов
позволяет
уяснить
непонятное и сложное для самостоятельного осмысления. Поэтому студент
на практическом занятии должен быть активен, дисциплинирован и
трудолюбив.
Практические занятия имеют и оценочно-контрольную функцию, где
осуществляются текущий и рубежный контроль за успеваемостью студентов,
проверяются конспекты лекций, в т.ч. для учёта успеваемости.
Самостоятельная работа
Работа с учебной литературой. Студент обязан изучать литературу.
Однако на основе всего изученного материала студенты должны выработать
и своё собственное видение изучаемой проблемы. Общая учебная литература
указана отдельным списком, дополнительная литература даётся к каждому
занятию, кроме того, студент может использовать любую другую доступную
ему литературу.
Домашние работы и индивидуальные задания.
Доклады, рефераты. Это письменные формы работ, оформляются
согласно требованиям, предъявляемым к письменной работе.
Содержание курса
Раздел 1. Элементы векторной алгебры в пространстве.
Геометрия на плоскости
1. Элементы векторной алгебры в пространстве. Вектор. Сложение и
вычитание векторов. Умножение вектора на число. Векторное пространство.
Линейная зависимость векторов. Координаты вектора и их свойства.
Скалярное произведение векторов и его свойства. Векторные
подпространства. Координаты вектора в подпространстве.
2. Метод координат на плоскости. Аффинная (обобщенная декартова)
система координат на плоскости. Деление отрезка в данном отношении.
Прямоугольная декартова система координат. Расстояние между двумя
точками. Преобразование аффинной системы координат. Ориентация
плоскости. Преобразование прямоугольной декартовой системы координат.
Угол между векторами на ориентированной плоскости. Полярные
координаты. Переход от полярных координат к декартовым и обратно.
Алгебраическая линия и ее порядок. Применение метода координат к
решению задач школьного курса геометрии.
3. Прямая линия на плоскости. Различные способы задания прямой.
Общее уравнение прямой. Геометрический смысл коэффициентов при
текущих координатах в общем уравнении. Геометрический смысл знака
трехчлена Ах+Ву+С. Взаимное расположение двух прямых. Расстояние от
точки до прямой. Угол между двумя прямыми. Приложение к решению задач
школьного курса.
4. Линии второго порядка. Эллипс: определение, каноническое
уравнение, свойства. Гипербола: определение, каноническое уравнение,
свойства. Асимптоты гиперболы. Парабола: определение, каноническое
уравнение, свойства. Фокусы и директрисы линий второго порядка.
Уравнение линии второго порядка в полярных координатах. Общее
уравнение линии второго порядка. Асимптотические направления, центр,
диаметры, главные направления, оси, касательная. Приведение общего
уравнения линии второго порядка к каноническому виду. Определение
положения линии второго порядка по общему уравнению.
Раздел 2. Прямые линии, плоскости и квадрики
в евклидовых и аффинных пространствах
1. Векторное и смешанное произведения векторов. Метод координат в
пространстве. Аффинная (обобщенная декартова) система координат в
пространстве. Деление отрезка в данном отношении. Прямоугольная
декартова система координат. Расстояние между двумя точками.
Преобразование аффинной системы координат. Ориентация пространства.
Преобразование
прямоугольной
декартовой
системы
координат.
Геометрическое истолкование уравнений и неравенств между координатами.
Векторное и смешанное произведения векторов, вычисление площади
треугольника и объема тетраэдра. Условие компланарности трех векторов.
Приложения к решению задач.
2. Плоскости и прямые. Различные способы задания плоскости, общее
уравнение плоскости. Геометрический смысл знака многочлена первой
степени Ах+Ву+Сz+D Взаимное расположение двух, трех плоскостей.
Расстояние от точки до плоскости. Угол между двумя плоскостями.
Различные способы задания прямой, взаимное расположение двух прямых в
пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между
двумя прямыми. Угол между прямой и плоскостью.
3. Преобразования пространства. Краткие сведения о движениях,
преобразованиях подобия и аффинных преобразованиях пространства.
Групповой подход к геометрии.
4. Изучение поверхностей второго порядка по каноническим
уравнениям. Поверхности вращения. Цилиндрические и конические
поверхности второго порядка. Конические сечения. Эллипсоид,
гиперболоиды, параболоиды. Прямолинейные образующие поверхностей
второго порядка.
5. Аффинное и евклидово n-мерное пространства. Аксиомы Вейля nмерного вещественного аффинного пространства. Аффинная система
координат.
n-мерные
плоскости.
Взаимное
расположение
двух
гиперплоскостей. Аксиомы n-мерного евклидова пространства. Расстояние
между двумя точками, угол между векторами. Ортогональность.
Ортонормированные системы координат.
6. Квадратичные формы и квадрики. Квадратичные формы и
квадрики. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Закон
инерции. Положительно определенные формы. Квадрики в аффинном
пространстве, центр. Приведение уравнения квадрики к каноническому виду.
Понятие о классификации квадрик. Приведение квадратичной формы к
каноническому виду при помощи ортогонального преобразования. Квадрики
в трехмерном евклидовом пространстве. Аффинные классы квадрик.
Тематика заданий для самостоятельной работы студентов
1. Проекция вектора на ось.
2. Уравнение линии в полярных координатах.
3. Пучки прямых.
4. Геометрическое истолкование уравнений и неравенств между
координатами.
5. Пучок плоскостей.
6. Квадрики в аффинном пространстве.
7. Квадрики в трехмерном евклидовом пространстве.
10.
Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы
студентов
Особое место в овладении данным курсом отводится самостоятельной
работе, которая заключается в следующем:
−самостоятельное изучение части теоретического материала,
−теоретическая подготовка к практическим занятиям,
−систематическое выполнение домашних заданий,
−выполнение индивидуальных заданий.
Контрольные вопросы для самостоятельной оценки качества
освоения дисциплины
1 семестр. Векторная алгебра. Геометрия на плоскости.
1. Направленные отрезки. Векторы. Понятие вектора. Виды векторов. Лемма
о равенстве векторов.
2. Сложение и вычитание векторов. Определения и свойства. Примеры.
3. Умножение вектора на число. Определение и свойства. Примеры.
4. Условия коллинеарности двух векторов и компланарности трех векторов.
5. Линейно зависимая система векторов. Свойства такой системы векторов.
Примеры.
6. Линейно независимая система векторов. Свойства такой системы векторов.
Примеры.
7. Теорема о разложении вектора по трем некомпланарным векторам.
Следствие.
8. Базис. Размерность. Понятие координат векторовк. Примеры. Свойства
координат точек.
9. Ортонормированный базис.
Вычисление длины вектора через ее
координаты. Примеры.
10. Скалярное произведение векторов. Определение. Вычисление его в
координатах. Примеры.
11. Скалярное произведение векторов. Определение. Примеры. Свойства
скалярного произведения векторов.
12. Векторные
подпространства.
Примеры.
Двумерное
векторное
подпространство. Условие коллинеарности двух векторов.
13. Применение векторов к решению задач. Алгоритм применения векторов.
Примеры.
14. Аффинная система координат на плоскости. Решение простейших задач в
координатах.
15. Деление отрезка в заданном отношении. Примеры.
16. Прямоугольная декартова система координат. Решение простейших задач.
17. Ориентация пространства. Признак компланарности векторов. Матрица
перехода. Левый и правый базисы.
18. Формулы преобразования координат на плоскости.
19. Алгебраическая линия. Окружность.
20. Уравнения прямой на плоскости. Выводы. Примеры.
21. Расстояние от точки до прямой. Примеры.
22. Угол между двумя прямыми. Примеры.
23. Полярные координаты. Решение простейших задач в полярных
координатах. Присоединенная прямоугольная система координат.
24. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Примеры.
25. Основные задачи на прямую на плоскости.
26. Метод координат на плоскости. Алгоритм применения. Примеры.
27. Эллипс. Вывод уравнения. Построение циркулем и линейкой. Свойства.
28. Гипербола. Вывод уравнения. Построение циркулем и линейкой.
Свойства.
29. Парабола. Вывод уравнения. Построение циркулем и линейкой. Свойства.
30. Единое определение эллипса, гиперболы и параболы.
31. Уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах.
32. Пересечение линии второго порядка с прямой. Асимптотические
направления.
33. Центр линии второго порядка. Примеры.
34. Касательные к линии второго порядка. Вывод уравнения. Примеры.
35. Диаметры линии второго порядка. Сопряженные направления. Примеры.
36. Главные направления. Главные диаметры линии второго порядка.
Примеры.
37. Классификация центральных линий второго порядка. Примеры.
38. Классификация нецентральных линий второго порядка.
39. Приведение линий второго порядка к каноническому виду.
2 семестр. Метод координат в пространстве.
1. Аффинная и прямоугольная система координат в пространстве. Деление
отрезка в данном отношении. Вычисление расстояния между точками.
2. Ориентация пространства и плоскости.
3. Формулы преобразование координат в пространстве.
4. Векторное произведение векторов. Геометрический смысл модуля
векторного произведения векторов. Свойства векторного произведения.
5. Векторное произведение векторов в ортонормированном базисе. Свойства
векторного произведения.
6. Смешанное произведение в ортонормироваанном базисе. Свойства
смешанного произведения.
7. Смешанное произведение в произвольном базисе. Свойства смешанного
произведения.
8. Различные способы задания плоскости. Выводы уравнений. Свойства.
9. Общее уравнение плоскости. Параллельность вектора и плоскости.
Особенности расположения плоскости относительно системы координат при
равенстве нулю некоторых коэффициентов в общем уравнении плоскости.
10. Геометрический смысл знака многочлена Ах + Ву + Сz+D.
11. Расстояние от точки до плоскости. Вывод формулы. Примеры.
12. Угол между двумя плоскостями. Вывод формулы. Примеры.
13. Различные способы задания прямой в пространстве. Каноническое
уравнение, параметрические уравнения и прямая как линия пересечения двух
плоскостей. Примеры.
14. Угол между прямой и плоскостью. Вывод формулы. Примеры.
15. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми. Вывод формулы.
Примеры.
16. Взаимное расположение прямой и плоскости. Примеры.
17. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Примеры.
18. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Примеры.
19. Основные задачи на прямую и плоскость в пространстве. Примеры.
20. Поверхности второго порядка. Метод сечений.
21. Поверхности вращения.
22. Цилиндрические поверхности второго порядка.
23. Конические поверхности второго порядка.
24. Эллипсоид.
25. Однополостный гиперболоид.
26. Двуполостный гиперболоид.
27. Эллиптический параболоид.
28. Гиперболический параболоид.
29. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка.
30. Метод координат в пространстве. Признаки применимости и алгоритм
применения метода. Примеры решения аффинных и метрических задач
методом координат.
31. Аксиомы Вейля n-мерного вещественного аффинного пространства.
32. Аффинная система координат. n-мерные плоскости.
33. Взаимное расположение двух гиперплоскостей.
34. Аксиомы n-мерного евклидова пространства.
35.Расстояние между двумя точками, угол между векторами.
Ортогональность. Ортонормированные системы координат.
35. Квадратичные формы и квадрики. Приведение квадратичной формы к
каноническому виду.
36. Закон инерции. Положительно определенные формы.
37. Квадрики в аффинном пространстве.
38. Приведение уравнения квадрики к каноническому виду.
39.Классификация квадрик.
40. Приведение квадратичной формы к каноническому виду при помощи
ортогонального преобразования.
41. Квадрики в трехмерном евклидовом пространстве. Аффинные классы
квадрик.
Тематика заданий для самостоятельной работы студентов
1. Проекция вектора на ось.
2. Уравнение линии в полярных координатах.
3. Пучки прямых.
4. Геометрическое истолкование уравнений и неравенств между
координатами.
5. Пучок плоскостей.
6. Квадрики в аффинном пространстве.
7. Квадрики в трехмерном евклидовом пространстве
11. Контрольно-оценочные материалы
Контрольная № 1
Вариант 1
1. Дан тетраэдр АВСD, точка М – центр тяжести грани АВС, N и К –
середины ребер ВD и DА соответственно. Найти координаты векторов DM ,
AD , CN и NK в базисе BA , BC , BD .
2. В прямоугольном параллелепипеде АВСDА1В1C1D1 диагонали А1В и
В1С его граней наклонены к плоскости основания под углами 30° и 60°.
Вычислить угол между этими диагоналями.
3. М и М1 – точки пересечения медиан треугольников АВС и А1В1С1.
Доказать, что MM 1  13 ( AA1  BB1  CC1 ) .
4. Найти угол между биссектрисами двух плоских углов прямого
трехгранного угла.
5. В четырехугольнике АВСD суммы квадратов длин противоположных
сторон равны. Доказать, что его диагонали АС и ВD взаимно
перпендикулярны.
Вариант 2
1. Дана треугольная призма АВСА1В1С1, N – середина отрезка B1C1, М –
точка пересечения прямых А1В и АВ1. Найти координаты векторов
CB, AM , CN в базисе AC , AB, CA1 .
2. Дан треугольник АВС такой, что в ортонормированном базисе
BA (–2, 3), BC (0,1). Найти длину высоты ВН и угол между векторами BH и BA .
3. Доказать, что если для неколлинеарных векторов a и b выполнено
условие a  2b  2a  b , то a  b .
4. Найти угол между биссектрисами АА1 и АА2, двух граней правильного
тетраэдра АВСD.
5. В правильном тетраэдре АВСD, М и N – центры граней ВСD и АСD
соответственно. Найти угол между векторами AM и BN .
Вариант 3
1. В тетраэдре АВСD точка М – центр тяжести грани ВСD , К и L –
середины ребер АD и BD соответственно. Найти координаты векторов
AM , AD,KL в базисе CB, CD, CA. .
2. Найти длину биссектрисы BD треугольника АВС, если известно, что АВ
= 2, BC = 3,  АВС = 60°.
3. Доказать, что если вектора
a
и
b
перпендикулярны, то
ab  ab
.
4. Доказать, что в четырехугольнике с взаимно перпендикулярными
диагоналями сумма площадей квадратов, построенных на одной паре
противоположных сторон, равна сумме площадей квадратов, построенных на
другой паре таких сторон.
5. Найти угол между скрещивающимися диагоналями двух смежных
граней куба.
Вариант 4
1. Дана правильная треугольная призма АВСА1В1С1, у которой все ребра
равны. Найти угол между векторами AB и AM , где М – середина ребра В1С1.
2. Точка О – центр параллелограмма АВСD. Найти координаты векторов
AO, OD в базисе AD, AM , где М – середина стороны ВС.
3. Пусть ma , mb , mc - медианы треугольника, сторонами которого являются
отрезки a, b, c . Доказать, что ma2  mb2  mc2  34 ( a 2  b 2  c 2 ).
4. Найти длину высоты АН треугольника АВС, в котором  ВАС = 60°, АВ
= 3, АС = 2.
5. Доказать, что если в тетраэдре имеется две пары взаимно
перпендикулярных противоположных ребер, то и оставшиеся два ребра
будут взаимно перпендикулярными.
Вариант 5
1. Дан параллелепипед АВСДА1В1С1D1, точка М – центр грани ВСС1В1.
Найти координаты вектора AM в базисе DD1 , DB , AB .
2. Дан угол АВС, причем известны координаты векторов
BA (–3,0,4) и BC (5,–2, –14) в ортонормированном базисе. Найти координаты
единичного вектора, сонаправленного с биссектрисой данного угла.
3. Пусть АН – высота, AM – медиана треугольника АВС, в котором  ВАС
= 60°, АВ = 3, СА = 4. Найти координата векторов AH , AM в базисе AC, AB .
4. В трапеции АВСD основание АD в пять раз больше основания ВС.
Найти длины диагоналей трапеции и угол между ними, если известно, что АВ
= 6, АD = 10,  ВАD = 60°.
5. В треугольнике АВС длины сторон связаны соотношением a 2  b 2  5c 2 .
Доказать, что медианы АА1 и ВВ1 взаимно перпендикулярны.
Вариант 6
1. В параллелепипеде АВСDА1В1C1D1 точки М и N – середины ребер А1D и
ВС соответственно. Найти координаты вектора MN в базисе AB , AD , AC 1 .
2. Векторы a (2,–3,0), b (1,1,0) заданы своими координатами в базисе
e1 , e2 , e3 , где e1  3, e 2  2, e3   угол между векторами e1 , e 2 равен 60°, а углы
между векторами e1, e3 и e2 , e3 равны 45°. Найти угол между векторами a , b и
длину вектора a + b .
3. Пусть CН – высота прямоугольного треугольника, проведенная из
вершины прямого утла к гипотенузе АВ. Найти координаты вектора CH в
базисе CB, CA , если известно, что СА = b , СВ = a .
4. Найти величину двугранного угла при ребре правильного тетраэдра.
5. Доказать, что прямая, проходящая через середины двух
противоположных ребер правильного тетраэдра, перпендикулярна каждому
из них.
Вариант 7
I. Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, все ребра которой
равны a . Точка М принадлежит ребру В1С1, причем В1М относится к МС1, как
2:1, точка О – центр грани AВС. Найти длину отрезка ОМ.
2. Компланарны ли векторы a (1,2,4), b (3,2,1), c (–1,2,7)?
3. Пусть CH – высота, СD – биссектриса треугольника АВС, в котором
 С – прямой, СА =3, СВ = 4. Найти координаты векторов в базисе CA, CB .
4. Пусть a и b – ненулевые коллинеарные векторы, α и β – данные CH, CD
вещественные числа. При каком условии существует решение x системы
уравнений a x  , b x   ?
5. Дан куб АВСDА1В1С1D1. Доказать, что его диагональ АС1
перпендикулярна плоскости А1ВD.
Вариант 8
1. В правильной четырехугольной пирамиде SАВСD боковыми гранями
являются правильные треугольники со стороной a . Найти расстояние между
серединами ребер SA и СD.
2. При каких значениях α и β векторы a (–2,3,α) и b (β,–6,2): а)
коллинеарны; б) взаимно ортогональны; в) имеют равные длины? В случаях
б) и в) предполагается, что базис – ортонормированный.
3. Дан квадрат ABCD; E – середина стороны АD, точка F – принадлежит
прямой AC. Доказать, что прямые EF и FB взаимно перпендикулярны тогда и
только тогда, когда AF  3FC или F = A.
4. С помощью векторов доказать, что диагонали ромба перпендикулярны.
5. Доказать следующее утверждение: для того, чтобы каждая пара
противоположных ребер АВ и СD, АС и ВD, ВС и АD тетраэдра АВСD была
взаимно перпендикулярна, необходимо и достаточно, чтобы АВ2 + СD2 =
=AС2 + ВD2 = ВС2 + АD2.
Вариант 9
1. Зная длины всех шести ребер тетраэдра, найти длины отрезков,
соединяющих попарно середины противоположных ребер.
2. Даны тройки векторов: а) a (–3,0,2), b (2,1–4), c (11,–2,–2),
6) d (1,0,7), e (–1,2,4), f (3,2,1). Найти среди них тройку компланарных
векторов.
3. Дан треугольник АВС, причем известно, что в ортонормированном
базисе AB (3,0), AC (0,1). Найти величину угла между высотой АН и медианой
ВМ этого треугольника.
4. Даны ненулевой вектор a и вещественное число λ. Выяснить
геометрический смысл решений x уравнения a x = λ.
5. Доказать, что прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются
в одной точке.
Вариант 10
1. Диагональ АС1 прямоугольного параллелепипеда образует с каждым из
двух ребер, выходящих из точки А, угол 60°. Какой угол она образует с
третьим ребром, выходящим из той же точки А?
2. Доказать, что биссектриса внутреннего угла треугольника делит
противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим
сторонам.
3. Найти наименьшую размерность векторного пространства,
содержащего векторы a (1,2,4), b (3,2,1), c (–1,2,7).
4. В трапеции АВСD основание АВ в два раза больше основания СD, О и Е
– точки пересечения диагоналей и продолжений боковых сторон
соответственно. Найти ОЕ, если АВ = 8, АD = 6,  DАВ = 60°.
5. Сформулировать и доказать теорему обратную теореме Пифагора.
Контрольная № 2
Вариант 1
1. Через точку M 3,3 проведите прямую так, чтобы ее отрезок,
заключенный между данными прямыми x  4 y  4  0 и 3x  2 y  2  0 , в точке
M делился пополам.
2. По данным расстояниям a и b от концов некоторого отрезка до данной
прямой определите расстояние до этой прямой от середины данного отрезка.
3. Через точку M к сторонам треугольника проведены перпендикуляры.
Найти множество точек M, для каждой из которых основания
перпендикуляров принадлежат одной прямой.
4. Прямая d проходит через вершину A и середину медианы BM
треугольника ABC, N – точка пересечения прямой d со стороной BC.
Доказать, что отношение (BC, N)= 12 .
5. На прямой 2x–y–10=0 найти точку, сумма расстояний от которой до
точек A(–5,0) и B(–3,4) была бы наименьшей.
Вариант 2
1. Напишите уравнения сторон треугольника, если даны одна его
вершина A2,7  и уравнения двух медиан y  6  0 и 3x  4 y  9  0 .
2. Параллелограмм разбит своей диагональю, длина которого равна a , на
два равнобедренных прямоугольных треугольника. Найдите длину второй
диагонали параллелограмма. Рассмотрите возможные случаи.
3. Найдите множество точек, отношение расстояний от которых до
данных взаимно перпендикулярных прямых постоянно и равно  .
4. Даны два параллелограмма ABCD и AMNP, где M – точка стороны AB,
N – точка стороны AD. Доказать, что прямые MD, BP, NC пересекаются в
одной точке.
5. Даны точки A(5,2) и B(2,1). На прямой x+y–5=0 найти точку M, такую,
чтобы  AMB=450.
Вариант 3
1. Напишите уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину
A2, 7 , а также уравнения высоты 3x  y  11  0 и медианы x  2 y  7  0 ,
проведенных из одной вершин.
2. Даны расстояния a, b, c от вершин A, B, C параллелограмма ABCD до
некоторой прямой. Найдите расстояние до этой прямой от точки пересечения
диагоналей параллелограмма.
3. Найдите множество точек плоскости, отношение расстояний от
которых до двух данных точек постоянно и равно  .
4. Точки M и N принадлежат соответственно сторонам DC и CB
параллелограмма ABCD. Через середину отрезков DM и AB проведена
прямая. Через середину отрезков AD и BN – вторая прямая, пересекающая
первую в точке P. Доказать, что прямая AP проходит через середину отрезка
MN.
5. Две прямые x+y–2=0, x+y+3=0 повернуты вокруг начала координат на
0
90 . Найти координаты точек пересечения данных прямых и их образов при
повороте. Доказать, что полученные точки являются вершинами квадрата.
Вариант 4
1. Напишите уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину
C 2, 0 , а также уравнения высоты x  y и медианы x  1 , проведенных из
различных вершин.
2. Даны расстояния a, b, c от вершин A, B, C параллелограмма ABCD до
некоторой прямой. Найдите расстояние до этой прямой от четвертой его
вершины.
3. Найдите множество точек, сумма квадратов расстояний от которых до
двух данных точек постоянна и равна  .
4. Дан треугольник ABC. Прямая d пересекает прямые BC, CA, AB
соответственно в точках A1, B1 и C1. На каждой прямой построены точки A2,
B2, C2 симметричные точкам A1, B1, C1 относительно середины содержащих
их сторон. Доказать, что точки A2, B2 и C2 принадлежат на одной прямой.
5. На сторонах прямого угла ACB даны две точки A и B так, что CA=CB.
Найти множество точек M, расположенных внутри угла, для которых луч MC
есть биссектриса угла AMB.
Вариант 5
1. Напишите уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину
A5, 4 , а также уравнения высоты 8x  y  9  0 и биссектрисы 2 x  y  1  0 ,
проведенных из одной вершины.
2. Докажите, что если m1 и m2 − медианы прямоугольного треугольника,
проведенные к катетам, причем m1  m2 , то
1 m1

 2.
2 m2
3. Найдите множество точек плоскости, модуль разности квадоатов
расстояний от которых до двух данных точек постояннен и равен  .
4. Доказать, что никакие три вершины квадратов клетчатой бумаги не
образуют равностороннего треугольника.
5. В равнобедренном треугольнике ABC  AB  BC  известны уравнения двух
сторон  AB : 3x  2 y  3  0,  AC  : 2 x  y  5  0 и точки M 1,1 , принадлежащей
третьей стороне треугольника. Найти уравнение третьей стороны.
Вариант 6
1. Напишите уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину
B2,  1 , а также уравнения высоты 3x  4 y  27  0 и биссектрисы 2 x  y  5  0 ,
проведенных из разных вершин.
2. Основания трапеции a и b . Определите расстояние между точками,
делящими боковые стороны трапеции в отношении  .
3. Найдите множество середин отрезков, соединяющих данную точку со
всеми точками данной окружности.
4. Методом координат доказать, что произведение длин любых двух
сторон треугольника равно произведению длины его высоты, выходящей из
общей вершины этих сторон, на диаметр описанной окружности.
5. Луч света направили по прямой, уравнение которой имеет вид
2 x  3 y  6  0 . Найти уравнение прямой, которая содержит луч, отраженный от
оси абсцисс.
Вариант 7
1. Напишите уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину
C  5, 3 , а также уравнения биссектрисы 2 x  y  5  0 и медианы 4 x  y  7  0 ,
проведенных из одной вершины.
9 
2. На графике функции y  x найдите точку, ближайшую к точке A , 0 .
2

3. Найдите множество концов B отрезков AB , исходящих из данной точки
A , если известно, что их середины лежат на данной окружности.
4. Доказать, что каждая прямая, проходящая через основания высот,
проведенных
из
двух
вершин
непрямоугольного
треугольника,
перпендикулярна прямой, проходящей через его третью вершину и центр
окружности, описанной около треугольника.
5. Луч света направили по прямой, уравнение которой имеет вид
2 x  3 y  6  0 . Найти уравнение прямой, которая содержит луч, отраженный от
оси ординат.
Вариант 8
1. Напишите уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину B1, 5 ,
а также уравнения биссектрисы x  y  1  0 и медианы 2 x  11y  3  0 ,
проведенных из разных вершин.
2. Докажите, что любая точка графика функции
от точки A0, 2  и прямой
y
x2
8
одинаково удалена
y  2 .
3. Найдите множество точек плоскости, сумма квадратов от которых до
двух противоположных вершин данного прямоугольника равна сумме
квадратов расстояний до двух других его вершин.
4. В прямоугольном треугольнике ABC (угол C − прямой) проведена
высота CD . Доказать, что медиана AA1 треугольника ADC перпендикулярна
медиане CC1 треугольника CDB .
5. Даны вершины
A1, 2
и
 1

B  ,  1
2


при основании равнобедоенного
треугольника ABC и уравнение x  y  1  0 прямой, содержащей биссектрису
внутреннего угла при основании. Написать урпавнения сторон треугольника.
Вариант 9
1. Напишите уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину
A4,  1 и уравнения двух биссектрис x  1  0 и x  y  1  0 .
2. Найти точку, сумма квадратов расстояний которой до вершин
треугольника наименьшая. Выразить эту наименьшую сумму через длины
a, b, c сторон треугольника.
3. Найдите множество точек, для которых сумма расстояний до прямых,
содержащих две противоположные стороны прямоугольника, равна сумме
расстояний до прямых, содержащих две другие его стороны.
4. Точка M − середина основания AB равнобедренного треугольника ABC .
Доказать, что если N − середина перпендикуляра MP , проведенного из точки
M на сторону BC , то CN перпендикулярна AP .
5. Луч света проходит через точку M 1,1 и, отразившись последовательно
от прямых x  y  2  0 и 2 x  y  1  0 , проходит через точку N 2, 2  . Найти
уравнение прямой, падающей на первую прямую.
Вариант 10
1. Напишите уравнения трех сторон квадрата, если известно, что
четвертой стороной является отрезок прямой 3x  2 y  6  0 , концы которого
лежат на осях координат.
2. На графике функции
3 x  4 y  10  0 .
y  x2
найти точку, ближайщую к прямой
3. Найти множество точек плоскости, для каждой из которых расстояние
до данной точки A вдвое больше расстояния до данной прямой a,
проходящей через точку A.
4. Четыре диагонали пятиугольника соотвественно параллельны четырем
его сторонам. Доказать, что пятая диагональ плраллельна пятой стороне.
5.
ABCD −
ромб.
AB : x  3 y  12  0, CD : x  3 y  8  0,
Известны
уравнения
AC : x  2 y  2  0 . Найти уравнения прямых
прямых
BC и AD .
Контрольная работа № 3
Индивидуальные задания по теме: «Кривым второго порядка»
Задание 1. Не приводя к каноническому виду найти:
1) центр линии;
2) асимптотические направления;
3) написать уравнение касательной к кривой, проходящей через
выбранную точку;
4) диаметр, проходящий через начало координат;
5) диаметр, сопряженный вектору i ;
6) уравнения главных диаметров.
Задание 2. Привести уравнение кривой к каноническому виду и
изобразить ее. Найти полуоси или параметр и эксцентриситет.
Варианты заданий
1. x2+y2+xy+x+y = 0
16. 3xy–4y2+6x–13y– 11 =0
2
2
2
2. 40x +36xy+25y –8x–14y+1=0
3. 3xy+6x+3y+ 15 =0
4. 4xy+
2
3 2
y +8x+6y–18=0
2
2
2
17. 12x –24xy+12y –48x=0
18. 12xy–16y2+24x–52y–22=0
19. 20x2+8xy+12 1 y2–4x–7y+ 1 =0
2
5. 4xy+8x+4y+10=0
20.
2xy+ 3 y2+8x+6y–18=0
2
2
6. 9x2+12xy+4y2+8x+14y+3=0
7. 4xy+3y2+16x+12y–36=0
8. 2x2+xy+2y2+15 2 x+50=0
9. 10x2+6xy+2y2–2x+4y–3=0
10. 3x2+4 2 xy+5y2+6x–1=0
11. 4x2+2xy+4y2+30 2 x+100=0
12. 5x2+4y2+6xy–3x–6y+1=0
13. xy+2x+y+ 5 =0
21. x2+6xy+9y2–12x+24y+15=0
22. 4x2+4xy+y2+8x+6y+3=0
23. x 2  2xy  9 y 2  8x  6 y 12  0
24. 9x2+6y2+4xy+2x–4y–4=0
25. 2 x 2  3xy  2 y 2  7 x  3 y  3  0
26. x2–2xy+y2–4x=0
27. 9x2+4y2–12xy+39=0
28. 3 x2– 3 y2+2xy–2x–2 3 y=0
2
2
14. 9x 12xy  4 y 2  8x  14y  3  0
15. 3x 2  4 2 xy  5 y 2  6 x  1  0
29.
30.
x 2  6 xy  9 y 2  12x  24 y  15  0
4 xy  3 y 2  16 x  12 y  36  0
Контрольная работа № 4
Прямые и плоскости в пространстве
Вариант 1.
1. Из одной точки отложены направленные отрезки - представители
некомпланарных векторов а, b , с . Доказать, что плоскость, проходящая через
концы этих отрезков, перпендикулярна вектору р  а, b b, c c, a.
2. Дан тетраэдр, вершины которого находятся в точках A (2,  1,  1),
B (5,  1, 2), C (3, 0,  3), D (6, 0,  1). Найти: а) объем тетраэдра; б) площади граней; в)
длину и уравнение высоты AH ; г) угол между ребрами AB и CD ; д) уравнения
граней ABC и ABD и угол между этими гранями.
3. Написать уравнения прямой, пересекающей каждую из трёх прямых,
заданных в аффинной системе координат уравнениями
x  0
a: 
,
y  0
x  1
,
b: 
z  0
y  1
c: 
 z  1
4. Через линию пересечения плоскостей, заданных уравнениями x  5 y  z  0
и x  z  4  0 , провести плоскость, образующую угол /4 с плоскостью,
заданной уравнением x  4 y  8 z  12  0.
5. Найти расстояние между прямыми, заданными уравнениями
2 x  2 y  z  10  0

x  y  z  4  0
и
x y  19 z  9


,
3
1
4
и написать уравнения прямой, содержащей общий перпендикуляр этих
прямых.
6. Доказать, что отрезки, соединяющие противоположные ребра
тетраэдра, пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.
Вариант 2.
1. Дан тетраэдр, вершины которого находятся в точках A (0, 0, 0) ,
B (3, 4,  1), C(2, 3, 5), D(6, 0,  3). Найти: а) объем тетраэдра; б) площади граней; в)
длину и уравнение высоты AH ;
г) угол между ребрами AB и CD ; д) уравнения граней ABC и ABD и угол между
этими гранями.
2. Найти расстояние от точки C (3, 2,  2) до прямой, проходящей через точки
А(1,2,– 3) и В(5,2,0).
3. Написать уравнение плоскости, параллельной плоскости, заданной
уравнением 3x  6 y  2 z  14  0, и удалённой от неё на расстояние, равное 3.
4. Написать уравнения прямой, проходящей через точку A(4, 0,  1), которая
пересекает прямые, заданные в аффинной системе координат уравнениями
x 1 y  3 z  5


2
4
3
и
 x  5t

y  2  t .
 z  1  2t

5. Написать уравнение плоскости, симметричной координатной плоскости
0xz относительно плоскости, заданной уравнением 3x  4 y  5z  5  0.
6. Пусть ребра AB, AC, AD тетраэдра ABCD взаимно перпендикулярны.
Доказать, что центр сферы, описанной вокруг данного тетраэдра, лежит на
прямой, соединяющей вершину A с центром тяжести треугольника BCD.
Вариант 3.
1. Найти объём шара, вписанного в тетраэдр, ограниченный
координатными плоскостями и плоскостью, заданной уравнением
2 x  3 y  6 z  18  0.
2. Написать уравнение плоскости, проходящей через начало координат и
перпендикулярной к прямой, заданной уравнениями:
x  2 y  4z  3  0
.

y  0
3. Дан тетраэдр, вершины которого находятся в точках A(2,  1,  1), B(5,–
1,2), C(3,0,–3), D(6,1,–1). Найти: а) объем тетраэдра; б) площади граней; в)
длину и уравнение высоты АН;
г) угол между ребрами AB и CD; д) уравнения граней ABC и ABD и угол
между этими гранями.
4. Написать уравнение плоскости , которая параллельна плоскостям  и ,
заданным соответственно уравнениями x  2 y  z  1  0 и x  2 y  z  3  0, если
известно отношение расстояний
(  ,  ) : (  , )  1 : 3.
5. Найти координаты точки, симметричной точке А(0,0,2) относительно
прямой, заданной каноническими уравнениями
x y 1
z
.


1
1
1
6. Доказать, что плоскости, перпендикулярные к ребрам тетраэдра и
делящие их пополам, пересекаются в одной точке.
Вариант 4.




1. Найти площадь треугольника АВС, если AB  m  n , AC  m  n , где


m  2, n  3 , CAB  60 .
2. Написать уравнение плоскости, проходящей через начало координат и
перпендикулярной к двум плоскостям, заданным уравнениями 2 x  y  5z  3  0 и
x  3 y  z  7  0.
3. Дан тетраэдр, вершины которого находятся в точках A(2, –1,1), B(5,–
1,2), C(–3,0,–3), D(6,0,–1). Найти: а) объем тетраэдра; б) площади граней; в)
длину и уравнение высоты АН; г) угол между ребрами AB и CD; д) уравнения
граней ABC и ABD и угол между этими гранями.
4. Написать уравнения прямой, содержащей перпендикуляр, проведённой
из точки А(2, 3, 1) к прямой, заданной уравнениями x  1  y  z  2 .
2
1
3
5. Даны координаты вершин тетраэдра АВСD: А(0,0,2), В(3,0,5), С(1,1,0),
D(4,1,2). Вычислить его объём и составить уравнение прямой, содержащей
общий перпендикуляр прямых АС и BD.
6. В неплоском четырехугольнике отрезки, соединяющие середины двух
противоположных сторон и середины диагоналей пересекаются и делятся
точкой пересечения пополам.
Вариант 5.
1. При каком значении параметра  векторы m  3 p  q и n  3 p  q :
а)
коллинеарны,
б)
перпендикулярны,
если
известно,
что
p  2, q  3, ( p, q)  60 ?
2. Дан тетраэдр, вершины которого находятся в точках A(2,1,–1), B(5,1,2),
C(3,0,–3), D(6,0,–1). Найти: а) объем тетраэдра; б) площади граней; в) длину
и уравнение высоты АН; г) угол между ребрами AB и CD; д) уравнения
граней ABC и ABD и угол между этими гранями.
3. Написать уравнение плоскости, проходящей через начало координат и
перпендикулярной к прямой, заданной уравнениями:
x  2 y  4 z  3  0

y  0
4. Найти расстояние между прямыми, заданными уравнениями
2 x  2 y  z  10  0

x  y  z  4  0
x y 9 z 9


.
3
1
4
и
5. Написать уравнения прямой, проходящей через точку А(4,0,–1), которая
пересекает прямые, заданные уравнениями
x 1 y  3 z  5


2
4
3
и
 x  5t

y  2  t
 z  1  2t

6. В неплоском четырехугольнике отрезки, соединяющие середины двух
противоположных сторон и середины диагоналей пересекаются и делятся
точкой пересечения пополам.
Вариант 6.
1. Вычислить площадь треугольника АВС, если известно, что
АС  m  n , где m  4, n  6, (m,n)   / 3 .
АВ  m  n ,
2. Дан тетраэдр, вершины которого находятся в точках
A(–2,–1,1), B(5,–1,–2), C(3,0,–3), D(6,0,–1). Найти: а) объем тетраэдра; б)
площади граней; в) длину и уравнение высоты АН; г) угол между ребрами AB
и CD; д) уравнения граней ABC и ABD и угол между этими гранями.
3. Написать уравнение множества всех точек пространства,
равноудалённых от двух плоскостей, заданных уравнениями 3 x  y  z  5  0 и
3 x  y  z  15  0.
4.
Найти
2 x  y  z  3  0

x  y  z 1  0
величину
угла
между
прямой,
и плоскостью, заданной уравнением
заданной
уравнениями
x  y  z  1  0.
5. Написать уравнения прямой, проходящей через точку
М(2,–1,0), которая пересекает под прямым углом прямую, заданную
уравнениями x  t , y  1  3t, z  1  2t.
6. Доказать, что две плоскости, проведенные через вершины A1BD и
CB1D1, делят диагональ AC1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 на три равные
части.
Вариант 7.
1. Дан тетраэдр, вершины которого находятся в точках A(2,–1,2), B(5,1,2),
C(3,0,–3), D(6.0,–1). Найти: а) объем тетраэдра; б) площади граней; в) длину
и уравнение высоты АН; г) угол между ребрами AB и CD; д) уравнения
граней ABC и ABD и угол между этими гранями.
2. Дан куб ABCDA1B1C1D1, ребро которого равно 3. Найти расстояние от
вершины А до плоскости BMN, где М и N – середины рёбер DC и D1C1
соответственно.
3. Написать уравнения прямой, проходящей через точку
А(1,0,1) и перпендикулярной к плоскости, заданной уравнением
3 x  6 y  3z  10  0. Найти расстояние между этой прямой и осью абсцисс.
4. Выяснить взаимное расположение прямых, заданных в аффинной
системе координат уравнениями
x  t , y  8  4t , z  3  3t
и
x  y  z  0

2 x  y  2 z  0.
5. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми, заданными
уравнениями
x  2t , y  1  t , z  t и x  1  t , y  1  t , z  3  t.
6. Доказать, что диагональ AC1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1
проходит через центры тяжести треугольников A1BD и B1D1C.
Вариант 8.
1. При каком значении 
векторы
p  a b c ,
S   b  4c ,
t  b  2c
 
компланарны, если известно, что аb с  0 ?
2. В треугольной призме ABCA1B1C1 векторы АВ (1,2,1), АС (3,0,2)
определяют основание, а вектор АА1(–1, 0, 0) – боковое ребро. Найти объём
призмы и площадь грани АВВ1А1.
3. Найти расстояние от точки С(3,2,–2) до прямой, проходящей через
точки А(1, 2, –3) и В(5, 2, 0).
4. Дан тетраэдр, вершины которого находятся в точках A(0,0,0), B(3,4,–1),
C(2,3,5), D(6,0,–3). Найти: а) объем параллелепипеда;
б) площади граней; в) длину и уравнение высоты АН; г) угол между ребрами
AB и CD; д) уравнения граней ABC и ABD и угол между этими гранями.
5.
Написать
уравнения
прямой,
проходящей
через
точку
M (2, 1,  1) перпендикулярно прямым, заданным уравнениями:
 x  y  3z  0

x  2 y  z  0
и
x  1  4t , y  2  7t , z  1  t .
6. В неплоском четырехугольнике отрезки, соединяющие середины двух
противоположных сторон и середины диагоналей пересекаются и делятся
точкой пересечения пополам.
Вариант 9.
1. Дан тетраэдр, вершины которого находятся в точках A(0,0,0), B(3,4,–1),
C(2,3,5), D(6,0,–3). Найти: а) объем тетраэдра; б) площади граней; в) длину и
уравнение высоты АН; г) угол между ребрами AB и CD; д) уравнения граней
ABC и ABD и угол между этими гранями.
2. Написать уравнения прямой, которая проходит через точку А(1,2,–1) и
параллельна прямой, заданной уравнениями:
x  y  z 1  0
.

2 x  y  2 z  0
3. Выяснить взаимное расположение прямых, заданных в аффинной
системе координат уравнениями:
 x  1  2t

 y  7  t
 z  3  4t

и
x  6 y  2 z 1


.
3
1
1
4. Написать уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения
плоскостей, заданных уравнениями x  y  z  1  0 и 2x  3 y  z  2  0, и
перпендикулярной к плоскости, заданной уравнением x  y  2 z  1  0.
5. Написать уравнения прямой, содержащей общий перпендикуляр двух
прямых, заданных уравнениями
x 1 y 1 z  3


2
1
4
и
x  6 y 1 z  2


.
3
2
1
6. Докажите, что в неплоском четырехугольнике отрезки, соединяющие
середины противоположных сторон пересекаются и делятся точкой
пересечения пополам.
Вариант 10.
1. На оси абсцисс найти точку, равноудалённую от точки А(1,0,0) и
плоскости, заданной уравнением x  y  z  1  0.
2. Выяснить взаимное расположение и вычислить угол между прямой
x 1 y  2 z  2
и плоскостью x  y  z  4  0.


3
1
2
3. Через точку
заданной
A(2,  5, 3) проведена
уравнениями
прямая
2 x  y  3 z  1  0
.

5 x  4 y  z  7  0
a,
Написать
параллельная прямой,
уравнения
прямой,
содержащей общий перпендикуляр прямой a и оси аппликат.
4. Найти точку, симметричную точке A(4, 3, 10) относительно прямой,
заданной уравнениями x  1  2t , y  2  4t , z  3  5t.
5. Дан тетраэдр, вершины которого находятся в точках A(0,0,0), B(3,4,1),
C(2,3,–5), D(6,0,–3). Найти: а) объем тетраэдра; б) площади граней; в) длину
и уравнение высоты АН; г) угол между ребрами AB и CD; д) уравнения
граней ABC и ABD и угол между этими гранями.
6. Пусть ребра AB, AC, AD тетраэдра ABCD взаимно перпендикулярны.
Доказать, что центр сферы, описанной вокруг данного тетраэдра, лежит на
прямой, соединяющей вершину A с центром тяжести треугольника BCD.
Вопросы к экзамену по курсу «Геометрия»
Элементы векторной алгебры. Метод координат на плоскости
1. Направленные отрезки. Эквиполлентность. Понятие вектора.
2. Сложение векторов. Свойства сложения. Вычитание векторов.
3. Умножение вектора на число. Свойства.
4. Линейная зависимость векторов. Необходимое и достаточное условие
линейной зависимости системы векторов.
5. Линейная зависимость двух векторов.
6. Линейная зависимость трёх векторов.
7. Линейная зависимость четырёх векторов.
8. Понятие векторного пространства.
9. Понятие векторного подпространства. Примеры.
10. Базис векторного пространства. Координаты вектора. Координаты
суммы векторов и произведения вектора на число.
11. Скалярное произведение векторов. Свойства.
12. Скалярное произведение векторов, заданных в ортонормированном
базисе (теорема).
13. Аффинная система координат в пространстве. Деление отрезка в
данном отношении.
14. Аффинная система координат на плоскости. Координаты точки.
Деление отрезка в данном отношении.
15. Ориентация пространства.
16. Ориентация плоскости.
17. Преобразование аффинной системы координат в аффинную в
пространстве.
18. Преобразование прямоугольной системы координат в прямоугольную
в пространстве.
19. Преобразование аффинной системы координат на плоскости.
20. Преобразование прямоугольной системы координат в прямоугольную
на плоскости.
21. Полярная система координат на плоскости.
22. Метод координат. Алгебраическая линия и её порядок.
23. Различные способы задания прямой на плоскости.
24. Общее уравнение прямой.
25. Геометрический смысл знака трехчлена Ax+By+C
26. Расстояние от точки до прямой.
27. Угол между прямыми.
28. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.
29. Пучки прямых на плоскости.
30. Эллипс.
31. Гипербола.
32. Взаимное расположение гиперболы и прямой, проходящей через центр
гиперболы. Асимптота гиперболы.
33. Парабола.
34. Директрисы эллипса и гиперболы.
35. Общее уравнение линии второго порядка. Пересечение ЛВП с прямой.
36. Асимптотические направления ЛВП.
37. Центр ЛВП.
38. Касательная к ЛВП.
39. Диаметры ЛВП.
40. Сопряжение направления ЛВП.
41. Главные направления ЛВП.
42. Главные диаметры ЛВП.
43. Классификация ЛВП.
12.Рейтинг-планы дисциплины по семестрам
Рейтинг-план дисциплины «Геометрия», семестр 1
Специальность 010400.62 Прикладная математика и информатика
Курс 1, семестр 1 2012/2013 гг.
Количество часов по учебному плану 108, в т.ч. аудиторная работа 54, самостоятельная работа 27
Преподаватель: Шабаева А.Ф., канд. ф.-м.н., доцент
Кафедра: алгебры, геометрии и методики обучения математике
Виды учебной
деятельности студентов
Модуль 1
Текущий контроль
1.Аудиторная работа
2.Выполнение домашнего
задания
3. Письменный теоретический
опрос по избранным вопросам
Рубежный контроль
1. Письменная контрольная
работа
2. Коллоквиум
Модуль 2
Текущий контроль
1. Аудиторная работа
2. Выполнение домашнего
задания
3. Письменный теоретический
опрос по избранным вопросам
Рубежный контроль
1. Письменная контрольная
работа
Балл за
конкретное
задание
Число
заданий за
семестр
Минимальный
0
Баллы
Максимальный
100
40
15
5
5
1
2
5
0
0
5
1
0
5
3
5
0
25
15
10
1
0
10
1
2
5
0
0
30
20
5
5
5
1
0
5
5
3
0
15
15
Поощрительные баллы
1. Участие в студенческой
олимпиаде
2. Активная работа на практических занятиях
1
5
5
Посещаемость (баллы вычитаются из общей суммы набранных баллов)
1. Посещение лекционных
занятий
2. Посещение практических
занятий
0
-6
0
-10
Итоговый контроль
1.Экзамен
30
Устанавливается следующая градация перевода оценки из многобалльной в четырехбалльную:
отлично – от 80 до 110 баллов (включая 10 поощрительных баллов),
хорошо – от 60 до 79 баллов,
удовлетворительно – от 45 до 59 баллов,
неудовлетворительно – менее 45 баллов.
Рейтинг-план дисциплины «Геометрия», семестр 2
Специальность 010400.62 Прикладная математика и информатика
Курс 1, семестр 2 2012/2013 гг.
Количество часов по учебному плану 108, в т.ч. аудиторная работа 54, самостоятельная работа 27
Преподаватель: Шабаева А.Ф., канд. ф.-м.н., доцент
Кафедра: алгебры, геометрии и методики обучения математике
Виды учебной
деятельности студентов
Модуль 1
Текущий контроль
1.Аудиторная работа
2.Выполнение домашнего
задания
3. Письменный теоретический
опрос по избранным вопросам
Рубежный контроль
1. Письменная контрольная
работа
2. Коллоквиум
Модуль 2
Текущий контроль
1. Аудиторная работа
2. Выполнение домашнего
задания
3. Письменный теоретический
опрос по избранным вопросам
Рубежный контроль
1. Письменная контрольная
работа
Балл за
конкретное
задание
Число
заданий за
семестр
Минимальный
0
Баллы
Максимальный
100
45
15
5
5
1
2
5
0
0
5
1
0
5
3
5
0
30
15
10
1
0
15
1
2
5
0
0
35
20
5
5
5
1
0
5
5
3
0
20
20
Поощрительные баллы
1. Участие в студенческой
олимпиаде
2. Активная работа на практических занятиях
1
5
5
Посещаемость (баллы вычитаются из общей суммы набранных баллов)
1. Посещение лекционных
занятий
2. Посещение практических
занятий
0
-6
0
-10
Итоговый контроль
1.Зачет
20
Устанавливается следующая градация перевода оценки из многобалльной в четырехбалльную:
зачтено – от 45 до 110 баллов (включая 10 поощрительных баллов),
не зачтено – от 0 до 44 баллов.