Ф е д е р а л ь н о е а г е н т с т в о п о о б р а з о в а н и ю

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Утверждаю
Декан факультета информатики
С.П. Сущенко
«
»
2010 г.
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
Специальность 351500 – МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ И
АДМИНИСТРИРОВАНИЕ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ
Статус дисциплины:
федеральный компонент специальности
Томск - 2010 г.
ОДОБРЕНО
кафедрой прикладной информатики
Протокол №50 от 01.12.2010 г.
Зав. кафедрой, профессор _________________С.П.Сущенко
РЕКОМЕНДОВАНО методической комиссией факультета информатики
Председатель комиссии, профессор _____________________ Б.А.Гладких
“___”_____________2010 г.
Рабочая программа по курсу “Вычислительная математика” составлена на основе
требований Государственного образовательного стандарта высшего профессионального
образования по специальности
351500 – МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ И
АДМИНИСТРИРОВАНИЕ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ, утвержденного 10 марта
2000 г. Общий объем курса 136 часов. Из них: лекции – 34 часа, лабораторные занятия –
34 часа, самостоятельная работа студентов – 68 часов. Экзамен в пятом семестре. Общая
трудоемкость курса 3.5 зач. ед.
СОСТАВИТЕЛЬ:
Макиенко Анатолий Дмитриевич – кандидат технических наук, доцент кафедры
прикладной информатики
РЕЦЕНЗЕНТ:
к.ф.-м.н., профессор Б.А. Гладких
Выписка
из Государственного образовательного стандарта высшего профессионального
образования по специальности 351500 – МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ И
АДМИНИСТРИРОВАНИЕ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ (квалификация –
математик-программист).
ЕН.Ф.01.10 Вычислительная математика. Особенности математических
вычислений, реализуемых на ЭВМ: представление чисел в форме с
фиксированной и плавающей запятой, диапазон и погрешности представления,
операции над числами, свойства арифметических операций; теоретические
основы численных методов: погрешности вычислений; устойчивость и
сложность алгоритма (по памяти, по времени); численные методы линейной
алгебры; решение нелинейных уравнений и систем; интерполяция функций;
численное интегрирование и дифференцирование; решение обыкновенных
дифференциальных уравнений; методы приближения функций; преобразование
Фурье, Уолша, быстрое преобразование Фурье; равномерное приближение
функций; обзор и анализ численных методов, применяемых в пакетах программ
линейной алгебры.
Цели и задачи дисциплины, ее место в учебном процессе
1.1. Цель преподавания дисциплины
Целью курса является изучение методов вычислений.
1.2. Задачи изучения дисциплины
Студент должен владеть методами вычислительной математики.
1.3. Перечень дисциплин, усвоение которых необходимо для изучения курса
Для изучения курса необходимо знание следующих курсов:
математический анализ, алгебра и теория чисел, геометрия и топология.
2. Содержание дисциплины
2.1. Теоретическая часть
1. Приближенные числа. Теория погрешностей (2 часа)
1.1. Понятие приближенного числа, абсолютная и относительная погрешности,
предельные абсолютная и относительная погрешности. Основные источники
погрешностей.
1.2. Десятичная запись приближенного числа. Значащие цифры. Число верных
знаков приближенного числа. Правила округления.
1.3. Связь относительной погрешности приближенного числа с количеством
верных знаков этого числа.
1.4. Неустранимые погрешности, погрешность суммы, разности, произведения,
частного. Потеря точности при вычитании. Относительная погрешность степени
и корня.
1.5. Погрешность общей функциональной зависимости. Обратная задача теории
погрешностей.
2. Основные понятия и свойства цепных дробей (2 часа)
2.1. Определение. Формы записи. Обращение цепной дроби в обыкновенную и
обратно. Подходящие дроби. Схема Горнера для подходящих дробей. Закон
составления подходящих дробей.
2.2. Соотношения между различными подходящими дробями.
2.3. Бесконечные цепные дроби. Сходимость. Теорема Принсгейма
2.4. Разложение функций в цепные дроби.
3. Вычисление значений различных функций (4 часа)
3.1. Вычисление значения полинома (схема Горнера). Связь с операцией
деления полинома на двучлен.
3.2. Приближенное нахождение суммы числовых рядов.
3.3. Вычисление значений аналитических функций: экспоненты, показательной
функции, логарифмической, тригонометрических функций, гиперболических
функций.
3.4. Интерактивные методы вычисления значений функций. Процесс Герона.
4. Приближенное решение алгебраических и трансцендентных уравнений
(4 часа)
4.1. Понятие отделенного корня. Процесс отделения корней. Схема Штурма.
4.2. Точность решения, общая формула для погрешности.
4.3. Графический метод решения уравнения.
4.4. Метод половинного деления (дихотомия). Характеристики точности
4.5. Метод пропорциональных частей (метод хорд). Характеристики точности
4.6. Метод Ньютона (касательных). Характеристики точности.
4.7.Комбинированные методы.
4.8. Метод последовательных приближений (метод итераций). Условия
сходимости, характеристики точности.
5. Улучшение сходимости рядов (2 часа)
5.1. Простейшие понятия.
5.2. Преобразование Куммера. Применение преобразования Куммера к рядам,
элементы которых - рациональные функции.
5.3. Улучшение сходимости рядов Фурье. Метод Крылова.
6. Решение систем линейных уравнений (точные метод) (4 часа)
6.1. Некоторые вопросы матричной алгебры: абсолютная величина и норма
матриц, предел матрицы, матричные ряды, блочные матрицы,треугольные
матрицы, представление неособенной матрицы через треугольные матрицы.
6.2. Вычисление определителя матрицы
6.3. Уточнение приближенного решения системы уравнений.
6.4. Метод главных элементов.
6.5. Метод квадратных корней.
6.6. Схема Холецкого.
6.7. Ортогонализация матриц и применение к решению систем лин. уравнений.
Ортогонализация столбцов, строк.
7. Решение систем линейных уравнений (приближенные, интерактивные
методы) (2 часа)
7.1. Метод итерации. Условие сходимости. Приведение системы к виду,
допускающему использования метода итераций.
7.2. Метод Зейделя.
7.3. Метод релаксации.
7.4. Сходимость итерационных методов решения систем лин. уравнений
7.5. Оценка погрешности приближений итерационного процесса.
8. Проблема собственных чисел и собственных векторов (4 часа)
8.1. Развертывание характеристического (векового) определителя.
8.2. Понятие подобия матриц. Метод Данилевского.
8.3. Метод Крылова.
8.4. Метод Леверрье.
8.5. Метод неопределенных коэффициентов.
8.6. Методы поиск максимального по модулю собственного числа.
8.7. Нахождение собственных элементов положительно определенной
симметричной матрицы.
9. Приближенное решение систем нелинейных уравнений (2 часа)
9.1. Общая постановка и запись задачи.
9.2. Метод графический.
9.3. Метод итераций, условия сходимости.
9.4. Метод Ньютона, существование решения и сходимость.
9.5. Метод наискорейшего спуска.
10. Теория и методы интерполирования функций (4 часа)
10.1. Понятие конечных разностей и их свойства. Представление значений
функции через конечные разности и наоборот. Конечные разности для таблично
заданных функций.
10.2. Постановка задачи интерполирования.
10.3. Интерполяционная формула Ньютона первого и второго типа. Оценка
погрешности.
10.4. Интерполяционная формула Гаусса.
10.5. Интерполяционная формула Лагранжа. Оценка погрешности
11. Приближенное интегрирование (4 часа)
11.1. Понятие квадратурной формулы. Формула, на основе интерполяционного
полинома Лагранжа.
11.2. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса.
11.3 Формула Симпсона, ее точность.
11.4. Квадратурная формула Чебышева.
11.5. Квадратурная формула Гаусса.
11.6. Приближенное вычисление несобственных интегралов.
11.7. Вычисление двойных интегралов, понятие кубатурной формулы.
Кубатурная формула Симпсона.
11.8. Вычисление кратных интегралом методом Монте-Карло.
12. Численное решение задач на экстремум (2 часа)
12.1. Поисковые методы минимизации, понятие стратегии поиска, пассивная и
последовательные стратегии.
12.2 Метод дихотомии, метод Фибоначчи, оптимальность.
12.3. Метод золотого сечения.
13. Элементы теории сплайн функций, применение к задаче интерполяции
и сглаживания (4 часа)
13.1. Определение сплайн функции одной переменной.
13.2. Кубические сплайны одной переменной, применение к задаче
интерполирования, локальные свойства, алгоритм построения.
13.3. Задача сглаживания кубическими сплайнами, определение, виды
граничных условий, алгоритм построения.
13.4. Бикубические сплайны, интерполяция, алгоритм построения.
13.5. Бикубические сглаживающие сплайны. Граничные условия, алгоритм
построения.
13.6. Кубические В-сплайны, определение, свойства, алгоритм построения.
2.2. Практические и семинарские занятия
По курсу практических занятий не предусмотрено.
2.3. Лабораторные работы
1 Вычисление значений функции Ln(x). Составить программу и
вычислить значение функции для х=3.14, 5.12, 12.8 с точностью не
ниже 0.0001.
2 Вычислить с точностью 0.0001 сумму числового ряда с общим членом
(1/к)^2.
3 Решение уравнений (нахождение корней функций ) с заданной
точностью методом хорд.
4 Решение уравнений (нахождение корней функций ) с заданной
точностью методом итераций.
5 Решение уравнений (нахождение корней функций ) с заданной
точностью методом Ньютона.
6 Решение систем линейных уравнений с заданной точностью методом
релаксации.
7 Решение систем линейных уравнений с заданной точностью методом
итераций.
8 Решение систем линейных уравнений с заданной точностью методом
Зейделя.
9 Решение систем линейных уравнений методом квадратных корней.
10 Решение систем линейных уравнений методом Холецкого.
11 Решение систем линейных уравнений методом ортогонализации
столбцов.
12 Решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона.
13 Решение систем нелинейных уравнений методом релаксации
наискорейшего спуска.
14 Нахождение характеристического многочлена, собственных чисел и
собственных векторов методом Данилевского.
15 Нахождение характеристического многочлена, собственных чисел и
собственных векторов методом Крылова.
16 Вычисление значений определенных интегралов по квадратурной
формуле Гаусса.
17 Вычисление значений определенных интегралов по квадратурной
формуле Чебышева.
2.4. Курсовой проект
Курсовой проект не предусмотрен.
3. Учебно-методические материалы по дисциплине
3.1. Основная литература
1. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Наука,
1966.
2. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989.
3. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.: Наука, 1975.
3.2. Дополнительная литература не требуется.
3.3. Наглядных пособий и технических средств обучения при чтении данного
курса не предусмотрено.