вычислительная математика - факультете информатики ТГУ.

МИНОБРНАУКИ
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ФАКУЛЬТЕТ ИНФОРМАТИКИ
УТВЕРЖДАЮ
Декан факультета
С.П. Сущенко
«
»
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
(ОПД.Ф.11)
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
трудоемкость дисциплины 5 зачетных единиц
НАПРАВЛЕНИЕ 010400 – ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
Томск
2010
2010 г.
УТВЕРЖДЕНО
СОСТАВИТЕЛЬ
кафедрой прикладной информатики.
к.т.н., доцент кафедры прикладной ин-
Протокол №50
форматики
от 01.12.2010 г.
Зав. кафедрой, профессор
А.Д. Макиенко
С. П. Сущенко
I. Организационно-методический раздел
Цель курса – изучение численных (приближенных) методов решения математических задач.
Задача учебного курса – освоение методов приближенного решения различных
математических задач.
Дисциплины-предшественники – математический анализ, линейная алгебра,
теория вероятностей, программирование.
Требования к уровню освоения дисциплины – умение применять методы приближенного решения типовых математических задач и оценивать точность полученных
решений.
Содержание дисциплины
Лекционный курс
Тема 1. Приближенные числа. Теория погрешностей.
Понятие приближенного числа, абсолютная и относительная погрешности, предельные абсолютная и относительная погрешности. Основные источники погрешностей. Десятичная запись приближенного числа. Значащие цифры.
Число верных знаков приближенного числа. Правила округления. Связь относительной погрешности приближенного числа с количеством верных знаков этого
числа. Неустранимые погрешности, погрешность суммы, разности, произведения, частного. Потеря точности при вычитании. Относительная погрешность
степени и корня. Погрешность общей функциональной зависимости. Обратная
задача теории погрешностей.
Тема 2. Вычисление значений элементарных функций.
Вычисление значения полинома (схема Горнера). Приближенное нахождение суммы числовых рядов. Вычисление значений аналитических функций:
экспоненты, показательной функции, логарифмической, тригонометрических
функций, гиперболических функций. Интерактивные методы вычисления значений функций. Процесс Герона.
Тема 3. Приближенное решение алгебраических и трансцендентных уравнений.
Понятие отделенного корня. Процесс отделения корней. Схема Штурма.
Точность решения, общая формула для погрешности корня. Графический метод
решения уравнения. Метод половинного деления (дихотомия). Характеристики
точности. Метод пропорциональных частей (метод хорд), характеристики точности. Метод Ньютона (касательных), характеристики точности. Комбинированные методы. Метод последовательных приближений (метод итераций).
Условия сходимости, характеристики точности.
Тема 4. Решение систем линейных уравнений (точные методы)
Некоторые вопросы матричной алгебры: абсолютная величина и норма
матриц, предел матрицы, матричные ряды, блочные матрицы, треугольные матрицы, представление неособенной матрицы через треугольные матрицы. Вы-
числение определителя матрицы. Метод главных элементов. Метод квадратных
корней. Схема Холецкого. Ортогонализация матриц и применение к решению
систем линейных уравнений
Тема 5. Решение систем линейных уравнений (приближенные, итеративные методы)
Метод итерации. Условие сходимости. Приведение системы к виду, допускающему использования метода итераций. Метод Зейделя. Метод релаксации. Сходимость итерационных методов решения систем линейных уравнений.
Оценка погрешности приближений итерационного процесса.
Тема 6. Проблема собственных чисел и собственных векторов
Развертывание характеристического (векового) определителя. Понятие
подобия матриц. Метод Данилевского. Метод Крылова. Методы поиск максимального по модулю собственного числа. Нахождение собственных элементов
положительно определенной симметричной матрицы
Тема 7. Приближенное решение систем нелинейных уравнений
Общая постановка и запись задачи. Метод графический. Метод итераций,
условия сходимости. Метод Ньютона, существование решения и сходимость.
Метод наискорейшего спуска.
Тема 8. Методы интерполирования функций
Постановка задачи интерполирования. Интерполяционная формула Ньютона первого и второго типа. Оценка погрешности. Интерполяционная формула
Гаусса. Интерполяционная формула Лагранжа. Оценка погрешности.
Тема 9. Элементы теории сплайн функций
Определение сплайн функции одной переменной. Кубические сплайны
одной переменной, применение к задаче интерполирования, локальные свойства, алгоритм построения. Задача сглаживания кубическими сплайнами, определение, виды граничных условий, алгоритм построения. Бикубические сплайны, интерполяция, алгоритм построения. Бикубические сглаживающие сплайны.
Граничные условия, алгоритм построения. Кубические В-сплайны, определение,
свойства, алгоритм построения.
Тема 10. Приближенное интегрирование
Понятие квадратурной формулы. Формула, на основе интерполяционного
полинома Лагранжа. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса. Формула Симпсона, ее точность. Квадратурная формула Чебышева. Квадратурная формула
Гаусса. Приближенное вычисление несобственных интегралов. Вычисление
двойных интегралов, понятие кубатурной формулы. Кубатурная формула Симпсона. Вычисление кратных интегралом методом Монте-Карло.
Лабораторный практикум (темы лабораторных работ)
1. Вычисление значений элементарных функций. Составить программу и вычислить значение функции для заданных значений аргументов с точностью не ниже 0.0001.
2. Вычислить с точностью 0.0001 сумму числового ряда с общим членом (1/к)^2.
3. Решение уравнений (нахождение корней функций ) с заданной точностью методом хорд.
4. Решение уравнений (нахождение корней функций ) с заданной точностью методом итераций.
5. Решение уравнений (нахождение корней функций ) с заданной точностью методом Ньютона.
6. Решение систем линейных уравнений с заданной точностью методом релаксации.
7. Решение систем линейных уравнений с заданной точностью методом итераций.
8. Решение систем линейных уравнений с заданной точностью методом Зейделя.
9. Решение систем линейных уравнений методом квадратных корней.
10. Решение систем линейных уравнений методом Холецкого.
11. Решение систем линейных уравнений методом ортогонализации
столбцов.
12. Решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона.
13. Решение систем нелинейных уравнений методом наискорейшего
спуска.
14. Нахождение характеристического многочлена, собственных чисел и
собственных векторов методом Данилевского.
15. Нахождение характеристического многочлена, собственных чисел и
собственных векторов методом Крылова.
16. вычисление максимального по модулю собственного числа квадратной матрицы.
17. Построение кубического интерполяционного сплайна для таблично
заданной функции
18. Построение кубического сглаживающего сплайна для таблично заданной функции.
19. Вычисление значений определенных интегралов по квадратурной
формуле Гаусса.
20. Вычисление значений определенных интегралов по квадратурной
формуле Чебышева.
21. Вычисление двойного интеграла по кубатурной формуле Симпсона.
Распределение часов курса по темам и видам работ
№№ пп
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Наименование тем
Приближенные числа. Теория
погрешностей.
Вычисление значений элементарных функций
Приближенное решение алгебраических и трансцендентных
уравнений
Решение систем линейных
уравнений (точные методы)
Решение систем линейных
уравнений (приближенные,
итеративные методы)
Проблема собственных чисел и
собственных векторов
Приближенное решение систем нелинейных уравнений
Методы интерполирования
функций
Элементы теории сплайн
функций
Приближенное интегрирование
ИТОГО
Всего Аудиторные занятия (час),
часов
в том числе
Самостоятельная
работа
лекции
семинары
лабораторные
занятия
9
4
0
2
3
11
4
0
4
3
12
4
0
4
4
10
2
0
4
4
12
4
0
4
4
12
4
0
4
4
10
2
0
4
4
11
4
0
4
3
12
4
0
4
4
9
4
0
2
3
108
36
0
36
36
Учебно-методическое обеспечение курса
Основная литература
1. Демидович В.Д., Марон Н.И. - Основы вычислительной математике. – М.: Наука,
1966. – 523 с.
2. Марчук Г.И. – Методы вычислительной математики. – М.: Наука, 1980. – 456 с.
Дополнительная литература
1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. – М.: Наука,
1987. – 630 с.
Программное обеспечение лабораторного практикума
Системы программирования на языках С, С++, Pascal, пакет программ для компьютерного моделирования и вычислений – MathCad 13.