n «Сумма первых членов геометрической прогрессии».

МОУ Дмитровская вечерняя (сменная)
общеобразовательная школа
Проблемный урок
Тема: «Сумма
n первых членов геометрической
прогрессии».
Провел: учитель математики
г. Дмитров
2011 г.
Трубаева Т.И.
Цели урока.
Образовательная:
 вывести формулу суммы n членов геометрической прогрессии;
 вырабатывать навыки нахождения суммы n членов геометрической
прогрессии, используя задачи с необычными сюжетами;
 показать применение алгебры в практической жизни.
Развивающая:
 развивать сообразительность, логическое мышление, навыки
устного счёта.
Воспитательная:
 формировать критическое мышление, не полагаясь на интуицию;
 воспитывать любовь к предмету.
Тип урока: проблемный.
Оборудование. Иллюстрации к задачам.
Структура урока.
1. Сообщение темы, цели и задач урока.
2. Подготовка к изучению нового материала повторением знаний теории
3. Устные упражнения.
4.Ознакомление с новым материалом (решение поставленной проблемы.)
5. Закрепление изученного материала.
6. Самостоятельная работа.
7. Подведение итогов.
8. Домашнее задание.
Ход урока.
I.
Устные упражнения.
1.Что называется геометрической прогрессией?
2.Что такое q?
3.Как найти q , если известно b1 и b2? bn и b n+1?
4.Как найти число, стоящее на n-ном месте, если известно b1 и q?
5. Найдём степени чисел 2 и 3
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
2
4
8
16
32
64
128
256
512
1024
3
3
9
27
81
243
729 2187 6561 19683 59049
А сейчас внимание!
Задача:
Однажды незнакомец постучал в окно к богатому купцу и предложил
такую сделку:
«Я буду ежедневно в течение 36 дней приносить тебе по 100 000 рублей.
А ты мне в первый день за 100 000 руб. дашь 1 копейку, во второй день за
100 000 руб. – 2 коп., и так каждый день будешь увеличивать предыдущее
число денег в 2 раза. Если тебе выгодна сделка, то с завтрашнего дня
начнём?». Купец обрадовался такой удаче. Он подсчитал, что за 30 дней
получит от незнакомца 3 000 000 руб. На следующий день пошли к
нотариусу и узаконили сделку.
Вопрос: Кто в этой сделке проиграл: купец или незнакомец?
Чтобы ответить на этот вопрос надо подсчитать сколько, денег отдаст купец
за 30 дней? Как это сделать? На этот вопрос можно ответить быстрее, если
будем знать формулу суммы последних членов геометрической прогрессии.
II. Объяснение нового материала.
Итак, наша тема (учитель объявляет тему и цель урока).
На доске выводится формула суммы
прогрессии
Sn=
n первых членов геометрической
bn  b1
; q=1 (1)
q 1
А теперь ответим на главный вопрос задачи: b =1, q = 2, n = 30
Ответ: купец проиграл!
II.
Закрепление изученного материала.
А теперь легенду о шахматной доске расскажет Коваленко Мария.
Говорят, что игра в шахматы была изобретена в Индии. Царь Ширам был
восхищён игрой и приказал наградить изобретателя по-царски. Изобретатель
Сема был человеком бедным, скромным, но не терпел хвастунов. И когда
царь заявил, что выполнит любое его желание, хитро прищурился и сказал:
-Хорошо, государь. Прикажи выдать мне за первую шахматную клетку 1
зёрнышко, за вторую -2, за третью – 4, за четвёртую – 8, за пятую – 16, за
шесту. -32….
-Хватит, хватит! Приди вечером, да не забудь мешок! – расхохотался Ширам.
Сета с низким поклоном удалился. А мудрецы тем временем взялись за
расчёты. И вечером в ужасе предстали перед царём, ожидая страшного
наказания.
-В чём дело? Почему я не вижу мешков с зерном? – вскричал царь. Самый
старший мудрец произнёс: О, государь! У вас нет такого количества зерна.
Даже если распахать всю поверхность Земли.
Ширам удивился и попросил назвать ему количество зерен.
18 446 744 073 709 551 615
(18 квинтиллионов, 446 квадриллионов, 744 триллионов, 73 биллиона, 709
миллионов, 551 твсячи,615).
Чтобы собрать такое количество зёрен, следует распахать все планеты
Солнечной системы (в 2000 раз больше всей поверхности Земли). А записать
это число можно так:
S = 1+2+22+23…263 = 264-1.
Задача «Вознаграждение воина» предлагается всему классу:
За первую рану 1 копейку, за вторую – 2 копейки, за третью – 4 копейки и
т.д. По истечению нашлось, что воин получил всего вознаграждения
655 руб. 35 к. Спрашивается число его ран.
Решение: рассмотрим геометрическую прогрессию 1, 2, 4…где b1=1, q=2,
Sn=65535.
Воспользуемся формулой суммы


b1 g n  1
12 n  1
, подставим данные: 65535=
2 1
g 1
n
n
65535= 2 -1 = 2 = 65536 = n = 16
Sn 
При какой системе вознаграждения воин должен получить 16 ран и остаться
живым.
Учащиеся открывают стр. 100 учебника № 408(б), № 409(б).
Один учащийся решает у доски, остальные решают в тетрадях.
III. Самостоятельная работа.
I вариант
II вариант
1. Вычислите сумму семи первых членов геометрической прогрессии
b1 = +4, q =3
b1 =1, q = +2
2. Найдите сумму девяти первых членов геометрической прогрессии
2,22,23…
1, 3, 32
3. Найдите сумму семи первых членов геометрической прогрессии, если
b 7 = 72,9, q=1,5
b7 =
16
2
,q= .
9
3
IV. Подведение итогов урока.
- Что нового мы узнали на уроке?
- Что вас больше всего удивило на уроке?
V. Задание на дом:
п.19 № 408(а), 409(а,б), 414 (а).