Сумма n первых членов геометрической прогрессии Урок 2

Сумма n первых членов
геометрической
прогрессии
Урок 2
Цели урока:
-вывести формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии;
- научиться применять на практике полученные знания;
-расширить математический кругозор
Вопросы
•Какая последовательность называется геометрической прогрессией?
•Чем геометрическая прогрессия отличается от арифметической ?
•Что называется знаменателем геометрической прогрессии?
•Какова формула n –го члена геометрической прогрессии?
•Приведите примеры геометрических прогрессий.
Задания
1)Является ли последовательность (bn) геометрической прогрессией?
Если да, то найдите ее знаменатель.
а). 3; 3; 3; …
б). 2; 0; 0; 0; …
в). 0; 2; 4; 8; …
г). 3; 6; 12; 24; …
д). 1; 0,1; 0,01; 0,001; …
2) В благоприятных условиях бактерии размножаются так,
что на протяжении одной минуты одна из них делится на четыре.
Записать колонию, рожденную одной бактерией за 6 минут.
3)Найдите указанный член геометрической прогрессии (bn)
по заданным условиям:
1
b1  14, q  , b7  ?
2
Ответы
1)
a)да,q=1;
б) нет;
в) нет;
г) да,q=2;
д) да,q=0,1.
2) 1,4,16,64,256,1024,4096.
7
b

.
3) 7
32
К истории вопроса
Математик Карл Гаусс (30.04.177723.02.1855) нашел моментально сумму
всех натуральных чисел от 1 до 100,
будучи учеником начальной школы.
Шахматы – одна из самых древних игр. Она
существует
уже
многие
века
и
неудивительно, что с нею связаны различные
придания,
правдивость
которых,
за
давностью времени, невозможно проверить.
Шахматная игра была придумана в Индии, и
когда индусский царь Шерам познакомился с
нею, он был восхищен ее остроумием и
разнообразием возможных в ней положений.
Легенда о шахматах
Индийский принц Сирам предложил изобретателю
шахматной игры просить у него награду, какую захочет. Тот
попросил, чтобы ему дали за первый квадрат шахматной доски 1
рисовое зерно, за второй квадрат 2 зерна, за третий квадрат 4 зерна
и т. д., увеличивая число зерен вдвое за каждый следующий
квадрат. Принц согласился. Но когда подсчитали количество риса,
которое следует выдать за все 64 квадрата шахматной доски, то
оказалось, что награда в таком размере не может быть выдана по
недостатку риса.
Оказывается, когда точно подсчитали общее количество
зерен риса, то их получилось 18 446 744 073 709 551 615. В этой
задаче речь идет о геометрической прогрессии с первым членом 1
и знаменателем 2. Необходимо найти сумму 64 первых членов
геометрической прогрессии.
Такое количество зерен можно собрать лишь с урожая
планеты, поверхность которой примерно в 2000 раз больше
поверхности Земли.
Легенда о шахматах
И все-таки, история о шахматах могла закончиться иначе.
Индусский царь не в состоянии был выдать подобной награды. Но
он мог бы легко, будь он силен в математике, освободиться от
столь обременительного долга. Для этого нужно было лишь
предложить изобретателю самому отсчитать себе зерно за зерном
всю причитавшуюся ему пшеницу.
Чтобы отсчитать миллион зерен, понадобилось бы не
менее 10 суток неустанного счета. Чтобы отсчитать себе все зерно,
изобретателю потребовалось бы примерно 586 549 402 017 лет.
Египетская задача из папируса Райнда
«У семи лиц по семи кошек; каждая кошка съедает по семи
мышей, каждая мышь съедает по семи колосьев, из каждого
колоса может вырасти по семь мер ячменя. Как велики числа
этого ряда и их сумма?»
Решение задачи
Людей всего 7, кошек 72 = 49, они съедают всего 73 = 343 мыши,
которые съедают всего 74 = 2401 колос, из них вырастает
75 = 16807 мер ячменя, в сумме эти числа дают 19 607.
Сумма n первых членов геометрической
прогрессии
Дана конечная геометрическая прогрессия: b1 , b2 , b3 ,..., bn2 , bn1 , bn .
Выведем формулу суммы ее членов:
Sn  b1  b2  b3  ...  bn2  bn1  bn .
Если q=1, то имеем прогрессию b1,b1,..., b1 , состоящую из n чисел,
равных b1 .Очевидно, S n  nb1. Если q  1.
Sn  q  (b1  b2  b3  ...  bn2  bn1  bn )  q.
S n  q  b1q  b2 q  b3q  ...  bn2 q  bn1q  bn q.
Воспользовавшись определением геометрической прогрессии, получим:
S n  q  b1  b3  b4  ...  bn1  bn  bn q.
S n  q  (b1  b3  b4  ...  bn1  bn )  bn q  b1.
b q  b1
S n  q  S n  bn q  b1S n  n
.
q 1
n 1
Т.к. bn q  (b1q )  q  b1q
, то
b1 (q n  1)
Sn 
.
q 1
Примеры
Пример1.Найдите сумму первых шести членов геометрической
прогрессии (bn), у которой:
2
b

15
,
q

;
1
a)
3
б) b1  9, q  3.
Решение:
Используя формулу суммы первых n членов геометрической
прогрессии, имеем
2 6
15
((
)  1)
b1 (q 6  1)
4
3
a) S 6 

 41 .
2
q 1
81
1
3
6
 9(( 3 )  1)
234
б)
S6 

.
3 1
1 3
Примеры
Пример2.Разность между вторым и третьим членами
геометрической прогрессии равна 18, а их сумма 54.
Определите первый член и знаменатель прогрессии.
Решение( краткая запись):
1.Составление математической модели.
1) b1 , b2 , b3 ,..., bn ... - геометрическая прогрессия
b2  b3  18
2) b2  b3  18
b2  b3  54
3) b2  b3  54
2.Работа с составленной математической моделью.
Складывая оба уравнения системы, получаем:
b
1
b
3
2
2b2  72, b2  36. Тогда b3  18, q   , b1   72.
b2 2
q
3. Ответ на вопрос задачи.
Ответ:
1
q  , b1  72.
2
Задачник
1.Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии:
а) 3,6,12,...
б)  1,2,4,...
3 3

3
,

, ,...
в)
2 4
г) 2 ,3 2 ,9 2 ,...
2.Найдите S5 для геометрической прогрессии (bп), если:
а) b4  160, b5  320;
б) b7  8, b9  16, q  0;
1
в) b3  1, b5  , q  0;
9
г) b4  3 3, b7  27.
Задачник
3.Найдите по заданным условиям знаменатель и указанный
член геометрической прогрессии (bn):
а) b2  4, b9  16, найти b3 , если b3  0;
б) b25  7, b27  21, найти b26 , если b26  0.
4.Составьте конечную геометрическую прогрессию из шести
членов, зная, что сумма трех первых членов равна 14, а трех
последних 112.
Задачник (дополнительные задачи)
1.Число 130 разделить на 4 части так, чтобы отношение каждой
последующей к предыдущей было равно 2 .
3
2.Для геометрической прогрессии (bn) заполните таблицу:
b1
q
15
bn
3
Sn
21
3
18
1
2
6
2
13
5
4
1
3
6
1
15
169
n
17
32
5
81
2
3
25
Домашнее задание
1.§8 п.20 (Алгебра 9 класс, под редакцией С.А.Тедяковского).
2.№ 387, 388,391,395,398.
3.Подготовить доклад о старинных задачах, связанных с понятием
геометрической прогрессии ( по желанию).
Урок окончен
«До свидания»