М iz = 0

внешней пары Мк1 действующий на левую отсеченную часть, т. е,
Мк 1 = М2.
При рассмотрении правой части из условия ее равновесия мы получили
бы, естественно, тот же результат:
M K 1 = М1 – М3 – М 4
= М2
Аналогично вычисляется крутящий момент в поперечных сечениях на
втором участке вала между шкивами I и I I I
М к 2 = М 2 – М1 = – М 3 – М4 ,
а на третьем участке между шкивами I I I и I V
M к 3 = М 2 – M 1 + М 3 = – М4.
Итак, к р у т я щ и й момент в каком-либо поперечном сечении вала
численно равен алгебраической сумме моментов внешних п а р , действующих
на вал в плоскостях, перпендикулярных оси вала, и приложенных по одну
сторону от рассматриваемого сечения. Эпюру крутящих моментов строят
аналогично эпюре продольных сил, откладывая от горизонтали (рис. 81, б)
ординаты, пропорциональные крутящим моментам в поперечных сечениях
соответствующих участков вала.
Знак крутящего момента в поперечном сечении вала определяется исходя
из направления внешних моментов. Крутящий момент положителен, когда
внешние моменты вращают отсеченную часть по часовой стрелке, если
смотреть со стороны проведенного сечения.
Положительные ординаты эпюры крутящих моментов откладывают
вверх, отрицательные — вниз от горизонтальной линии, называемой осыо,
или базой, эпюры.
Пример 16. Построить эпюру крутящих моментов для вала по рис. 82, а, если шкив
получает от двигателя мощность Р1 = 52 кВт при частоте вращении вала n = 240 об/мин, а
шкивы II, III и IV соответственно снимают мощности Р2 = 15 кВт, Р3 = 17 кВт, Р4= 20 кВт.
81
Р е ш е н и е . По формуле (62) вычисляем значения моментов, передаваемых
шкивами. Момент, передаваемый шкивом I, равен
М1 = 9,55 Р1 / n
= 9,55 . 52000 / 240 = 2067 Н м.
Моменты, передаваемые остальными шкивами:
М2 =
9,55
.
15000 / 240 = 596 Н м;
М3 = 9,55 . 17000 / 240 = 675 Н м;
М4 = 9,55 . 20000 / 240 = 796 Н м;
Следует учесть, что согласно условию равновесия, пренебрегая трением в
подшипниках, имеем:
или
∑ Мiz = 0; M1 = M2 + M3 + M4,
2067 = 596 + 675 + 796.
Разобьем вал на три участка (рис. 82, а) и приступим к построению эпюры крутящих
моментов. Проведем поперечное сечение на первом участке между шкивами I и II и
рассмотрим действие правой отброшенной части на левую часть. Слева в проведенном
сечении возникает крутящий момент Mк1 = М1 = 2067 Н м,
то же значение получим при рассмотрении действия левой части на правую часть.
Аналогично находим крутящий момент на первом участке между шкивами II и III:
Мк2 = М1 – М 2 = 2067 – 596 = 1471 Нм,
и на третьем участке между шкивами III и IV:
Мк3 = М1 – М 2 – М 3 = 2067 – 596 = 796 Нм.
На рис. 82, б по вычисленным значениям Мк построена эпюра крутящих моментов.
Упражнение 21
1. Вал вращается равномерно (рис 83), вращающий момент на ведущем шкиве М1 =
5000 Н м. Определите величину и направление момента М2 на ведомом шкиве. Постройте
эпюру крутящих моментов.
2. Укажите, какие участки вала (рис. 83) испытывают деформацию кручения.
А. Все участки вала. Б. Только участок вала между шкивами.
3 На рис. 81 показана эпюра крутящих моментов. Чему равна максимальная величина
крутящего момента, по которому нужно рассчитывать вал на прочность?
А. 2000 Н м. Б. 1500 Н м.
87
4. На эпюре крутящих моментов (рис. 84) отмечены точки А, В, С, D,
соответствующие сечениям вала, где установлены шкивы. Укажите, какая точка
соответствует сечению, где установлен ведущий шкив, и чему равен вращающий момент на
этом шкиве?
1500И
м
А. В сечении В; максимальный вращающий момент 1500 Н м.
Б.В сечении С; максимальный вращающий момент 1500 Н м .
В. В сечении С; максимальный вращающий момент 2000 Н м.
5. Какое расположение ведущего шкива более рационально; по схеме рис. 81, а или
рис. 82, «?
А. Расположение ведущего шкива по схеме рис. 81, а.
Б. Расположение ведущего шкива по схеме рис. 82, а.
Напряжения и деформации при кручении вала
Выведем формулы для определения деформации и напряжений,
возникающих при кручении валов. Для наиболее часто встречающихся валов
круглого и кольцевого сечения при кручении поперечные сечения сохраняют
плоскую форму, а радиусы этих сечении, поворачиваясь, не искривляются.
Приведенный ниже вывод базируется на этих предположениях и
справедлив, соответственно, только для валов круглого и кольцевого
сечения. Рассмотрим элемент вала (рис. 85, а ) длиной l, причем крайнее
левое сечение этого элемента будем считать условно неподвижным, что
эквивалентно определению перемещений относительно этого сечения.
Нетрудно показать, что рассматриваемый элемент испытывает деформацию
сдвига. Действительно, любая образующая наружная АВ или внутренняя ЕС
смещается при кручении и возникают перекосы, определяемые углами
сдвига γmах для образующей АВ или γ для образующей ЕС (рис. 85, а ) . При
этом радиус крайнего правого сечения О В поворачивается в положение О В 1
на некоторый угол φ, называемый углом закручивания. Учитывая малость
деформаций и выражая ВВ1 и СС1 как дуги окружностей, легко определить
соотношения между углом сдвига γmах или γ и углом закручивания φ:
откуда
ВВ1 = γmах . l = φr; СС1 = γ . l = φρ,
γmах = φr / l; γ = φρ / l;
(66, 67)
Выражая из уравнения (66) φ / l через γmах и подставляя это
значение
в
уравнение (67), получаем:
φ / l = γmах / r; γ = γmах ρ / r.
(68)
Такимобразом, угол сдвига в поперечном сечении прямо пропорционален
расстоянию от оси вала ρ. Величина φ / l, определяющая относительный угол
88
(68)
закручивания или угол на единицу длины, для каждого сечения вала является
постоянной, так как выражается через постоянную значения γmах и r .
Сдвиг отдельных элементов вала сопровождается возникновением в его
поперечных сечениях касательных напряжений, которые могут быть
определены по закону Гука для сдвига:
τ = G γ = Gγmax ρ / r
и
τmax = G γmax
при ρ = r
или
τ = τmax ρ / r.
т. е. касательные напряжения в поперечном сечении меняются по длине
радиуса по линейному закону. Сдвиг в поперечных сечениях при кручении
происходит по направлению касательных к окружностям, поэтому
направление касательного напряжения в какой-либо точке сечения
перпендикулярно к соответствующему радиусу (рис. 85, б).
Зная закон распределения касательных напряжений но поперечному
сечению бруса, можно определить их величину в зависимости от крутящего
момента, возникающего в данном поперечном сечении.
Если dА — площадь элементарной площадки (см. рис. 85, б), то
элементарная внутренняя сила на этой площадке, расположен-
89