применение вневписанной окружности для решения задач

Сборник ученических исследовательских работ
«ПРИМЕНЕНИЕ ВНЕВПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ
ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПЛАНИМЕТРИИ»
Зюзяков Владислав Евгеньевич, МБОУ СОШ №120, 10а, г. Нижний
Новгород (руководитель: Прохоренко Надежда Николаевна, учитель
математики МБОУ СОШ №120)
Аннотация
В школьном учебнике по геометрии не предполагается изучение
вневписанной окружности, однако решение некоторых геометрических
задач
и, прежде всего, задач на построение, связано с
использованием этого понятия. Автор этой работы изучил понятие
вневписанной окружности: рассмотрел задачи которые приводят к её
появлению; доказал свойства вневписанной окружности; показал её
связь с основными элементами треугольника.
Практическая значимость работы заключается в подборе редкого
материала по теме, не изучаемой в школьном курсе геометрии. Можно
рассматривать вневписанную окружность как подспорье в решении
геометрических задач на уроках, использовать изученный материал
для занятий математического кружка и факультатива, применять ее
свойства при подготовке к олимпиадам и ЕГЭ.
Введение.
Самая простая из кривых линий – окружность. Это одна из
древнейших геометрических фигур. Философы древности придавали
ей огромное значение.
Треугольник также играет в геометрии особую роль. За
несколько тысячелетий геометры столь подробно изучили
треугольник, что можно говорить о «геометрии треугольника».
Центральное место в геометрии треугольника занимают свойства так
называемых замечательных точек и линий:
 три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника
пересекаются в одной точке-центре описанной около
треугольника окружности;
 биссектрисы
трех
внутренних
углов
треугольника
пересекаются в одной точке — центре вписанной в
треугольник окружности;
но, если рассмотреть дополнительно биссектрисы трёх пар внешних
углов треугольника, то получится ещё три замечательные точкицентры вневписанных окружностей.
В школьном учебнике по геометрии не предполагается
изучение вневписанной окружности, однако решение некоторых
геометрических задач и, прежде всего, задач на построение, связано
с использованием понятия вневписанной окружности.
Так же
1
Сборник ученических исследовательских работ
вневписанная окружность встречается в геометрических задачах типа
С4 ЕГЭ по математике.
Цель исследования: изучить свойства вневписанной окружности
и применить их при решении геометрических задач.
Исходя из цели исследования, были поставлены следующие
задачи:
1. Изучить специальную математическую литературу по данной теме.
2. Изложить задачи, приводящие к понятию вневписанной окружности.
3. Доказать свойства вневписанной окружности, показать ее связь с
основными элементами треугольника.
4. Применить свойства вневписанной окружности при решении задач
на доказательство, построение и вычисление.
Методы исследования: анализ литературы, поиск информации,
систематизирование сведений.
Практическая значимость работы заключается в подборе редкого
материала по теме, не изучаемой в школьном курсе геометрии.
Теоретическая часть.
Начнем с простого вопроса, пусть на плоскости заданы три прямые,
которые попарно пересекаются в точках A, B и C (рис.1,а). Вопрос:
сколько существует точек, равноудаленных от этих прямых? 1
Рис. 1
Многие дают немедленный ответ: конечно одна, а именно, центр
окружности, вписанной в треугольник ABC. Как часто бывает в
подобных случаях, этот ответ неверен. Действительно, рассмотрим,
например, биссектрисы внешних углов B и C треугольника ABC
(рис.1,б). Так как сумма углов, образованных ими со стороной BC,
меньше, чем 180°, то эти биссектрисы пересекутся в некоторой точке
Q. Тогда точка Q равноудалена от прямых AB, AC и BC.
Аналогично, рассматривая другие пары внешних углов
треугольника ABC, получим еще две точки, обладающие требуемым
свойством. Таким образом, помимо центра окружности, вписанной в
треугольник ABC, существуют, по крайней мере, еще три точки,
равноудаленные от заданных прямых. Каждая из этих точек является
1
Блинков А., Блинков Ю. Вневписанная окружность. "Квант",
№3, 2009.
2
Сборник ученических исследовательских работ
центром окружности, касающейся стороны треугольника и
продолжений двух других сторон. Такие окружности называют
вневписанными для данного треугольника ABC.2
Геометрические конфигурации, связанные с вневписанными
окружностями, очень содержательны и встречаются во многих
задачах.
Рассмотрим основные свойства, связанные с
такими конфигурациями. Пусть вневписанная окружность касается
стороны BC треугольника ABC в точке M, а продолжений сторон AB и
AC в точках P и T соответственно. Вписанная в этот треугольник
окружность касается сторон BC, AB и AC в точках K, L и N
соответственно (рис.2).
Рис. 2
Докажем следующие равенства:3
1. BK = р - b, где р полупериметр треугольника ABC, b длина стороны
AC;
2. AP = p;
3. BK = CM, т.е. точки касания вписанной и вневписанной окружностей
со стороной треугольника симметричны относительно середины этой
стороны.
4. P △ABM = P △AMC.
Докажем эти равенства. Действительно, из равенства отрезков
касательных, проведенных к окружности из одной точки, получим: AN
= AL, BK = BL и CN = CK. Сумма этих шести отрезков составляет
периметр треугольника ABC, поэтому AN + BK + CN = p. Учитывая, что
AN + CN = b, получаем равенство 1.
Применяя эту же теорему об отрезках касательных к другой
окружности, получим: AP = AT, BM = BP и CM = CT. Тогда
P△ABC = AB + AC + BC = AB + AC + BM + CM = AB + AC + BP + CT = AP
+ AT = 2AP, откуда следует равенство 2.
2
Лоповок Л. М. Факультативные занятия по геометрии для
7-11 классов. - Киев, 1990.
3
Блинков А.,
"Квант", №3, 2009.
Блинков Ю. Вневписанная окружность.
3
Сборник ученических исследовательских работ
Так как AT = p, то и CM = CT = AT, AC = p-b = BK. Таким
образом, доказано равенство 3.
P △ABM = AB + BM + AM = AL + LB + BM + AM = AN + BK + BM + AM =
= AN + CM + BM + AM = AN + CN + CM + AM = AC + CM + AM = P△AMC,
таким образом, доказано равенство 4.
О пользе вневписанной окружности.
Встречаются задачи, в условии которых не содержится термин
«вневписанная окружность». Она появляется в решении как
вспомогательная фигура. Поэтому вневписанная окружность является
подспорьем в решении геометрических задач.
Задача 1. Внутри угла с вершиной А дана точка М. Через точку
М проведите прямую так, чтобы она отсекала треугольник
наименьшего периметра.4
Решение.
Проведём через точку М произвольную прямую, пересекающую
стороны угла в точках В и С (рис. 1).
Рис. 1
Построим вневписанную окружность ∆АВС, касающуюся прямой
АС в точке Т. Тогда, используя ранее доказанное
равенство,
периметр ∆АВС равен 2АТ. Для того чтобы построить треугольник с
наименьшим периметром надо прямую ВС провести так, чтобы
отрезок АТ, а значит и радиус вневписанной окружности имел
наименьшую длину. Это будет тогда, когда вневписанная окружность
проходит через точку М. Итак, для построения треугольника с
наименьшим периметром, необходимо построить окружность,
проходящую через точку М и касающуюся сторон угла, затем провести
касательную в точке М. Проведённая касательная искомая прямая.
Задача 2. Дан квадрат АВСD со стороной а. На сторонах ВС и CD,
отмечены точки M и N, такие, что периметр ∆CMN равен 2а. Найдите
угол MAN.
Решение.
4
Лоповок Л. М. Факультативные занятия по геометрии для
7-11 классов. - Киев, 1990.
4
Сборник ученических исследовательских работ
CB+CD=2a, тогда СВ=СD=а то есть расстояние от вершины С
треугольника CMN до точек В и D равны его полупериметру, значит
точки В и D – точки касания вневписанной окружности ∆CMN, а её
центр находится в вершине А квадрата (рис. 2).
Рис. 2
Тогда АМ и АN – биссектрисы углов BMN и DNM соответственно.
 CMN+  CNM=900,значит
AMN  MNA 
1
1
CNM  CMN
(BMN  MND)  (90 0  CNM  90 0  CMN )  90 0 
 90 0  45 0  135 0.
2
2
2
Задача 3. К двум непересекающимся окружностям проведены две
общие внешние касательные и общая внутренняя касательная.
Докажите, что отрезок внутренней касательной, заключённый между
внешними касательными, равен отрезку внешней касательной,
заключённому между точками касания.
Решение.
Пусть О1 и О2 – данные окружности, а точки касания окружности с
первой внешней касательной – А и В, со второй – С и D. Пусть также
внутренняя касательная пересекает внешние в точках M и N (рис. 3).
Рис. 3
Продолжим прямые АВ и СD до их пересечения в точке К.
Рассмотрим ∆MNK. Окружность О2 является для него вписанной, а
окружность О1 – вневписанной. Обозначим сторону MN через а, а
5
Сборник ученических исследовательских работ
полупериметр ∆MNK через р. Тогда по свойству вневписанной
окружности АК=р, ВК=р-а. Тогда АВ=АК-ВК=р-(р-а)=а, то есть АВ=MN.
Задача 4. В прямой угол с вершиной С вписаны две окружности,
которые не пересекаются. К этим окружностям проведена общая
касательная, которая пересекает угол в точках А и В (рис. 4). Найдите
площадь треугольника АВС, если радиусы окружностей равны R1и R2.
Решение.
Рис. 4
Пусть точка Т1 точка касания большей окружности и прямой СВ,
тогда СТ1=R2, но окружность радиуса R2 является вневписанной для
∆АВС. Значит отрезок СТ1 равен полупериметру ∆АВС. Найдём
площадь этого треугольника: S=r∙p=R1R2.
Задача 5. В равносторонний треугольник вписана
окружность. Этой окружности и сторон треугольника касаются три
малые окружности. Найдите сторону треугольника, если радиус малой
окружности равен r.5
Решение. Обозначим длину стороны треугольника а, тогда радиус
a 3
вписанной окружности равен 6 (рис. 6).
рис. 6
5
Готман
Э.Г. Задачи по планиметрии и методы их решения:
Пособие для учащихся. – М.: Просвещение: АО «Учеб. лит.», 1996.
6
Сборник ученических исследовательских работ
Проведём общую касательную MN, тогда вписанная окружность ∆АВС
является вневписанной для ∆CMN. Тогда, используя предыдущую
r
pa

r
p ), получаем
задачу ( a
3a
a
 2
3a
a 3
2 ,
6
r
6r
a 3

a2
,
2  3a
6r
a 3

1
3
отсюда
a  6 3r.
Задача 8. Докажите формулу площади треугольника
S=R∙pH,
где R – радиус описанной окружности, а pH – полупериметр
треугольника,
образованного
основаниями
высот
данного
треугольника.
Решение.
Рассмотрим ∆АВС, в котором проведены высоты АН1, ВН2 и СН3 (рис.
8).
Рис. 8
Углы ∆Н1Н2Н3 равны 1800-2А, 1800-2В, 1800-2С и высоты ∆АВС
являются биссектрисами углов ∆Н1Н2Н3.
с  Н3Н2Н1.
 ТН2Н3
смежный
Н2В – биссектриса  Н3Н2Н1, а  ВН2А – прямой, следовательно
Н2А – биссектриса угла ТН2Н3.
Значит точка А центр вневписанной окружности ∆Н1Н2Н3.
Следовательно отрезок Н1Т равен полупериметру ∆Н1Н2Н3 то есть рН.
Из
прямоугольного
∆АН1Т
имеем
7
Сборник ученических исследовательских работ
1
 aha  2 sin A
1
1
2 sin A
Н1Т  рН  ha  cos AH1T  ha  cos H 2 H1H 3  ha  cos (1800  2 A) h a  cos(900  A)  ha  sin A  2
S
.
2
2
a
a
a
a
 2R
R
.
sin
A
2
sin
A
По теореме синусов
, откуда
S
pH  , S  R  pH .
R
Тогда
Задачи для самостоятельного решения.
1. В равнобедренный треугольник с основанием 12 вписана
окружность, и к ней проведены три касательные, так что они отсекают
от треугольника три малых треугольника. Сумма периметров малых
треугольников равна 48. Найдите боковую сторону данного
треугольника.
2. В треугольник со сторонами 6, 10 и 12 вписана окружность. К
окружности проведена касательная так, что она пересекает две
большие стороны. Найдите периметр отсечённого треугольника.
3. В треугольнике АВС точка О – центр вписанной окружности, Е –
середина высоты, проведённой из вершины А. Прямая ОЕ пересекает
сторону ВС в точке Х. Докажите, что точка Х делит периметр
треугольника АВС пополам.
4. Постройте треугольник по периметру и двум углам.
Заключение.
Вневписанная окружность широко применяется при решении
геометрических задач. В данной работе передо мной стояла задача
изучить свойства вневписанной окружности, я изложил задачи,
приводящие к понятию вневписанной окружности, доказал ее
свойства, показал ее связь с элементами треугольника и применил их
к решению геометрических задач. Изученные свойства были
применены при решении задач на доказательство, вычисление и
построение.
Работая над данной темой, я научился лучше
рассуждать, анализировать и систематизировать и надеюсь, что опыт
выполнения этой работы пригодится мне в будущем.
ЛИТЕРАТУРА И ССЫЛКИ
1. Лоповок Л. М. Факультативные занятия по геометрии для 7-11
классов. - Киев, 1990.
2. Блинков А., Блинков Ю.. Вневписанная окружность. "Квант", №3,
2009.
3. Биссектрисы, вписанная и вневписанная окружности треугольника.
"Квант", №4, 1999.
4. Готман Э.Г. Задачи по планиметрии и методы их решения:
Пособие для учащихся. – М.: Просвещение: АО «Учеб. лит.», 1996.
www.mathege.ru
– Математика ЕГЭ 2014 (открытый банк
заданий).
http://reshuege.ru – Решу ЕГЭ, Образовательный портал для
подготовки к
8
Сборник ученических исследовательских работ
экзаменам.
http://zadachi.mccme.ru
«Задачи
по геометрии»
–
Информационно-поисковая
9
система