Практикум абитуриента

Математика, 11 класс
Кармакова Тамара Сергеевна
ПРАКТИКУМ АБИТУРИЕНТА
Уважаемые одиннадцатиклассники!
В этом учебном году вам предстоит сдавать единый государственный экзамен
(ЕГЭ) по математике. Вы уже знаете его особенности:
он совмещает школьный выпускной и вступительный в вуз;
его результаты оцениваются и по пятибалльной и по 100-бальной системам;
содержание экзаменационной работы будет представлено тестом из 30заданий;
задания теста разделены на три неравноценные части: часть 1 – 16 заданий
базового уровня; часть 2 – 10 заданий повышенной сложности; часть 3-четыре
задания высокого уровня сложности;
задания теста будут отличаться и требованиями к их оформлению: в заданиях
части 1 в бланке ответов необходимо указать номер правильного ответа; в заданиях
части 2 – записать ответ; задания части 3 необходимо будет представить с полным
решением.
Рассмотрим вопросы содержания ЕГЭ.
Задания ЕГЭ связаны со следующим темами школьного курса математики:
1. Выражения и преобразования.
2. Уравнения и неравенства.
3. Функции
4. Геометрические фигуры и геометрические величины.
5. Числа и вычисления
По теме «Выражения и преобразования» задания включают преобразования
выражений, содержащих корни, степени с рациональными показателями, логарифмы и
тригонометрические функции. Задания частей 1 и 2 содержат одно из требований:
- найти значение выражения;
- упростить выражение;
- выполнить действия.
Пример 1. Найдите значение выражения
x y
y  16.
 2 x 1 , если x  9,
1
1
x 2y 2
2
7
1) 1;
2) 7 ;
3) –11;
4) 6 .
9
9
Решение.
 x 12  y 12    x 12  y 12 
x y
 
  2 = x 12  y 12  2 = x x  x y  2 =
 2 x 1 = 
1
1
1
1
x
x
x
x 2y 2
x 2y 2
-
9 9  9 16  2
65
2
=
=7 .
9
9
9
Ответ: 2.

 
 sin  cos 
2
2
Пример 2. Упростить выражение 
1  sin 
Решение.
2

 




 sin  cos 
sin 2  2 sin cos  cos 2
2
2

2
2
2
2 = 1  sin  = 1.
=
Ответ: 1.
1  sin 
1  sin 
1  sin 
Задания части 3 по теме «Выражения и преобразования» сложнее: они содержат
дополнительные условия или задания не содержат явного требования произвести то
или иное преобразование.
2
Пример 3. Известно, что log ab2
5
a
 1,5 . Найти наименьшее целое значение log ab a ,
b
большее двух.
основанию а:
5
log ab2
a
 1,5 ;
b
5
a
 1,5 , сведя логарифм к
b
1
log a a  log a b
5
log a a
3
3
5
 ;
 ;
2
2
log a (ab )
log a a  2 log a b
2
Решение. 1) Преобразуем данное неравенство log ab2
1
3
17
 log a b   3 log a b
 2 log a b
17
1
5
2
10
или log a b   .
0;
 0 ; log a b  
2
20
1  2 log a b
1  2 log a b
2)Преобразуем искомый логарифм log ab a к основанию а:
log a a
1
=
=
.
log ab a
log a ab 1  log a b
1
3) Оценим выражение
, используя полученные значения log a b :
1  log a b
17
3
20
1

а) log a b   , 1  log a b 
, тогда
, т.е. наименьшее целое значение
20
20
1  log a b 3
log ab b = 7.
1
1
1
log a b   , значит 1  log a b  , тогда
б)
 2 , но этот результат не
2
2
1  log a b
удовлетворяет условию задачи.
Ответ: 7.
По теме «Уравнения и неравенства» проверяются умения решать простейшие
показательные, логарифмические уравнения и неравенства, тригонометрические
уравнения и умения использовать общие методы решения показательных,
логарифмических, иррациональных, тригонометрических уравнений и неравенств
(введение новой переменной, разложение на множители, графический, использование
свойств функций), системы уравнений.
Задания 1-2 частей чаще всего имеют такие формулировки: «Найдите сумму
(произведение) корней уравнения», «укажите промежуток, которому принадлежит корень
уравнения», «укажите количество корней уравнения», «укажите наибольший
(наименьший) корень уравнения», «сколько корней имеет уравнение», «решите уравнение
(неравенство)».
x 

Пример 4. Сколько корней имеет уравнение  2 cos 2  1 25  x 2  0 ?
2 

Решение. Заменим данное уравнение на равносильное cos x  25  x 2  0 . Произведение
двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю и при этом второй
множитель имеет смысл. То есть полученное уравнение равносильно совокупности
cos x  0
смешанной системы 
и уравнения 25  x 2  0 .
2
25  x  0
3


3
 . Решением уравнения являются
Решением системы являются х:   ;  ;
;
2
2
2
2
Ответ: 6.
x  5 . Следовательно, исходное уравнение имеет 6 корней.
В части 3 темы «Уравнения и неравенства» обычно предлагаются уравнения и
неравенства комбинированного характера, содержащие параметр или неизвестные под
знаком модуля.
Пример 5. При каких значениях а выражение 2  cos x  (3 cos x  a sin x) не равно нулю ни
при каких значениях х?
Решение. Переформулируем задание: найти
а, при которых
уравнение
2  cos x  (3 cos x  a sin x)  0 не имеет решения?
Выполним тождественные преобразования и приведем уравнение к квадратному
относительно tgx :
2  3 cos 2 x  a sin x  cos x  0 ; 2(sin 2 x  cos 2 x)  3 cos 2 x  a sin x  cos x  0 ;
2 sin 2 x  a sin x  cos x  5 cos x  0 ; 2tgx  atgx  5  0 .
Полученное уравнение не имеет решения, если дискриминант отрицательный:
D  b 2  4ac ; a 2  40  0 ;  2 10  a  2 10 .
Ответ:
 2 10 ; 2 10 .


Пример 6. Найти все целые значения параметра а, при которых неравенство
2 x
x 1
не имеет решений.
x2  x  2 
 ax  2 
x4
5 x
Решение. 1) Найдем область определения неравенства:
 x 2  x  2  0,

 x  1, x  2,
 2  x  0,
 4  x  2,
x  4


x

4

0
,
x  2, x  1 .

 x  4,
 1  x  5,
 x 1


 0,
 x  5;
5  x
5  x  0;

2) Найдем значения а, при которых x  2 - не является решением данного неравенства.
Пусть x  2 - решение данного неравенства. Это значит, что 0  0  2a  2 1, т.е. a   1 .
2
1
x  2 не является решением.
Следовательно, при a  
2
3) Теперь найдем те значения а, при которых x  1 не является решением данного
неравенства. Это значит, что 0  1  a  2 , т.е. a  1. Следовательно, при a  1 x  1 не
является решением.
4) Найдем те значения а, при которых и x  2 и x  1 не являются решениями данного
1
неравенства. Это   a  1 . Целыми значениями а из полученного интервала является
2
Ответ: a  0 .
a0.
По теме «Функции» на ЕГЭ проверяются знания свойств функций: область
определения, множество значений, четность и нечетность, возрастание и убывание,
наибольшее и наименьшее значения и умения исследовать данную функцию как по её
графику, так и по аналитическому заданию. При выполнении перечисленных типов
заданий можно пользоваться как элементарными средствами, так и дифференциальным
исчислением.
5x
Пример 7. Найти длину промежутка возрастания функции y  2
.
x 1
Решение. 1) Областью определения данной функции является множество действительных
чисел.
5( x 2  1)  2 x  5 x
5 x 2  5  10 x 2
5  5x 2
=
=
.
y 
2
2
2
x2 1
x2 1
x2 1
2) Найдем значения х, при которых производная принимает положительные значения:
5  5x  0 , т.е. x 2  1  0 , 1  x  1 .
3) Так как в точках x  1 и x  1 данная функция непрерывна, то промежутком
возрастания будет отрезок  1; 1. Длина этого отрезка равна 1-(-1)=2.
Ответ: 2.
Задания части 3 по теме «Функции» отличаются от задач 1-2 частей сочетанием в
условии различных элементарных функций.






Пример 8. Найдите множество значений функции
 3 2  sin x  cos x 
9
.
y  arccos


4
2


Решение.
Для нахождения множества значений данной функции воспользуемся
свойствами верных числовых неравенств. В качестве исходной функции выберем
y  sin x  cos x . Так как
1


 1





sin x  cos x  2 
sin x 
cos x  = 2  cos  sin x  sin  cos x  =  2 sin   x  , то
4
4
2


4

 2

множество значений исходной разности sin x  cos x будет отрезок  2 ; 2 , а значит

множеством значений числителя дроби



3 2  3sin x  cos x будет отрезок 2 2 ; 4 2 , а
 3 2  sin x  cos x 
1
 отрезок  ; 1 . Вычисляя арккосинус от множества
всей дроби 


4 2
 2 


1 
 2 ; 1 с учетом того, что арккосинус на этом множестве убывает, получим
9
1

 
или
.
Умножив
полученный
результат
на
, получим искомое
arccos
1
;
arccos
0
;

 3 

2 
множество 0; 3.
Ответ: 0; 3.
Задания по теме «Геометрические фигуры и геометрические величины» содержатся
во 2 и 3 частях теста ЕГЭ, причем задания на применение
знаний, как планиметрии, так и стереометрии.
Планиметрические задачи связаны с треугольниками,
четырехугольниками, окружностью, правильными
многоугольниками и их комбинациями. Задачи проверяют
умения применять теоремы Пифагора, косинусов и
синусов, признаки равенство и подобия треугольников,
свойства касательных и хорд, свойства медиан, биссектрис
и высот треугольника, свойства диагоналей ромба, прямоугольника, трапеции.
Пример 9. В прямоугольном треугольнике АВС на катете АВ как на диаметре,
построена окружность, разбивающая гипотенузу на части в отношении 3:2, считая от
вершины С. Найти площадь треугольника АВС, если его гипотенуза равна 10 ( 6  2,44 ).
Решение. Дано: ΔАВС, окр.(О, АВ); B  90 0 , СМ:МА= 3:2, СА=10.
Найти: S ABC
Решение: 1) Так как АВ – диаметр окружности, то BMA  90 0 (как вписанный и
опирающийся на диаметр), значит BM  AC .
10  2
 4 , МС = 10 – 4 = 6.
2) Так как АС=10 и АС=3+2=5 частям, то AM 
4
3) По свойству высоты, опущенной из вершины прямого угла, запишем
BM 2  AM  MC ,
BM 2  24, BM  24 , BM  2 6 .
1
4) Зная сторону АС и высоту ВМ к ней, вычислим S ABC  AC  BM ,
2
1
S ABC  10  2 6  10  2,44  24,4.
Ответ: 24,4.
2
По стереометрии задачи связаны с темами «Многогранники» и «Фигуры
вращения». Контрольно-измерительные материалы ЕГЭ проверяют знания о взаимном
расположении прямых и плоскостей в пространстве и умения вычислять углы (между
прямой и плоскостью, между прямыми, между плоскостями, между скрещивающимися
прямыми) и расстояния (от точки до прямой, между скрещивающимися прямыми, между
параллельными плоскостями), проверяются знания свойств параллелепипеда пирамиды,
правильных многогранников и фигур вращения.
Пример 10. В правильной треугольной пирамиде
SABC объемом 42 точка О – центр вписанной в
треугольник SAB окружности, а боковое ребро в
7 раз больше ребра основания АВС. Вычислить
объем пирамиды ОАВС.
Дано: SABC – правильная пирамида, VSABC =42, О
– центр вписанной в ABC .
AS = 7АВ.
Найти: VOABC
Решение. (Один из вариантов)
1) Введем вспомогательный параметр
х= АВ = ВС = АС. Тогда AS = 7х.
2)
По
формуле
Герона
2
15 x x 13
x
195.
S ABC 
x   x 
4
2 2 2 2
S x 2 195 x 195

3) ОМ = r = 
.
p 4  15 x
30
2
x2
x
195.
=
4
4
SM
 15 .
5) SMN подобен MOK : k 
OM
4) AMS :
SM  49 x 2 
1
S ABC  H
V
H
V 42 14
3
6)
 . Ответ: 2,8.


 k  15 . V1  
15 15 5
V1 1 S
H
1
ABC  H 1
3
Пример 11. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а, и боковое
ребро равно l. Найти радиус шара, касающегося всех ребер пирамиды.
Дано: SABC –правильная пирамида, SB=SA=SC=l, AB=AC=CB=a, О – центр шара.
Найти: ОК
Решение. 1) OK  SB, OK  ON  r так как шар касается всех ребер.
a
2) BK  BN  по свойству касательных к шару, проведенных из точки В.
2
O B  SK
OK
SK
3) SOK подобен O1SB (по двум углам):
или
=
OK  1

SO1
O1 B SO1
2a 3  a 
l  
3 2  2 
2
a
l 
3
2
=
a 3 (2l  a) 3
3  2 3l  a
2
2
=
a(2l  a)
2 3l  a
2
2
. Ответ:
a(2l  a)
2 3l 2  a 2
.
По теме «Числа и вычисления» задания связаны с основными задачами на
проценты, пропорции и текстовые задачи.
Пример 12. Цену на калькулятор сначала повысили на 25%, а потом ещё на 65%. Во
сколько раз повысилась цена.
Решение. Пусть цена была х рублей, после первого повышения цена стала
х + 0,25х = 1,25х,
а после второго
1,25х + 0,65•1,25х = 2,0625х.
2,0625 х
Отношение второй новой цены к первоначальной равно
= 2,0625  2.
Ответ: 2.
х
Пример 13. Если первый тракторист вспахивает поле на 2 часа быстрее второго, а
2
вместе они вспахивают это же поле за 2 часа, то число часов, за которое один второй
5
тракторист выполняет эту работу равно……
Решение. Пусть первый тракторист вспахивает поле за х часов, тогда второй – за
1
1
(х+2)часа и их производительность будет соответственно
и
. Так как, работая
х
х2
2
вместе, они вспахивают это поле за 2 часа, то можно составить уравнение:
5
1
1
5
+
=
. Откуда получаем х = 4, тогда х + 2 = 6.
Ответ: 6.
х
х  2 12
Пример 14. Из треснувшей бочки за 5 часов вытекает 4 литра воды. Сколько воды было
в бочке, если она опустела за 7,5 часов?
 5 ч
Решение. Запишем условие задачи схематически: 4 л 
 7,5 ч
хл 
Имеем прямую пропорциональную зависимость, следовательно, 5 : 7,5 = 4 : х или
7,5  4
х
 6 л.
Ответ: 6.
5
Задачи для самостоятельного решения
Попробуйте выполнить представленную ниже работу за 1час 20 минут. Будьте
внимательны. Читая задачу, подчеркивайте ключевые слова, это поможет вам
правильно ответить на вопрос задачи.
ЧАСТЬ 1.
Укажите номер правильного ответа.
1
1. Найдите значение выражения 5 5  5 2  5 32
1) 23;
2) 3;
3) 1;
4) 3 5 .
2. Упростите выражение 4 log4 3  log 2 12  2 log 2 3 .
1) 8;
2) 12;
3) 6;
4) 5.
x2
1
3. Решить неравенство    4
2
1)  ;  4 ; 2)  4;  ; 3) (;  4]
4) [4; ) .
4. Найдите значение производной функции y  f (x) в
точке x0
4
3
3
4
1)  ;
2) ;
3)  ;
4) .
3
4
4
3
5. Укажите промежуток возрастания функции y  f (x) ,
заданной графиком
1) 0, 4;
2) 0, 3;
3) 2, 2;
4) (-2; 2).
ЧАСТЬ 2.
Для каждого задания укажите ответ.
6. Решите уравнение 2 x  9  x  3 .
7. Найдите число целых решений неравенства (5  cos x)  ( 3x  2 1)  0 .
6 cos 2 37 0  3
.
sin 49 0  sin 250  cos 49 0  cos 250
x
x
2
3
9. Найдите произведение корней уравнения 6   6   13  0 .
3
2
10. Угол между высотой правильной треугольной пирамиды и апофемой равен 60 0.
Найдите объём пирамиды, если апофема 2 3 .
8. Найдите значение выражения
ЧАСТЬ 3.
К каждому заданию приведите полное решение.
x 2  x  12
0.
4x  3
12. Решите неравенство log cos2 a0,5 (4 x  9)  log cos2 a0,5 ( x  3) .
11. Решите неравенство


 x 2  2x  3 
 = lg x 2  5 x  6  1  1 .
13. Решите уравнение cos
sin
x

