Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Ростовский ордена Трудового Красного Знамени государственный университет Л.И. Сантылова, Л.Н. Землянухина МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ для студентов вечернего отделения механико-математического факультета ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ по курсу “Методы оптимизации” ( часть 4 ) г.Ростов-на-Дону 1996 2 Методические указания рекомендованы к печати заседанием кафедры исследования операций механикоматематического факультета РГУ, ПРОТОКОЛ № 2 от 3 октября 1996 г. 3 СОДЕРЖАНИЕ 8.ЗАДАЧИ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ...4 8.1.Задача Лагранжа...................................4 8.2.Примеры задачи Лагранжа................ ..........6 8.3.Задания...........................................8 8.4.Изопериметрическая задача.........................8 8.5.Примеры изопериметрической задачи................10 8.6.Задания..........................................11 9.ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ(ВИ) И ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ(ДП)...................................13 10.ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ И ПРИНЦИП МАКСИМУМА.....14 10.1.Постановка задачи................................15 10.2.Необходимое условие минимума.....................17 10.3.Схема решения....................................20 10.4.Примеры..........................................21 10.5.Задания..........................................22 11.ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ОПТИМАЛЬНОГО БЫСТРОДЕЙСТВИЯ...........23 11.1.Постановка задачи................................23 11.2.Необходимое условие минимума.....................25 11.3.Схема решения....................................26 11.4.Примеры..........................................28 11.5.Задания..........................................30 Литература................................................32 4 8.ЗАДАЧИ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ Рассмотрим задачи ВИ, в которых на искомые функции накладываются, кроме граничных условий, дополнительные ограничения. Эти задачи называются задачами ВИ на условный экстремум. 8.1.Задача Лагранжа Требуется найти экстремум функционала x1 V[y1(x),,yn(x)]= F(x,y1,y2,,yn,y1,,yn)dx x0 (1) с граничными условиями yk(x0)=yk, yk(x1)=yk, k=1,,n, (2) при дополнительных ограничениях, заданных уравнениями связи i(x,y1,yn,y1,,yn)=0 i=1,,m, (mn). (3) Введем функцию Лагранжа L(x,y1,,yn,y1,,yn,1,m)=F(x,y1,,yn,y1,,yn)+ m + i(x)i(x,y1,,yn,y1,,yn), (4) i=1 где i(x)Сi[x0,x1]-множители Лагранжа. В задаче Лагранжа необходимое условие экстремума функционала (1) формулируется в виде следующей теоремы. Теорема 1. Если функции y1(x),,yn(x)C1[x0,xn] доставляют слабый экстремум функционалу (1) при условиях (2),(3), то существуют множители Лагранжа i(x)Ci[x0,xn] (i=1,m), при которых эти функции удовлетворяют системе уравнений Эйлера Lyk - d/dx Lyk =0, k=1,,n. (5) При решении задачи Лагранжа искомые функции y1(x), y2(x), ,yn(x) и множители Лагранжа 1(x),,m(x) определяются из системы n+m уравнений (5) и (3). 8.2.Примеры задачи Лагранжа Пример 1. Найти экстремум функционала 1 функции, V[y1,y2]=(y22+y22+x3)dx 0 на которых может достигаться 5 при граничных условиях у1(0)=y2(1)=2, y1(1)=y2(0)=1 и условиях связи y1-2y2+3x=0. Решение Построим функцию Лагранжа для данной задачи L(x,y1,y2,y1,y2,1(x))=y12+y22+x3+1(x)(y1-2y2+3x). Тогда, Ly1=1(x),Ly1=2y1, Ly2=-21(x),Ly2=2y2, и используя теорему 1, получим следующую систему трех уравнений относительно функций y1(x),y2(x),1(x): 1(x)-2y1”=0 1(x)+2y2”=0 y1-2y2+3x=0. Вычитая из первого уравнения второе и дифференцируя по Х третье уравнение,получаем -2y1”-y2”=0 y1”=0 Ошибка! Закладка не определена.y1(x)+y2”=0 Ошибка! Закладка не определена.Ошибка! Закладка не определена.Ошибка! Закладка не определена.y2”=0 y1”-2y2”= 0 1(x)=0 Отсюда получаем y1=C1x+C2 y2=C3x+C4 1(x)=0 Учитывая граничные условия и условия связи приходим к следующей алгебраической системе относительно С1,C2,C3,C4: C2=2 C1=-1 y1=-x+2 Ошибка! Закладка не определена.C3+C4=2 Ошибка! Закладка не определена.C2= 2 Ошибка! Закладка не определена.Ошибка! Закладка не определена.1(x)=0 Ошибка! Закладка не определена.Ошибка! Закладка не определена.C4=1 Ошибка! Закладка не определена.C3= 1 y2= x+1 C1+C2=1 C4= 1 6 C1-2C3+3=0 C2-2C4=0 Ответ: y1=-x+2 y2= x+1. Пример 2. Найти экстремум функционала функции,на которых может достигаться 1 Vy1(x),y2(x)=(y12+y22)dx 0 при ограничениях и условиях связи y1(0)=y2(1)=0, y2(0)=y1(1)=1 y1-y2=0. Решение В этом примере функция Лагранжа имеет вид L(x,y1(x),y2(x),1(x),y1(x),y2(x))=y12+y22+1(x)(y1-y2). По теореме 1 искомые функции удовлетворяют системе Ошибка! Закладка не d/dx(2y1+1(x))=0 определена.Ошибка! Закладка не определена. 2y1+1(x)=C1 2y2-1(x)=0 Ошибка! Закладка не определена. 2y2-1(x)=0 y1-y2=0 y1-y2=0 2y1+1(x)=C1 2y1+2y2 =C1 y1-y2=0 2y1+1(x)=C1 4y1=C1 y1-y2=0 y1=(C1/4)x+C2 y2=C1/4 1(x)=C1/2 Учитывая граничные условия, получим C2=0 C1/4=0 C1/4=1 C1/4+C2=1 7 Данная система противоречива. Следовательно, решений нет. Ответ: Решений нет. 8.3.Задания 1 1. (y12+y22+y22)dx - extr 0 y1(0)=-2, y2(0)=1, y1(1)=-e-1, y2(1)=0 y1-y2=0. 1 2. (y12+y22+1)dx - extr 0 y1(0)=y2(0)=y2(1)=0, y1(1)=2, y1+y2-2x2=0. 3.(y12-y22+y22)dx - extr 0 y1(0)=y2(0)=y1()=0, y2()=0 y1-y2+CosX=0. /2 4.(y12+y22-y12-y22+CosX)dx - extr 0 y1(0)=y2(0)=y1(/2)=1, y2(/2)=-1 y1-y2-SinX=0. /2 5.(y12+y22+2y1y2)dx - extr 0 y1(0)=1, y2(0)=-1, y1(/2)=2/4+1, y2(/2)=2/4-1 1 6.(y12+y22)dx - extr 0 y1(0)=y2(0)=0, y1(1)=2Ch1, y2(1)=2Sh1 8 y1-y2=0. 1 7.(y12-y22)dx - extr 0 y1(0)=-8/3, y2(0)=4/3, y1(2)=-Sh2-8/3e4, y2(2)=Ch2+1/3e4 y1+y2+e2x=0. 8.(y1y2-y1y2)dx - extr 0 y1(0)=y2(0)=0, y1(/2)=1, y2(/2)=-1 y1+y2=2SinX. 1 9.(y12+y22+2y1)dx - extr 0 y1(0)=y2(0)=1, y1(1)=1/2+Sh1, y2(1)=Ch1 -y1+y2=x 8.4.Изопериметрическая задача В классическом вариационном исчислении задачей называется следующая задача: требуется найти экстремум функционала изопериметрической x1 V[y1(x),,yn(x)]= F(x,y1,y2,,yn,y1,,yn)dx x0 с граничными условиями yk(x0)=yk0, yk(x1)=yk1, k=1,,n, (6) (7) при дополнительных ограничениях x1 Fi(x,y1,yn,y1,,yn)dx=li, i=1,,m, (mn). x0 Функция Лагранжа для данной задачи имеет вид L(x,y1,,yn,y1,,yn,1,m)=F(x,y1,,yn,y1,,yn)+ m + iFi(x,y1,,yn,y1,,yn), i=1 (9) 9 где i-произвольные вещественные числа. Необходимое уловие экстремума для изопeриметрической задачи формулируется в виде теоремы 2. Теорема 2. Если функции y1(x),,yn(x)C1[x0,xn] доставляют слабый экстремум функционалу (6) при условиях (7),(8), то существуют вещественные числа i (i=1,m), называемые множителями Лагранжа, при которых эти функции удовлетворяют системе уравнений Эйлера Lyk- d/dx Lyk =0, k=1,,n, (10) где L-функция Лагранжа(9). Итак,для решения изопериметрической задачи требуется: 1)построить функцию Лагранжа L (x,y1,,yn,y1,,yn,1,m) и выписать систему дифференциальных уравнений (10); 2)решив систему (10), определить функции y1,y2,yn, зависящие от 2n констант интегрирования и m множителей Лагранжа; 3)используя граничные условия (7) и интегральные условия (8), найти константы интегрирования и множители Лагранжа и тем самым определить искомые функции yk(x) (k=1,,n). 8.5.Примеры изопериметрической задачи Пример 3. Найти функции, которые могут доставить экстремум функционалу 1 Vy1(x),y2(x)= y1y2 dx 0 при ограничениях y1(0)=y2(0)=y1(1)=0, y2(1)=1 и интегральных условиях 1 0 1 xy1dx=0, xy2dx=0. 0 Решение Функция Лагранжа для данной задачи имеет вид L(x,y1,y2,y1,y2,1, 2)= y1y2+1xy1+2xy2 10 Так как Ly1 =1x, Ly1= y2, Ly1 =2x, Ly2= y1, то система (10) будет следующей 1x -y2=0 2x -y1=0 y2=0.51x2+C1 y1=0.52x2+C3 Отсюда, y1=(2x3)/6+C3x+C4 3 y2=(1x )/6+С1x+C2. Учитывая граничные условия, получим y1(0)=C4=0 y(0)=C=0 y1(1)=2/6+C3=0 y2(1)=1/6+C1=1 C2=-2/6 C1=1-1/6 Из интегральных условий 1 ((2x3)/6-(2x)/6)xdx=0 0 1 2=0 2=0 Error! Bookmark not defined. ((1x3)/6+(1-1/6)x)xdx=0 0 (1/6)(-2/15)+1/3=0 Искомые функции y1=0 y2= 2.5x3-1.5x Ответ: y1=0 y2= 2.5x3-1.5x. 8.6.Задания 1 1=15 11 1. y2dx - extr 0 1 ydx=0,y(0)=1, y(1)=0. 0 1 2. y2dx - extr 0 1 ydx=-3/2, 0 1 yxdx=-2, y(0)=2, y(1)=-14. 0 3. y2dx - extr 0 ycos(x)dx=/2, y(0)=1, y()=-1. 0 4. y2dx - extr 0 ysin(x)dx=0, y(0)=0, y()=1. 0 1 5. y2dx - extr 0 1 yexdx=0, 0 2 y(0)=0, y(1)=1. 12 x3 y2dx 6. - extr 1 2 ydx=2, y(1)=4, y(2)=1. 1 1 y2dx 7. - extr 0 1 yxdx=0, y(0)=0, y(1)=1. 0 1 y2dx 8. - extr 0 1 ydx=1, 0 1 yxdx=0, y(0)=y(1)=0. 0 9. ysin(x)dx - extr, 0 y2dx =3/2, y(0)=0, y()=. 0 1 10. (y2 + y2)dx - extr 0 1 ye-xdx=0.25(1-3e -1), 0 1 11. y1y2 dx - extr, y(0)=0, y(1)=e-1. 13 0 1 y1dx=1, 0 1 y2 0 dx=0, y1(0)= y2(0)= y1(1)=0, y2(1)=1. 1 (y1+y2)dx-extr, 12. 0 1 0 y1y2 dx=0, y1(0)= y2(0)= 0, y1(1)=1, y2(1)=-3. 1 13. (y1 +y2 )dx 2 0 2 - extr, 1 0 y1y2 dx=-2, y1(0)= y2(0)= y1(1)=1, y2(1)=0. 1 14. 0 (y1-y2)xdx - extr, 1 0 y1y2 dx=-4/5, y1(0)= y2(0)= 0, y1(1)=2, y2(1)=0. /2 (y2 15. -y2)dx - extr 0 /2 ysin(x)dx1=1, y(0)= y(/2)=0. 0 9.ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ(ВИ) И ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ(ДП) 14 В данном разделе излагается неклассический подход к ВИ, предполагающий использование динамического программирования. 9.1.Вывод уравнения Беллмана для континуальной задачи Рассмотрим простейшую задачу ВИ, уже изложенную в 7.2. Пусть F(x,y,z) имеет непрерывные производные до второго порядка включительно по всем своим аргументам. Требуется среди функций y(x)C1(x0,x1), yдовлетворяющих граничному условию y(x0)=y0, найти функцию, на которой достигается, для определенности, минимум функционала x1 V[y(x)]= F(x,y,y)dx. x0 Возьмем функцию произвольную точку x[x0,x1] и введем в рассмотрение x1 f(x,y)= F(x,y,y)dx. min {y(x)} (11) x Таким образом, f(x,y) в формуле (11) определяет минимальное значение функционала, достигаемое на функциях, левый конец которых находится в точке А(x,y). Теперь min V[y(x)]=f(x0,y0). {y(x)} Выведем уравнение Беллмана для континуальной задачи Пусть -некоторое положительное приращение точки X. Тогда, x+ x1 ДП. f(x,y)= min [ F(x,y(x),y(x))dx + F(x,y(x),y(x))dx]. {y(x)} x x+ Считая 0 и учитывая непрерывность y(x), получаем x1 f(x,y)= min [F(x,y,y) + F(x,y,y)dx] или {y(x)} f(x,y)= x+ min [F(x,y,y)+f(x+,y+y)]. {y(x)} (12) 15 Воспользуемся принципом Лежандра: всякая непрерывная функция может быть задана или бесконечным множеством точек или бесконечным множеством касательных. Это позволит от минимизации по y(x) перейти к минимизации по y(x). Вследствие этого получим f(x,y)= min [F(x,y,y)+f(x+,y+y)]. (13) {y(x)} Разложим y(x+) в ряд Тейлора y(x+)=y(x)+y(x)+o(2). Тогда, f(x+,y+y)= f(x+,y+y). А разложив в переменных, получим ряд Тейлора уже полученную функцию двух f(x+,y+y)=f(x,y)+fx+fyy+o(2), откуда (13) можно переписать в виде f(x,y)= min [F(x,y,y)+f(x,y)+ fx+fyy]= {y(x)} [(F(x,y,y)+fx+fyy)+f(x,y)]= = min {y(x)} [(F(x,y,y)+fx+fyy)]+f(x,y). = min {y(x)} Отсюда, 0= min [(F(x,y,y)+fx+fyy)] или {y(x)} -fx= min [F(x,y,y)+fyy)]. (14) {y(x)} Уравнение (14) является рекуррентным уравнением Беллмана для континуальной задачи ДП. Используя уравнение (14) выведем уравнение Эйлера. 9.2.Вывод уравнения Эйлера В силу исходных условий выражение в квадратных скобках уравнения (14) определяет непрерывную функцию. А потому для минимизации этой функции можно использовать классический подход, приравняв к нулю производную 16 Fy + fy=0. (15) Предположим, что в(14) подставлено оптимальное значение y(x) -fx= F(x,y,y)+fyy . (16) Дифференцируя (15) по X, а (16) по Y, получим d/dx(Fy)+ fyx+ fyyy=0 и (17) fxy+ Fy + Fy( y/ y)+ fy( y/ y) + fyyy=0. (18) Из (18) вычтем (17): -d/dx(Fy)+ Fy + (Fy+ fy)( y/ y)=0. Отсюда, учитывая (15), получаем уравнение Эйлера Fy-d/dx(Fy)=0. 10.ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ 10.1. Постановка задачи Задачей оптимального управления (в понтрягинской форме) будем называть следующую задачу в пространстве I ( x (), u(), t1 ) t1 f (t , x, u) dt 0 (t1 , x(t1 )) t0 x (t ) f (t , x(t ), u(t )) , u( t ) U t [ t0 , t1 ] , x ( t0 ) S 0 , x ( t1 ) S1 ( t1 ) где . KC1( , R n ) KC( , R m ) R 2 min , (19) (20) (21) (22) (23) : 17 S0 { x R n | g ( x ) 0 , i 1, m } , i 0 n S (t ) { x R | g ( x, t ) 0 , i m 1, m } 1 i 1 0 Здесь t0 , t1 , где сировано, n+m+1 и - заданный . конечный отрезок, t 0 фик- f : R Rn Rm R 0 n+1 переменных, и : R R n R - функции соответственно 0 переменных, f : R R n R m R - вектор-функция n+m+1 n gi : R n R, i 1, m0 функции переменных, g : R n R R , i m 1, m - функции n+1 переменных, U - произвольное i 0 t1 множество из Если фиксировано (т.е. Rm . S1 ( t1 ) S1 , g i ( x , t1 ) g i ( x ), i m0 1, m ), то задачу называют задачей с закрепленным временем. Частным случаем является задача, в которой один из концов или даже оба закреплены, т.е. S0 {x 0} или S1 {x1} . Если S0 R n или S1 R n , то концы называют свободными. Во всех остальных случаях концы называют подвижными. Вектор-функция x( ) называется фазовой переменной, u() - управлением. Уравнение (20), называемое дифференциальной связью, должно выполняться во всех точках непрерывности управления u() на интервале ( t0 , t1 ) , который будем обозначать через T. Тройка ( x (), u(), t1 ) называется управляемым процессом в задаче оптимального управления, если x() KC1( , R n ) , u() KC( , R m ) (здесь KC( , R m ) - пространство кусочно-непрерывных на отрезке m-мерных функций, имеющих конечное число точек разрыва первого рода внутри отрезка и непрерывных справа в точках разрыва; KC1( , R n ) - пространство кусочно-непрерывно дифференцируемых n-мерных функций на отрезке ) и выполняются дифференциальная связь (20) и ограничения типа включения (21).Управляемый процесс называется допустимым, если , кроме того, выполняются соотношения (22) и (23). Допустимый управляемый процесс ( x (), u(), t ) называется (локально) 1 0 оптимальным, если существует такое, что для всякого допустимого управляемого процесса ( x (), u(), t1 ) , для которого ( x (), t ) ( x (), t ) , 1 1 С( , R n ) R1 выполняется неравенство I ( x (), u(), t1 ) I ( x (), u(), t ) . 1 10.2.Необходимые условия экстремума 18 Теорема (принцип максимума Понтрягина). Пусть ( x (), u(), t ) 1 оптимальный процесс в задаче оптимального управления, функции f i , i 0 , m и их частные производные по x непрерывны в множестве V U , где V - некоторая окрестность множества {(t , x (t ))| t [t , t ]} , а 0 1 функции 0 , gi , i 1, m непрерывно дифференцируемы в окрестности точки гладкости).Тогда существует решение ( x (t0 ), t1 , x (t1 ) ) (условие (t ) ( 1 (t ),..., (t ) ) сопряженной системы n i (t ) H (t , x (t ), u (t ), 0 , (t )) , i 1, n , (24) xi где m H ( t , x , u, 0 , ) i fi (t , x ,u) (25) , i 0 и константа 0 0 такие, что | 0 | || (t )|| 0 при t [t 0 , t1 ] и выполняются следующие условия: а) (условие максимума) при каждом функция Понтряt [t 0 , t1 ] гина H (t , x (t ), u, 0 , (t )) достигает максимума по u U при u u( t ) , т.е. H (t , x (t ), u(t ), 0 , (t )) max H (t , x (t ), u, 0 , (t )) , uU (26) б)(условие трансверсальности на левом конце траектории) сущес1 ,..., m твуют числа такие, что 0 (t0 ) m0 i gi ( x( t 0 )) , (27) i 0 в) (условие трансверсальности на правом конце траектории) су m 1 ,..., ществуют числа такие, что: m 0 - в случае, когда конечный момент времени фиксирован ( t t ) 1 ( t1 ) 0 0 ( x ( t1 ), t1 ) 1 m i gi ( x(t1),t1) , i m0 1 - в случае, когда конечный момент времени не фиксирован (28) 19 (t1 ) 0 0 ( x (t1 ), t1 ) x m i gi ( x (t 1),t 1) , x (29) i m0 1 m H ( t1, x ( t1 ), u ( t1 ), 0 , ( t1 ) i g ( x ( t1), t1 ) t i , (30) i m0 1 ▀ Посмотрим теперь, как выглядят условия трансверсальности в важных частных случаях закрепленных и свободных концов траектории. Если конец закреплен, например левый, т.е. S0 {x 0 } , то (27) имеет (t 0 ) ( 1 ,..., n ) , следовательно, вид условие трансверсальности выполнено на левом конце при любом (t 0 ) . Если конец траектории ( t 0 ) 0 . свободен, например левый, т.е. S0 R n ,то (28) имеет вид Аналогично при свободном правом конце условия трансверсальности ( t1 ) 0 0 ( x ( t1 ), t1 ) 0 . приобретает вид 10.3. Схема решения задачи 1. Составить функцию Понтрягина: m H ( t , x , u, 0 , ) i fi (t , x ,u) ; i 0 2. Построить сопряженную систему : H (t , x , u, 0 , (t )) , i 1, n ; xi 3. Построить условия трансверсальности: (27)-для левого конца, (28) или (29)-(30)- для правого с учетом сделанных замечаний для закрепленных и подвижных концов; i (t ) 4. Найти решения (t ) сопряженной системы с учетом условие трансверсальности , рассмотрев два случая 0 0 и 0 1 , при этом должно выполняться | 0 | || (t )|| 0 ; 5. Найти допустимые управления u u(t ) , используя принцип максимума: H (t , x , u(t ), 0 , (t )) max H (t , x, u, 0 , (t )) uU 6. Решить систему дифференциальных уравнений x (t ) f (t , x(t ), u(t )) , 20 используя граничные условия, найти допустимые траектории . 7. Отыскать решение среди найденных допустимых процессов или показать, что решения нет. 10.4. Примеры Пример 1. 1 (x 2 x ) dt min , | x | 14 , x(0) 0 . 0 Решение. Приведем задачу к виду задач оптимального управления, введя управление u() : 1 2 (u x ) dt min , x u , u [ 14 , 14] , x ( 0) 0 . 0 Функция Понтрягина: H (t , x, u, 0 , ) 0 ( u 2 x ) 1 u .Строим сопряженную систему : 1 0 . Условия трансверсальности: для левого конца не формируем, т.к. конец закреплен; для правого конца имеем 1(1) 0 . Теперь решаем сопряженную систему. Если 0 0 , то имеем 1 0 , 1 C1 , , 0 0 1 0 1(1) 0 , 1(1) 0 , найденное решение не удовлетворяет условию | 0 | || (t )|| 0 . Если 0 1 , то имеем 1 1, 1 t C1 , , 0 1 1 t 1 1(1) 0 , 1(1) 0 , найденное решение удовлетворяет условию | 0 | || (t )|| 0 . Запишем принцип максимума: max ( 0 u 2 ( t 1 ) u ) max ( u 2 ( t 1 ) u ) u [ 1 , 1 ] 4 4 u [ 1 , 1 ] 4 4 max ( ( (t 1 )2 t 1 2 u ) 4 2 ) u [ 1 , 1 ] 4 4 и найдем допустимые управления , решив задачу максимизации функции одной переменной на отрезке: 21 t 1 1 14 , 1 4 , если 2 4 t 1 1 t 1 t 1 u( t ) , если 1 4 4, , 2 2 2 1 1 1 t 1 , 4 4 , если 4 2 1 t 12 , 4 , если t 1 , если 1 2 t 1 . 2 Теперь решаем систему дифференциальных ничное условие: 1 , если 0 t 1 2 , 4 x t 1 , если 1 2 t 1, 2 x( 0) 0 , t 12 , если 1 2 t 3 2 , , если , если 3 t 2 , уравнений, используя гра- 1 1 t C 1 , если 0 t 2 , 4 x 2 t 1 t C , если 1 t 1, 2 2 4 2 x( 0) 0 , 1 t , если 0 t 1 2 , 4 x t2 1 t C2 , если 1 2 t 1 . 4 2 Так как x() должна быть непрерывной , то окончательно получаем: 1 t , если 0 t 1 2 , 4 x ( t ) t 2 1 5 t , если 1 2 t 1. 4 2 16 Найденное решение удовлетворяет только необходимым условиям оптимальности. Докажем, что это решение является оптимальным. Для этого возьмем функцию x( ) KC1([01 , ]) такую, что x () x () - допустимая функция в задаче. Функция должна удовлетворять условиям x( 0) 0 ; | x x | 1 4 1 4 x x 1 4 0 x( t ) 1 2 t [0, 1 2 ] . Интегрируя по частям с использованием того, что x( t ) ( t 1) 2 , 12 t 1 , получим 22 I ( x ( ) x ( )) 1 2 ( ( x x ) x x ) dt I ( x ( ) 0 1 1 2 x dt 2 x x dt 0 1 x d ( t 1) I ( x ( ) x ( t 1) 10 0 0 1 (2 x t 1 ) x dt 0 1 2 1 ( 2 t ) x dt I ( x ( ) . 0 x 0 . Итак x -оптимальная траектория. ▀ I ( x ( ) так как на отрезке [0, 1 2] Пример 2. x sin t dt min , | x | 1 , x(0) x( ) 0 . 0 Решение. Приведем задачу к виду задач оптимального управления, введя управление u x : x sin t dt min , x u , u [ 1,1] , x(0) x() 0 . 0 Функция Понтрягина : H (t , x, u, 0 , ) 0 x sin t 1 u . Cтроим сопряженную sin t . Условия трансверсальности не формируем, т.к. систему : 1 0 оба конца закреплены. Теперь решаем сопряженную систему. Если 0 0 , то имеем 0 C . 0 0 1 1 1 Тогда функция Понтрягина принимает вид: H (t , x , u, 0 , ) C1 u , получаем: C1 u C1 u 1 x t C1 , u [ 1, 1] если C1 0 max C1 u C1 u 1 x t C1 . u [ 1, 1] Однако, обе функции не удовлетворяют граничным условиям ни при каких значениях C1 . если C1 0 Если 0 1, max то имеем 0 1 sin t 1 1 cos t C1 . 23 Запишем принцип максимума: max ( 1 (t ) u ) max ( ( cos t C1 ) u ) u [ 1 , 1] u [ 1 , 1] 1 (t ) , если 1 (t ) 0 , 1 (t ) , если 1 (t ) 0 , и найдем допустимые управления : 1 u (t ) 1 Так как функция , если , если 1 (t ) cos t C1 0 , cos t C1 0 . может обращаться в ноль не более, чем в [0 , ] , то переключения управления также могут происходить не более одного раза, например в точке t1 . Теперь решаем систему дифференциальных уравнений, используя граничные условия, получим допустимую траекторию: одной точке отрезка x 1 , если 1 0 , x u , x 1, если 1 0 , x ( 0) x ( ) 0 , x( 0) x( ) 0 , t C , если 0 t t 1 1 , x t , если 0 t t 1 , t C2 , если t1 t , x t , если t1 t . x ( 0) x ( ) 0 , Так как функция x() должна быть непрерывной , то окончательно получаем : t , если 0 t , 2 t1 t1 t1 2 x t , если 2 t . Найденное решение удовлетворяет только необходимым условиям оптимальности. Докажем, что это решение является оптимальным. Для этого возьмем функцию x( ) KC1([01 , ]) такую, что x () x () - допустимая функция в задаче. Функция должна удовлетворять условиям 0 x ( t ) 2 t [0, ) , 2 x ( 0) x ( ) 0; | x x | 1 1 x x 1 2 x ( t ) 0 t [ 2 , ] . Интегрируя по частям , получим 24 I ( x ( ) x ( )) ( x x ) sin t dt I ( x ( ) 0 x sin t dt 0 I ( x ( ) ( x ( cos t ) ) | x cos t dt 0 0 I ( x ( ) 2 x cos t dt x cos t dt I ( x ( ) ) , 0 2 так как на отрезке [0, 2 ] cos t 0 , а на отрезке [ 2 , ] x -оптимальная траектория. cos t 0 . Итак ▀ Пример 3. 1 x dt min , | x | 2 , x(0) x(0) 0 . 0 Решение. Приведем задачу к виду задач оптимального управления, сделав замену переменных x1 x , x2 x и вводя управление u x : 1 0 x dt 1 x1 x 2 , min , x 2 u , u [ 2 , 2 ] , x1(0) x2 (0) 0 . Функция Понтрягина : H (t , x , u, 0 , ) 0 x 1 1 x 2 2 u .Cтроим сопряженную систему : H 0 , 1 x 1 . H 1 . 2 x 2 Условия трансверсальности: для левого конца не формируем, т.к. конец закреплен; для правого конца имеем 1 (1) 0 , 2 (1) 0 . Теперь решаем сопряженную систему. Если 0 0 , то имеем 25 1 C1, 0, 1 1 0 , , C t C , 0 0 1 2 2 2 1 0. 2 ( 1 ) 0 , ( 1 ) 0 , ( 1 ) 0 , ( 1 ) 0 , 1 2 2 1 Найденное решение не удовлетворяет условию | 0 | || (t )|| 0 . Если 0 1 , то имеем 1 t C1 , 1 , 1 t 1 , 1 2 , 0 1 t C t C , 1 2 1 2 1 2 2 2 2 ( t 1) . 2 1(1) 0 , 2 (1) 0 , (1) 0 , (1) 0 , 2 1 Запишем принцип максимума: 2 2 ( t ) , если 2 ( t ) 0 , max ( 2 (t ) u ) 2 2 ( t ) , если 2 ( t ) 0 , u [2 , 2] и найдем допустимые управления : 2 , если 2 0 , u( t ) u( t ) 2 t [2,2] . 2 , если 2 0 , Теперь решаем систему дифференциальных уравнений, используя граничные условия, получим допустимую траекторию: x t 2 C t C , x1 x2 , 1 2 x t 2 , 1 x 2 , x 2 t C , 2 1 x ( t ) t 2 . 2 1 x2 2t , x1( 0) 0 , x2 ( 0 ) 0 , x1( 0 ) 0 , x2 ( 0) 0 , Найденное решение удовлетворяет только необходимым условиям оптимальности. Докажем, что это решение является оптимальным. Для этого возьмем функцию x( ) KC1([01 , ]) такую, что x () x () - допустимая функция в задаче. Функция должна удовлетворять условиям x( 0) x ( 0) 0; | x x | 2 2 x x 2 0 x( t ) 4 t [0,1] . Так как x 0 , то функция x ( t ) монотонно возрастающая, а учитывая, что x ( 0) 0 , делаем вывод, что функция x ( t ) 0 t [0,1] . Аналогично получаем, что функция x( t ) 0 t [0,1] .Окончательно имеем I ( x ( ) x ( )) 1 ( x x ) dt I ( x ( ) 0 Итак x -оптимальная траектория. 1 x ( t ) dt I ( x ( )) . 0 ▀ Пример 4. 26 2 |x | dt min , x 2 , x ( 0 ) 0 , x ( 2 ) 1, x ( 2 ) 2 . 0 Решение. Приведем задачу к виду задач оптимального управления, x1 x , x2 x и вводя управление u x : сделав замену переменных 2 | u | dt min , x1 x2 , u 2 , x1( 0) 0 , x1( 2) 1, x2 ( 2) 2 . x u , 2 0 Функция Понтрягина : H ( t , x , u, 0 , ) 0 | u| 1 x 2 2 u . Строим сопряженную систему : H 0 , 1 x 1 H 1 . 2 x 2 Условия трансверсальности: для правого конца не формируем, т.к. конец закреплен; для левого имеем 2 ( 0) 0 . Теперь решаем сопряженную систему: 0, 1 C1 , C1 , 1 , C t C , 1 2 1 1 2 2 2 C1 t . 2 ( 0) 0 , 2 ( 0) 0 , Запишем принцип максимума. Если 0 0 и 2 ( t ) 0 , то max ( 0 | u| 2 (t ) u ) max ( 2 (t ) u ) u [2 , ) u [2 , ) 2 2 ( t ) u ( t ) 2 t [0,2] . При 2 ( t ) 0 функция Понтрягина неограниченна сверху, т.е. максимум не существует. Тогда x t 2 C t C , x1 x 2 , 1 2 1 0 C , 2 x 2 , x 2t C , 2 2 1 3 2C1 C2 , р ешения нет. x1( 0) 0 , x1( 0) 0 , 2 4 C1 , x ( 2) 1, x ( 2) 2, x ( 2 ) 1 , x ( 2 ) 2 , 1 1 2 2 Теперь рассмотрим случай 0 1 . 27 max u [2 , ) ( 0 | u| 2 (t ) u ) max u [2 , ) ( | u| 2 (t ) u ) max ( u ( t ) u ), если u 0 , 2 2 , если 2 ( t ) 1 , u [ 2 , 0 ] u( t ) . 0 , если 1 2 ( t ) 1. max ( u 2 ( t ) u ), если u 0 , u [ 0 , ) Функция 2 ( t ) С1t на отрезке [0,2] будет либо неотрицательной, либо неположительной. В случае 2 ( t ) 0 имеем x1 x 2 , x 2 0 , 2 ( t ) 0 u( t ) 0 t [0,2] x1( 0) 0 , x ( 2) 1, x ( 2) 2, 1 2 x1 C1t C2 , 0 C , 2 x 2 C1 , 1 2C2 C1, решения нет. x1( 0) 0 , x ( 2) 1, x ( 2) 2, 2 C1, 1 2 Если 2 ( t ) 0 ,то, т.к. эта функция монотонно убывает на отрезке [0,2], переключение управления может происходить не более одного раза, например, в точке t1 . Теперь решаем систему дифференциальных уравнений, используя граничные условия и условия непрерывности: x1 x 2 , 0 , если 0 t t1 , x 2 u , 2 ( t ) 0 u( t ) 2 , если t1 t 2 , x1( 0) 0 , x ( 2) 1, x ( 2) 2, 1 2 C t C2 , если 0 t t1 , x 1 1 t 2 C t C , если t t 2, 3 4 1 0 , если 0 t 1, x 2 C1 , если 0 t t1 , 1 ( t 1) , если 1 t 2, x2 2t C3 , если t1 t 2, 0 , если 0 t 1, x 2 2( t 1), если 1 t 2. x1( 0) 0 , x ( 2) 1, x ( 2) 2, 2 1 Допустимая траектория имеет вид: 0 , если 0 t 1, x ( t ) 2 ( t 1) , если 1 t 2. 28 Найденное решение удовлетворяет только необходимым условиям тимальности. Докажем, что это решение является оптимальным. Вычисляем 2 I ( x ( )) Теперь 2 | x | dt | 2 | dt 0 возьмем 2. 1 произвольную допустимую x( ) функцию удовлетворяющую граничному условию, x ( 0) x ( 0) 0 т.к. значениях x ( 0) допустимых траекторий не существует: 2 2 x dt x( 2) x( 0) 2 I ( x( )) 0 Итак x -оптимальная траектория. | x | dt |2| 2 I ( x ( )) задачи, при других . 0 ▀ 10.5.Задания 4 (x 1. 2 x ) dt extr , | x | 1 , x(4) 0 . 0 6 2. 2 2 2 x ) dt extr , | x | 1 , x ( 0) 0 . x ) dt extr , | x | 1 , x ( 6) 0 . x ) dt extr , | x | 1 , x(0) 0 . x sin t dt extr , | x | 1 , x( ) x( ) 0 . extr , | x | 1 , x(0) (x 0 6 3. (x 0 4 4. (x 0 5. 7 6. 0 4 x sin t dt оп- 0 . 29 2 7. 3 5 8. x cos t dt 4 x cos t dt 1 , | x | 1 , x( 32 ) x( 2 ) 0 . 2 2 9. extr extr , | x | 1 , x( 2 ) 0 x dt extr , | x | 2 , x(1) x(1) 0 . x dt extr , | x | 2 , x(0) x(1) 0 . x dt extr , | x | 2 , x(0) x(0) x dt . 0 1 10. 0 2 11. x( 2) 0 . 0 2 12. 0 2 13. extr , | x | 2 , x(2) x(0) x ( 2) 0 . extr , x 2 , x ( 0) x ( 0) 0 , x ( 2) 3 . extr , . dt extr , dt extr , | x | 1 , x ( 0) 0 , x ( 0) 0 , x (1) | x | dt 0 2 14. | x | dt x 2 , x ( 0) 0 , x ( 2) 2 , x ( 2) 1 0 1 15. 2 2 x x 24 , x ( 0) 11 , x (1) 0 , x(1) 0 . 0 1 16. 0 x 11 24 . 30 Литература 1.Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Сборник задач по оптимизации. Теория. Примеры. Задачи.-M.:Наука,1984.-276с. 2.Сборник задач по математике для втузов. Методы оптимизации. Уравнения в частных производных. Интегральные уравнения/Под ред.Ефимова А.Е.-М.:Наука,1990.-287с. 3.Зинченко А.Б., Сантылова Л.И. Индивидуальные задания по курсу Методы оптимизации” (часть3): Методические указания.-Ростовна-Дону: РГУ,1996.-41с. 4.Сухарев А.Г. и др. Курс методов оптимизации.-М.:Наука, 1986.328с.