metody_optimizacii - Саратовский государственный

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
«Саратовский государственный университет имени Н.Г.Чернышевского»
Балашовский институт (филиал)
УТВЕРЖДАЮ
Директор БИ СГУ
доцент А.В.Шатилова
___________________________
"__" __________________20__ г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
Методы оптимизации
Направление подготовки
010400 Прикладная математика и информатика
Профиль подготовки
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Форма обучения
Очная
Балашов,
2013
2
Содержание:
1. Цели освоения дисциплины………………………………………………
2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата……………………
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины…………………………………………………………………..
4. Структура и содержание дисциплины…………………………………...
5. Образовательные технологии…………………………………………….
6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости,
промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебнометодическое обеспечение самостоятельной работы студентов…………
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины…
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины ……….………..
3
3
3
4
5
5
9
10
3
1. Цели освоения дисциплины
Целью
освоения
дисциплины
«Методы
оптимизации»
является
формирование достаточного представления о математическом аппарате теории
оптимального управления, о сфере приложений методов теории оптимального
управления на экономических примерах.
2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Дисциплина «Методы оптимизации» относится к базовой части
математического и естественнонаучного цикла (Б.2.Б5)
Для освоения дисциплины «Методы оптимизации» студенты используют
знания, умения, навыки, способы деятельности и установки, полученные и
сформированные в ходе изучения дисциплин «Математика», «Теория вероятности
и математическая статистика».
Изучение дисциплины «Методы оптимизации» является основой для
дальнейшего освоения студентами базовых курсов и курсов по выбору
математического и естественнонаучного и профессионального циклов.
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины «Методы оптимизации»:
а) общекультурные (ОК):
 способностью владеть культурой мышления, умение аргументировано и ясно
строить устную и письменную речь (ОК-1);
 способность понимать сущность и значение информации в развитии
современного общества, сознавать опасности и угрозы, возникающие в этом
процессе, соблюдать требования информационной безопасности, в том числе
защиты государственной тайны (ОК -5);
 способностью и готовность к письменной речи и устной коммуникации на
родном языке (ОК -10);
 способность владения навыков работы с компьютером как средством
управления информацией (ОК -11);
 способностью работать с информацией в глобальных компьютерных сетях
(ОК -12);
 способность работы с информацией из различных источников, включая
сетевые ресурсы сети Интернет, для решения профессиональных и
социальных задач (ОК -15);
 способностью к интеллектуальному, культурному, нравственному,
физическому и профессиональному саморазвитию, стремление к повышению
своей квалификации и мастерства (ОК -16).
б) профессиональные (ПК):
 способность осуществлять целенаправленный поиск информации о
новейших научных и технологических достижения в сети Интернет и из
других источников (ПК -6);
4
 способность применять в профессиональной деятельности современные
языки программирования и языки баз данных, операционные системы,
электронные библиотеки и пакеты программ, сетевые технологии (ПК -10);
 способность составлять и контролировать план выполняемой работы,
планировать необходимые для выполнения работы ресурсы, оценивать
результаты собственной работы (ПК -12);
 способностью владеть методикой преподавания учебных дисциплин (ПК-14).
После изучения дисциплины «Методы оптимизации» студенты должны:
 знать основные понятия теории экстремальных задач, виды задач оптимизации,
условия оптимальности, способы решения оптимизационных экономических
задач;
 уметь применять основные математические методы к решению типовых
экономических задач;
 владеть навыками моделирования экономических систем методами теории
оптимизации.
4. Структура и содержание дисциплины
Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетные единицы, 108 часов,
из них:
- по очной форме обучения 52 часа аудиторной работы (18 часов лекций и 34
часа лабораторных занятий), 56 часа самостоятельной работы, дисциплина
изучается в 6 семестре, ее освоение заканчивается зачетом.
1
Основы линейного 6
программирования
Целочисленное
6
программирование.
Классические
6
оптимизационные
задачи. Нелинейное
программирование
Неде
ля
семес
тра
Виды учебной работы,
включая самостоятельную
работу студентов и
трудоемкость (в часах)
2
3
сам
Сем
естр
Лаб / из них в
интерактивной
форме
Раздел дисциплины
лек
№
п/п
1-6
6
10/4
20
7-10
4
6/2
16
11-18
8
8/2
20
18
34
56
Содержание разделов дисциплины
Раздел 1. Основы линейного программирования
Формы текущего
контроля
успеваемости (по
неделям
семестра)
Формы
промежуточной
аттестации (по
семестрам)
Контрольная
работа №1
Контрольная
работа №2
Контрольная
работа №3
Экзамен
5
Основные
понятия
теории
экстремальных
задач:
стратегии,
неконтролируемые факторы, критерии эффективности, оптимальные стратегии.
Постановка общей задачи линейного программирования (ОЗЛП). Графический
метод решения ОЗЛП с двумя переменными. Особенности ОЗЛП: альтернативный
оптимум, неограниченность целевой функции, противоречивость системы
ограничений. Экономический анализ ЗЛП с помощью графического метода.
Каноническая задача линейного программирования (КЗЛП). Идея симплексметода. Алгоритм симплекс-метода для расчетов вручную. Метод искусственного
базиса. Двойственность в линейном программировании. Основные теоремы
двойственности и их экономический смысл.
ТЗ как задача линейного программирования. Открытые и замкнутые транспортные
модели. Множество допустимых планов ТЗ. Нахождение первоначального плана
ТЗ. Метод потенциалов решения ТЗ. Распределительный метод решения ТЗ. ТЗ с
избытком запасов. ТЗ с избытком потребностей. Альтернативный оптимум в ТЗ.
Экономические задачи, сводящиеся к транспортным моделям. Задача о
назначениях (ЗН). Венгерский метод решения ЗН. Применение ЗН к решению
других экономических задач.
Раздел 2. Целочисленное программирование.
Постановка задачи целочисленного программирования. Графический метод
решения задачи ЦП. Метод Гомори. Метод ветвей и границ (алгоритм Лэнд-Дойг).
Постановка задачи коммивояжёра. Описание метода ветвей и границ (МВГ).
Алгоритм решения задачи коммивояжёра. Экономические задачи, сводящиеся к
задаче коммивояжера.
Раздел 3. Классические оптимизационные задачи. Нелинейное
программирование
Задачи безусловной оптимизации. Классическая задача на условный
экстремум. Необходимые и достаточные условия оптимальности. Геометрическая
интерпретация принципа Лагранжа.
Постановка
задачи
математического
программирования.
Выпуклое
программирование. Метод множителей Лагранжа. Теорема Куна-Таккера.
Седловые точки и двойственность. Графический метод решения задач нелинейного
программирования.
Практические занятия
Графический метод решения ОЗЛП.
Симплекс-метод решения КЗЛП.
Метод искусственного базиса.
Решение двойственных задач линейного программирования. Интерпретация
результатов.
5. Метод потенциалов решения ТЗ.
6. Венгерский метод решения задачи о назначениях.
7. Графический метод решения задачи целочисленного программирования.
1.
2.
3.
4.
6
8. Метод Гомори.
9. Метод ветвей и границ для задач целочисленного программирования.
10.Задача коммивояжёра и её решение методом ветвей и границ. Реализация в
Excel.
11.Задачи безусловной оптимизации.
12.Классическая задача на условный экстремум.
13.Графический метод решения задач нелинейного программирования.
14.Решение задач нелинейного программирования методом множителей Лагранжа.
5. Образовательные технологии
В ходе изучения дисциплины предусмотрено использование следующих
образовательных технологий: лекции,
практические занятия,
проблемное
обучение, модульная технология, проблемная лекция, подготовка письменных
аналитических работ, самостоятельная работа студентов.
В учебном процессе предусмотрено использование активных и
интерактивных форм занятий и методов обучения (деловых и ролевых игр,
проектных методик, мозгового штурма, разбора конкретных ситуаций, практикоориентированных задач, иных форм) в сочетании с внеаудиторной работой.
Удельный вес занятий, проводимых в интерактивных формах, должен составлять
не менее 20 % аудиторных занятий.
6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов.
Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной
аттестации по итогам освоения дисциплины
Оценочные средства составляются преподавателем самостоятельно при
ежегодном обновлении банка средств. Количество вариантов заданий зависит от
числа обучающихся.
Электронные версии лабораторных работ хранятся на факультетском файлсервере \\kafpi_serv и содержат все необходимые методические указания и задания
для индивидуального выполнения.
Контрольная работа №1
1) Решить задачу графическим методом
2) Решить задачу симплекс-методом
3) Составить и решить двойственную задачу
7
Решить транспортную задачу.
Потребители
B1
B2
Запасы
A1
A2
A3
4
3
15
1
2
35
3
5
20
Потребности
30
25
B1
B2
Запасы
A1
A2
A3
4
1
15
3
4
35
2
2
20
Потребности
30
25
B1
B2
Запасы
A1
A2
A3
2
4
15
1
3
35
1
5
20
Потребности
30
25
Поставщики
Потребители
Поставщики
Потребители
Поставщики
Контрольная работа №2
Решить графическим методом и методом Гомори задачи целочисленного
программирования
3x1  10 x2  31,

x1 , x2  0 .
F ( x )  2x1  3x2  extr , при ограничениях: 6 x1  13x2  75,
10 x  2 x  21;
2
 1
 x1  x2  4,

x1 , x2  0 , целые.
F ( x )  x1  x2  extr , при ограничениях:  x1  3x2  9,
 3x  x  6;
1
2

4 x1  2 x2  7,
F ( x )  4 x1  x2  extr , при ограничениях: 
3x1  10 x2  15;
x1 , x2  0 , целые.
8
2 x1  3x2  6,
F ( x )  3x1  x2  extr , при ограничениях: 
2 x1  3x2  3;
x1 , x2  0 , целые.
Задача о назначениях (на минимум временных затрат и на максимум
производительности)
9

4
3

5

13 

6
8

4 14 7 
6
8
5
4
3
9
 4 8 12 5 


 6 10 4 9 
 3 4 7 8


11 6 3 2 


Контрольная работа №3
1. Решить задачу безусловной оптимизации
2. Решить классическую задачу на условный экстремум
f(x
)
x
x
extr
1
2
2
2
f
(
x
)

5
x

4
x
x

x

extr
1
2
1
2
2
2
x
x
1
1
2
x

x

1
1
2
f(
x
)
4
x
3
x
extr
1
2
2
2
x
x
1
1
2
f(x) = 3x 12 + 4x 1 + x 22  extr
x1 + x 2 = 1
3. Решить графически задачу нелинейного программирования
f(x) = (x1 + 4 ) 2 + (x2  2 ) 2  extr
 x12 + x 2  0

 x1  2 x 2 + 4  0,
x  5
 2
x1 , x 2  0
f(x) = (x1 +1 ) 2 + (x2  1 ) 2  extr
 x1  x 2  0

 1 2
 x1 + x 2  0,
 2
 x 2  2
x1 , x 2  0
f(x) = (x1 + 2 ) 2 + (x2 + 2 ) 2  extr
 x1 x 2  4

 1
 x1  x 2 + 8  0,
 2
 x1  4
x1 , x 2  0
f(x) = x12 + (x2  4 ) 2  extr
 x1 x 2  1

 x1  4x 2  0,
x  2
 2
x1 , x 2  0
Вопросы к зачету
1. Линейное программирование
Общая постановка задачи, каноническая задача, пример, переход от общей
задачи к канонической
2. Симплекс-метод для канонической задачи с естественным базисом
Понятие базисных решений и опорный план, идея метода, нахождение опорного
плана для задачи с естественным базисом, разрешающий столбец и
разрешающая строка, перевод свободной переменной в базисную. пример
3. Каноническая задача с искусственным базисом
9
Понятие базисных решений и опорный план, идея метода, постановка задачи и
применение симплекс-метода
4. Понятие и виды двойственной задачи.
Понятие, виды, этапы построения, пример
5. Теоремы двойственности
Формулировка теорем, пример получения решения двойственной задачи по
решению исходной, экономический смысл переменных оптимальных планов
двойственных задач
6. Транспортная задача
Постановка, виды, опорный план, метод потенциалов, перераспределение
перевозок
7. Целочисленное программирование. Метод Гомори
Постановка задачи, пример, метод Гомори, пример введения ограничения по
целочисленности в симплекс-таблицу.
8. Целочисленное программирование. Метод ветвей и границ
Постановка задачи, Алгоритм Лэнд-Дойг. Пояснить по схеме.
9. Задача о назначениях
Постановка, этапы решения, пример
10.Задача коммивояжера
Постановка, Маршрут, короткий маршрут, алгоритм, константы приведения,
штрафы, базовое звено для ветвления, границы маршрутов, матрица возврата,
пример.
1. Основные понятия теории экстремальных задач
Понятие стратегии, неконтролируемых факторов, критерия эффективности,
оптимальных стратегий (точки локального и глобального максимума), виды
задач, примеры
2. Оптимизационные задачи без ограничений.
Постановка задачи, градиент целевой функции, теорема Ферма, достаточные
условия оптимальности, критерий Сильвестра. Пример (для максимума и
минимума)
3. Классическая задача на условный экстремум. Необходимые условия
оптимальности
Постановка задачи, функция Лагранжа, необходимые условия оптимальности.
Условия регулярности, пример, геометрический смысл принципа Лагранжа.
4. Классическая задача на условный экстремум. Достаточные условия
оптимальности
Постановка задачи, функция Лагранжа, достаточные условия оптимальности
(для максимума и минимума), пример
5. Задача математического программирования
Общая постановка задачи, переход к постановке с ограниченияминеравенстами, необходимые условия оптимальности для задач на максимум и
минимум, смысл условия дополняющей нежесткости.
6. Выпуклая задача математического программирования
10
Понятие выпуклого множества и выпуклой функции, постановка задачи,
седловая точка, максимин и минимакс, теорема о существовании седловой
точки, максимин и минимакс регулярной функции Лагранжа.
7. Динамическое программирование. Задача о распределении однородного
ресурса
Понятие метода, принцип оптимальности Беллмана, пример дискретных
динамических систем, целевая функция, оптимальное управление, Задача о
распределении однородного ресурса, стратегия, состояние системы, целевая
функция, промежуточная целевая функция, уравнения Беллмана, обобщение
задачи, пример
8. Динамическое программирование. Задача о рюкзаке
Понятие метода, принцип оптимальности Беллмана, пример дискретных
динамических систем, целевая функция, оптимальное управление,обобщение
формул Беллмана для задач целочисленного программирования, уравнения в
прямом и обратном времени. Задача о рюкзаке. Пример
9. Графический метод решения задач линейного, целочисленного и
нелинейного программирования
Постановки задач, решаемых графически, алгоритм метода, примеры.
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
Доступ к электронно-библиотечной системе СГУ («ИНФРА-М», "Лань",
«РУКОНТ», ibooks.ru, Электронная библиотека учебно-методических пособий
преподавателей СГУ): http://www.sgu.ru/library
а) основная литература:
1. Алексеев, В.М. Оптимальное управление [Электронный ресурс] / Алексеев
В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2007. - 408 с. Режим
доступа: ЭБС «IBOOKS.
2. Петровский, А.Б. Теория принятия решений : Учебник для студентов высших
учебных заведений [Текст] / А.Б. Петровский. – М.: Издательский центр
«Академия», 2009. – 400 с.
б) дополнительная литература:
3. Корнеенко В. П. Методы оптимизации : учебник/ В. П. Корнеенко. -М.:
Высш. шк., 2007. -664 с.
4. Алексеев В.М. Оптимальное управление [Текст] / Алексеев В.М., Тихомиров
В.М., Фомин С.В. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2007. - 408 с. – Режим доступа: ЭБС
«IBOOKS».
5. Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Сборник задач по
оптимизации. Теория. Примеры. Задачи [Текст] / В.М. Алексеев, Э.М.
Галеев, В.М. Тихомиров. – М.: Физматлит, 2007. – 254 с.
6. Босс, В. Лекции по математике. Том 7. Оптимизация [Текст] / В. Босс. – М.:
ДомКнига, 2007. – 406 с.
7. Измаилов, А.Ф. Численные методы оптимизации [Тектс] / А.Ф. Измаилов,
М.В. Солодов. – М.: Физматлит, 2005. – 321 с.
11
8. Ногин, В.Д.. Принятие решений при многих критериях [Тектс] / В.Д. Ногин.
– СПб.: Издательство «ЮТАС», 2007. – 250 с.
9. Сухарев, Курс методов оптимизации [Текст] / А.Г. Сухарев, А.В. Тимохов,
В.В. Федоров. – М.: Физматлит, 2005. – 378 с.
10.Шикин, Исследование операций [Текст] / Е.В. Шикин, Г.Е. Шикина. – М.: ТК
Велби. Изд-во Проспект, 2006. – 456 с.
11.Пантелеев, А.В. Методы оптимизации в примерах и задачах [Текст] / А.В.
Пантелеев, Т.А. Летова. – М.: Высшая школа, 2002. – 389 с.
в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы
1. Стронгин Р.Г. Исследование операций и модели экономического поведения /
http://www.intuit.ru/department/algorithms/opres/
2. Вавилов В.А., Змеев О.А., Змеева Е.Е. Исследование операций / http://fmi.asf.ru/
Library/Book/OperReserch/
3. Шапкин А.С., Шапкин В.А. Математические методы и модели исследования
операций / http://www.knigafund.ru/books/41969
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля)
Компьютерные классы, оснащенные соответствующим программным
обеспечением, объединенные в локальную сеть с доступом в Интернет,
лекционные занятия ведутся с помощью проекционного оборудования
Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом
рекомендаций и Примерной ООП ВПО по направлению 010400 «Прикладная
математика и информатика».
Автор: к.ф.-м. н., доцент кафедры прикладной информатики Насонова Е.Д.
Программа одобрена на заседании кафедры прикладной информатики
от «_26__» ___августа_____ 2013 года, протокол № __7__.
Подписи:
Автор программы
__________________к.ф.-м.н., доцент Насонова Е.Д.
Зав. кафедрой
прикладной информатики ________________ к.ф.-м.н, доцент Талагаев Ю.В.
Декан факультета математики,
экономики и информатики
____________к.п.н., доцент Кертанова В.В.
(факультет, где разрабатывалась программа)
Декан факультета математики,
экономики и информатики
____________к.п.н., доцент Кертанова В.В.
(факультет, где реализуется программа)