Документ 316194

НОУ ВПО МОСКОВСКАЯ АКАДЕМИЯ ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА при Правительстве Москвы
Благовещенский филиал
ТЕСТ ПО МАТЕМАТИКЕ
(демонстрационный вариант)
Вариант 0
8  4 81
.
3
27
1
1
Варианты ответа: 1) 2; 2)3; 3) ; 4) ; 5) 4.
2
3
3
8  4 81 2  3

2
Решение. 3
3
27
1. Упростите выражение
3
Ответ: 2.
a 2  4a  4
.
a 2  ac2  2a  2c
a 2 1
a2
a2
a
Варианты ответа: 1)
;
2)
;
3)
;
4)
; 5) ŕ .
ac
a  c2
a  c2
c2
a  22
a  22
a  22  a  2
a 2  4a  4



Решение. 2
a  ac2  2a  2c a 2  ac2  2a  2c 2
a a  c2  2 a  c2
a  c 2 a  2 a  c 2
a2
Ответ:
.
a  c2
2. Упростите выражение:

3. Вычислите 6,250,5 
Варианты ответа: 1)
 
 
 
 

1
.
15
1
1
1
1
; 2) ; 3) 2; 4) ; 5)
.
5
2
6
30
1
Решение. 6,25
0,5
Ответ:
1  25  2 1
25 1 5 1
5 1
    
   
 .
15  4  15
4 15 2 15 30 6
1
.
6
4. Вычислите
3 lg 2  3 lg 5
lg 13  lg 130
Варианты ответа: 1) 100; 2) 10 000; 3) 10; 4) 3; 5) -3.
Решение.
3 lg 2  3 lg 5 3 lg 10 3


 3 .
lg 13  lg 130 lg 1
1
10
Ответ: -3.
5. Найти число A, если 16% числа A равны 80.
Варианты ответа: 1) 400; 2) 500; 3) 12,8; 4) 92,8; 5) 5.
Решение. Число A обозначим через 100% (или 1). Тогда, исходя из того, что 80 составляет
16% от искомого числа, составим уравнение: 0,16  A  80  A  80 : 0,16  A  500 .
Ответ: 500.
6. Вычислите sin 765  .
1
1
1
; 4) 
; 5)
.
3
2
2
Варианты ответа: 1) 1; 2) 0; 3)
Решение: sin 765   sin (720   45 )  sin 45  360   2  sin 45 
1
.
2
1
.
2
Ответ:
7. Укажите, на каком из рисунков изображен график четной функции
200
2500
2000
150
1500
1000
100
500
50
0
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-500
0
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-1000
-1500
-50
-2000
а)
б)
-100
-2500
35
15
10
30
5
25
0
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
20
-5
-10
15
-15
10
-20
5
-25
-30
в)
-35
г)
0
-3
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
5,5
6
6,5
7
7,5
8
8,5
9
9,5
10
Варианты ответа: 1) а); 2) б); 3) в); 4) г).
Решение: Так как график четной функции симметричен относительно оси ОУ, то
правильным ответом является вариант 1) а).
Ответ: а).
x2  2x  1
.
x2  4
Варианты ответа: 1)  ;    ; 2)  2; 2  ; 3)  ;2   2; 2  2;    ; 4)  ;2  2;    ;
5)  2; 2 .
8. Найдите область определения функции f x  
Решение. Так как функция представляет собой дробь, то необходимо исключить из
области определения те точки, в которых знаменатель равен 0. Для нахождения таких
точек решим уравнение x 2  4  0 . Получим x1  2; x2  2 .
Таким образом,  ;2   2; 2  2;    .
Ответ:  ;2   2; 2  2;    .
9. Найти площадь прямоугольного треугольника, если известно, что один катет равен 10
см, а второй в полтора раза больше.
Варианты ответа: а) 150; б) 75; в) 50; 25; г) 100; д) 325 .
Решение: Если один из катетов равен 10 см, то второй по условию равен 10 1,5  15 см.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. Получаем
1
S  10 15  75 см2.
2
Ответ: 75 см2.
10. В круг радиуса R вписан квадрат.
Найти площадь квадрата.
R
Варианты ответа: а) 2R; 2) R2; 3) 2R2; 4) R 2 ; 5) 2R .
Решение: Диагональ квадрата, исходя из условия, равна 2R. Пусть сторона квадрата равна
х, тогда площадь квадрата равна Sęâŕäđŕňŕ  ő2 . По теореме Пифагора, гипотенуза
прямоугольного треугольника равна ő2  ő2  4R 2 . Отсюда 2 ő2  4 R 2 , откуда x 2  2R 2 . То
есть Sęâŕäđŕňŕ  2R 2 .
Ответ: 2R2.
11. Решите уравнение:
9 x  3x  6  0
Варианты ответа: 1) 1; 2) 2; 3) 3 и -2; 4) 1 и -2; 5) 0.
2
Решение. 9 x  3x  6  0, 9 x  32 x  3x  . Обозначим 3x  y . Тогда исходное уравнение
примет вид y 2  y  6  0 .Решая данное квадратное уравнение, получим: y1  3; y2  2 .
Вернемся к замене. 3x  3; x  1 . 3 x  2 - не имеет смысла, решения нет. Таким образом,
уравнение имеет один корень х=1.
Ответ: 1 .
12. Решите систему уравнений:
 y 2  xy  12;
 2
 x  xy  3.
Варианты ответа: 1) 1;4 ;  1;4  ; 2)  1;4;  1;4 ; 3) 1;4; 1;4 ; 4) 1;4  ; 5)  1;4  .
 y 2  xy  12;  y  y  x   12;

2
 x  xy  3;  xx  y   3;
Решение. 
3
x
Из второго уравнения выразим x  y   ; y  x 
3
. Тогда
x
 y 3
y

y  4  x;


 12; 
 4;



x
x
 x  x  y   3;  x  x  y   3;  x  x  4 x   3;
Решим второе уравнение системы:
 4 x 2  x 2  3;
 3x 2  3;
x 2  1;
x1  1, x2  1.
Подставим полученные корни в первое уравнение системы. Получим y1  4; y2  4 .
Ответ: 1;4 ;  1;4  .
13. Решите неравенство:
2x  1
0.
3x  2
1
2
1 2
2
Варианты ответа: 1)  ;    ; 2)   ;     ;    ; 3)   ;  ; 4)  ;    ; 5) 0.

2  3

 2 3
3

Решение. Дробь положительна, если числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки,
то есть, либо оба положительны, либо оба отрицательны. Таким образом, получаем
совокупность двух систем неравенств:
 2 x  1  0;

3 x  2  0;
  2 x  1  0;

 3 x  2  0.
1

x   2 ;
2
Из первой системы находим 
, т.е. x  .
2
3
 x ;
3

1

x   2 ;
1
Из второй системы находим 
т.е. x   .
2
2
 x ;
3

1
2
В итоге получили решение заданного неравенства: x   ; x 


1 2
2  3
2
.
3


Ответ:   ;     ;    .
14. Найдите производную функции f x  
Варианты ответа:

x

 1
1) f x  
2 x ln 2  x 2  1  2 x  2 x
2) f x  
2 x ln 2
;
2x
2 x ln 2  x 2  1  2 x  2 x
3) f x  
 
x  1
ln 2  x  1  2
x  1
2
2
4) f x  
2x
5) f x  
x  2 x 1
2x
Решение.
2
2
2
x
 2x
2
f x  
Ответ: f x  
2x
2   x
x
2
;
;
;


x  1
ln 2  x  1  2  2 x
.
x  1
2
2
2
  2
 1  2x  x2  1
2
2x
.
x2  1
x

x

 1
ln 2  x 2  1  2 x  2 x
2
2
.
x
2
15. Найдите значение производной функции f ( x)  x3  3x 2  5x  10 в точке x  2 .
Варианты ответа: 1) 10; 2) -15; 3) 29; 4) 19; 5) -40.
Решение: f x   x 3  3x 2  5 x  10   3ő2  6 ő  5 . Подставляя вместо х значение -2, получим

f  2  3   2  6   2  5  29 .
2
Ответ: 29.
16. Дана арифметическая последовательность: 3,5,7,9,11.Найти восьмой член данной
последовательности.
Варианты ответа: 1)21; 2)19; 3)15; 4)17; 5)25.
Решение. Каждый член данной последовательности, начиная со второго, равен
предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d=2.Используя формулу n-го члена
арифметической прогрессии an  a1  d  (n  1) , имеем a8  3  2  (8  1) =17.
Ответ: 17.
17. Вычислите arctg1.




Варианты ответа:1) ;2) 3) 4) 5)0
2
3
4
6
Решение. По определению y= arctg1 и 
образом, arctg1=
Ответ:


4

2
 y

2
.Отсюда следует, что y=

4
. Таким
.
4
18. Укажите, какая из перечисленных функций является нечетной.
Варианты ответа: a) f x   cos x ; б) f x   x  14 ; в) f x   ; г) f x   x 2  x  1 ; д) f x   x 4
1
x
Решение. По определению нечетной является функция, для которой выполнимо условие
f  x    f x  .
Проверив каждую из функций на выполнение данного условия, делаем вывод, что
нечетной является функция f x   .
1
x
Ответ: f x  
1
x
19. Сколько натуральных чисел содержится в множестве
1 1
15 

A   10,  8,  3,  2 , 0, , 2, 3, ,10 .
2 2
2


Варианты ответа: 1) 0; 2) 5; 3)3; 4)6; 5)10.
Решение. Натуральными являются числа, используемые для счета: 1, 2, 3, и т.д. Из
данного множества к натуральным относятся числа 2, 3, 10.
Ответ: 3.
20. Даны два множества: A  0,1, 3, 5, 7 и B   9,  7, 0,1, 2, 3 . Какие элементы будет
содержать множество C  A  B .
Варианты ответа: 1) C   9,  7 ; 2) C  0,1, 2, 3, 5, 7 ; 3) C   9,  7, 0,1, 2, 3, 5, 7
4) C  0,1, 3; 5) C  0 .
Решение. Пересечением двух множеств является множество, состоящее из элементов,
входящих в оба множества одновременно. Такими элементами во множествах А и В
являются элементы 0, 1, 3, т.е. C  A  B = 0,1, 3
Ответ: C  0,1, 3
Литература
1.
2.
3.
4.
Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов
общеобразовательных учреждений. - М: «Просвещение» АО «Московские
учебники», 1998-2006 гг.
Дорофеев Г.В., Муравин Г.К., Седова Е.А. Математика. Сборник заданий для
подготовки и проведения письменного экзамена по математике (курс А) и
алгебре и началам анализа (курс В) за курс средней школы. 11 класс:
Пособие. – 3-е изд., испр. – М.: ДРОФА, 2000.
Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал
анализа. – М: Просвещение, 1990-2006 гг.
Математика для поступающих в экономические вузы. Под ред. проф.
Кремера Н.Ш. – М: ЮНИТИ, 2000-2006 гг.