Амирова Р.М. Исследование устойчивости цилиндрической

1
Министерство образования и науки Российской Федерации
КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ им. Н.И. ЛОБАЧЕВСКОГО
КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Специальность: 010800.62 —механика и математическое моделирование
ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА
(Бакалаврская работа)
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ
ОБОЛОЧКИ
Работа завершена:
"___"________2015 г. ________________________________( Амирова Р.М)
Работа допущена к защите:
Научный руководитель
кандидат физ.-мат. наук,
доцент,
"___"___________2015 г. _____________________________( Тазюков Ф.Х.)
Заведующий кафедрой
док. физ.-мат. наук, профессор
"___"___________2015 г. ___________________________( Коноплев Ю.Г.)
.
Казань – 2015
2
Оглавление
Введение………………………………………………………………………….....3
1. Основные соотношения ……………………………………………………......5
2. Нелинейная задача устойчивости цилиндрической оболочки при внешнем
статическом давлении (одночленное приближение)……………………….........8
3. Исследование устойчивости оболочек с помощью метода Ляпунова .……14
6. Сравнительная таблица………………….…………………………………….19
7. Заключение……….…………………………………………………………….20
8.Список литературы……………………….…………………………………….21
9. Приложение (Реализация методов на mathematica)………………………….22
3
Введение
Цилиндрические оболочки находят широкое применение в различных
областях современной техники, так как оболочки такого вида имеют небольшой
вес и просты в изготовлении. Цилиндрические оболочки широко используются
в промышленности. Вопросы теории устойчивости оболочек были выявлены
при изучении устойчивости цилиндрических оболочек.
Выпучивание оболочек сопровождается резким хлопком, это может
произойти в тех случаях, когда они подвергаются действию внешнего давления,
кручения, изгиба, осевого сжатия. При резком хлопке происходит потеря
устойчивости о, что в свою очередь приводит к появлению трещин, и к потере
несущей
способности
оболочки,
в
этом
и
заключается
актуальность
исследования на устойчивость тонкостенных конструкций.
Актуальность данной проблемы возрастает из-за появления новых более
прочных материалов.
Следуя экспериментальным данным, значения критической нагрузки,
представленные на рисунке 1, которые зависят от геометрических параметров
оболочки располагаются между нагрузками, значения которых получились при
решении линейной и нелинейной задачи устойчивости.
Рис.1.Значения критической нагрузки полученные экспериментальным путем
4
Целью данной
работы является нахождение критической нагрузки с
помощью подхода Ляпунова, и сравнить с традиционными методами.
Рис.2.Оболочка, подвергавшаяся внешнему давлению, после хлопка
Результаты наблюдений над реальными сооружениями и эксперименты
на моделях дают иную картину потери устойчивости, чем та, которая
получается на линейной теории.
5
1.Основные соотношения
Рис.3. Цилиндрическая оболочка при внешнем давлении
Рассматривается замкнутая цилиндрическая оболочка, подвергающаяся
внешнему давлению равномерно распределенными усилиями.
R-радиус кривизны срединной поверхности;
u, v и w –перемения вдоль линий и по нормали.
Определим кинематические соотношения. Выражения для деформаций
срединной поверхности:
𝜕𝑢
1 𝜕𝑤 2
𝜀𝑥 =
− 𝑘𝑥 𝑤 + ( ) ,
𝜕𝑥
2 𝜕𝑥
𝜕𝑢
1 𝜕𝑤 2
𝜀𝑦 =
− 𝑘𝑦 𝑤 + ( ) ,
𝜕𝑦
2 𝜕𝑦
𝜀𝑥𝑦 =
𝜕𝑢 𝜕𝑣 𝜕𝑤 𝜕𝑤
+
+
,
𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦
Изменения кривизн:
𝜕2𝑤
𝜕2𝑤
𝜒𝑥 =
,𝜒 =
;
𝜕𝑥 2 𝑦 𝜕𝑦 2
6
“Кривизна” кручения поверхности:
𝜒𝑥𝑦
𝜕2𝑤
=
𝜕𝑥𝜕𝑦
Уравнение совместности деформаций:
2
2
𝜕 2 𝜀𝑥2 𝜕 2 𝜀𝑦2 𝜕 2 𝜀𝑥𝑦
𝜕2𝑤
𝜕2𝑤 𝜕2𝑤
𝜕2𝑤
𝜕2𝑤
+
−
=(
− 𝑘𝑥 2 − 𝑘𝑦 2
) − 2
𝜕𝑦 2
𝜕𝑥 2
𝜕𝑥𝜕𝑦
𝜕𝑥𝜕𝑦
𝜕𝑥 𝜕𝑦 2
𝜕𝑦
𝜕𝑥
или
2
𝜕 2 𝜀𝑥2 𝜕 2 𝜀𝑦2 𝜕 2 𝜀𝑥𝑦
1
+
−
=
−
𝐿(𝑤, 𝑤) − ∇2𝑘 𝑤 ,
𝜕𝑦 2
𝜕𝑥 2
𝜕𝑥𝜕𝑦
2
∇2𝑘 =
(1.1)
𝜕2𝑤
𝜕2𝑤
𝑘1 2 − 𝑘2 2
𝜕𝑦
𝜕𝑥
𝜕2𝑤 𝜕2𝜙 𝜕2𝑤 𝜕2𝜙
𝜕2𝑤 𝜕2𝜙
𝐿(𝑤, 𝜙) =
+
−2
𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑥 2
𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑥𝜕𝑦
Уравнения равновесия в проекциях на касательные к линиям x и y:
𝜕𝜎𝑦 𝜕𝜏
𝜕𝜎𝑥 𝜕𝜏
+
=0,
+
=0,
𝜕𝑥 𝜕𝑦
𝜕𝑦 𝜕𝑥
где
𝜎𝑥 =
𝑁𝑦
𝑁𝑥⁄
⁄
,
𝜎
=
𝑦
ℎ
ℎ
Третье уравнение равновесия в проекциях на нормаль будет:
𝜕𝑄1 𝜕𝑄2
𝜕2𝑤
𝜕2𝑤
𝜕2𝑤
+
+ [𝜎𝑥 (𝑘1 + 2 ) + 𝜎𝑦 (𝑘2 + 2 )] + ℎ + 2𝜏ℎ
= 0,
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑥𝜕𝑦
Поперечные силы будут равны:
𝜕(∇2 𝑤)
𝜕(∇2 𝑤)
𝑄1 = −𝐷
, 𝑄2 = −𝐷
.
𝜕𝑥
𝜕𝑦
(1.2)
7
Подставляя эти выражения в (1.2), получим:
𝜕2𝑤
𝜕2𝑤
𝜕2𝑤
𝐷∇ ∇ 𝑤 = 𝜎𝑥 (𝑘1 + 2 ) ℎ + 𝜎𝑦 (𝑘2 + 2 ) ℎ + 2𝜏ℎ
.
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑥𝜕𝑦
2 2
(1.3)
Вводя в уравнение совместности деформаций (1.1) напряжения по
соотношениям упругости:
𝜀𝑥 =
1
1
2(1 + 𝑣)
𝑇,
(𝑁𝑥 − 𝑣𝑁𝑦 ), 𝜀𝑦 =
(𝑁𝑦 − 𝑣𝑁𝑥 ), 𝜀𝑥𝑦 =
𝐸ℎ
𝐸ℎ
𝐸ℎ
получим:
𝜕 2 𝜎𝑦 𝜕 2 𝜎𝑥
1 𝜕 2 𝜎𝑥
𝜕2𝜏
𝜕 2 𝜏 𝜕 2 𝜎𝑦
1
+ −𝑣
+
2
=
−
𝐿(𝑤, 𝑤) − ∇2𝑘 𝑤, (1.4)
[ 2 −2
(
)]
𝐸 𝜕𝑦
𝜕𝑥𝜕𝑦
𝜕𝑥 2 𝜕𝑥 2
𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑦 2
2
Воспользуемся
теперь
функцией
напряжений
и
выразим
𝜎𝑥 , 𝜎𝑦 , 𝜏.
𝐷𝛻 2 𝛻 2 𝑤 − ℎ𝐿(𝑤, 𝜙) − ℎ𝛻𝑘2 𝜙 = 0,
(1.5)
1 2 2
1
𝛻 𝛻 𝜙 + 𝐿(𝑤, 𝑤) + 𝛻𝑘2 𝑤 = 0,
𝐸
2
(1.6)
1
𝑘1 = 0, 𝑘2 = ,
𝑅
В итоге получим уравнения равновесия:
ℎ 𝜕2𝜙
𝐷𝛻 𝛻 𝑤 − ℎ𝐿(𝑤, 𝜙) −
= 0,
𝑅 𝜕𝑥 2
2 2
(1.7)
уравнение неразрывности деформаций:
1 2 2
1
1 𝜕2𝑤
∇ ∇ 𝜙 + 𝐿(𝑤, 𝑤) +
= 0,
𝐸
2
𝑅 𝜕𝑥 2
𝜕2𝑤 𝜕2Ω 𝜕2𝑤 𝜕2Ω
𝜕2𝑤 𝜕2𝜙
𝐿(𝑤, 𝜙) =
+
−2
𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑥 2
𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑥𝜕𝑦
где w(х,у)-полный прогиб, ф-функция напряжения.
(1.8)
8
2. Нелинейная задача устойчивости цилиндрической оболочки
при внешнем статическом давлении.
Приведем решение нелинейной задачи с помощью метода Ритца:
𝑤(𝑥, 𝑦) = 𝑓1 sin 𝛼𝑥 sin 𝛽𝑦 + 𝑓2 sin2 𝛼𝑥 + 𝑓0 ,
(2.1)

n
R2
q.
где   ,   , f 0 
L
R
Eh
Первый член-перемещение первого порядка, удовлетворяющая граничным
условиям
(𝑤 = 0,
несимметричность
𝜕2 𝑤
𝜕𝑥 2
Второй
= 0 при 𝑥 = 0, 𝐿).
прогиба
относительно
член,
срединной
отражает
поверхности,
с
направлением к центру кривизны. Третий член соответствует радиальным
перемещениям точек, не зависящий от y.
Подставляя
(2.1)
в
уравнение
неразрывности,
находим
функцию
напряжений Ф и функцию прогиба w(x,y):
1
𝑛2 cos 2𝛽𝑦 cos 2𝛼𝑦
sin 3𝛼𝑥 sin 𝛽𝑦 sin 𝛼𝑥 sin 𝛽𝑦
2 2
2 2
𝜙 = 𝑓1 𝑟
+
+
𝑓
𝑓
𝑟
𝑛
−
(
)
[
]
1
2
𝐸
2 16𝑛4
16𝑟 4
(3𝑟, 𝑛)
(𝑟, 𝑛)
𝑟2𝑅
𝑅
𝑞0 𝑅 𝑥 2
+ 𝑓1
sin 𝛼𝑥 sin 𝛽𝑦 − 𝑓2 2 cos 2𝛼𝑥 −
,
(𝑟, 𝑛)
8𝑟
𝐸ℎ 2
где r 
(2.2)
R
.
L
Зная
функции
напряжений
и
прогиба
можно
определить
деформации в срединной поверхности, и перемещения u и v. Также учитываем
то, что эти функции должны удовлетворять условию замкнутости и
периодичности. Получается, что приращение v при возрастании координаты y
на
2  R должно равняться нулю:
9
2𝜋𝑅
∫
0
𝜕𝑣
𝑑𝑦 = 0.
𝜕𝑦
(2.3)
Подставим значения функций ф, W в интеграл (2.3):
𝑓0 𝑞𝑅
𝑛2
𝑓2
2
=
+ 𝑓1
−
.
𝑅 𝐸ℎ
8𝑅2 2𝑅
(2.4)
qR 2
n2 1 2
f1 .
Так как f 0 
уравнение (2.4) примет следующий вид: f 2 
Eh
4 R
Далее, учитывая безразмерный параметр прогиба  : f1   h, получим
n2 1 2 n2 h 2
f2 
f1 
 h  h 2 ,
4 R
4 R
n2 h
.
где  
4 R
Определяем полную энергию системы:
Э  U c  Uи  W
(2.5)
2
2
ℎ
𝜕2𝜙 𝜕2𝜙
𝜕2𝜙 𝜕2𝜙
𝜕2𝜙
𝑈𝑐 =
∬ {( 2 + 2 ) − 2(1 + 𝜇) [ 2
−(
) ]} 𝑑𝑥 𝑑𝑦
2𝐸
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑥 𝜕𝑦 2
𝜕𝑢𝜕𝑣
(2.6)
𝐹
2
2
𝐷
𝜕2𝑊 𝜕2𝑊
𝜕2𝑊 𝜕2𝑊
𝜕2𝑊
𝑈𝑢 = ∬ {( 2 +
−(
) − 2(1 + 𝜇) [ 2
) ]} 𝑑𝑥 𝑑𝑦
2
𝜕𝑥
𝜕𝑦 2
𝜕𝑥 𝜕𝑦 2
𝜕𝑢𝜕𝑣
(2.7)
𝑊 = 𝑞 ∬ 𝑤 𝑑𝑥 𝑑𝑦
(2.8)
𝐹
𝐹
Где
Uc -
потенциальная энергия растяжения срединной поверхности,
потенциальная энергия изгиба,
W -работа внешней нагрузки.
Учитывая выражения для W(x, y) и Ф(x, y) получим:
Uи -
10
𝐸
𝛽4
1
𝜗4
𝛽4 4
4
2
4
𝑈𝑐 = 𝜋𝑅ℎ𝐿 { (1 + 𝜗 )𝑓1 + 2
𝑓 + 2 𝑓1 }
2
64
2𝑅 (1 + 𝜗 2 )2 1
64
𝑊 = 2𝑞𝜋𝑅𝐿𝑓0
Здесь примем  
 R

.
 nL
Произвольно вводим безразмерный параметр энергии:
̂
Э=Э
𝐸ℎ3 𝐿𝜋
𝑅
Так же вводим и безразмерный параметр внешнего давления:
h
q  qE  
R
q
2
При этом безразмерный параметр прогиба возьмем: 
f 0  qh
f1   h
f 2  h 
,
2
2
n2  h 
где     .
4 R
После учета безразмерных параметров, выражение безразмерной работы
примет вид:
2
  2 
q 2
W  2q  q 
  2q  4 ,
8


11
n2 h
, то есть это один из очень важных для нас параметров, так
где параметр  
R
как он связывает число волн по окружности
оболочки
n с относительной толщиной
h
.
R
Выражение безразмерной энергии изгиба:
 (1   2 )2 2 2  4 4 4 
1
Uи 
 
2 
24(1   )  2
4 
Выражение безразмерной энергии изгиба:
Uc 
4
128

4 
1     
4
4
4
64  1   2 2


 2 4
6


 
2
64
1  9 2  
4


4
4
 4 2
2
1  8

 
 q2
2
2
2
2
 1     4 1   
128


С учетом всего этого безразмерный параметр энергии Э
запишется в
следующем виде:
Э  U c  Uи  W  C1 2  C2 4  C3 6  C4 2 q  q
где:
1   2   2
2
С1 
48 1   2 


4 1  

2 2
,
1   

 4 4
1 
8 4  2  2
C2 


1
 
,
2
2
2


128
64
128
96 1   
1   
4

4 
C3 
4
64  1   2 2

2





, C   .

2
4
4
1  9 2  
4
2,
(2.9)
12
Э
 0 , в итоге получим:
Применяем метод Ритца, т.е.
 2
C1  2C2 2  3C3 4  C4 q  0.
В
q
итоге
получили
уравнение
для
критической
1
C1  2C2 2  3C3 4  .

C4
При
нагрузки:
(2.10)
  0:
1   2 
2
C1
4
q


.
2 2
C4 12 1   2 
1   
Решаем нелинейную задачу. Для этого минимизируем
q из уравнения
q

0:
(2.10) по , то есть

C2  3C3 3  0.
Решив это уравнение: 1  0,  2,3   
1 -
C2
3C3
не подходит, так как применяется для решения линейной задачи.
Поэтому рассматриваем два остальных корня:
Так как
C2
 0 , то корни
3C3
 2,3
 2,3 .
будут действительными.
13
Выбираем один из положительных корней
k  nн  ,
и подставляем в
уравнение (3.10):
C22 
1 
q(k )   C1 

C4 
3C3 
(2.11)
 q  k 
 0 , находим волновое число nн , и
Затем, решая уравнение
n
подставляем его в выражение
k (nн ) ,получаем численное значение
критического прогиба  k .Подставив численное значение
(2.10), находим 𝑞н .
k
в уравнение для
14
3. Исследование устойчивости оболочек с помощью метода
Ляпунова
Рассмотрим задачу об устойчивости цилиндрической оболочки при
внешнем давлении с точки зрения Ляпунова.
Запишем уравнение движения:
𝐷 4
1 𝜕2𝜙 𝑞
𝜕2𝑤
∇ 𝑤 = 𝐿(𝑤, 𝜙) +
+ −𝜌 2 .
ℎ
𝑅 𝜕𝑥 2 ℎ
𝜕𝑡
(3.1)
Уравнение неразрывности:
1 4
1
1 𝜕2𝑥
∇ 𝜙 = − 𝐿(𝑤, 𝑤) −
.
𝐸
2
𝑅 𝜕𝑥 2
(3.2)
Где w-полный прогиб, и соответствующая ему Ф-фунуция напряжений.
В момент потери устойчивости прогиб и функция напряжений получают
бифуркационные слагаемые 𝜙1 , 𝑤1 .
𝑤 = 𝑤0 + 𝑤1
{
𝜙 = 𝜙0 + 𝜙1
(3.3)
𝑤0 , 𝜙0 , характеризуют невозмущенное движение.
Считаем что эти возмущения не малые, поэтому их квадратами и
произведениями не пренебрегаем.
Рассмотрим
невозмущенное
−𝑞𝑅.
(3.4)
(3.4) – внешнее давление.
Если 𝜀0𝑥 = 0, 𝜀0𝑦 = −
′′
𝑇0𝑦 = ℎ𝜙0𝑥𝑥
=
движение.
𝑤0
𝑅
, тогда
𝑇0𝑦 = 𝐸ℎ(𝜀0𝑦 + 𝑣𝜀0𝑥 ) = −
𝐸ℎ𝑤0
𝑅
15
Выразим из последнего выражение 𝑤0 :
𝑞𝑅2
𝑤0 =
𝐸ℎ
(3.5)
Подставив (3.5) в уравнение равновесия (3.1):
1 ′′
𝑞
𝜙0𝑥𝑥 + = 0
𝑅
ℎ
(3.6)
Подставляя (3.3) в уравнение равновесия (3.1) и уравнение неразрывности
(3.2) получим:
𝐷 4
1 ′′
1 ′′
′′
′′
′′
′′
′′
′′
′′
′′
∇ 𝑤1 = [𝑤1𝑥𝑥
𝜙1𝑦𝑦
+ 𝑤1𝑦𝑦
𝜙1𝑥𝑥
+ 𝑤1𝑦𝑦
𝜙0𝑥𝑥
− 2𝑤1𝑥𝑦
𝜙1𝑥𝑦
+ 𝜙0𝑥𝑥
] + 𝜙1𝑥𝑥
ℎ
𝑅
𝑅
𝑞
+ − 𝜌𝑤1̈ ,
(3.7)
ℎ
1 ′′ ′′
1 ′′
′′ 2
𝐸 −1 ∇4 𝜙1 = − (𝑤1𝑥𝑥
𝑤1𝑦𝑦 − (𝑤1𝑥𝑦
.
)) + 𝑤1𝑥𝑥
2
𝑅
(3.8)
Вычтем из уравнения (3.7) уравнение (3.6):
𝐷 2 2
1 ′′
′′
′′
′′
′′
′′
′′
′′
′′
∇ ∇ 𝑤1 = [𝑤1𝑥𝑥
𝜙1𝑦𝑦
+ 𝑤1𝑦𝑦
𝜙1𝑥𝑥
+ 𝑤1𝑦𝑦
𝜙0𝑥𝑥
− 2𝑤1𝑥𝑦
𝜙1𝑥𝑦
] + 𝜙1𝑥𝑥
ℎ
𝑅
− 𝜌𝑤̈ ,
(3.9)
Для дальнейшего решения задачи введем аппроксимацию для прогиба,
удовлетворяющую граничным условиям шарнирного опирания.
𝑤 = 𝑓(𝑡) sin 𝛼𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝛽𝑦
(3.10)
Подставляя (3.10) в уравнение неразрывности (3.8) и интегрируя,
получаем:
𝜙 = 𝐸(𝐾1 cos 2𝛼𝑥 + 𝐾2 cos 2𝛽𝑥 + 𝐾3 sin 𝛼𝑥 sin 𝛽𝑦).
Где коэффициенты имеют вид:
𝐾1 =
𝛽 2 𝑓 2 (𝑡)
𝛼 2 𝑓 2 (𝑡)
𝛼 2 𝑓(𝑡)
,
𝐾
=
,
𝐾
=
−
.
2
3
64𝛼 2
64𝛽2
𝑅(𝛼 2 + 𝛽 2 )2
(3.11)
16
Решая уравнение (3.9) методом Бубнова-Галеркина, получим:
𝐿
2𝜋𝑅
∫ ∫
0
0
𝐷 𝜕4𝑤
𝜕4𝑤
𝜕4𝑤
{[ ( 4 + 2 2 2 +
)
ℎ 𝜕𝑥
𝜕𝑥 𝜕𝑦
𝜕𝑦 4
𝜕2𝑤 𝜕2𝜙 𝜕2𝑤 𝜕2𝜙
𝜕 2 𝑤 𝜕 2 𝜙 𝜕 2 𝑤 𝑞𝑅
1 𝜕2𝜙
−( 2
+
−2
−
)−
𝜕𝑥 𝜕𝑦 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑥 2
𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑦 2 ℎ
𝑅 𝜕𝑥 2
𝜕2𝑤
− 𝜌 2 ] sin 𝛼𝑥 sin 𝛽𝑦} 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 0
𝜕𝑡
Вычисляя
полученный
интеграл,
(3.12)
приходим
к
обыкновенному
дифференциальному уравнению относительно 𝜉 = 𝑓(𝑥):
𝜉̈ = (𝐴1 + 𝐴2 𝑞̅)𝜉 + 𝐴3 𝜉 3
(3.13)
где
𝑅 4
𝜋 ( )
𝜋𝑅
ℎ
1
𝐿
2
𝐴1 = [( ) + 𝑛 ] ∙ ( ) ∙
−
2 ;
2
2
𝐿
𝑅
12(1 − 𝜗 )
𝜋𝑅
[( 𝐿 ) + 𝑛2 ]
2
2
2
4
𝐴2 = −𝑛2 ;
𝜋4
ℎ𝑅 2 𝑛4 ℎ 2
𝐴3 =
∙( ) + ( ) .
128
𝐿
32 𝑅
n- число волн в окружном направлении.
Далее используем определение устойчивости по Ляпунову. Задавая
начальные возмущения, получим отклик при различных нагрузках. При 𝑞̅ ≥ 𝑞̅кр
Будет наблюдаться “неадекватный” отклик.
На рисунке 4 представлен график зависимости прогиба 𝜉от времени 𝑡.
График получен при значении нагрузки 𝑞̅ < 𝑞̅кр . Начальный прогиб равен 0,01.
17
Рис.4. График зависимости прогиба 𝜉от времени 𝑡
Из уравнения (3.13) выражаем 𝑞̅:
𝐴3 𝜉 2 𝐴1
𝑞̅ = −
− ;
2𝐴2 𝐴2
(3.14)
При 𝜉 = 0 из уравнения (3.14) получим:
𝑞̅в = −
А1
А2
Возьмем
−
𝑑𝑞̅
𝑑𝜉
= 0, тогда
𝐴3 𝜉 𝐴1
−
= 0.
𝐴2 𝐴2
Выражаем из последнего уравнения 𝜉, получаем корень:
𝜉=−
𝐴1
𝐴3
(3.15)
Подставив (3.13) в (3.14), получим:
𝐴12
𝐴1
𝑞̅н =
−
𝐴3 𝐴2 𝐴2
Найдем волновое число n, решив уравнение
получаем значения для прогиба.
(3.16)
𝜕𝑞̅
𝜕𝑛
= 0 ,и подставим его в (3.15)
18
На рисунке 5 представлен график зависимости прогиба 𝜉от времени 𝑡. График
получен при значении нагрузки 𝑞̅ > 𝑞̅кр . Начальный прогиб равен 0,01.
Рис.5. График зависимости прогиба 𝜉от времени 𝑡
Аналитическое решение уравнения (3.13):
Умножаем обе части уравнения на
𝜉̇ 2 (𝜏𝑘 ) − 𝜉̇ 2 (0) = (𝐴1 + 𝑞̅𝐴2 )𝜉 2 +
𝜉̇ (𝜏𝑘 ) = 0, 𝜉̇ (0) = 0:
(𝐴1 + 𝑞̅𝐴2
)𝜉 2
𝐴3 𝜉 4
+
= 0.
2
𝑑𝜉
𝑑𝜏
, и проинтегрируем его:
𝐴3 𝜉 4
,
2
19
Таб. 1. Сравнение подходов
Геометричес
кие
параметры
L/R
R/h
1
180
3
180
1
250
3
250
1
500
3
500
Линейная
теория
100q
7.5
2.3
6.3
2
4.3
1.4
n
10
2.3
11
2
13
1.4
Нелинейная теория
Статический подход
Подход Ляпунова
100q
4.4
1.7
3.7
1.6
2.8
1
n
6
4
7
4
9
5
100q
4.75
1.63
3.87
1.45
2.87
1.06
n
7.3
5.2
7.3
5.2
9.1
6.1
По получившейся таблице видно:
1. Что чем меньше толщина оболочки, тем меньше значения критических
нагрузок, тем больше число волн.
2. При увеличении длины оболочки, уменьшаются численные значения
критических нагрузок и числа волн.
3. При использовании подхода Ляпунова критические нагрузки больше чем
нагрузки, полученные при статическом подходе решении задач.
20
Заключение
1. Предложена методика решения задач, устойчивости оболочек, используя
подход Ляпунова.
2. Решена задача устойчивости в одночленном приближении.
3. Использован метод Бубнова-Галеркина и критерий А.В.Саченкова, для
решения нелинейной задачи.
4. При использовании подхода Ляпунова критические нагрузки больше чем
нагрузки, полученные при традиционном решении задач. Тем самым
критические
при
подходе
Ляпунова
нагрузки
более
экспериментальным данным.
5. Получены графики зависимости прогиба 𝜉от времени 𝑡
6. Проведено сравнение результатов.
соответствуют
21
Список литературы
1. Вольмир, А.С. Устойчивость деформируемых систем./А.С.Вольмир.-М.:
издательство Наука, 1967.-551 с.
2. Григолюк Э.И. Устойчивость оболочек./ Э.И.Григолюк, Кабанов В.В.-М.:
издательство Наука, 1978.-360 с.
3. Коноплев Ю.Г. Устойчивость упругих пластин и оболочек при
нестационарных воздействиях./ Ю.Г. Коноплев, Ф.Х.Тазюков.- Казань.:
издательство Казанского университета, 1994.-124 с.
4. Нелинейная
теория
пластин
и
оболочек./
Казань.:
Издательство
Казанского университета, 1962.-27 с.
5. Биргер
И.А.
Прочность.
Устойчивость.
Колебания./
И.А.Биргер,
Я.Г.Пановко.-М.:1968.-141 с.
6. Огибалов
П.М.
Вопросы
оболочек./М.:1963.-270 с.
термодинамики
и
устойчивости
22
Приложение
23
24