Основные формулы комбинаторики

Практические задачи с решениями можно найти на странице http://mathprofi.ru/zadachi_po_kombinatorike_primery_reshenij.html
Основные формулы комбинаторики
1) Факториал (произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно)
1! 1
2! 1  2  2
3! 1  2  3  6
4! 1  2  3  4  24
5! 1  2  3  4  5  120
6! 1  2  3  4  5  6  720
7! 1  2  3  4  5  6  7  5040
...
(n  1)! 1  2  3  4  5  ...  (n  2)(n  1)
n! 1  2  3  4  5  ...  (n  2)(n  1)n
(n  1)! 1  2  3  4  5  ...  (n  2)(n  1)n(n  1)
...
Кроме того: 0! 1
2) Перестановки, сочетания и размещения без повторений
Участники действий: множество, состоящее из n различных объектов (либо объектов,
считающихся в контексте той или иной задачи различными)
Формула количества перестановок: Pn  n!
Типичная смысловая нагрузка: «Сколькими способами можно переставить n объектов?»
Формула количества сочетаний: Сnm 
n!
(n  m)! m!
Типичная смысловая нагрузка: «Сколькими способами можно выбрать m объектов из n ?».
Поскольку выборка проводится из множества, состоящего из n объектов, то справедливо
неравенство 0  m  n
Формула количества размещений: Anm  (n  m  1)  ...  (n  1)n
Типичная смысловая нагрузка: «сколькими способами можно выбрать m объектов (из n
объектов) и в каждой выборке переставить их местами (либо распределить между ними
какие-нибудь уникальные атрибуты)?»
Исходя из вышесказанного, справедлива следующая формула:
Сnm  Pm  Anm
И в самом деле:
Сnm  Pm 
n!
n!
1  2  3  ...  ( n  m)( n  m  1)  ...  ( n  1) n
 m !

 ( n  m  1)  ...  ( n  1) n  Anm
( n  m)! m !
( n  m)!
1  2  3  ...  ( n  m)
© http://mathprofi.ru, Емелин А., Высшая математика – просто и доступно!
Приветствуется свободное распространение данного материала, пожалуйста, не убирайте копирайты
Практические задачи с решениями можно найти на странице http://mathprofi.ru/zadachi_po_kombinatorike_primery_reshenij.html
3) Бином Ньютона и треугольник Паскаля
Под биномом Ньютона чаще всего подразумевают формулу возведения двучлена (a  b) в целую
неотрицательную степень n :
( a  b) 0  1
(a  b)1  C10 a  C11b  a  b
(a  b) 2  C20 a 2  C21a1b1  C22b 2  a 2  2ab  b 2
(a  b)3  C30 a 3  C31a 2b1  C32 a1b 2  C33b3  a 3  3a 2b  3ab 2  b 3
(a  b) 4  C40 a 4  C41a 3b1  C42 a 2b 2  C43a1b3  C44b 4  a 4  4a 3b  6a 2b 2  4ab 3  b 4
(a  b)5  C50 a 5  C51a 4b1  C52 a 3b 2  C53a 2b3  C54 a1b 4  C55b5  a 5  5a 4b  10a 3b 2  10a 2b 3  5ab 4  b 5
...
(a  b) n  Cn0 a n  Cn1a n 1b1  Cn2 a n  2b 2  Cn3a n  3b3  ...  Cnn  2 a 2b n  2  Cnn 1a1b n 1  Cnnb n 
...
Биномиальные коэффициенты Cnm можно рассчитать по стандартной формуле (см. пункт 2), но
удобнее воспользоваться так называемым треугольником Паскаля, который представляет собой
бесконечную таблицу биномиальных коэффициентов. По бокам этого треугольника расположены
единицы, а каждое внутреннее число равно сумме 2-х ближайших верхних чисел (красные метки):
Так, например, для возведения двучлена в 6-ую степень следует руководствоваться общей
формулой бинома, после чего сразу записать числа из строки №6 треугольника Паскаля:
(a  b)6  C60 a 6  C61a 5b1  C62 a 4b 2  C63a 3b3  C64 a 2b 4  C65 a1b5  C66b 6 
 a 6  6a5b  15a4b 2  20a 3b 3  15a 2b 4  6ab 5  b 6
Кроме того, данная таблица позволяет быстро находить отдельно взятые биномиальные
n!
коэффициенты (например, в целях проверки вычислений по формуле Сnm 
):
(n  m)! m!
C62 – находим строку №6 и (внимание!) 2 + 1 = 3-й элемент слева (зелёный кружок): C62  15 ;
C95 – находим строку №9 и выбираем 5 + 1 = 6-й элемент слева (малиновый кружок): C95  126 ;
C103 – находим строку №10 и выбираем 3 + 1 = 4-й элемент слева (коричневый кружок): C103  120 .
© http://mathprofi.ru, Емелин А., Высшая математика – просто и доступно!
Приветствуется свободное распространение данного материала, пожалуйста, не убирайте копирайты
Практические задачи с решениями можно найти на странице http://mathprofi.ru/zadachi_po_kombinatorike_primery_reshenij.html
4) Комбинаторное правило суммы и комбинаторное правило произведения
Если объект A можно выбрать из некоторого множества объектов m способами, а другой объект
B – n способами, то выбор объекта A или объекта B (без разницы какого) возможен m  n
способами.
Если объект A можно выбрать из некоторого множества объектов m способами и после каждого
такого выбора объект B можно выбрать n способами, то упорядоченная пара объектов ( A; B )
может быть выбрана mn способами.
Данные принципы справедливы и для бОльшего количества объектов.
Важная содержательная часть правил состоит в том, знак «плюс» понимается и читается как союз
ИЛИ, а знак «умножить» – как союз И.
5) Перестановки, сочетания и размещения с повторениями
Участники действий: множество, состоящее из объектов, среди которых есть одинаковые
(либо считающиеся таковыми по смыслу задачи)
Формула количества перестановок с повторениями: Pn ( повт ) 
n!
,
n1!  n2!  n3!  ...  nk !
где n1  n2  n3  ...  nk  n
Типичная смысловая нагрузка: «Количество способов, которыми можно переставить
n объектов, среди которых 1-й объект повторяется n1 раз, 2-й объект повторяется n2 раз,
3-й объект – n3 раз,…, k -й объект – nk раз»
Следует отметить, что в подавляющем большинстве задач в совокупности есть и уникальные
(не повторяющиеся) объекты, в этом случае соответствующие значения ni равны единице,
и в практических расчётах их можно не записывать в знаменатель.
Формула количества сочетаний с повторениями: Сnm( повт )  Сnm m 1 
(n  m  1)!
(n  1)! m!
Типичная смысловая нагрузка: «Для выбора предложено n множеств, каждое из которых
состоит из одинаковых объектов. Сколькими способами можно выбрать m объектов?»
То есть здесь в выборке могут оказаться одинаковые объекты, и если m  n , то совпадения точно
будут. Кроме того, выборка может полностью состоять из одинаковых объектов, и
предполагается, что в исходной совокупности должно быть не менее m объектов каждого вида.
Формула количества размещений с повторениями: Anm( повт )  n m
Типичная смысловая нагрузка: «Дано множество, состоящее из n объектов, при этом любой
объект можно выбирать неоднократно. Сколькими способами можно выбрать m объектов,
если важен порядок их расположения в выборке? »
Для бОльшей ясности здесь можно представить, что объекты извлекаются последовательно (хотя
это вовсе не обязательное условие). В частности, возможен случай, когда из n имеющихся
объектов m раз будет выбран какой-то один объект.
© http://mathprofi.ru, Емелин А., Высшая математика – просто и доступно!
Приветствуется свободное распространение данного материала, пожалуйста, не убирайте копирайты