Сочетания: 1. Для участия в первенстве университета по легкой атлетике необходимо составить команду из 5 человек. Сколькими способами это можно сделать, если имеется 7 бегунов? Решение задачи: Т.к. имеются 7 человек, а в выборе участвуют 5 (т.е. часть элементов) и порядок выбора не важен, то это сочетания. Применим формулу сочетаний: . Получаем, . Ответ. 21 2. Компания из двадцати мужчин разделяется на три группы, в первую из которых входят 3 человека, во вторую — 5 и в третью — 12. Сколькими способами они могут это сделать? Решение задачи: Из 20-ти элементов необходимо сделать три выборки, причем порядок внутри выборок значения не имеет. Поэтому используем формулу для сочетаний. Чтобы выбрать из 20-ти элементов 3, существует С 320 способов. Остается 17 элементов, из которых выбирается 5 5 элементов - С 17 способами. Остается 12 элементов, из которых выбирается 12 элементов. Это можно сделать С 12 12 = 1, т.е. одним способом. Используя принцип произведения, 3 5 получаем: С 20 С 17 С 12 12 . 5 С 12 Ответ: С 320 С 17 12 . 3. Сколько существует способов выбрать 3 согласных и 2 гласных буквы из букв слова «уравнение»? Решение задачи: Уравнение: 3 согласных и 4 гласных буквы. Чтобы посчитать количество требуемых пятибуквенных слов, необходимо посчитать количество сочетаний 3 согласных из 3-х заданных и двух гласных из четырех заданных: С 33 и С 24 . Ответ: С 33 С 24 4. Сколькими способами можно группу из 15 учащихся разделить на две группы так, чтобы в одной группе было 4, а в другой - 11 человек? Решение задачи: Чтобы разделить эту группу, достаточно выбрать 4 человека из 15, а оставшиеся сами образуют другую группу. А выбрать 4 человека из 15 можно С154 способами. Ответ: 1365 5. В кондитерском магазине продавались 4 сорта пирожных: наполеоны, эклеры, песочные и картошка. Сколькими способами можно купить 7 пирожных? Решение. Задача сводится к выбору мест для 7 пирожных. Особенность в том, что они могут повторяться. Пусть заданы два числа: — число выбираемых элементов, и — число типов элементов, из которых производится выбор. Число сочетаний с повторениями из элементов типов равно числу способов выбора мест для собственно выбираемых элементов различных классов. Ответ: 120 , т.е. С107 Размещение: 1. Из 7 человек надо выбрать 5 человек и разместить их на пяти занумерованных стульях (по 1 человеку на стуле). Сколькими способами это можно сделать? Решение задачи: Т.к. имеются 7 человек, а в выборе участвуют 5и порядок следования элементов имеет значение, т.к. стулья пронумерованы, то это размещение. Воспользуемся формулой размещений: . Ответ. 2520 2. Сколько четырехбуквенных слов можно образовать из букв слова «сапфир» так, чтобы они начинались с буквы «с» и оканчивались буквой «р»? Решение задачи: На первое место поставить букву «с» можно только одним способом. На последнее место поставить букву «р» можно тоже только одним способом. Остаются 4 буквы, которые 4! необходимо разместить по двум местам: А 24 12 . (4 2)! Ответ: 12 3. Расписание одного дня содержит 5 уроков. Определить количество таких расписаний при выборе из 11 дисциплин. Решение задачи: Размещение по 5 из 11 элементов, т.к. необходимо учитывать порядок следования уроков. Ответ: 55440 4. Вдоль дороги стоят 6 светофоров. Сколько может быть различных комбинаций их сигналов, если каждый светофор имеет 3 состояния: "красный", "желтый", "зеленый"? Решение задачи: Порядок элементов существенен, т.к. если поменять местами «красный» и «жёлтый» на двух светофорах, то ситуация на дороге будет другой. Также элементы могут повторятся, поэтому применяем формулу размещений с повторениями из 3 по 6: Ответ: 729 5. Сколько восьмибуквенных последовательностей можно составить из 2х определённых букв? Решение задачи: Допустим, что существует 2 каких-либо символа, из которых, по условию задачи необходимо составит последовательность. При этом порядок символов существенен и они должны повторятся. Значит, это - размещения с повторениями из 2 по 8 букв. Ответ: 256 Перестановки: 1. Сколькими способами могут восемь человек встать в очередь к театральной кассе? Решение задачи: Существует 8 мест, которые должны занять 8 человек. На первое место может стать любой из 8 человек, т.е. способов занять первое место – 8. После того, как один человек стал на первое место, осталось 7 мест и 7 человек, т.е. 7 способов занять второе место и т.д. Т.е. это перестановка 8 элементов. Применим формулу перестановок: Pn=n! Ответ: 40320 2. Сколькими способами можно разместить на странице 5 различных заметок? Решение задачи: Т.к. имеются 5 заметок, и все они участвуют в выборе, то это перестановки. Получаем, P5= 5! = 120. Ответ. 120 3. Сколькими способами можно расставить 7 книг на книжной полке? Решение задачи: Каждая расстановка будет отличаться порядком следования книг - перестановка из семи элементов. Р7 = 7!= 5040. Ответ: 5040 4. Сколько различных перестановок можно образовать изо всех букв слова «перестановка»? Решение задачи: Перестановка: 12 букв, из них повторяются 2 буквы «е» и две буквы «а». Число перестановок из 12 элементов вычисляется с помощью формулы, но среди этих перестановок будут повторяющиеся, в которых буквы «е» или «а» меняются местами. Поэтому используется формула для перестановок с повторениями: 12! ~ 3 11! 119 750 400 . P212, 2 = 2!2! Ответ: 119 750 400 5. У мамы 2 яблока, 3 груши и 4 апельсина. Каждый день в течение 9 дней она выдает сыну по одному фрукту. Сколько может быть вариантов такой выдачи? Решение. Последовательности выдачи имеют один и тот же состав и отличаются только перестановкой элементов, поэтому применяем формулу числа перестановок с повторениями Ответ: 1260 . МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Р.Е. АЛЕКСЕЕВА ИНСТИТУТ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ КАФЕДРА "ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ И ТЕХНОЛОГИИ" Дисциплина "Дискретная математика" Расчётная работа Тема: "Комбинаторика" Выполнил: Сидоренко О.О. студент группы: 10-В-1 Проверил: Нижний Новгород 2011