Комбинаторика Выполнил Сухов В.В. Комбинаторика – раздел математики, который изучает задачи выбора и расположения элементов из некоторого основного множества в соответствии с заданными правилами. Формулы и принципы комбинаторики используются в теории вероятностей для подсчета вероятности случайных событий и, соответственно, получения законов распределения случайных величин. Рождение комбинаторики как раздела математики связано с трудами Б. Паскаля и П. Ферма по теории азартных игр. FamilyID=Office_ArchiveTorn Большой вклад в развитие комбинаторных методов внесли: Г.В. Лейбниц, Я. Бернулли и Л. Эйлер. • Множество Основные понятия • Выбор • Расположение • Факториал Множество — это набор элементов, которые мы перебираем. Например, в случае с паролем это были цифры и буквы латинского алфавита — всего 62 символа. Выбор — это действие, при котором мы из множества достаём какие-то составляющие. Например, в случае с паролем можно выбрать символы i, C, 5, K, x, k, 0, w. Расположение — это действие, при котором мы расставляем выбранные элементы в определённом порядке. Например, Cxi0kK5w или kxw0C5iK. 123456 654321 143265 245631 • Если элемент A можно выбрать n способами, и элемент B — m способами, то A или B можно выбрать n + m способами. ПРАВИЛО СЛОЖЕНИЯ Пример Вы хотите скачать IDE для работы с кодом. У вас есть выбор из 7 платных программ и 8 бесплатных. Следовательно, вы можете выбрать программу 15 разными способами. ПРАВИЛО УМНОЖЕНИЯ • Если элемент A можно выбрать n способами, а элемент B — m способами, то пару A и B можно выбрать n * m способами. • Пример: вы хотите выучить два иностранных языка из десяти самых распространённых. Перестановка без повторений • Перестановка n объектов/элементов — это способ их последовательного расположения с учётом порядка. Например, abc, bca и cab — это разные перестановки трёх букв. Перестановку n объектов ещё называют перестановкой длины n. Количество всех таких таких перестановок обозначается как Pₙ. Пример. На странице интернет-магазина одежды размещены три футболки. Если поменять их расположение на странице, получится новая перестановка. Сколькими способами можно расположить футболки на странице? Решение. Три футболки можно расположить на странице 6 способами: P₃ = 3! = 1 ∙ 2 ∙ 3. Решение. Для выполнения квеста нужно 5 предметов. Корзину всегда находят первой, поэтому её позиция зафиксирована. Порядок сбора 4 оставшихся предметов равен числу перестановок 4 элементов. Всего есть 4! = 24 способа выполнить задание. Решение. Для выполнения квеста нужно 5 предметов. Корзину всегда находят первой, поэтому её позиция зафиксирована. Порядок сбора 4 оставшихся предметов равен числу перестановок 4 элементов. Всего есть 4! = 24 способа выполнить задание. Размещение без повторений • Размещение из n по k — это упорядоченный набор из k различных элементов, взятых из некоторого множества с мощностью n, где k ≤ n. То есть некая перестановка k выбранных элементов из n. В отличие от перестановки, у размещения два параметра: из скольких элементов выбирают (n) и сколько именно выбирают (k). Порядок выбора элементов важен, когда: ● Выбирают несколько элементов для разных целей, разных дней, разных ролей. ● В задачах на расположение, когда элементы различимы. Например, когда надо выбрать несколько человек из группы и разместить их на креслах в кинотеатре. Люди разные, поэтому имеет значение, кто где сядет. Пример. Недалеко от пользователя есть 9 ресторанов. Из них надо выбрать 4, которые будут отображаться на главном экране. Сколько есть способов выбрать рестораны? Решение. Порядок выбора важен, поэтому выбрать четыре ресторана поможет правило произведения: существует 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 = 3024 способа. Это как раз и есть количество размещений из 9 по 4. Пример. Сколькими способами можно заполнить спортивный пьедестал из трёх мест, если есть 10 претендентов? Сочетание без повторений Перестановки с повторениями Если хотя бы один элемент во множестве повторяется, то используется следующая формула: Сочетание с повторяющимися элементами Размещение с повторяющимися элементами
