6 - Квант

6
ÊÂÀÍT 1999/¹3
Äâà ýòþäà
î ðàññòîÿíèÿõ
Å.ØÈÊÈÍ
Â
ÎÑÍÎÂÓ ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈß ÐÀÑ-
ñòîÿíèÿ ïîëîæåíû òðè ñâîéñòâà
— ïîëîæèòåëüíàÿ îïðåäåëåííîñòü, ñèììåòðè÷íîñòü è íåðàâåíñòâî
òðåóãîëüíèêà, êîòîðûå ñ æèòåéñêîé
òî÷êè çðåíèÿ âûãëÿäÿò ñîâåðøåííî
åñòåñòâåííûìè. Â ñàìîì äåëå, ðàçâå
âîçíèêàþò ñîìíåíèÿ â òîì, ÷òî ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ ðàçëè÷íûìè
ïóíêòàìè äîëæíî õàðàêòåðèçîâàòüñÿ
ïîëîæèòåëüíûì ÷èñëîì, íå çàâèñÿùèì îò òîãî, èç êàêîãî èç ýòèõ ïóíêòîâ âåäåòñÿ îòñ÷åò è êàê ÷àñòî, ñðåçàÿ
óãëû, ìû ïîëüçóåìñÿ òðîïèíêàìè
(«íàðîäíûìè òðîïàìè»), ïðîòîïòàííûìè ðàíåå äðóãèìè íåòåðïåëèâûìè
ïåøåõîäàìè (ðèñ.1)?
)
*
Ðèñ.1
Ñàìî ïîíÿòèå ðàññòîÿíèÿ ââîäèòñÿ
â äâà ýòàïà.
Ñíà÷àëà ôîðìóëèðóåòñÿ ïðàâèëî.
Ãîâîðÿò, ÷òî íà ìíîæåñòâå χ ââåäåíî ðàññòîÿíèå, åñëè óêàçàí çàêîí,
ñîãëàñíî êîòîðîìó ëþáûì äâóì ýëåìåíòàì À è  ýòîãî ìíîæåñòâà ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå ÷èñëî (áóäåì îáîçíà÷àòü åãî dist(A, B)), è âûïîëíåíû
ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:
1) ïîëîæèòåëüíàÿ îïðåäåëåííîñòü:
dist(A, B) ≥ 0 ,
ïðè÷åì ðàâåíñòâî dist(A, B) = 0 èìååò
ìåñòî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
ýëåìåíòû À è Â ñîâïàäàþò;
2) ñèììåòðè÷íîñòü:
dist(A, B) = dist(Â, À)
äëÿ ëþáûõ ýëåìåíòîâ À è Â;
3) íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà:
dist(A, Ñ) ≤ dist(A, B) + dist(Â, Ñ)
äëÿ ëþáûõ ýëåìåíòîâ À, Â è Ñ ðàññìàòðèâàåìîãî ìíîæåñòâà.
×èñëî dist(A, B) íàçûâàåòñÿ ðàññòîÿíèåì ìåæäó ýëåìåíòàìè À è
Â.
Îáû÷íî ìû âñòðå÷àåìñÿ ñ ñèòóàöèåé, êîãäà ñïîñîá âû÷èñëåíèÿ ðàññòîÿíèé çàäàí (óæå êåì-òî ïðèäóìàí).
Íî êàê ïîñòóïàòü â ñëó÷àå, êîãäà
ïîäîáíîãî ïðàâèëà åùå íåò?
 ïðèíöèïå ñóùåñòâóåò óíèâåðñàëüíûé ñïîñîá ââåäåíèÿ ðàññòîÿíèÿ íà
ëþáîì ìíîæåñòâå, âíå çàâèñèìîñòè
îò ïðèðîäû åãî ýëåìåíòîâ. Äîñòàòî÷íî ïîëîæèòü ðàññòîÿíèå ìåæäó ðàçíûìè ýëåìåíòàìè ìíîæåñòâà ðàâíûì
åäèíèöå:
dist(A, B) = 1 ïðè A ≠ B ,
Ýòþä ïåðâûé: âíóòðåííÿÿ
ãåîìåòðèÿ áóìàæíîãî ëèñòà
Îáû÷íûé ëèñò áóìàãè èìååò ôîðìó
ïðÿìîóãîëüíèêà (ðèñ.2). Ïóñòü À è Â
– ïðîòèâîïîëîæíûå âåðøèíû. Êàê
*
)
Ðèñ. 2
âû÷èñëÿåòñÿ ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè?
Äà î÷åíü ïðîñòî – òî÷êè À è Â
ñîåäèíÿþòñÿ îòðåçêîì è èçìåðÿåòñÿ
åãî äëèíà (ðèñ.3). Ýòî è áóäåò èñêîìûì ðàññòîÿíèåì.
*
à ìåæäó ñîâïàäàþùèìè – íóëþ:
dist(A, B) = 0 ïðè À = Â.
Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî âñå
òðè óñëîâèÿ îïðåäåëåíèÿ âûïîëíåíû, ïðè÷åì íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà âñåãäà áóäåò ñòðîãèì (çà èñêëþ÷åíèåì òðèâèàëüíîãî ñëó÷àÿ, êîãäà
ñðåäè ýëåìåíòîâ À, Â è Ñ åñòü ñîâïàäàþùèå).
Âìåñòå ñ òåì, ïðåäëîæåííîå ïðàâèëî ëèøåíî ïðèâû÷íîãî íàì ñâîéñòâà, êîòîðîå ïîçâîëÿëî áû ñðàâíèâàòü ðàññòîÿíèÿ, ïîëüçóÿñü ñëîâàìè
áîëüøå è ìåíüøå, – ðàññòîÿíèå ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ ðàçëè÷íûìè ýëåìåíòàìè îêàçûâàåòñÿ âñåãäà îäíèì è
òåì æå.
Ñóùåñòâóþò, ðàçóìååòñÿ, è äðóãèå
ïðàâèëà èñ÷èñëåíèÿ ðàññòîÿíèé. Íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûå îïèðàþòñÿ
íà èñïîëüçîâàíèå åäèíèöû èçìåðåíèÿ, èëè ýòàëîíà äëèíû. Îäíàêî è
çäåñü ÷àñòî ïðèõîäèòñÿ ñòàëêèâàòüñÿ
ñ ðàññòîÿíèÿìè, íàäåëåííûìè è èíûìè, èíîãäà äîâîëüíî íåîæèäàííûìè
ñâîéñòâàìè.
Ïðîèëëþñòðèðóåì ñêàçàííîå.
)
Ðèñ. 3
Òåïåðü íåìíîãî èçîãíåì ëèñò. Íàïðèìåð, òàê, êàê ýòî ïîêàçàíî íà
ðèñóíêå 4. È âíîâü ïîñòàâèì òîò æå
*
)
Ðèñ. 4
âîïðîñ: êàê âû÷èñëèòü ðàññòîÿíèå
ìåæäó òî÷êàìè À è Â? Êàæåòñÿ, òîæå
*
)
Ðèñ. 5