РАЗБОР ЗАДАЧ 2012 – 2013 9-10 классы Задача 1 (1 балл) 1. Маша читала книгу. Каждый час число прочитанных страниц снижалось на некоторое постоянное число процентов. Через 3 часа оказалось, что она прочла 231,25% того, что прочла за первый час. На сколько процентов в час снижалось количество прочитанных страниц? Ответ: 25 Решение. Примем за A количество страниц, прочитанных за первый час, а за x процент снижения. Тогда за второй час будет прочитано A (100 − x ) 2 нение 100 2 + A (100 − x ) 100 A (100 − x ) 2 страниц, а за третий час - 1002 . Решив квадратное урав- A (100 − x ) + A = 2,3125 A , найдем x =25. 100 2. Ваня при подготовке к контрольной работе по математике решал задачи. Каждый час число решенных задач снижалось на некоторое постоянное число процентов. Через 3 часа оказалось, что он решил 265,44% того, что решил за первый час. На сколько процентов в час снижалось количество решённых задач? Ответ: 12 Решение. Примем за A количество страниц, прочитанных за первый час, а за x процент снижения. Тогда за второй час будет прочитано A (100 − x ) 2 нение 100 2 + A (100 − x ) 100 A (100 − x ) 100 A (100 − x ) 2 страниц, а за третий час - 1002 . Решив квадратное урав- + A = 2, 6544 A , найдем x =12. 3. Даша читала книгу. Каждый час число прочитанных страниц снижалось на некоторое постоянное число процентов. Через 3 часа оказалось, что она прочла 276,64% того, что прочла за первый час. На сколько процентов в час снижалось количество прочитанных страниц? Ответ: 8 Решение. Примем за A количество страниц, прочитанных за первый час, а за x процент снижения. Тогда за второй час будет прочитано A (100 − x ) 2 нение 100 2 + A (100 − x ) 100 A (100 − x ) 100 A (100 − x ) 2 страниц, а за третий час - 1002 . Решив квадратное урав- + A = 2, 7664 A , найдем x =8. 4. Даня при подготовке к контрольной работе по математике решал задачи. Каждый час число решенных задач снижалось на некоторое постоянное число процентов. Через 3 часа оказалось, что он решил 257,25% того, что решил за первый час. На сколько процентов в час снижалось количество решённых задач? Ответ: 15 Решение. Примем за A количество страниц, прочитанных за первый час, а за x процент снижения. Тогда за второй час будет прочитано A (100 − x ) 2 нение 100 2 + A (100 − x ) 100 A (100 − x ) 2 страниц, а за третий час - 1002 . Решив квадратное урав- A (100 − x ) + A = 2,5725 A , найдем x =15. 100 Задача 2 (1 балл) 1. Каждый автомобиль имеет трехзначный номер от 001 до 999. Номер считается счастливым, если сумма его крайних цифр равна средней цифре. Сколько существует счастливых номеров? Ответ: 54 Решение. Если первая цифра номера 0, то две другие принимают все значения от 1 до 9. Если первая цифра изменяется от 1 до 9, то комбинации двух других меняются от 9 до 1. Значит, счастливых номеров будет 9 +1 9+ ⋅ 9 = 54. 2 2. Каждый автомобиль имеет трехзначный номер от 001 до 999. Номер считается счастливым, если сумма всех цифр равна квадрату средней цифры. Сколько существует счастливых номеров? Ответ: 18 Решение. Если обозначить цифры номера через x, y, z , то будет иметь место соотношение x + y + z = y 2 ⇔ y 2 − y − ( x + z ) = 0. Дискриминант уравнения D = 1 + 4 x + 4 z = a 2 , так как все переменные – a2 − 1 . Значит, a 2 = 1; 9; 25; 49. Для каждого значения a 2 подсчитаем число комбина4 ций x и z . Получим соответственно 1; 3; 7; и 7. Их сумма и даст ответ 18. цифры. Тогда x + z = 3. Каждый автомобиль имеет трехзначный номер от 001 до 999. Номер считается счастливым, если сумма его крайних цифр равна удвоенной средней цифре. Сколько существует счастливых номеров? Ответ: 49 Решение. Если обозначить цифры номера через x, y, z , то будет иметь место соотношение x+z . Для x = 0 получим 4 комбинации, а далее при всех значениях x от 1 до 9 будем 2 иметь по 5 комбинаций, то есть всего 4 + 9 ⋅ 5 = 49 счастливых номеров. x + z = 2y ⇔ y = 4. Каждый автомобиль имеет трехзначный номер от 001 до 999. Номер считается счастливым, если сумма его крайних цифр равна утроенной средней цифре. Сколько существует счастливых номеров? Ответ: 33 Решение. Если обозначить цифры номера через x, y, z , то будет иметь место соотношение x+ z . Для x , не кратных 3, получим по 3 комбинации, а для кратных 3 будем иметь по 4 3 комбинаций, то есть всего 7 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 = 33 счастливых номера. x + z = 3y ⇔ y = Задача 3 (1 балл) 1. Богатый меценат приобрел в качестве новогодних подарков 100 телефонов трёх видов на сумму 100 денежек. iPhone стоит 10 денежек, Samsung – 3 денежки, а Nokia – 0,5 денежки. Сколько телефонов каждого вида он купил? Ответ: 5; 1; 94 Решение. Если обозначить через x, y, z соответствующее количество телефонов, то можно составить сис z = 100 − x − y x + y + z = 100 ⇔ тему уравнений 5 ( 20 − y ) . Число 20 − y должно делиться на 19, поэтому 10 x + 3 y + 0,5 z = 100 x= 19 y = 1; x = 5; z = 94. 2. Художник приобрёл в магазине 50 кистей для рисования трёх видов на 50 денежек. Большая кисть стоила 8 денежек, средняя – 1 денежку, а маленькая - 0,25 денежки. Сколько кистей каждого вида он купил? Ответ: 3; 19; 28 Решение. Если обозначить через x, y, z соответствующее количество кистей, то можно составить систему z = 50 − x − y x + y + z = 50 ⇔ уравнений 3 ( 50 − y ) . Число 50 − y должно делиться на 31, поэтому 8 x + y + 0, 25 z = 50 x = 31 y = 19; x = 3; z = 28. 3. Учитель рисования купил для школы 200 карандашей трёх видов на сумму 200 денежек. Цанговый карандаш стоил 16 денежек, химический – 8 денежек, а простой – 0,5 денежки. Сколько карандашей каждого вида он купил? Ответ: 5; 3; 192 Решение. Если обозначить через x, y, z соответствующее количество карандашей, то можно составить сис z = 200 − x − y x + y + z = 2000 ⇔ тему уравнений 5 ( 40 − 3 y ) . Число 40 − 3 y должно делиться на 31, поэтому 16 x + 8 y + 0,5 z = 200 x = 31 y = 3; x = 5; z = 192. 4. Мама приобрела для своих детей в магазине 80 тетрадей трёх видов на сумму 80 денежек. Блочная тетрадь стоила 7 денежек, тетрадь для нот – 4 денежки, а обычная тетрадь – 0,25 денежки. Сколько тетрадей каждого вида она купила? Ответ: 5; 7; 68 Решение. Если обозначить через x, y, z соответствующее количество тетрадей, то можно составить систе z = 80 − x − y x + y + z = 80 ⇔ му уравнений 5 (16 − y ) . Число 16 − y должно делиться на 9, поэтому 7 + 4 + 0, 25 = 80 x y z x = 9 y = 7; x = 5; z = 68. Задача 4 (2 балла) 1. Найти все возможные значения x + y , если известно, что x = ( y − 1)( 4 − y ) . Ответ: [0;5] 1≤ y ≤ 4 1≤ y ≤ 4 2 Решение. Перепишем соотношение в виде x + y = − y 2 + 6 y − 4 ⇔ x + y = 5 − ( y − 3) ⇔ 0 ≤ x + y ≤ 5. 2 2 x + y = y − 4 y + 4 x + y = ( y − 2 ) 2. Найти все возможные значения x + y , если известно, что y = ( x + 1)( 6 − x ) . Ответ: [-10;15] Решение. Перепишем соотношение в виде −1 ≤ x ≤ 6 −1 ≤ x ≤ 6 2 2 y + x = − x + 6 x + 6 ⇔ y + x = 15 − ( x − 3) ⇔ − 10 ≤ x + y ≤ 15. 2 2 y + x = x − 4 x − 6 x + y = ( x − 2 ) − 10 3. Найти все возможные значения x + y , если известно, что x = ( y − 3)(8 − y ) . Ответ: [-1;12] Решение. Перепишем соотношение в виде 3≤ y ≤8 3≤ y ≤8 2 2 x + y = − y + 12 y − 24 ⇔ x + y = 12 − ( y − 6 ) ⇔ − 1 ≤ x + y ≤ 12. 2 2 x + y = y − 10 y + 24 x + y = ( y − 5 ) − 1 4. Найти все возможные значения x + y , если известно, что y = ( x + 2 )( 9 − x ) . Ответ: [-27;34] Решение. Перепишем соотношение в виде −2 ≤ x ≤ 9 −2 ≤ x ≤ 9 2 2 y + x = − x + 8 x + 18 ⇔ y + x = 34 − ( x − 4 ) ⇔ − 27 ≤ x + y ≤ 34. 2 2 y + x = x − 6 x − 18 x + y = ( x − 3) − 27 Задача 5 (2 балла) 1. Натуральное число А имеет 61 разряд и состоит из двоек, троек и четверок. При этом двоек на 19 больше, чем четверок. Найти остаток от деления числа А на 9. Ответ: 2 Решение. Пусть x - количество четверок, а y - количество троек. Тогда получаем x + 19 + y + x = 61 , откуда y = 42 − 2 x . Сумма цифр 2 ( x + 19 ) + 3 y + 4 x имеет тот же остаток при делении на 9, что и само число. Учи- тывая связь между x и y , получаем, что сумма цифр равна 164, поэтому остаток при делении на 9 равен 2. 2. Натуральное число А имеет 59 разрядов и состоит из троек, четверок и пятерок. При этом пятерок на 8 больше, чем троек. Найти остаток от деления числа А на 9. Ответ: 1 Решение. Пусть x - количество троек, а y - количество четверок. Тогда получаем x + y + x + 8 = 59 , откуда y = 51 − 2 x . Сумма цифр 3 x + 4 y + 5 ( x + 8 ) имеет тот же остаток при делении на 9, что и само число. Учиты- вая связь между x и y , получаем, что сумма цифр равна 244, поэтому остаток при делении на 9 равен 1. 3. Натуральное число А имеет 67 разрядов и состоит из двоек, троек и четверок. При этом двоек на 22 больше, чем четверок. Найти остаток от деления числа А на 9. Ответ: 8 Решение. Пусть x - количество четверок, а y - количество троек. Тогда получаем x + 22 + y + x = 67 , откуда y = 45 − 2 x . Сумма цифр 2 ( x + 22 ) + 3 y + 4 x имеет тот же остаток при делении на 9, что и само число. Учи- тывая связь между x и y , получаем, что сумма цифр равна 179, поэтому остаток при делении на 9 равен 8. 4. Натуральное число А имеет 57 разрядов и состоит из троек, четверок и пятерок. При этом троек на 14 больше, чем пятерок. Найти остаток от деления числа А на 9. Ответ: 7 Решение. Пусть x - количество пятерок, а y - количество четверок. Тогда получаем x + 14 + y + x = 57 , откуда y = 43 − 2 x . Сумма цифр 3 ( x + 14 ) + 4 y + 5x имеет тот же остаток при делении на 9, что и само число. Учитывая связь между x и y , получаем, что сумма цифр равна 214, поэтому остаток при делении на 9 равен 7. Задача 6 (3 балла) 1. Найти угол B треугольника ABC , если угол C = π BC 3 +1 ,а = . 3 AC 2 π 4 Решение. Воспользуемся вначале теоремой синусов, а затем теоремой косинусов, тогда получим, что Ответ: sin B = AC ⋅ sin C AC 2 ⋅ sin 2 C ⇒ sin 2 B = = AB AC 2 + BC 2 − 2 ⋅ AC ⋅ BC ⋅ cos C sin 2 C . 2 BC BC 1+ ⋅ cos C − 2⋅ AC AC Подставив заданные в условии задачи значения угла и отношения сторон, найдём 3 π 1 2 4 sin 2 B = = ⇒ sin B = ⇒ угол B = . (Угол B не может быть тупым по за2 2 4 3 +1 3 +1 1 2 1 + ⋅ − 2 ⋅ 2 2 2 данному соотношению сторон.) 2. Найти угол B треугольника ABC , если угол C = 2π BC 3 −1 ,а = . 3 AC 2 π 4 Решение. Воспользуемся вначале теоремой синусов, а затем теоремой косинусов, тогда получим, что Ответ: sin B = AC ⋅ sin C AC 2 ⋅ sin 2 C ⇒ sin 2 B = = AB AC 2 + BC 2 − 2 ⋅ AC ⋅ BC ⋅ cos C sin 2 C 2 BC BC ⋅ cos C 1+ − 2⋅ AC AC Подставив заданные в условии задачи значения угла и отношения сторон, найдём 3 π 1 2 2 4 sin B = = ⇒ sin B = ⇒ угол B = . 2 2 2 4 3 −1 3 −1 1 1 + ⋅ + 2 ⋅ 2 2 2 3. Найти угол B треугольника ABC , если угол C = . π BC 3 −1 ,а = . 6 AC 2 3π 4 Решение. Воспользуемся вначале теоремой синусов, а затем теоремой косинусов, тогда получим, что Ответ: sin B = AC ⋅ sin C AC 2 ⋅ sin 2 C ⇒ sin 2 B = = AB AC 2 + BC 2 − 2 ⋅ AC ⋅ BC ⋅ cos C sin 2 C . 2 BC BC 1+ ⋅ cos C − 2⋅ AC AC Подставив заданные в условии задачи значения угла и отношения сторон, найдём 1 3π 1 2 2 4 . (Угол B должен может быть тупым sin B = = ⇒ sin B = ⇒ угол B = 2 2 2 4 3 −1 3 −1 3 1 + ⋅ − 2 ⋅ 2 2 2 по заданному соотношению сторон.) 4. Найти угол B треугольника ABC , если угол C = π BC = 2. ,а 4 AC π 4 Решение. Воспользуемся вначале теоремой синусов, а затем теоремой косинусов, тогда получим, что Ответ: sin B = AC ⋅ sin C AC 2 ⋅ sin 2 C ⇒ sin 2 B = = 2 AB AC + BC 2 − 2 ⋅ AC ⋅ BC ⋅ cos C sin 2 C . BC BC 1+ − 2 ⋅ AC ⋅ cos C AC Подставив заданные в условии задачи значения угла и отношения сторон, найдём 1 1 2 π 2 2 sin B = = ⇒ sin B = ⇒ угол B = . (Угол B не может быть тупым по заданно2 2 2 4 2 1+ 2 − 2 ⋅ ⋅ 2 2 му соотношению сторон.) 2 ( ) Задача 7 (3 балла) 1. Решить уравнение (x 2 − 5x + 4 ) 2 ( ) − 7 x 2 − 5x + 4 + 4 = − x. Ответ: 3 ± 5; 2 ± 6 Решение. Для выделения полного квадрата перепишем уравнение в виде: ( x2 − 5 x + 4 − 3 2. Решить уравнение (x 2 (x 2 ) x2 − 5 x + 4 − 3 = x − 3 x2 − 6 x + 4 = 0 x = 3± 5 2 = ( x − 3) ⇔ ⇔ ⇔ . 2 2 x − 5 x + 4 − 3 = 3 − x x − 4 x − 2 = 0 x = 2 ± 6 2 − 5x + 4 ) 2 ) 2 ( ) − 6 x2 − 5x + 4 + 9 = − x + x2 − 5x + 4 + 5 ⇔ ( ) + 7 x + 11 − 11 x 2 + 7 x + 11 + 20 = x. Ответ: −3 ± 7; − 4 ± 6 Решение. Для выделения полного квадрата перепишем уравнение в виде: (x (x 2 + 7 x + 11 − 5 ) (x 2 3. Решить уравнение 2 ) ( 2 ) + 7 x + 11 − 10 x 2 + 7 x + 11 + 25 = x + x 2 + 7 x + 11 + 5 ⇔ 2 x 2 + 7 x + 11 − 5 = x + 4 x2 + 6 x + 2 = 0 x = −3 ± 7 2 = ( x + 4) ⇔ ⇔ ⇔ . 2 2 x + 7 x + 11 − 5 = −4 − x x + 8 x + 10 = 0 x = −4 ± 6 ) ( 2 ) − 3 x + 1 − 9 x 2 − 3x + 1 + 13 = − x. Ответ: 2 ± 5; 1 ± 6 Решение. Для выделения полного квадрата перепишем уравнение в виде: (x (x 2 − 3x + 1 − 4 4. Решить уравнение (x 2 ) 2 2 ) ( 2 ) − 3 x + 1 − 8 x 2 − 3 x + 1 + 16 = − x + x 2 − 3 x + 1 + 3 ⇔ x 2 − 3x + 1 − 4 = x − 2 x2 − 4 x − 1 = 0 x = 2 ± 5 2 = ( x − 2) ⇔ ⇔ ⇔ . x 2 − 3x + 1 − 4 = 2 − x x 2 − 2 x − 5 = 0 x = 1 ± 6 + 9x + 3 ) 2 ( ) − 13 x 2 + 9 x + 3 + 14 = x. Ответ: −4 ± 24; − 5 ± 23 Решение. Для выделения полного квадрата перепишем уравнение в виде: (x (x 2 + 9x + 3 − 6 ) 2 2 + 9x + 3 ) 2 ( ) − 12 x 2 + 9 x + 3 + 36 = x + x 2 + 9 x + 3 + 22 ⇔ x2 + 9 x + 3 − 6 = x + 5 x2 + 8 x − 8 = 0 x = −4 ± 24 2 ⇔ ⇔ . = ( x + 5) ⇔ 2 2 x + 9 x + 3 − 6 = −5 − x x + 10 x + 2 = 0 x = −5 ± 23 Задача 8 (4 балла) 4 + 6 x − x 2 = y + 1 1. При каких значениях параметра a система уравнений не имеет решений? x = 8+ a y Ответ: a > −1,5 Решение. Первое уравнение системы задает две дуги окружности, симметричные относительно оси OX , а второе – два луча, выходящих из точки A(8;0) , поэтому ввиду такой симметрии задачу можно решить для y ≥ 0 . Условие для не пересечения или касания лучом дуги окружности получается из решения системы x − 3) + ( y + 1) = 13 уравнений ( , которая сводится к квадратному уравнению x = 8 + ay 2 ( a + 1) y 2 2 2 ( ) + (10a + 2 ) y + 13 = 0 . Это уравнение не имеет решений, когда D = ( 5a + 1) − 13 a 2 + 1 < 0 , причем 2 a < 0 . Решая уравнение 6a 2 + 5a − 6 = 0 , найдем a = −1,5 . Значит, решений не будет при a > −1,5 . 8x − x 2 − 3 = y + 2 2. При каких значениях параметра a система уравнений имеет более двух решений? x − 0,5 + a y = 0 Ответ: a < −1,5 Решение. Первое уравнение системы задает две дуги окружности, симметричные относительно оси OX , а второе – два луча, выходящих из точки A(0, 5;0) , поэтому ввиду такой симметрии задачу можно решить для y ≥ 0 . Условие для пересечения лучом дуги окружности получается из решения системы уравнений ( x − 4 ) + ( y + 2 ) = 13 13 , которая сводится к квадратному уравнению a 2 + 1 y 2 + ( 7a + 4 ) y + = 0 . Это 4 x = 0,5 − ay 2 2 ( ) ( ) уравнение имеет два решение, когда D = ( 7a + 4 ) − 13 a 2 + 1 > 0 , причем a < 0 . Решая уравнение 2 1 . Второе значение не подходит при анализе уравнения. Зна18 чит, два решения (а с учетом условия y < 0 получим 4 решения) будет при a < −1,5 . 36a 2 + 56a + 3 = 0 , найдем a = −1,5 и a = − 10 x − x 2 − 8 = y + 2 имеет решения? 3. При каких значениях параметра a система уравнений 14 − x = a y Ответ: a ≥ 4 Решение. Первое уравнение системы задает две дуги окружности, симметричные относительно оси OX , а второе – два луча, выходящих из точки A(14;0) , поэтому ввиду такой симметрии задачу можно решить для y ≥ 0 . Условие для касания или пересечения лучом дуги окружности получается из решения системы урав- x − 5) + ( y + 2 ) = 17 нений ( , которая сводится к квадратному уравнению a 2 + 1 y 2 + (10a + 2 ) y + 13 = 0 . x = 14 − ay 2 ( 2 ( ) ) Это уравнение имеет решения, когда D = ( 2 − 9a ) − 68 a 2 + 1 ≥ 0 , причем a > 0 . Решая уравнение 2 13a 2 − 36a − 64 = 0 , найдем a = 4 . Значит, решения будут при a ≥ 4 . 10 x − x 2 − 8 = y + 1 4. При каких значениях параметра a система уравнений не имеет решений? x+8 = a y Ответ: a < 4 Решение. Первое уравнение системы задает две дуги окружности, симметричные относительно оси OX , а второе – два луча, выходящих из точки A(−8; 0) , поэтому ввиду такой симметрии задачу можно решить для y ≥ 0 . Условие для не пересечения или касания лучом дуги окружности получается из решения системы x − 5)2 + ( y + 1)2 = 17 уравнений ( , которая сводится к квадратному уравнению x = ay − 8 ( a + 1) y 2 2 ( ) + 2 (1 − 13a ) y + 153 = 0 . Это уравнение не имеет решений, когда D = (1 − 13a ) − 153 a 2 + 1 < 0 , 2 причем a > 0 . Решая уравнение 8a 2 − 13a − 76 = 0 , найдем a = 4 . Значит, решений не будет при a < 4 .