" ÊÂÀÍT 2007/¹4 Òåïåðü çàïèøåì óðàâíåíèÿ äèíàìèêè â ïðîåêöèè íà âåðòèêàëüíóþ îñü äëÿ äâèæåíèÿ òåëà ââåðõ è âíèç: m dvy dt = -kvy - mg , m dvy dt = -kvy + mg . Óìíîæèì íà ïðèðàùåíèå âðåìåíè è ïîëó÷èì äëÿ äâèæåíèÿ ââåðõ è äëÿ äâèæåíèÿ âíèç, ñîîòâåòñòâåííî, mdvy = -kdy - mgdt , mdvy = -kdy + mgdt . Äëÿ âñåãî ïóòè çàïèøåì -mvOy = -kH - mgt1 , mvAy = -kH + mgt2 . Ñêëàäûâàÿ ýòè óðàâíåíèÿ ïîëó÷èì -m∆v = -2kH + mgτ . òèâëåíèÿ ñî ñòîðîíû æèäêîñòè ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíà ñêîðîñòè ïóçûðüêà), v0 = 1 ì ñ . Ïðè ãîðèçîíòàëüíîì óñêîðåííîì äâèæåíèè òðóáêè íà æèäêîñòü äåéñòâóþò ñèëû èíåðöèè, ñîçäàâàÿ «èñêóññòâåííóþ òÿæåñòü». Íà ýëåìåíò æèäêîñòè ìàññîé m äåéñòâóåò r ñèëà èíåðöèè -ma , íàïðàâëåííàÿ ïðîòèâ óñêîðåíèÿ. Ïîëå ñèë èíåðöèè ñîçäàåò ñîñòàâëÿþùóþ àðõèìåäîâîé ñèëû, íàïðàâëåííóþ ïî óñêîðåíèþ òðóáêè è ðàâíóþ dv FA = ρæVa = ρæV . dt Ýòî ïðèâåäåò ïóçûðåê â äâèæåíèå. Èç-çà ïðåíåáðåæèìîé ìàññû ïóçûðüêà ìîæíî çàïèñàòü ur ur dv = kv . FA + Fc = 0 , èëè ρæV dt Óìíîæèì íà dt è ïîëó÷èì ïðîïîðöèîíàëüíîñòü äèôôåðåíöèàëîâ: ρæVdv = kdx . Îòñþäà íàéäåì èñêîìóþ âåëè÷èíó: H= m ∆v + g τ ∆L0 ∆v + g τ = . 2 2 k vAx Çàäà÷à 9*.  ñåðåäèíå äëèííîé öèëèíäðè÷åñêîé òðóáêè ñ ãëèöåðèíîì íàõîäèòñÿ âîçäóøíûé ïóçûðåê. Ïðè âåðòèêàëüíîì ïîëîæåíèè òðóáêè ïóçûðåê ïîäíèìàåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ 1 ì/ñ. Òðóáêó ðàñïîëîæèëè ãîðèçîíòàëüíî è ðàçîãíàëè âäîëü äëèííîé ñòîðîíû äî ñêîðîñòè 20 ì/ñ. Ãäå îñòàíîâèòñÿ ïóçûðåê? Êóäà îí ñìåñòèòñÿ, åñëè ñêîðîñòü ïëàâíî óâåëè÷èòü äî 30 ì/ñ? Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà âåðòèêàëüíûé ïîäúåì ïóçûðüêà. Äëÿ óñòàíîâèâøåãîñÿ ðåæèìà ïðè óñëîâèè ìàëîñòè ìàññû ïóçûðüêà àðõèìåäîâà ñèëà êîìïåíñèðóåòñÿ ñèëîé ñîïðîòèâëåíèÿ ãëèöåðèíà: ur ur FA + Fc = 0 , èëè ρæVg = kv0 , Ñóììèðóÿ è óòî÷íÿÿ êîíå÷íûå ïðèðàùåíèÿ, äëÿ ïåðâîãî ñëó÷àÿ, êîãäà òðóáêó ðàçãîíÿþò äî ñêîðîñòè v1 = 20 ì ñ , çàïèøåì ρæV v1 = x1 . k Ñ ó÷åòîì óðàâíåíèÿ äëÿ âåðòèêàëüíîãî ïîäúåìà ïóçûðüêà íàéäåì vv x1 = 0 1 = 2 ì . g Àíàëîãè÷íî, äëÿ âòîðîãî ñëó÷àÿ, êîãäà ñêîðîñòü òðóáêè óâåëè÷èâàþò äî v2 = 30 ì ñ , ïîëó÷èì x2 = v0v2 = 3 ì. g ãäå ρæ ïëîòíîñòü æèäêîñòè (ãëèöåðèíà), k êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè ìåæäó ñèëîé ñîïðîòèâëåíèÿ è ñêîðîñòüþ (áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïðè äàííûõ ñêîðîñòÿõ ñèëà ñîïðî- Âèäíî, ÷òî ñìåùåíèå ïóçûðüêà ïðîïîðöèîíàëüíî ñêîðîñòè òðóáêè. Çàìå÷àíèå. Ðåøèòå ñàìîñòîÿòåëüíî ýòó çàäà÷ó áåç èñïîëüçîâàíèÿ ñèëû èíåðöèè. Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ôóíêöèè Öåëü ýòîé ñòàòüè ïðåäñòàâèòü ðàçëè÷íûå ìåòîäû íàõîæäåíèÿ ìíîæåñòâà çíà÷åíèé ôóíêöèè. Äëÿ äåìîíñòðàöèè ýôôåêòèâíîñòè ðàññìàòðèâàåìûõ ìåòîäîâ íåêîòîðûå çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ ïîâòîðÿþòñÿ â ñòàòüå íåñêîëüêî ðàç. Íîìåðà òàêèõ çàäà÷ è óïðàæíåíèé ñîõðàíÿþòñÿ. Íà÷íåì ñ íåñëîæíûõ ïðèìåðîâ. Çàäà÷à 1. Íàéäèòå ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ôóíêöèè y = sin x + cos x . Ðåøåíèå. Âîñïîëüçóåìñÿ ñïîñîáîì ââåäåíèÿ âñïîìîãàòåëüíîãî óãëà: Ñ.ËÀÂÐÅÍÎÂ × ÀÑÒÎ, ÐÅØÀß ÇÀÄÀ×È, ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒ (ÈËÈ ØÊÎËÜÍÈÊ, ñäàþùèé ÅÃÝ) ñòàëêèâàåòñÿ ñ íåîáõîäèìîñòüþ îòûñêàíèÿ îáëàñòè çíà÷åíèé òîé èëè èíîé ôóíêöèè. Íàïîìíèì, ÷òî åñëè íà íåêîòîðîì ìíîæåñòâå D [ f ] Ì R çàäàíà ôóíêöèÿ y = f ( x ) , y Î R , òî ìíîæåñòâîì çíà÷åíèé E [ f ] ýòîé ôóíêöèè íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ òàêèõ y Î R , ÷òî y = f ( x ) ïðè íåêîòîðîì x Î D [ f ] . 1 æ 1 ö sin x + cos x ÷ = y = 2ç è 2 ø 2 πö æ 2 sin ç x + ÷ . è 4ø Îòâåò: éë - 2; 2 ùû . Çàäà÷à 2. Íàéäèòå ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ôóíêöèè πö æ y = cos2 x + 2 sin ç 2x - ÷ . è 4ø Ðåøåíèå. Ïðåîáðàçóÿ äàííîå âûðàæåíèå è ââîäÿ âñïîìîãàòåëüíûé óãîë ϕ , ïîëó÷èì y= 1 1 1 5 + sin 2x - cos 2x = + sin (2x - ϕ) . 2 2 2 2 ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ é1 - 5 1 + 5 ù Îòâåò: ê ; ú. 2 û ë 2 Óïðàæíåíèå 1. Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ à, ïðè êîòîðûõ ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ôóíêöèè y = ax 2 + x + 1 âêëþ÷àåò îòðåçîê [ -1; 1] . Ðàçðåøèìîñòü óðàâíåíèÿ f ( x ) = a Îòûñêàíèå ìíîæåñòâà çíà÷åíèé ôóíêöèè òåñíî ñâÿçàíî ñ ðåøåíèåì óðàâíåíèé. Òåîðåìà 1. Óðàâíåíèå f ( x ) = a èìååò ðåøåíèå òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà à ïðèíàäëåæèò îáëàñòè çíà÷åíèé ôóíêöèè y = f ( x ) . Äîêàçàòåëüñòâî ñëåäóåò íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ ìíîæåñòâà E [ f ] . Èç òåîðåìû 1 ñëåäóåò, ÷òî äëÿ îòûñêàíèÿ E [ f ] äîñòàòî÷íî íàéòè âñå çíà÷åíèÿ à, äëÿ êîòîðûõ óðàâíåíèå f ( x ) = a èìååò êîðåíü x Î [ f ] . Ìíîæåñòâî òàêèõ à è ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì E [f ] . Çàäà÷à 3. Íàéäèòå ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ôóíêöèè y = 15 + 2x - x 2 . Ðåøåíèå. Âûÿñíèì, ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ à óðàâíåíèå 15 + 2x - x 2 = a èìååò ðåøåíèå. Óðàâíåíèå ýêâèâàëåíòíî ñèñòåìå 2 2 ïì15 + 2x - x = a , í ïîa ³ 0. Óðàâíåíèå ñèñòåìû èìååò ðåøåíèå ïðè D 4 = 16 - a2 ³ 0 , ïîýòîìó 0 £ a £ 4 . Îòâåò: [0; 4] . Èíîãäà àáèòóðèåíòû ïðèñîåäèíÿþò ê ñèñòåìå íåðàâåíñòâî 15 + 2 x - x 2 ³ 0 . Îäíàêî ýòîãî äåëàòü íå íóæíî, òàê êàê îíî âûòåêàåò èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû. Çàäà÷à 4. Íàéäèòå ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ôóíêöèè 3 cos x + 1 y= . 3 + sin x 3 cos x + 1 = a ðàâíîñèëüíî óðàâÐåøåíèå. Óðàâíåíèå 3 + sin x íåíèþ 3 cos x - a sin x = 3a - 1 , ò.å. cos ( x + ϕ) = 3a - 1 3 + a2 , ðàçðåøèìîìó òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà (3a - 1)2 3+a 2 £ 1 , ò.å. ïðè a Î [ - 1 4; 1] . Îòâåò: [ - 1 4; 1] . Çàìå÷àíèå. Ìû âîñïîëüçîâàëèñü ââåäåíèåì âñïîìîãàòåëüíîãî óãëà. ßâíî ðàçðåøàòü óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî õ ìû íå ñòàëè, òàê êàê ýòîãî îò íàñ íå òðåáîâàëîñü. Äîñòàòî÷íî îïðåäåëèòü óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ, ÷òî è áûëî ñäåëàíî. Óïðàæíåíèÿ Íàéäèòå ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ôóíêöèè: 2. y = x 2 - 3x + 1 . x2 + 1 2 - cos x . 3. y = 4 + 3 sin x "! ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ Ðàññìîòðåííûé ìåòîä ïðèìåíèì è äëÿ ôóíêöèé íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ, íà êîòîðûå íàëîæåíû äîïîëíèòåëüíûå îãðàíè÷åíèÿ. Ðàññìîòðèì äëÿ îïðåäåëåííîñòè ôóíêöèþ äâóõ ïåðåìåííûõ. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è îáû÷íî òàêîâà: íàéòè ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ôóíêöèè z = f ( x, y ) ïðè îãðàíè÷åíèè g ( x, y ) = 0 (èëè g ( x, y ) £ 0 ).  òàêèõ çàäà÷àõ òðåáóåòñÿ íàéòè çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà à, ïðè êîòîðûõ èìååò ðåøåíèå ñèñòåìà ìï f ( x, y ) = a, í ïî g ( x, y ) = 0. Çàäà÷à 5. ×èñëà õ è ó óäîâëåòâîðÿþò ðàâåíñòâó 7x2 - 4xy + 4y2 = 12 . Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ, êîòîðûå ìîæåò ïðèíèìàòü ñóììà x 2 + y2 . Ðåøåíèå. Íàéäåì âñå çíà÷åíèÿ à, ïðè êîòîðûõ èìååò ðåøåíèå ñèñòåìà óðàâíåíèé ìï x2 + y2 = a, í 2 2 ïî7 x - 4 xy + 4 y = 12. Óìíîæèì ïåðâîå óðàâíåíèå íà 12, âòîðîå íà à è âû÷òåì îäíî èç äðóãîãî. Ïîëó÷èì ýêâèâàëåíòíóþ ñèñòåìó ìï(7a - 12) x2 - 4axy + (4a - 12) y2 = 0, í 2 2 ïî7x - 4xy + 4y = 12. Åñëè ó = 0, òî ïîëó÷èì à = 12/7, x = ± 12 7 . Ïóñòü y ¹ 0 . Ïîäåëèì ïåðâîå óðàâíåíèå íà y2 è ïîëîæèì t = x/y. Òîãäà (7a - 12) t2 - 4at + 4a - 12 = 0 . Ïðè à = 12/7 êîýôôèöèåíò ïåðåä t 2 îáðàùàåòñÿ â 0, íî ïðè ýòîì çíà÷åíèè ñèñòåìà èìååò ðåøåíèå. Åñëè a ¹ 12 7 , òî óðàâíåíèå èìååò ðåøåíèå, åñëè D 4 = -24a2 + 132a - 144 ³ 0 . Îòñþäà a Î [3 2; 4] . Ïðè ýòîì 12 7 Î [3 2; 4] . Èòàê, x = ty ïðè íàéäåííûõ à. Ïîäñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå âî âòîðîå óðàâíåíèå, ïîëó÷èì y2 7t2 - 4t + 4 = 12 . Êâàäðàòíûé òðåõ÷ëåí, ñòîÿùèé â ñêîáêàõ, ïîëîæèòåëåí, ïîýòîìó ñóùåñòâóåò ó, à ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò è õ. Îòâåò: [3 2; 4] . Çàìå÷àíèå. Ïðîâåðêà ñóùåñòâîâàíèÿ õ è ó îáÿçàòåëüíà. Åñëè íåìíîãî èçìåíèòü èñõîäíóþ çàäà÷ó, ïîëîæèâ â ïðàâîé ÷àñòè îãðàíè÷åíèÿ ÷èñëî 12, òî ìû ïîëó÷èì a Î [ -4; -3 2] . Íî ìíîæåñòâî çíà÷åíèé â òàêîé ïîñòàíîâêå çàäà÷è îêàçûâàåòñÿ ïóñòûì. ( ) Óïðàæíåíèå 4. Íàéäèòå ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ôóíêöèè z = x 2 + 2 y2 , åñëè x 2 - xy + 2y2 = 1 . Îáúåäèíåíèå îáðàçîâ ïðîìåæóòêîâ ìîíîòîííîñòè. Ýêñòðåìóìû Äàëåêî íå äëÿ âñåõ ôóíêöèé ìû ñìîæåì ðåøèòü óðàâíåíèå f ( x ) = a . Âîò ïðèìåð: y = (1 - x ) e - x . Çäåñü ìîæåò ïîìî÷ü èññëåäîâàíèå ôóíêöèè ñ ïîìîùüþ ïðîèçâîäíîé. Íî ñíà÷àëà ïðèäåòñÿ ââåñòè íîâûå îïðåäåëåíèÿ. Ñóæåíèåì ôóíêöèè y = f ( x ) íà ìíîæåñòâî A Ì D [ f ] íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ y = f ( x ) , äëÿ êîòîðîé x Î A . Îáîçíà- ÷åíèå: y = f ( x ) . Ïîä÷åðêíåì, ÷òî ñóæåíèå ôóíêöèè ýòî A óæå äðóãàÿ ôóíêöèÿ. Ó íåå èìååòñÿ ñâîå ìíîæåñòâî çíà÷åíèé E éë f ù = {y Î R x Î A Í D [ f ] è y = f ( x )} . Îíî ÿâëÿåòñÿ Aû îáðàçîì ôóíêöèè f ( x ) íà ìíîæåñòâå À. Òåîðåìà 2. Ïóñòü y = f ( x ) íåïðåðûâíà è ìîíîòîííà íà "" ÊÂÀÍT 2007/¹4 îòðåçêå [a; b] . Òîãäà åñëè f ( x ) âîçðàñòàåò íà [a; b] , òî E é f [a;b] ù = éë f (a ) ; f (b)ùû . Åñëè f ( x ) óáûâàåò íà [a; b] , òî ë û é ù E f [a;b] = éë f (b ) ; f ( a ) ùû . ë û Òåîðåìó èëëþñòðèðóþò ðèñóíêè 1 è 2. Çàäà÷à 7. Íàéäèòå ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ôóíêöèè f ( x ) = 10 sin 2x + cos x . Ðåøåíèå. Ïîñêîëüêó f ¢ ( x ) = 20 cos 2x - 7 sin x = -40 sin2 x - 7 sin x + 20 = 0 , òî èìåþòñÿ äâå âîçìîæíîñòè: 4 3 1) sin x = - Þ cos x = ± ⇒ 5 5 48 21 27 æ 4ö æ 3ö æ 3ö ± =± ⇒ f ( x ) = 20 ç - ÷ ç ± ÷ + 7 ç ± ÷ = m ; è 5ø è 5ø è 5ø 5 5 5 5 39 39 ⇒ f (x) = ± Þ cos x = ± 39 . 8 8 16 39 39 27 > , ïîëó÷àåì îòâåò. Çàìåòèâ, ÷òî 16 5 39 é 39 ù 39; 39 ú . Îòâåò: ê 16 16 ë û 2) sin x = Ðèñ. 1 Ðèñ. 2 Îòðåçîê [a; b] ìîæíî çàìåíèòü ïðîìåæóòêàìè äðóãèõ òèïîâ: èíòåðâàëàìè, ëó÷àìè. Ôîðìóëèðîâêà òåîðåìû èçìåíèòñÿ. Íàïðèìåð, åñëè f ( x ) âîçðàñòàåò íà [a; + ¥ ) , òî ) E é f [a;+¥] ù = é f ( a ) ; lim f ( x ) . ë û êë x ®+¥ Ïîòðåíèðóåìñÿ. Âû÷èñëèì îáðàç îòðåçêà [1; 4] äëÿ ôóíêöèè y = log1 2 x . Ýòà ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ óáûâàþùåé. Çíà÷åíèÿ â ãðàíè÷íûõ òî÷êàõ îòðåçêà ðàâíû 0 è 2. Ïîýòîìó log1 2 x = élog 4; log1 2 1ùû = [-2; 0] . Ïîêàæèòå ýòî íà ãðà[1;4] ë 1 2 ôèêå. À òåïåðü èñïîëüçóåì ýòî äëÿ âû÷èñëåíèÿ E [ f ] . Ïðåäñòàâèì îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ D [ f ] â âèäå îáúåäèíåíèÿ ïðîìåæóòêîâ ìîíîòîííîñòè Dk . Äëÿ êàæäîãî òàêîãî ïðîìåæóòêà âû÷èñëèì åãî îáðàç Ek = E é f D ù . Òîãäà E [ f ] = U Ek . ë kû Çàäà÷à 6. Íàéäèòå ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ôóíêöèè y = (1 - x ) e - x . Ðåøåíèå. Íàéäåì ïðîìåæóòêè ìîíîòîííîñòè. Ïîñêîëüêó y ¢ = ( x - 2) e - x , òî ïðè x Î (-¥; 2] ôóíêöèÿ óáûâàåò, à ïðè x Î [2; + ¥ ] âîçðàñòàåò, ò.å. õ = 2 òî÷êà ìèíèìóìà, òàê ÷òî ymin = y (2) = - e -2 . Äàëåå, lim (1 - x ) e - x = lim (1 + x ) e x = +¥ , x ®+¥ x ®-¥ lim (1 - x ) e - x = lim x ®+¥ Ïîýòîìó ) x ®+¥ (1 - x ) ex ) E1 = E éê y ( -¥;2] ùú = éë - e -2; + ¥ , ë û =0. Óïðàæíåíèÿ Íàéäèòå ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ôóíêöèè: 5. y = (1 + cos x ) sin x . 3 6. y = 8 3 cos x + 18 sin x . 7. y = x 2 - 2x - 8 . 2 x +1 Ïðåäñòàâëåíèå â âèäå êîìïîçèöèè ôóíêöèé Íàõîæäåíèå ìíîæåñòâà çíà÷åíèé ñóùåñòâåííî óïðîùàåòñÿ, åñëè óäàåòñÿ ïðåäñòàâèòü èññëåäóåìóþ ôóíêöèþ â âèäå êîìïîçèöèè äðóãèõ ôóíêöèé: y = f ( x ) = g (h ( x )) . Òîãäà E [ f ] ÿâëÿåòñÿ îáðàçîì ôóíêöèè g ( z ) íà ìíîæåñòâå D [ g] I E [h] , ò.å. E [ f ] = E éê g D[g]I E[h] ùú . ë û Çàäà÷à 8. Íàéäèòå ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ôóíêöèè y = log1 2 2x - x2 + 3 . ( ) Ðåøåíèå. Äëÿ ôóíêöèè z = h ( x ) = 2 x - x2 + 3 = 4 - ( x 2 - 1) èìååì E [h] = ( -¥; 4] ; äëÿ ôóíêöèè y = g ( z ) = log1 2 z èìååì D [ g ] = (0; + ¥ ) . Ïîëó÷èì D [ g] I E [h] = (0; 4] , çíà- ÷èò, E [ f ] = [-2; + ¥) . Ýòè ôîðìóëû ïðèîáðåòàþò íàãëÿäíîñòü ïðè èñïîëüçîâàíèè ãðàôèêîâ. Íà ðèñóíêå 3 èçîáðàæåí ãðàôèê ôóíêöèè z = h ( x ) , ìíîæåñòâî çíà÷åíèé âûäåëåíî æèðíî. Ïîâåð- E2 = E éê y [2;+¥) ùú = ë û ) = éë - e -2; 0 . Òîãäà E = E1 U E2 = é - e -2; + ¥ . Íàðèñóéòå ýñë êèç ãðàôèêà ôóíêöèè. Òåîðåìà 3. Åñëè ôóíêöèÿ f ( x ) íåïðåðûâíà íà îòðåçêå ù f ( x ) ; max f ( x ) ú . [a; b] , òî E [ f ] = éê xmin x Î[a;b] ë Î[a;b] û Äëÿ îòûñêàíèÿ ìíîæåñòâà çíà÷åíèé íóæíî âû÷èñëèòü íàèìåíüøåå è íàèáîëüøåå çíà÷åíèÿ ôóíêöèè íà îòðåçêå. Ýòè çíà÷åíèÿ çàäàþò ãðàíèöû ìíîæåñòâà çíà÷åíèé. Ïîèñê íàèìåíüøåãî è íàèáîëüøåãî çíà÷åíèé ôóíêöèè íà îòðåçêå ïðîâîäèòñÿ ïî èçâåñòíîé ñõåìå. Âû÷èñëÿþòñÿ çíà÷åíèÿ ôóíêöèè â êðèòè÷åñêèõ òî÷êàõ (òî÷êàõ, â êîòîðûõ ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè îáðàùàåòñÿ â íîëü èëè íå ñóùåñòâóåò), à òàêæå â ãðàíè÷íûõ òî÷êàõ îòðåçêà. Èç ýòèõ çíà÷åíèé âûáèðàþòñÿ ìèíèìàëüíîå è ìàêñèìàëüíîå. Äëÿ ïåðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèé äîñòàòî÷íî âû÷èñëèòü çíà÷åíèÿ ôóíêöèè â êðèòè÷åñêèõ òî÷êàõ. Ðèñ. 3 Ðèñ. 4 íåì îñü z èç âåðòèêàëüíîãî ïîëîæåíèÿ â ãîðèçîíòàëüíîå è ïîìåñòèì åå íà ðèñóíêå 4, ãäå ïîêàçàí ãðàôèê y = g ( z ) è âûäåëåíà îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ýòîé ôóíêöèè. Âèäíî, ÷òî îáðàçîì ïðîìåæóòêà (0; 4] ÿâëÿåòñÿ ëó÷ [ -2; + ¥ ) . Äëÿ ñðàâíåíèÿ ðåøèòå ýòó çàäà÷ó ïåðâûì è âòîðûì ìåòîäàìè. ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ Äàâàéòå òåïåðü åùå ðàç ðåøèì çàäà÷ó 3. Ôóíêöèÿ y = 15 + 2x - x2 = f ( x ) ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå f ( x ) = = g (h ( x )) , ãäå y = g ( z ) = 2 = 16 - ( x - 1) . Äàëåå, z , z = h ( x ) = - x2 + 2x + 15 = E [h] = (-¥; 16] ; D [ g] = [0; + ¥ ) ; E [h] I D [ g] = [0; 16] . Ôóíêöèÿ g ( z ) âîçðàñòàþùàÿ, ïîýòî- ìó Ee [ f ] = éë g (0) ; g (16) ùû = [0; 4] . (Ñàìîñòîÿòåëüíî íàðèñóéòå ãðàôèêè â ñèñòåìàõ êîîðäèíàò Îõz è Oyz.) Óïðàæíåíèÿ Íàéäèòå ïåðâûì è òðåòüèì ìåòîäàìè ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ôóíêöèè: æ 2x + 5 ö - 1÷ . è x -1 ø Îòâåò: [ -1; 2) . Ìîæíî âñòðåòèòü ðåêîìåíäàöèè äëÿ âû÷èñëåíèÿ ãðàíèö èçìåíåíèÿ ôóíêöèè ñ èñïîëüçîâàíèåì êëàññè÷åñêèõ íåðàâåíñòâ, íàïðèìåð íåðàâåíñòâà ìåæäó ñðåäíèì àðèôìåòè÷åñêèì è ñðåäíèì ãåîìåòðè÷åñêèì. Äëÿ äâóõ ïåðåìåííûõ îíî a+b èìååò âèä ³ ab , a, b ³ 0 . Ñ åãî ïîìîùüþ ìîæíî, 2 1 íàïðèìåð, ïîêàçàòü, ÷òî x + ³ 2 , x > 0. Íî ñ ïîìîùüþ x ýòîãî íåðàâåíñòâà ìîæíî ïîëó÷èòü, âîîáùå ãîâîðÿ, ëèøü îöåíêó äëÿ ìíîæåñòâà çíà÷åíèé.  äàííîì ñëó÷àå îíî ñîâïàäàåò ñ ìíîæåñòâîì çíà÷åíèé [2; + ¥) . À ñêàæåì, äëÿ ôóíêöèè 8. y = lg ç 9. y = y= 2x + 1 -1. x-3 Çàäà÷à 9. Íàéäèòå ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ôóíêöèè y = 2 cos x - cos 2x . Ðåøåíèå. Íà ïåðâûé âçãëÿä íå âèäíî, êîìïîçèöèåé êàêèõ ôóíêöèé ÿâëÿåòñÿ y ( x ) . Ïðåîáðàçóåì åå: y = 2 cos x 2 - cos 2x = 2 cos x - 2 cos2 x + 1 . Äàëåå, y ( z) = -2z + 2z + 2 1ö 3 æ + 1 = -2 ç z - ÷ + ; z = cos x . Òîãäà E [ z] = [ -1; 1] . Èùåì è 2ø 2 íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå çíà÷åíèÿ y ( z ) íà îòðåçêå [-1; 1] . Ïîëó÷àåì îòâåò: [ -3; 3 2] . 11. y = 4 cos2 x + 3 sin2 2x . 12. y = 2 sin x cos 2x + 7 sin x . Åñëè èñõîäíàÿ ôóíêöèÿ ïðåäñòàâëåíà êàê êîìïîçèöèÿ íåñêîëüêèõ ôóíêöèé: y = f1 K fn -1 (fn ( x ))K , òî ñíà÷àëà íóæíî âû÷èñëèòü ìíîæåñòâî çíà÷åíèé âíóòðåííåé ôóíêöèè En = E ëé fn ( x ) ûù . Çàòåì âû÷èñëèòü îáðàç En -1 = fn -1 (D [fn -1 ] I I En ) è òàê äàëåå. ( ) Óïðàæíåíèå 13. Íàéäèòå ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ôóíêöèè 2 y = 7 + 3x - x - 2 - x + 3x + 4 . Çàäà÷à 10. Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ à óðàâíåíèå 2 )= a + 2 x2 + 2 x2 + 4 = 2x 2 + 8 + x2 + 2 x2 + 2 2x2 + 8 ( 3 sin 2 2 x - x Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ïîäñòàíîâêè Ïóñòü äëÿ ôóíêöèè y = f ( x ) óäàëîñü íàéòè ôóíêöèþ x = g (t ) , t Î D [ g] òàêóþ, ÷òî D [ f ] Ì E [ g] , à íîâàÿ ôóíê- öèÿ y = f (g (t )) = p (t ) ïðîùå äëÿ èññëåäîâàíèÿ, ÷åì èñõîä- íàÿ. Ïðè ýòîì E [ f ] = E [ p] .  êà÷åñòâå x = g (t ) ïîäáèðàþò òðèãîíîìåòðè÷åñêóþ ôóíêöèþ. Ñàì âèä òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôîðìóë ïîçâîëÿåò äîáèòüñÿ ñóùåñòâåííûõ óïðîùåíèé. Çàäà÷à 11. Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ à, ïðè êîòîðûõ óðàâíå 1 1 Ðåøåíèå. Òàê êàê x ∈ − ; , âûáåðåì ôóíêöèþ 2 2 1 π π x = sin t , t ∈ − ; . Òîãäà 2 2 2 Íàéäèòå ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ôóíêöèè: ( ) íèå x 1 − 4x 2 (1 − 8x 2 ) = a èìååò ðåøåíèå. Óïðàæíåíèÿ 2 cos2 2 2 x - x ( 2 3x 2 + 10 æ 3 2 5ù ; ú Ì [2; + ¥) (äîêàæèòå ýòî). ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ç è 2 2û 10. y = log 3 (1 - 2 cos x ) . 2 "# ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ 2 +1 ) èìååò õîòÿ áû îäíî ðåøåíèå? Ðåøåíèå. Ïåðåôîðìóëèðóåì çàäà÷ó: íàéäåì ìíîæåñòâî ( çíà÷åíèé ôóíêöèè f ( x ) = 2 cos2 22 x - x 2 )- ( 3 sin 2 × 22 x - x Ïðåäñòàâèì åå êàê êîìïîçèöèþ ôóíêöèé: 2 ). f (u ) = 2 cos2 (u ) - 3 sin (2u ) = 1 1 1 sin t 1 − sin2 t (1 − 2 sin2 t ) = sin t cos t cos 2t = sin 4t . 2 8 2 1 1 Îòâåò: a ∈ − ; . 8 8 Çàìå÷àíèå. Áëàãîäàðÿ óäà÷íîìó âûáîðó îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ äëÿ ôóíêöèè g (t ) ìû ñóùåñòâåííî ñîêðàòèëè ðåøåx= íèå: 1 − sin2 t = cos t = cos t , òàê êàê Ìîæíî äàòü ñëåäóþùèå ðåêîìåíäàöèè äëÿ óïðîùåíèÿ ðàäèêàëîâ: π π a2 − x 2 x = a sin t, t ∈ − ; èëè x = a cos t, t ∈ [0; π] ; 2 2 π π 2 2 a + x x = atgt, t ∈ − ; èëè x = actgt, t ∈ (0; π ) ; 2 2 a π π , t ∈ − ; \ {0} èëè sin t 2 2 π a , t ∈ [0; π] \ x= . cos t 2 {} πö æ z = 1 + cos (2u ) - 3 sin (2u ) = 1 + 2 cos ç 2u + ÷ ; u ( z ) = 2 ; è 3ø 2 Òîãäà E [ z] = ( -¥; 1] , E [u] = (0; 2] . (Íàðèñóéòå ñîîòâåòñòâóþùèå ãðàôèêè.) πö 1 π π π æ Ïîñêîëüêó 4 + ³ 2u + > , òî -1 £ cos çè 2u + ÷ø < , è 3 2 3 3 3 E ( f ) = [-1; 2) . ïðè π π t ∈ − ; . 2 2 x 2 − a2 x = z ( x ) = 2x - x 2 = 1 - ( x - 1) . cos t ³ 0 Íî ýòî íå áîëåå ÷åì ðåêîìåíäàöèè. Îíè ìîãóò è íå ïðèâåñòè ê óñïåõó. Óïðàæíåíèÿ Íàéäèòå ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ôóíêöèè: 14. y = x x2 + 4 - x 2 x2 + 4 . "$ ÊÂÀÍT 2007/¹4 15. y = x 2 x - x x -1 ùåé íà îñè Îõ, äî òî÷åê A (1; 3 ) è B (3 2; − 3 3 2 ) . Ýòà . ñóììà íå ìåíüøå, ÷åì äëèíà îòðåçêà AB = 19 . ) æ 5 - 12x ö -5 . 16. y = log16 ç ÷ø è x2 + 1 Çàäà÷à 12. Íàéäèòå ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ôóíêöèè z = y 1 − x 2 + x 4 − y2 . π π Ðåøåíèå. Ïóñòü x = sin u , y = 2 sin v , u, v ∈ − ; . 2 2 Òîãäà z = 2 sin v cos u + 2 sin u cos v = 2 sin (u + v ) . Îòâåò: [−2;2] . Åùå ðàç ðåøèì çàäà÷ó 5. Çàäà÷à 5. ×èñëà õ è ó óäîâëåòâîðÿþò ðàâåíñòâó 7x 2 − 4xy + 4y2 = 12. Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ, êîòîðûå ìîæåò ïðèíèìàòü ñóììà x2 + y2 . Ðåøåíèå. Ïóñòü x = r cos ϕ , y = r sin ϕ , r ≥ 0 , ϕ ∈ [0;2π ) . Òîãäà x2 + y2 = r 2 . Ïðåîáðàçóåì îãðàíè÷åíèå: 7r 2 cos2 ϕ − − 4r 2 sin ϕ cos ϕ + 4r 2 sin2 ϕ = 12 , r 2 (3 cos2 ϕ − 2 sin 2ϕ + 4 ) = 24 , 5 cos (2ϕ + ψ ) + 11 3 24 3 24 = ; ;4 . ãäå ψ = arcos , E [r 2 ] = 5 5 + 11 −5 + 11 2 3 Îòâåò: ; 4 . 2 = 12, r 2 (11 + 3 cos 2ϕ − 4 sin 2ϕ ) = 24 , r 2 = Óïðàæíåíèå 4. Íàéäèòå ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ôóíêöèè 2 2 z = x2 + 2y2 , åñëè x - xy + 2y = 1 . Ãåîìåòðè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ Åñëè óäàåòñÿ óâèäåòü â çàäà÷å íà âû÷èñëåíèå ìíîæåñòâà çíà÷åíèé ôóíêöèè ãåîìåòðè÷åñêîå ñîäåðæàíèå, òî ýòî ïîçâîëÿåò ñóùåñòâåííî ïðîäâèíóòüñÿ â ðåøåíèè çàäà÷è. Çàäà÷à 3. Íàéäèòå ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ôóíêöèè y = 15 + 2x − x 2 . Ðåøåíèå. Äàííîå óðàâíåíèå ðàâíîñèëüíî ñèñòåìå Îòâåò: 19; + ∞ . Çàäà÷à 14. Ïóñòü õ è ó óäîâëåòâîðÿþò ñèñòåìå y − x ≤ 5, y + 4x ≤ −5, 3y + 2x ≥ −5. Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ, êîòîðûå ìîãóò ïðèíèìàòü x2 + y2 y è . x Ðåøåíèå. Ñèñòåìà íåðàâåíñòâ îïèñûâàåò òðåóãîëüíèê íà ïëîñêîñòè õÎó. Åãî âåðøèíû: A ( −4;1) , B ( −2;3 ) , C ( −1; − 1) (ðèñ.6); x2 + y2 ýòî êâàäðàò ðàññòîÿíèÿ îò òî÷êè òðåóãîëüíèêà (x; y) äî íà÷àëà êîîðäèíàò. Íàèìåíüøåå ðàññòîÿíèå ðàññòîÿíèå äî ïðÿìîé ÂÑ. Âûðàæåíèå 2 x2 + ( −4 x − 5 ) = 17 x2 + 40 x + + 25 ïðèíèìàåò íàèìåíüøåå 25 20 ∈ ïðè x = − 17 17 ∈ [−2; − 1] . Íàèáîëüøåå ðàññòîÿíèå äëèíà îòðåçêà Ðèñ. 6 y ÀÎ = 17. Ïîñêîëüêó x òàíãåíñ óãëà íàêëîíà ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò è òî÷êó òðåóãîëüíèêà ( x; y ) , íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå çíà÷åíèÿ äîñòèãàþòñÿ íà ïðÿìûõ ÑÎ è ÂÎ. çíà÷åíèå 25 3 Îòâåò: ;17 , − ;1 . 17 2 Óïðàæíåíèå 17. Ïóñòü õ è ó óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâó ( x − 1) + y = 4 , y ≥ 0. 3 x - 6 + 2 y + 3 £ 12 . Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ, êîòîðûå ìîãóò y . ïðèíèìàòü x2 + y2 è x Óðàâíåíèå ñèñòåìû óðàâíåíèå îêðóæíîñòè ðàäèóñà 4 ñ öåíòðîì â òî÷êå (1;0 ) , íåðàâåíñòâî âåðõíÿÿ ïîëóïëîñêîñòü. Ïåðåñå÷åíèå äâóõ ýòèõ ìíîæåñòâ ïîêàçàíî íà ðèñóíêå Çàìå÷àíèå îò ðåäàêöèè. Ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷, ñâÿçàííûõ ñ ìíîæåñòâîì çíà÷åíèé ñåìåéñòâ ôóíêöèé, çàâèñÿùèõ îò ïàðàìåòðà, ðàññìîòðåíû òàêæå â ñòàòüå Â.Ãîëóáåâà è Ê.Ìîñåâè÷à «Ñåìåéñòâà ôóíêöèé», îïóáëèêîâàííîé â æóðíàëå «Êâàíò» ¹2 çà 2006 ãîä. 2 2 2 Èíôîðìàöèþ î æóðíàëå «Êâàíò» è íåêîòîðûå ìàòåðèàëû èç æóðíàëà ìîæíî íàéòè â ÈÍÒÅÐÍÅÒÅ ïî àäðåñàì: Ðèñ. 5 5. Îðòîãîíàëüíàÿ ïðîåêöèÿ âåðõíåé ïîëóîêðóæíîñòè íà îñü îðäèíàò ÿâëÿåòñÿ îòðåçêîì [0; 4] . Çàäà÷à 13. Íàéäèòå ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ôóíêöèè y = x 2 − 2x + 4 + x 2 − 3x + 9 . Ðåøåíèå. Ôóíêöèÿ 2 y = ( x − 1) + (0 − 3 ) + 2 ( x − 3 2 )2 + (0 + 3 3 2) 2 ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììó ðàññòîÿíèé îò òî÷êè ( x;0 ) , ëåæà- Ðåäàêöèÿ æóðíàëà «Êâàíò» kvant.info Ìîñêîâñêèé öåíòð íåïðåðûâíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îáðàçîâàíèÿ kvant.mccme.ru Ìîñêîâñêèé äåòñêèé êëóá «Êîìïüþòåð» math.child.ru Êîñòðîìñêîé öåíòð äîïîëíèòåëüíîãî îáðàçîâàíèÿ «Ýâðèêà» ceemat.ru