Êîíñòðóêöèè íàä ïðîñòðàíñòâàìè è îïåðàòîðàìè 49 Ãëàâà II Êîíñòðóêöèè íàä ïðîñòðàíñòâàìè è îïåðàòîðàìè  ýòîé ãëàâå ìû ðàññìîòðèì îñíîâíûå êîíñòðóêöèè íàä êîìïëåêñíûìè åâêëèäîâûìè ïðîñòðàíñòâàìè, èìåþùèå íåêîòîðóþ àíàëîãèþ ñ îïåðàöèÿìè íàä êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè. Êîìïëåêñíîìó ñîïðÿæåíèþ ñîîòâåòñòâóåò àíòèèçîìîðôèçì, ñâÿçûâàþùèé ïàðó âçàèìíî äóàëüíûõ ïðîñòðàíñòâ; ñóììå ÷èñåë ñîîòâåòñòâóåò îðòîãîíàëüíàÿ ñóììà ïðîñòðàíñòâ; ïðîèçâåäåíèþ ÷èñåë ñîîòâåòñòâóåò òåíçîðíîå (êðîíåêåðîâî) ïðîèçâåäåíèå ïðîñòðàíñòâ. Êàæäîé êîíñòðóêöèè íàä ïðîñòðàíñòâàìè ñîîòâåòñòâóåò êîíñòðóêöèÿ íàä îïåðàòîðàìè, òî åñòü îïåðàòîðó â äàííîì ïðîñòðàíñòâå ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå íåêîòîðûé îïåðàòîð â äóàëüíîì ïðîñòðàíñòâå; ñèñòåìå îïåðàòîðîâ, çàäàííûõ â ñëàãàåìûõ ïðîñòðàíñòâàõ (ïî îäíîìó â êàæäîì ñëàãàåìîì), ñîîòâåòñòâóåò îïåðàòîð â ñóììå ýòèõ ïðîñòðàíñòâ; ñèñòåìå îïåðàòîðîâ, çàäàííûõ â ïðîñòðàíñòâàõ-ñîìíîæèòåëÿõ, ñîîòâåòñòâóåò îïåðàòîð, çàäàííûé â èõ ïðîèçâåäåíèè. Ýòè êîíñòðóêöèè ñîñòàâëÿþò îñíîâó òåíçîðíîé àëãåáðû è òåîðèè ïðåäñòàâëåíèé ãðóïï, êîòîðûå ìû ðàññìîòðèì â ñëåäóþùèõ ãëàâàõ. §2.1. Äóàëüíûå ïðîñòðàíñòâà Ðàññìîòðèì ïàðó êîìïëåêñíûõ åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâ C è Âåêòîðû, ïðèíàäëåæàùèå C , ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç ~ C. x , y ,... , à âåê~ òîðû â C îáîçíà÷èì ÷åðåç ~ x ,~ y ,... . Òàêèì îáðàçîì, âåêòîðû ïðîñòðàí~ ñòâà C âñåãäà îòëè÷èìû îò âåêòîðîâ ïðîñòðàíñòâà C è èõ íå ñëåäóåò ñìåøèâàòü. 50 Ãëàâà âòîðàÿ Ïóñòü íàì çàäàí àíòèèçîìîðôèçì ~ ϕ:C → C. (2.1.1) ~ Ïðîñòðàíñòâà C è C íàçûâàþòñÿ äóàëüíûìè1 ïî îòíîøåíèþ ê àíòèèçîìîðôèçìó ϕ (èëè ïðîñòî äóàëüíûìè, ïîäðàçóìåâàÿ çàäàíèå ϕ ). Äëÿ ðàçëè÷èÿ âåêòîðîâ ïðîñòðàíñòâà C îò âåêòîðîâ ïðîñòðàíñòâà ~ ~ C ìû áóäåì íàçûâàòü âåêòîðû ïðîñòðàíñòâà C êîâåêòîðàìè.  ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèåì àíòèèçîìîðôèçìà (1.10.13), äëÿ âåê- òîðîâ x, ~ y èìååì: (ϕ −1 ~ y x )C = (ϕϕ −1 ~ y ϕx )C~ = (~ y ϕx )C~ . (2.1.2) Äëÿ òîãî, ÷òîáû ðàçëè÷àòü ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå êîâåêòîðà íà âåêòîð, îïðåäåëèì åãî êàê ~ y x = (ϕ −1 ~y x )C = (~ y ϕ x )C~ . (2.1.3) Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî ýòî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: α~ x + β~ yz =α ~ z αx + βy = α ~ x z +β ~ z x +β ~ yz ~ z y , . (2.1.4) Ïðèìå÷àíèÿ. 1. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ~ x y ñóùåñòâåííî îòëè÷àåòñÿ îò ââå- ä¸ííîãî ðàíåå ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ (x y ) ; òàê êàê ðå÷ü èä¸ò î ïðî- èçâåäåíèè âåêòîðîâ ðàçíûõ ïðîñòðàíñòâ. Íà ïåðâîì ìåñòå âñåãäà ñòîèò êîâåêòîð, à íà âòîðîì âåêòîð. Ïîýòîìó âûðàæåíèå âèäà x~ y íå ðàñ- ñìàòðèâàåòñÿ; íå èìååò ñìûñëà è âîïðîñ î êîììóòàöèîííûõ ñâîéñòâàõ ïðîèçâåäåíèÿ è î «ïðîèçâåäåíèè ñ ðàâíûìè ñîìíîæèòåëÿìè». Ïåðâîå ñâîéñòâî äèñòðèáóòèâíîñòè (2.1.4) îòëè÷àåòñÿ îò (1.10.1): ÷èñëà òåïåðü âûíîñÿòñÿ çà çíàê ïðîèçâåäåíèÿ áåç êîìïëåêñíîãî ñîïðÿæåíèÿ. Ìîæíî â ðàçëè÷íîé ëèòåðàòóðå âñòðåòèòü âìåñòî äóàëüíîãî ïðîñòðàíñòâà âûðàæåíèÿ: ñîïðÿæ¸ííîå (äâîéñòâåííîå) ïðîñòðàíñòâî. 1 Êîíñòðóêöèè íàä ïðîñòðàíñòâàìè è îïåðàòîðàìè 51 Òàêîâû ôîðìàëüíûå ðàçëè÷èÿ ìåæäó ñêàëÿðíûìè ïðîèçâåäåíèÿ- ìè (x y ) è ~ xy . 2. Êàæäûé ôèêñèðîâàííûé êîâåêòîð êöèþ ~ y îïðåäåëÿåò ëèíåéíóþ ôóí- l (x ) = ~y x (2.1.5) ñ êîìïëåêñíûìè çíà÷åíèÿìè íà C , è àíàëîãè÷íî, êàæäûé ôèêñèðîâàííûé âåêòîð x îïðåäåëÿåò ëèíåéíóþ ôóíêöèþ ~ ~ l (y ) = ~ yx (2.1.6) ~ íà C .  ñîîòâåòñòâèè ñ (2.1.2) íåíóëåâûå âåêòîðû (êîâåêòîðû) îïðåäåëÿþò ïðè ýòîì íåíóëåâûå ôóíêöèè. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî âñå ëèíåéíûå ~ ôóíêöèè íà C è C ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû óêàçàííûì âûøå ñïîñîáîì ñ ïîìîùüþ êîâåêòîðîâ è âåêòîðîâ, òàêèì îáðàçîì êàæäîå èç äâóõ äóàëüíûõ ïðîñòðàíñòâ ìîæíî îòîæäåñòâèòü ñ ïðîñòðàíñòâîì âñåõ ëèíåéíûõ ôóíêöèé íà äðóãîì. Ðàññìîòðèì ðàçëè÷èÿ ìåæäó (2.1.4) è (1.10.1),(1.10.2): ïî îòíîøåíèþ ê ïåðâîìó àðãóìåíòó «âíóòðåííåå» ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå (x y ) åñòü íå ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ â îáû÷íîì ñìûñëå, êàê (2.1.6), à «àíòèëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ»: l (αx + β y ) = αl (x ) + β l ( y ) . (2.1.7) 3. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ðàçìåðíîñòè äóàëüíûõ ïðîñòðàíñòâ ñîâïà- äàþò è ìû áóäåì èõ îáîçíà÷àòü äàëåå êàê 4. Îòíîøåíèå ïðîèçâåäåíèÿ ~ C (n ) è C (n ) . ê ïðîèçâåäåíèþ ( ) åñòü, ïî ñó- ùåñòâó, îòíîøåíèå ìåæäó ïðîñòðàíñòâàìè ñîñòîÿíèé êâàíòîâîé ìåõàíèêè â òðàêòîâêå Äèðàêà è, ñîîòâåòñòâåííî, ôîí Íåéìàíà. Êàæäàÿ èç ýòèõ òðàêòîâîê èìååò ñâîè ïðåèìóùåñòâà â ðàçëè÷íûõ ñëó÷àÿõ, è ìû â äàëüíåéøåì áóäåì èõ èñïîëüçîâàòü â ñîîòâåòñòâèè ñ ïîñòàâëåííûìè çàäà÷àìè. 5.  òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè âåêòîðû x íàçûâàþò êîíòðàâàðèàíòíûìè âåêòîðàìè, à êîâåêòîðû ~ y - êîâàðèàíòíûìè âåêòîðàìè. 6. Òåîðèÿ äóàëüíîñòè (äâîéñòâåííîñòè) ïîëó÷èëà ñâî¸ íàçâàíèå 52 Ãëàâà âòîðàÿ áëàãîäàðÿ òîìó, ÷òî îíà âûÿâëÿåò ðÿä ñâîéñòâ äóàëüíîé ñèììåòðèè ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ, òðóäíûõ ñ òî÷êè çðåíèÿ íàãëÿäíîãî âîîáðàæåíèÿ, íî èìåþùèõ ôóíäàìåíòàëüíîå çíà÷åíèå. Äîñòàòî÷íî îòìåòèòü, ÷òî äóàëèçì âîëíà-÷àñòèöà â êâàíòîâîé ìåõàíèêå àäåêâàòíî âûðàæàåòñÿ èìåííî íà ÿçûêå ëèíåéíîãî äóàëèçìà áåñêîíå÷íî ìåðíûõ êîìïëåêñíûõ åâêëèäîâûõ ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ. Ó÷èòûâàÿ ýòó òðóäíîñòü íàãëÿäíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ è âàæíîñòü äëÿ ôèçè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé ïîíÿòèÿ äóàëüíîñòè, ðàññìîòðèì ýòó ïðîáëåìó ïîäðîáíåå. Ïóñòü íàì çàäàíà ëèíåéíàÿ ôîðìà èç C (n ) l (x ) ïðîèçâîëüíîãî âåêòîðà α1 x 1 + α 2 x 2 + ... + α n x n . (2.1.8) Ýòî ïîíÿòèå èíâàðèàíòíî: îíî ìîæåò áûòü îïðåäåëåíî ïðè ïîìîùè ôóíêöèîíàëüíûõ ñâîéñòâ l (αx ) = αl (x ) , l (x + y ) = l (x ) + l ( y ). ßñíî, ÷òî âûðàæåíèå (2.1.8) îáëàäàåò ýòèìè ñâîéñòâàìè. Ôèêñèðóÿ â C (n ) áàçèñ e1 ,..., en ìû ìîæåì çàïèñàòü: x = x i ei ; l (x ) = x i l (ei ) = α i x i ; α i = l (ei ) . Ïåðåõîäÿ ê äðóãîé ñèñòåìå êîîðäèíàò, â êîòîðîé êîìïîíåíòû ïðîèçâîëüíîãî âåêòîðà x ïîäâåðãàþòñÿ ïðåîáðàçîâàíèþ (1.5.12) xi x i = Aii′ x i′ , à ëèíåéíàÿ ôîðìà (2.1.8) ïðèìåò âèä α i x i = α i ′ x i′ , ãäå êîýôôèöèåíòû α i′ ñâÿçàíû ñ ïåðâîíà÷àëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè α i ðàâåíñòâàìè α i′ = Aii′α i . Ãîâîðÿò, ÷òî êîýôôèöèåíòû (2.1.9) α i ëèíåéíîé ôîðìû (2.1.8) ïðåîáðàçó- þòñÿ êîíòðàãðåäèåíòíî îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííûõ xi . Ó íàñ íåò íåîáõîäèìîñòè ðàññìàòðèâàòü êîýôôèöèåíòû α i êàê Êîíñòðóêöèè íàä ïðîñòðàíñòâàìè è îïåðàòîðàìè êîíñòàíòû, à 53 x i êàê ïåðåìåííûå. Åñëè íå âñå α i ðàâíû íóëþ, óðàâíåíèå l (x ) = 0 îïðåäåëÿåò ïëîñêîñòü, òî åñòü (n − 1) - ìåðíîå ïîäïðîñòðàíñòâî. Âåêòîð x ëåæèò â ýòîé ïëîñêîñòè, åñëè åãî êîìïîíåíòû óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ l (x ) = 0 . Çàôèêñèðóåì òåïåðü íåêîòîðûé íåíóëåâîé âåêòîð x â C (n ) è ðàññìîòðèì óðàâíåíèå âñåõ ïëîñêîñòåé ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç ýòîò âåêòîð. Åãî 0 êîìïîíåíòû x i = x 0i ÿâëÿþòñÿ òåïåðü êîíñòàíòàìè, à êîýôôèöèåíòû α i áóäóò ïåðåìåííûìè è ìû ìîæåì ðàññìàòðèâàòü íàáîðû (x , x 1 2 ,..., x n ) è (α1 , α 2 ,..., α n ) ðàâíîïðàâíî, ÷òî äà¸ò íàì âîçìîæíîñòü ââåñòè âòîðîå ñòðàíñòâî n - ìåðíîå ïðî- ~ C (n ) , êîòîðîå ìû è áóäåì íàçûâàòü äóàëüíûì. (y1 , y2 ,..., y n ) êîâåêòîðà ~y èç C~(n ) è (x1 , x 2 ,..., x n ) âåêòîðà x èç C (n ) ìû ìîæåì ïîñòðîèòü ñêàëÿðíîå ïðîÏî êîìïîíåíòàì èçâåäåíèå y1 x 1 + y 2 x 2 + ... + y n x n . (2.1.10) Ýòî âûðàæåíèå ïî îïðåäåëåíèþ èìååò èíâàðèàíòíûé ñìûñë, òàê êàê åñëè îòíåñòè ïðîñòðàíñòâî C (n ) ê íîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ïîñðåä- ñòâîì ïðåîáðàçîâàíèÿ ïåðåìåííûõ x i , ïåðåìåííûå yi èç äóàëüíîãî ~ C (n ) ïîäâåðãíóòñÿ êîíòðàãðåäèåíòíîìó ïðåîáðàçîâàíèþ. ~ Ýòî äóàëüíîå ïðîñòðàíñòâî C (n ) íà ñàìîì äåëå äëÿ òîãî è ââîäèòñÿ, ïðîñòðàíñòâà ÷òîáû ìû ìîãëè ñîïîñòàâèòü êàæäîìó âçàèìíî îäíîçíà÷íîìó ïðåîáðàçîâàíèþ êîíòðàãðåäèåíòíîå åìó ïðåîáðàçîâàíèå. Èòàê, äâà îáðàòèìûõ ëèíåéíûõ ïðåîáðàçîâàíèÿ ~ x = Ax ′ è ~ y = A~ y′ ÿâëÿþòñÿ êîíòðàãðåäèåíòíûìè äðóã äðóãó, åñëè îíè ñîõðàíÿþò ëèíåéíóþ ôîðìó (2.1.8) íåèçìåííîé 54 Ãëàâà âòîðàÿ y1 x 1 + y 2 x 2 + ... + y n x n = y1′ x 1′ + y 2′ x 2′ + ... + y n′ x n′ . Åñëè ëèíåéíàÿ ôîðìà (2.1.8) ðàâíà íóëþ, òî ãîâîðÿò, ÷òî âåêòîð x ~ ~ èç C (n ) è êîâåêòîð y èç C (n ) íàõîäÿòñÿ â èíâîëþöèè. Ïðÿìàÿ èç C (n ) ~ îïðåäåëÿåò ïëîñêîñòü â C (n ) , òî åñòü ïëîñêîñòü, ñîñòîÿùóþ èç êîâåêòîðîâ â èíâîëþöèè ñ äàííîé ïðÿìîé è íàîáîðîò. Äóàëüíîñòü ÿâëÿåòñÿ îáðàòèìûì ñîîòíîøåíèåì. §2.2. Äóàëüíûå áàçèñû Ïóñòü e1 , e2 ,..., en îðòîíîðìèðîâàííûé1 áàçèñ â C (n ) . Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò îäíîçíà÷íî îïðåäåë¸ííûé áàçèñîì áàçèñ e1 , e2 ,..., en ~ ~ e 1, ~ e 2 ,..., ~ e n â C (n ) òàêîé, ÷òî ~ e k ei = δ ik (2.2.1) è ~ e k = ϕ(ek ), (2.2.2) ãäå ϕ - àíòèèçîìîðôèçì, ñëóæàùèé äëÿ îïðåäåëåíèÿ äóàëüíîñòè ïðî- ñòðàíñòâ. e ,~ e ,..., ~ e íàçûâàþòñÿ äóàëüíûìè. ÄîãîÁàçèñû e1 , e 2 ,..., en è ~ âîðèìñÿ íóìåðîâàòü êîîðäèíàòû êîâåêòîðîâ âåðõíèìè èíäåêñàìè, à êîîðäèíàòû âåêòîðîâ íèæíèìè: 1 2 n n ~ x = xi ~ e i = ∑ xi ~ ei . (2.2.3) i =1 Äëÿ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðà æåííûõ ïî äóàëüíûì áàçèñàì, ïîëó÷èì: ~ x y = xi y i . y è êîâåêòîðà ~ x , ðàçëî(2.2.4) Òàê êàê ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî îðòîíîðìèðîâàííûå áàçèñû, òî ñëîâî «îðòîíîðìèðîâàííûé» â äàëüíåéøåì îïóñêàåòñÿ. 1 Êîíñòðóêöèè íàä ïðîñòðàíñòâàìè è îïåðàòîðàìè 55  äàëüíåéøåì, ðàññìàòðèâàÿ îäíîâðåìåííî C (n ) è C (n ) , ìû áóäåì âñåãäà âûáèðàòü â íèõ äóàëüíûå áàçèñû è âåñòè âû÷èñëåíèÿ â ýòîì ïðåäïîëîæåíèè.  äóàëüíûõ áàçèñàõ àíòèèçîìîðôèçì ϕ çàïèøåòñÿ â âèäå ~ ~ xi = xi , (i = 1,2 ,..., n ) . (2.2.5) §2.3. Äóàëüíûå îïåðàòîðû ~ ~ A è A , äåéñòâóþùèå, ñîîòâåòñòâåííî, â C (n ) è C (n ) , íàçûâàþòñÿ äóàëüíûìè, åñëè äëÿ âñåõ ~ x è y Îïåðàòîðû ~ A~ x Ay = ~ xy . (2.3.1) Íàéä¸ì ñâÿçü ìåæäó ìàòðèöàìè îïåðàòîðîâ íèþ ÷èñåë ~ A è A . Ïî îïðåäåëå- ~ Ai j è A jk ~ k ~k ~ j Aei = Ai j e j , A ~ e = Aj e , (2.3.2) îòêóäà, â ñèëó (2.3.1), ~ k ~ A~ e Aei = A jk Ai j = δ ik . Ìû âèäèì, ÷òî ìàòðèöû j ~ Ai j = (A−1 )i . (2.3.3) ~ A è A âçàèìíî îáðàòíû: (2.3.4) Îïåðàòîð, èìåþùèé äóàëüíûé îïåðàòîð, èìååò òåì ñàìûì è îáðàòíûé îïåðàòîð. Åñëè, â ÷àñòíîñòè, A = U - óíèòàðíûé îïåðàòîð, òî èç (1.13.5) ñëåäóåò, ÷òî ~ U i j = U ji . (2.3.5) Èç (1.3.6) òåïåðü ñëåäóåò, ÷òî îïåðàòîð, äóàëüíûé óíèòàðíîìó, óíèòàðåí â ~ C (n ) . Èç îïðåäåëåíèÿ (2.1.3) ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî 56 Ãëàâà âòîðàÿ + ~ A = ϕ A−1 ϕ −1 , y = ϕ(x ) , òî èëè, ÷òî òîæå: åñëè ~ (2.3.6) + ~ A~ y = ϕ A−1 x . (2.3.7) + Òàêèì îáðàçîì, äóàëüíûé ê A îïåðàòîð ïîëó÷àåòñÿ èç íîñîì» ñ ïîìîùüþ àíòèèçîìîðôèçìà ϕ . A−1 «ïåðå- §2.4. Îðòîãîíàëüíàÿ ñóììà ïðîñòðàíñòâ Ïóñòü C (n1 ),C (n 2 ),..., C (ns ) - êîìïëåêñíûå åâêëèäîâû ïðîñòðàí- ñòâà. Ïîñòðîèì èç íèõ íîâîå ïðîñòðàíñòâî C , âåêòîðû êîòîðîãî, åñòü ôîðìàëüíûå ñóììû 1 2 s x ⊕ x ⊕ ... ⊕ x , ãäå (2.4.1) x - âåêòîðû C (ni ) . i Çíàê ⊕ ââåä¸í â îòëè÷èå îò îáû÷íîãî çíàêà ñóììèðîâàíèÿ, òàê êàê «ñóììèðîâàíèå» â (2.4.1) åñòü ïðîñòî ôîðìàëüíîå ñîåäèíåíèå âåêòîðîâ ðàçëè÷íûõ ïðîñòðàíñòâ â öåïî÷êó, ñëåäîâàòåëüíî, íå ñëîæåíèå èõ â êàêîì-ëèáî çàäàííîì ïðîñòðàíñòâå. Íåêîòîðûå èç ÷èñåë n1 , n2 ,..., n s ìîãóò áûòü ðàâíû äðóã äðóãó è ìû áóäåì ñ÷èòàòü ñîîòâåòñòâóþùèå ïðîñòðàíñòâà C (ni ) ðàçëè÷íûìè ýêçåìïëÿðàìè îäíîãî è òîãî æå ïðîñòðàíñòâà (â ñèëó èõ èçîìîðôíîñòè). Äîãîâîðèìñÿ âûïèñûâàòü C (ni ) â ïîðÿäêå óáûâàíèÿ ÷èñåë ni . Îïðåäåëèì â ïðîñòðàíñòâå C ñëîæåíèå âåêòîðîâ, óìíîæåíèå âåêòîðîâ íà ÷èñëî è ñêàëÿðíîå óìíîæåíèå ïî ïðàâèëàì: x1 ⊕ ... ⊕ xs + y1 ⊕ ... ⊕ 1 s y = x + 1 s y ⊕ ... ⊕ x + y , s (2.4.2) Êîíñòðóêöèè íàä ïðîñòðàíñòâàìè è îïåðàòîðàìè òî åñòü, ÷òîáû ñëîæèòü âåêòîðû, íàäî ñëîæèòü èõ êîìïîíåíòû â êàæäîì 1 1 s s λ x ⊕ ... ⊕ x = λ x⊕ ... ⊕ λ x , 57 C (ni ); (2.4.3) òî åñòü, ÷òîáû óìíîæèòü âåêòîð íà ÷èñëî λ , íàäî óìíîæèòü íà ýòî ÷èñëî âñå åãî êîìïîíåíòû; s 1 s 1 1 1 s s , + ... + x y x ⊕ ... ⊕ x y ⊕ ... ⊕ y = x y C (n1 ) C (ns ) (2.4.4) òî åñòü, ÷òîáû ïåðåìíîæèòü âåêòîðû, íàäî ñêàëÿðíî ïåðåìíîæèòü èõ ñîîòâåòñòâóþùèå êîìïîíåíòû è ñëîæèòü ïîëó÷åííûå ÷èñëà. Âûðàæåíèÿ (2.4.2) (2.4.4) ïîêàçûâàþò, ÷òî äåéñòâèÿ íàä âåêòîðàìè â C ïîëíîñòüþ ñâîäÿòñÿ ê äåéñòâèÿì íàä èõ êîìïîíåíòàìè â ñîîòâåòñòâóþùèõ ñëàãàåìûõ ïðîñòðàíñòâàõ íàëüíîé ñóììîé ïðîñòðàíñòâ C (ni ) . C íàçûâàåòñÿ îðòîãî- C (n1 ),C (n2 ),...,C (n s ) . Îðòîãîíàëüíûå ñóììû ïðîñòðàíñòâ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü ñ äâóõ òî÷åê: ìîæíî ñíà÷àëà çàäàâàòü ïðîñòðàíñòâà C (n1 ),C (n 2 ),..., C (n s ) íå- çàâèñèìî äðóã îò äðóãà è ñòðîèòü èç íèõ ïðîñòðàíñòâî C ñ ïîìîùüþ ôîðìàëüíûõ ñóìì (2.4.1), ëèáî ñ÷èòàòü, ÷òî âñå C (ni ) óæå ëåæàò â íåêî- òîðîì ïðîñòðàíñòâå C , è ñòðîèòü ðàçëîæåíèå âåêòîðîâ C íà ñëàãàåìûå, ëåæàùèå â C (ni ) , i = 1,2 ,..., s . Íàéä¸ì áàçèñ è ïîäñ÷èòàåì ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà C . Äëÿ ýòîãî â êàæäîì 1 1 C (ni ) ïîñòðîèì áàçèñ e1 ,..., e ni ; òîãäà âåêòîðû i s s e1 ,..., e n1 ,..., e1 ,..., e ns i (2.4.5) ñîñòàâëÿþò áàçèñ ïðîñòðàíñòâà C , à åãî ðàçìåðíîñòü ðàâíà ñóììå ðàçìåðíîñòåé ïðîñòðàíñòâ C (ni ) , òî åñòü C = C (n1 + ... + n s ) . (2.4.6) 58 Ãëàâà âòîðàÿ Òîò ôàêò, ÷òî C ðàçëàãàåòñÿ â îðòîãîíàëüíóþ ñóììó ïðîñòðàíñòâ C (ni ) , çàïèøåòñÿ òàê: C = C (n1 ) ⊕ ... ⊕ C (n s ) . (2.4.7) §2.5. Ïðèâîäèìûå îïåðàòîðû Çíà÷åíèå ðàçëîæåíèÿ ïðîñòðàíñòâà â îðòîãîíàëüíóþ ñóììó ñîñòîèò â òîì, ÷òî òàêîå ðàçëîæåíèå ÷àñòî ïîçâîëÿåò óïðîñòèòü èçó÷åíèå îïåðàòîðîâ, äåéñòâóþùèõ â C . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îïåðàòîð äóþùèì ñâîéñòâîì: L , äåéñòâóþùèé â C , îáëàäàåò ñëå- L ïåðåâîäèò êàæäûé âåêòîð ïðîñòðàíñòâà C (ni ) i = 1,2 ,..., s . Ýòî çíà÷èò, ÷òî îðòîãîíàëüíîå ðàçëîæåíèå (2.4.7) ïðèâîäèò îïåðàòîð L . Åñëè ðàññìàòðèâàòü äåéñòâèå îïåðàòîðà L òîëüêî íà ïîäïðîñòðàíñòâå C (ni ) , òî ïîëó÷èòñÿ â âåêòîð òîãî æå ïðîñòðàíñòâà, îïåðàòîð Li , äåéñòâóþùèé â C (ni ) ; îòíîøåíèå ìåæäó îïåðàòîðîì L è ïîðîæä¸ííûìè èì îïåðàòîðàìè Li çàïèøåòñÿ â âèäå L = L1 ⊕ L2 ⊕ ... ⊕ Ls . (2.5.1) Ñïðàâåäëèâî è îáðàòíîå: åñëè â êàæäîì C (ni ) äåéñòâóåò îïåðàòîð Li , òî â C äåéñòâóåò èõ ñóììà îïåðàòîð, ïðåäñòàâëåííûé ôîðìóëîé (2.5.1). Ïðè ýòîì, åñëè âñå Li óíèòàðíû, òî è L óíèòàðåí. Åñëè ñóùåñòâóåò ðàçëîæåíèå C (íå ìåíåå ÷åì èç äâóõ ñëàãàåìûõ), ïðèâîäÿùåå îïåðàòîð ÷àå íåïðèâîäèìûì. L , åãî íàçûâàþò ïðèâîäèìûì, â ïðîòèâíîì ñëó- Èçó÷åíèå ïðèâîäèìîãî îïåðàòîðà íèþ îïåðàòîðîâ L ïîëíîñòüþ ñâîäèòñÿ ê èçó÷å- Li , êàæäûé èç êîòîðûõ «àâòîíîìíî» äåéñòâóåò â ñâî¸ì Êîíñòðóêöèè íàä ïðîñòðàíñòâàìè è îïåðàòîðàìè ïîäïðîñòðàíñòâå 59 C (ni ) ìåíüøåé ðàçìåðíîñòè, ÷åì ó ïðîñòðàíñòâà C . Ýòî îáúÿñíÿåò èíòåðåñ ê íåïðèâîäèìûì îïåðàòîðàì è ê ðàçëîæåíèþ ïðîèçâîëüíûõ îïåðàòîðîâ íà íåïðèâîäèìûå.  ôèçèêå èãðàåò âàæíóþ ðîëü áîëåå îáùåå ïîíÿòèå ïðèâîäèìîñòè äëÿ ñèñòåìû îïåðàòîðîâ. Ïóñòü äàíà íåêîòîðàÿ ñèñòåìà (ìíîæåñòâî) îïåðàòîðîâ G , äåéñòâóþùàÿ â C . Åñëè êàæäûé èç îïåðàòîðîâ G ïåðåâîäèò âåêòîðû êàæäîãî â âåêòîðû òîãî æå C (ni ) C (ni ) , òî ãîâîðÿò, ÷òî îðòîãîíàëüíîå ðàçëîæåíèå (2.4.7) ïðèâîäèò ñèñòåìó îïåðàòîðîâ G ; ñèñòåìà G íàçûâàåòñÿ â ýòîì ñëó÷àå ïðèâîäèìîé. Åñëè æå íå ñóùåñòâóåò ðàçëîæåíèÿ (2.4.7), ïðèâîäÿùåãî G , òî ñèñòåìà G íàçûâàåòñÿ íåïðèâîäèìîé. Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî êàæäûé îòäåëüíûé îïåðàòîð èç G ìîæåò áûòü ïðèâîäèìûì, òîãäà êàê ñèñòåìà G â öåëîì íåïðèâîäèìîé.  äàëüíåéøåì ìû ïîêàæåì, ÷òî ýðìèòîâû è óíèòàðíûå îïåðàòîðû âñåãäà ïðèâîäèìû; òîãäà êàê ñóùåñòâóþò íåïðèâîäèìûå ñèñòåìû òàêèõ îïåðàòîðîâ. Ýòî ìîæíî îáúÿñíèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: äëÿ êàæäîãî îòäåëüíîãî îïåðàòîðà èç G ìîæíî èíîãäà ïîäîáðàòü ïðèâîäÿùåå åãî ðàçëîæåíèå, íî íè îäíî òàêîå ðàçëîæåíèå íå ïðèâîäèò èõ âñåõ ñðàçó. Ðàçëîæåíèþ (2.4.7) ñîîòâåòñòâóåò áàçèñ (2.4.5), â êîòîðîì ìîæíî çàïèñàòü êàæäûé äåéñòâóþùèé â C îïåðàòîð L: ( j = 1,2 ,..., n; n = n1 + ... + n s ). (2.5.2) i ëåæèò â C (nk ) , òî x = 0 äëÿ âñåõ i , êðîìå òåõ, êîòîðûå y j = Lij x i , Åñëè x óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâàì n1 + ... + nk −1 + 1 ≤ i ≤ nk −1 + ... + n s ; (2.5.3) i äëÿ i , óäîâëåòâîðÿþùèõ (2.5.3), x ïðîèçâîëüíû. Äëÿ âñåõ òàêèõ x âåêòîðû y , îïðåäåë¸ííûå ôîðìóëîé (2.5.2), äîëæíû òàêæå èìåòü íóëåâûå êîîðäèíàòû ïðè i , íå óäîâëåòâîðÿþùèõ (2.5.3). îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî Lij = 0 ïðè i , óäîâëåòâîðÿþùèõ (2.5.3), è, j , íå óäîâëåòâîðÿþùèõ (2.5.3). Èòàê, Lij ìîãóò áûòü îòëè÷íû îò íóëÿ ëèøü â ÿùèêàõ ìàòðèöû 60 Ãëàâà âòîðàÿ L , â êîòîðûõ îáà èíäåêñà óäîâëåòâîðÿþò îäíîìó è òîìó æå èç íåðàâåíñòâ (2.5.3), k = 1,2 ,..., s . Òàêèì îáðàçîì, ìàòðèöà ïðèâîäèìîãî îïåðàòîðà â ñïåöèàëüíî ïðèñïîñîáëåííîì ê ðàçëîæåíèþ (2.4.7) áàçèñå (2.4.6) èìååò âèä L11 ... L1n1 ... L1n1 ... ... ... Lnn11 Lnn11++11 ... ... Lnn11++1n2 ... ... Lnn11++1n2 ... Lnn11++nn22 . (2.5.4) ... Èç (2.5.4) ÿñíî, êàê ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû îïåðàòîðà L âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû îïåðàòîðîâ Li , i = 1,2 ,..., s . Îïåðàòîð L íàçûâàåòñÿ äèàãîíàëèçèðóþùèì, åñëè ïðèâîäèò íåêîòîðîå ðàçëîæåíèå (2.4.7) íà îäíîìåðíûå ïîäïðîñòðàíñòâà; â ýòîì ñëó÷àå, ïðè íàäëåæàùåì âûáîðå áàçèñà, ìàòðèöà (2.5.4) îêàçûâàåòñÿ äèàãîíàëüíîé: λ1 . 0 λ2 . . . 0 . 0 . 0 . . . . λn (2.5.5) Êîíñòðóêöèè íàä ïðîñòðàíñòâàìè è îïåðàòîðàìè 61 §2.6. Ñîáñòâåííûå âåêòîðû è ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ Ïóñòü îïåðàòîð L äèàãîíàëèçèðóåì; òîãäà (2.4.7) èìååò âèä C = C (1) ⊕ ... ⊕ C (1), 1 n (2.6.1) à èç óðàâíåíèé (2.5.2) âèäíî, ÷òî Lei = λ i ei . (2.6.2) Óðàâíåíèå âèäà (2.6.3) Lx = λx íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé. Âñå åãî íåíóëåâûå ðåøå- x , ïðè äàííîì çíà÷åíèè ïàðàìåòðà λ , íàçûâàþòñÿ ñîáñòâåííûìè âåêòîðàìè îïåðàòîðà L , ïðèíàäëåæàùèìè λ . Çíà÷åíèå λ , äëÿ êîòîðî- íèÿ ãî ñóùåñòâóåò õîòÿ áû îäèí ñîáñòâåííûé âåêòîð, íàçûâàåòñÿ ñîáñòâåí- íûì çíà÷åíèåì îïåðàòîðà L . Çàäà÷à î ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèÿõ ñîñòîèò â âû÷èñëåíèè ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé è â îïðåäåëåíèè ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ çàäàííîãî îïåðàòîðà. Âûðàæåíèå (2.6.2) ïîêàçûâàåò, ÷òî äëÿ äèàãîíàëèçèðóåìîãî îïåðàòîðà L ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè ñëóæàò λ i , à ñîáñòâåííûìè âåêòîðàìè âåêòîðû âûáðàííîãî ñïåöèàëüíîãî áàçèñà ei . Îáðàòíî, åñëè â C ñóùåñòâóåò îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ e1 ,..., en , ñîñòîÿùèé èç ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ îïåðàòîðà L , òî âñå âåêòîðû âèäà αei , ãäå α - êîìïëåêñíîå ÷èñëî, ñîñòàâëÿþò ïîäïðîñòðàíñòâî C (1) ïðîñòðàíñòâà C è èìååò ìåñòî ðàçëîæåíèå (2.6.1); òåì ñàìûì îïåðàòîð L îêàçûâàåòñÿ äèàãîíàëèçèðóåìûì. Âàæíûìè ïðèìåðàìè äèàãîíàëèçèðóåìûõ îïåðàòîðîâ ÿâëÿþòñÿ ýðìèòîâû è óíèòàðíûå îïåðàòîðû. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ýðìèòîâà îïåðàòîðà â îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ, ñîñòîÿùèé èç ïðè÷¸ì âñå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ C (n ) ñóùåñòâóåò n åãî ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ, λ i äåéñòâèòåëüíû. Ìîæíî, òàê æå, ïîêàçàòü, ÷òî óíèòàðíûé îïåðàòîð â îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ, ñîñòîÿùèé èç C (n ) èìååò n ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ; ñî- 62 Ãëàâà âòîðàÿ îòâåòñòâóþùèå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ïî ìîäóëþ ðàâíû åäèíèöå: λ k = e iϕk . (2.6.4) Åñëè λ - ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå, òî âñå ñîáñòâåííûå âåêòîðû, ïðèíàäëåæàùèå λ âìåñòå ñ íóëåâûìè âåêòîðîì îáðàçóþò ñîáñòâåííîå ïîäïðîñòðàíñòâî Cλ ðàçìåðíîñòè r , íàçûâàåìîé êðàòíîñòüþ ýòîãî ïîäïðîñòðàí- r -êðàòíî âûðîæäåííûì (ïðè r > 1 ). Åñëè äëÿ ýðìèòîâûõ îïåðàòîðîâ A, B ñóùåñòâóåò îðòîíîðìèðî- ñòâà, à ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå λ - âàííûé áàçèñ, ñîñòîÿùèé èç èõ îáùèõ ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ, òî ýòè îïåðàòîðû ïåðåñòàíîâî÷íû. Âåðíî è îáðàòíîå: äëÿ äâóõ èëè áîëåå ïåðåñòàíîâî÷íûõ ýðìèòîâûõ îïåðàòîðîâ ìîæíî ïîñòðîèòü îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ, ñîñòîÿùèé èç îáùèõ ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ òàêîãî áàçèñà çàìåòèì, ÷òî êàæäûé èç ïåðåñòàíîâî÷íûõ îïåðàòîðîâ ïåðåâîäèò â ñåáÿ ëþáîå ñîáñòâåííîå ïîäïðîñòðàíñòâî äðóãîãî, è ìîæíî ñòðîèòü ñîáñòâåííûå âåêòîðû B , íå âûõîäÿ èç ñîáñòâåííûõ ïîäïðîñòðàíñòâ A . Ýòî íå çíà÷èò, îäíàêî, ÷òî êàæäûé ñîáñòâåííûé âåêòîð A ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì âåêòîðîì B : ýòî ñïðàâåäëèâî ëèøü äëÿ âåêòîðà, ïðèíàäëåæàùåãî ïðîñòîìó ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ A êðàòíîñòè 1.  ñëó÷àå ïðîèçâîëüíîãî îïåðàòîðà ïðèâåäåíèå ê äèàãîíàëüíîìó âèäó, â îáùåì ñëó÷àå, íåâîçìîæíî. Çàïèøåì óðàâíåíèå ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé (2.6.3) â ïðîèçâîëüíîì áàçèñå â âèäå (L j i − λδ ij )x i = 0 . Ýòî óðàâíåíèå èìååò íåòðèâèàëüíûå ðåøåíèÿ òîì ñëó÷àå, êîãäà det Lij − λδ ij = 0 . (2.6.5) x i â òîì è òîëüêî (2.6.6) Óðàâíåíèå (2.6.6) íàçûâàþò âåêîâûì óðàâíåíèåì, ñëóæàùèì äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé, êîòîðûå â ïîäðîáíîì âèäå çàïèñûâàþòñÿ òàê: Êîíñòðóêöèè íàä ïðîñòðàíñòâàìè è îïåðàòîðàìè L11 − λ L12 ... L1n 63 L12 ... L1n L22 − λ ... L2n =0. ... ... ... Ln2 ... Lnn − λ (2.6.7) Ëåâàÿ ÷àñòü (2.6.7) åñòü ïîëèíîì ñòåïåíè n îòíîñèòåëüíî λ , òî åñòü ÷èñëî ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ëþáîãî îïåðàòîðà íå ïðåâûøàåò n . Ïî òåîðåìå Âèåòà ñóììà êîðíåé óðàâíåíèÿ (2.6.7) âçÿòûõ ñ èõ àëãåáðàè÷åñêîé êðàòíîñòüþ (êàê êîðíåé óðàâíåíèÿ, à íå êàê ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé), ðàâíà êîýôôèöèåíòó ïðè n n i =1 i =1 (− 1)n −1 λn −1 : SpL = ∑ Lij = ∑ λ i . (2.6.8) Ðàíåå ìû ïîêàçàëè, ÷òî îïðåäåëèòåëü îïåðàòîðà íå çàâèñèò îò âûn áîðà áàçèñà. Ïðèìåíÿÿ ýòî ê (2.6.6), ìû óâèäèì, ÷òî ñóììà ∑L i =1 ÿâëÿåòñÿ ÷èñëîâûì èíâàðèàíòîì îïåðàòîðà âàåòñÿ ñëåäîì îïåðàòîðà. j i â (2.6.8) L . Èíâàðèàíò SpL íàçû- Äðóãîé èíâàðèàíò, det L , ïî òåîðåìå Âèåòà ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ êîðíåé: n det L = ∏ λ i . (2.6.9) i =1 Äëÿ êàæäîãî îïåðàòîðà L = SpL ⋅ E (n ) + L0 , ãäå L ñóùåñòâóåò îäíîçíà÷íîå ðàçëîæåíèå (2.6.10) E (n ) - òîæäåñòâåííûé îïåðàòîð, à L0 - áåññëåäíûé îïåðàòîð (ñ íóëå- âûì ñëåäîì). Ïðèìåð 2.6.1. Íàéòè ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå âåêòîðû îïåðàòîðà L ñ ìàòðèöåé 64 Ãëàâà âòîðàÿ 1 2 . L = 5 4 Ðåøåíèå. Õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí îïåðàòîðà ϕ (λ ) = 1− λ 4 2 4−λ L åñòü = λ2 − 5λ − 6 = 0 . Åãî êîðíè λ1 = 6 è λ 2 = −1 . Ñîáñòâåííûå âåêòîðû íàõîäèì èç äâóõ ñèñòåì óðàâíåíèé: (1 − λ1 )x1 + 2 x 2 = 0 , 5 x1 + (4 − λ1 )x 2 = 0 (*) (1 − λ 2 )x1 + 2 x 2 = 0 . 5 x1 + (4 − λ 2 )x 2 = 0 (**) Ïðè λ1 = 6 (*) ñâîäèòñÿ ê îäíîìó óðàâíåíèþ 5 x1 − 2 x 2 = 0 îòêóäà íàõîäèì, ÷òî x1 2 = è â êà÷åñòâå ñîáñòâåííîãî âåêòîðà, ñîîòx2 5 âåòñòâóþùåãî ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ èëè ëþáîé âåêòîð, êðàòíûé Ïðè λ1 = 6 , ìîæíî âçÿòü l1 = {2,5}, l1 . λ 2 = −1 èìååì óðàâíåíèå x1 + x 2 = 0 èëè âåòñòâóþùèé ñîáñòâåííûé âåêòîð áóäåò íûé. x1 = −1 , è ñîîòx2 l 2 = {1,−1}, èëè ëþáîé åìó êðàò- Ïðèìåð 2.6.2. Íàéä¸ì ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå âåêòîðû îïåðàòîðà R ïîâîðîòà íà óãîë ϕ ñ ìàòðèöåé Êîíñòðóêöèè íàä ïðîñòðàíñòâàìè è îïåðàòîðàìè cos ϕ R = sin ϕ 65 − sin ϕ . cos ϕ Ðåøåíèå. Õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí îïåðàòîðà ϕ (λ ) = cos ϕ − λ sin ϕ Åãî êîðíè R åñòü − sin ϕ = λ2 − 2 cos ϕ ⋅ λ + 1 = 0 . cos ϕ − λ λ1, 2 = cos ϕ ± i sin ϕ êîìïëåêñíû, è åñëè ϕ íå êðàòíî π , ïðåîáðàçîâàíèå íå èìååò âåùåñòâåííûõ çíà÷åíèé. Åñëè ϕ = 2kπ , ïðåîáðàçîâàíèå ÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâåííûì, è êàæäûé âåêòîð ïëîñêîñòè ñîáñòâåííûé, ïðè÷¸ì λ = 1. Åñëè ϕ = (2k + 1)π , ìû èìååì ïðåîáðàçîâàíèå öåíòðàëüíîé ñèììåòðèè, è êàæäûé âåêòîð ïëîñêîñòè áóäåò ñîáñòâåííûì ñ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì λ = −1 . Ïðèìå÷àíèå. Ðåøàòü ïðèìåðû íà îòûñêàíèå ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé è ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ óäîáíî ñ ïîìîùüþ ïðîãðàììû MathCAD PLUS 6.0 PRO. §2.7. Òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå ïðîñòðàíñòâ  §2.4. ìû íàó÷èëèñü èç çàäàííûõ ïðîñòðàíñòâ ñòðîèòü èõ «ñóììó» (2.4.7), ïðè÷¸ì îïåðàòîðû äåéñòâóþùèå â «ñëàãàåìûõ» ïðîñòðàíñòâàõ, òàê æå èìåþò «ñóììó» (2.5.1) îïåðàòîð, äåéñòâóþùèé â «ñóììå» ïðîñòðàíñòâ. Ðàññìîòðèì òåïåðü ïîñòðîåíèå ñëîæíûõ ïðîñòðàíñòâ èç áîëåå ïðîñòûõ ñïîñîáîì «óìíîæåíèÿ». Ïðè ýòîì áóäóò «ïåðåìíîæàòüñÿ» è îïåðàòîðû, äåéñòâóþùèå â ïðîñòðàíñòâàõ-«ñîìíîæèòåëÿõ» è ìû ïîëó÷èì îïåðàòîð, äåéñòâóþùèé â «ïðîèçâåäåíèè» ïðîñòðàíñòâ. Ðàññìîòðèì äâà ïðîñòðàíñòâà ïðîñòðàíñòâà îáîçíà÷èì ÷åðåç C (m ) è C (n ) . Âåêòîðû ïåðâîãî x , x1 , x ′,... , à âåêòîðû âòîðîãî - y , y1 , y ′,... . Áàçèñû â C (m ) áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç e1 ,..., em , à â C (n ) ÷åðåç f 1 ,..., f n . 66 Ãëàâà âòîðàÿ Ðàññìîòðèì âñåâîçìîæíûå ôîðìàëüíûå âûðàæåíèÿ âèäà p ∑x i =1 i ⊗ yi = x1 ⊗ y1 + ... + x p ⊗ y p ñ ëþáûì ÷èñëîì «ñëàãàåìûõ» (2.7.1) p , ãäå xi - âåêòîðû èç C (m ), à y i - èç C (n ) . Çíàê ⊗ èãðàåò ðîëü ÷èñòî ôîðìàëüíîãî «ðàçäåëèòåëÿ» ìåæäó xi è yi . Ìû íå ìîæåì çäåñü ïîëüçîâàòüñÿ çàïèñüþ âèäà (xi y i ), òàê êàê íàäî âñ¸ âðåìÿ ïîìíèòü, ÷òî ðå÷ü èä¸ò íå î «âíóòðåííåì» (àíàëîã ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ îäíîãî ïðîñòðàíñòâà), à íåêîòîðîì ôîðìàëüíîì àíàëîãå óìíîæåíèÿ äëÿ âåêòîðîâ èç ðàçíûõ ïðîñòðàíñòâ. Çíàêè + è ∑ â (2.7.1) èìåþò òîæå ôîðìàëüíûé õàðàêòåð è íå îçíà÷àþò ñóììèðîâàíèÿ íè â êàêîì çàðàíåå çàäàííîì ïðîñòðàíñòâå. Ñîâåðøåííî íåñóùåñòâåííî, ÷òî «ñîáîé ïðåäñòàâëÿþò» ôîðìàëüíûå ñóììû (2.7.1), èìåþò çíà÷åíèå ëèøü ïðàâèëà äåéñòâèé íàä íèìè, êîòîðûå ìû ñåé÷àñ ïåðå÷èñëèì. Óñëîâèìñÿ ñ÷èòàòü äâà âûðàæåíèÿ âèäà (2.7.1) ðàâíûìè, åñëè îíè ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû äðóã èç äðóãà êîíå÷íûì ÷èñëîì ñëåäóþùèõ ýëåìåíòàðíûõ îïåðàöèé: åñëè â (2.7.1) âõîäèò ÷ëåí x ⊗ y è x = x ′ + x ′′ â C (m ), òî ýòîò ÷ëåí çàìåíÿåòñÿ íà x ′ ⊗ y + x ′′ ⊗ y è àíàëîãè÷íûìè (âçàèìîçàìåíÿåìûìè) áóäóò âûðàæåíèÿ: (x ′ + x ′′) ⊗ y = x ′ ⊗ y + x ′′ ⊗ y , x ⊗ ( y ′ + y ′′) = x ⊗ y ′ + x ⊗ y ′′ , (2.7.2) (2.7.3) λx ⊗ y = x ⊗ λy . (2.7.4) Åñëè âûðàæåíèå (2.7.1) ìîæíî ñ ïîìîùüþ ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïðèâåñòè ê âèäó 0 ⊗ 0 (ñëåâà íóëåâîé âåêòîð â C (m ), ñïðàâà íóëåâîé âåêòîð â C (n ) ), òî 0 ⊗ 0 îáîçíà÷àåòñÿ ïðîñòî ÷åðåç 0 . Ìíîæåñòâî âñåõ âûðàæåíèé âèäà (2.7.1), ñ îòîæäåñòâëåíèåì ðàâíûõ âûðàæå- ( ) () íèé, îáîçíà÷èì ÷åðåç C m ⊗ C n . Äëÿ âûðàæåíèé (2.7.1) ìîæíî óñòàíîâèòü äåéñòâèÿ ñëîæåíèÿ, óìíîæåíèÿ íà êîìïëåêñíîå ÷èñëî è ñêàëÿðíîãî óìíîæåíèÿ, ïðè÷¸ì Êîíñòðóêöèè íàä ïðîñòðàíñòâàìè è îïåðàòîðàìè 67 C (m ) ⊗ C (n ) ïðåâðàùàåòñÿ â êîìïëåêñíîå åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî C (m ) ⊕ C (n ), ðàç- ðàçìåðíîñòè mn (â ñëó÷àå îðòîãîíàëüíîé ñóììû ìåðíîñòè ñêëàäûâàþòñÿ). Ñóììà îïðåäåëÿåòñÿ ïî ïðàâèëó: (x′ ⊗ y ′ + ... + x′ ⊗ y ′ ) + (x′′ ⊗ y ′′ + ... + x′′ ⊗ y ′′ ) = 1 p 1 p 1 q q = x1′ ⊗ y1′ + ...x ′p ⊗ y ′p + x1′′ ⊗ y1′′ + ... + x q′′ y q′′ . (2.7.5) Äëÿ ñëîæåíèÿ äâóõ âûðàæåíèé (2.7.1) íàäî èõ ïðîñòî âûïèñàòü ïîäðÿä, ñîåäèíèâ çíàêîì ïëþñ. ×àñòî ïðè ýòîì â ïðàâîé ÷àñòè âîçìîæíû óïðîùåíèÿ ñ ïîìîùüþ ýëåìåíòàðíûõ îïåðàöèé, íàïðèìåð x ⊗ y + x ⊗ y = (x + x ) ⊗ y = 2 x ⊗ y . Óìíîæåíèå íà êîìïëåêñíîå ÷èñëî îïðåäåëÿåòñÿ ïî ïðàâèëó: λ (x1 ⊗ y1 + ... + x p ⊗ y p ) = λx1 ⊗ y1 + ... + λx p y p = = x1 ⊗ λy1 + ... + x p ⊗ λy p . (2.7.6) Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå: äëÿ ìîíîìîâ: (x ′ ⊗ y ′ x ′′ ⊗ y ′′) = (x ′ x ′′) ( ) ⋅ (y ′ y ′′) ( ) ; C m (2.7.7) C n äëÿ «ïîëèíîìîâ»: ∑ xi′ ⊗ yi′ ∑ x ′j′ ⊗ y ′j′ = ∑ xi′ ⊗ yi′ x ′j′ ⊗ y ′j′ . i i,j j ( ) (2.7.8) Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî ýòè äåéñòâèÿ óäîâëåòâîðÿþò âñåì òðåáîâàíèÿì, íàëîæåííûì âûøå íà äåéñòâèÿ íàä âåêòîðàìè êîìïëåêñíîãî åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà. Ïîñòðîèì òåïåðü áàçèñ è íàéä¸ì ðàçìåðíîñòü C(m) ⊗ C(n) . Åñëè x = x i ei , à y = y j f j , òî x ⊗ y = x i y j ei ⊗ f j ïðåäñòàâëÿþò ðàçëîæåíèå ìîíîìà ei ⊗ f j . (2.7.9) x ⊗ y ïî áàçèñíûì ìîíîìàì 68 Ãëàâà âòîðàÿ Ðàçëàãàÿ, òàêèì îáðàçîì, âñå ìîíîìû (2.7.1), ìû ìîæåì ïðåäñòà- âèòü ëþáîé âåêòîð ξ èç C(m) ⊗ C(n) â âèäå ξ = ξij ei ⊗ f j . Òàê êàê âåêòîðû çèñ â (2.7.10) ei ⊗ f j îðòîíîðìèðîâàííû, îíè ñîñòàâëÿþò áà- C(m) ⊗ C(n) . Êîãäà ìû ýòî ïîêàæåì, ìû òåì ñàìûì íàéä¸ì è ðàç- ìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà C(m) ⊗ C(n) , ïîñêîëüêó ÷èñëî âåêòîðîâ ei ⊗ f j ðàâíî mn ( i = 1,..., m; j = 1,..., n ). Ïî îïðåäåëåíèþ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ìîíîìîâ (2.7.7) (e i ⊗ f j ek ⊗ f l ) = (ei ek )⋅ ( f j f l ) = δik δ jl ; ãäå ïðàâàÿ ÷àñòü îòëè÷íà îò íóëÿ ïðè i (2.7.11) = k , j = l , òî åñòü êîãäà âåêòîðû ei ⊗ f j , ek ⊗ f l ñîâïàäàþò, â ýòîì ñëó÷àå δ ii δ jj = 1 . Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî óêàçàòü îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ ïðîñòðàíñòâà C(m) ⊗ C(n) e1 ⊗ f 1 ; e1 ⊗ f 2 ;...; e1 ⊗ f n ; e2 ⊗ f1 ; e2 ⊗ f 2 ;...; e2 ⊗ f n ; ........................................... em ⊗ f1 ; em ⊗ f 2 ;...; em ⊗ f n . (2.7.12) Åñëè çàíóìåðîâàòü âåêòîðû áàçèñà â íàïèñàííîì âûøå ïîðÿäêå, òî ñòàíîâÿòñÿ ïîíÿòíûìè âûðàæåíèÿ: «áàçèñíûé âåêòîð íîìåð «ìàòðè÷íûé ýëåìåíò èç (i , j )-é ñòðîêè» è òàê äàëåå. (k ,l )», Êîíñòðóêöèè íàä ïðîñòðàíñòâàìè è îïåðàòîðàìè 69 §2.8. Òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå îïåðàòîðîâ C (m ) äåéñòâóåò îïåðàòîð M , à â C (n ) - îïåðàòîð N . Ïóñòü â Ïîñòðîèì ïî ýòèì îïåðàòîðàì íîâûé îïåðàòîð M ⊗ N , äåéñòâóþùèé â C(m) ⊗ C(n) . Òàê êàê íàì íàäî îïðåäåëèòü ëèíåéíûé îïåðàòîð, òî äîñòàòî÷íî óêàçàòü, êàê íóæíûé íàì îïåðàòîð äåéñòâóåò íà ìîíîìû; ïî ëèíåéíîñòè îí áóäåò òîãäà îïðåäåë¸í äëÿ âñåõ ïîëèíîìîâ (2.7.1). Ïóñòü L(x ⊗ y ) = Mx ⊗ Ny ; òîãäà îïåðàòîð (2.8.1) L , äåéñòâóþùèé íà C(m) ⊗ C(n) îáîçíà÷èì êàê L=M ⊗N (2.8.2) è íàçîâ¸ì òåíçîðíûì (êðîíåêåðîâûì) ïðîèçâåäåíèåì îïåðàòîðà ñòâóþùèì íà C (m ), è îïåðàòîðà N , äåéñòâóþùåãî íà C (n ) . Ôèêñèðóåì áàçèñû M , äåé- ei , f j , ei ⊗ f j è âûðàçèì ìàòðèöó îïåðàòîðà M ⊗ N ÷åðåç ìàòðèöû M è N . Åñëè Mei = M i j e j , (i = 1,..., m ), Nf k = N kl f l , ( j = 1,..., n ), òî L(ei ⊗ f k ) = Mei ⊗ Nf k = M ik ek ⊗ N lj f l = M ik N lj ek ⊗ f l . Òàêèì îáðàçîì, ìàòðè÷íûé ýëåìåíò îïåðàòîðà êå (k ,l ) è ñòîëáöå C(m) ⊗ C(n) ìàòðèöó (i , j ) ðàâåí (2.8.3) L , ñòîÿùèé â ñòðî- M ik N lj . Åñëè áàçèñíûå âåêòîðû â çàíóìåðîâàíû ïî ïðàâèëó (2.7.12), òî ìîæíî çàïèñàòü M ⊗ N â âèäå 70 Ãëàâà âòîðàÿ M 11 N11 . 1 M 1 N 1n M 12 N11 . 2 M 1 N 1n M 1m N11 . m M 1 N 1n . . . . . . ... . . . M 11 N n1 . 1 M 1 N nn M 12 N n1 . 2 M 1 N nn M 21 N11 . 1 M 2 N 1n M 22 N 11 . 2 M 2 N 1n M 1m N n1 . m M 1 N nn M 2m N11 . m M 2 N 1n . . . . . . ... . . . M 21 N n1 . 1 M 2 N nn M 22 N n1 . 2 M 2 N nn M 2m N n1 . m M 2 N nn M m1 N 11 . M m1 N n1 ... . . . n 1 1 M m N 1 . M m N nn M m2 N 11 . M m2 N n1 ... . . . n 2 2 M m N 1 . M m N nn ... ... M mm N11 . M mm N n1 ... . . . m n m M m N 1 . M m N nn (2.8.4) Ìàòðèöà (2.8.4) íàçûâàåòñÿ êðîíåêåðîâûì ïðîèçâåäåíèåì ìàòðèö M ik è N lj . Åñëè îïåðàòîðû M è N óíèòàðíû, òî è îïåðàòîð L = M ⊗ N óíèòàðåí. Ïðîâåðèì óñëîâèå óíèòàðíîñòè (1.13.5); â ñëåäóþùåì âû- ∑ ( ) ÷èñëåíèè îçíà÷àåò ñóììèðîâàíèå ïî âñåì ïàðàìåòðàì i,j i = 1,..., m ; j = 1,..., n : L(( ∑ ( ) i,j) k ,l ) i,j L((is,,jt )) = ∑ M ik N l j M si N t j = (i , j ) = ∑ M ki M si ⋅ ∑ N l j N t j = σ ks σ lt , i j ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. Êîíñòðóêöèè íàä ïðîñòðàíñòâàìè è îïåðàòîðàìè 71 §2.9. Ïðîèçâåäåíèå ïðîèçâîëüíîãî ÷èñëà ïðîñòðàíñòâ Ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå ëþáîãî ÷èñëà ïðîñòðàíñòâ C (n ) = C (n1 ) ⊗ C (n2 ) ⊗ ... ⊗ C (n s ) , n = n1n2 ...n s , (2.9.1) âåêòîðû êîòîðîãî èìåþò âèä 1 ∑x s j ⊗ ... ⊗ x j , (2.9.2) j ãäå x - âåêòîð èç C (ni ) . i Ïî îïðåäåëåíèþ ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà 1 1 i s i s = x ⊗ ... ⊗ x ′⊗ ... ⊗ x + x ⊗ ... ⊗ x ′′⊗ ... ⊗ x , 1 2 1 2 s s λ x ⊗ x ⊗ ... ⊗ x = x ⊗ λ x ⊗ ... ⊗ x = 1 2 s = ... = x ⊗ x ⊗ ... ⊗ λ x . 1 i i s x ⊗ ... ⊗ x ′+ x ′′ ⊗ ... ⊗ x = (2.9.3) Çàìåíà ëåâîé ÷àñòè òàêîãî ðàâåíñòâà ïðàâîé èëè íàîáîðîò, åñòü ýëåìåíòàðíàÿ îïåðàöèÿ íàä ïîëèíîìîì (2.9.2). Ïîëèíîìû ñ÷èòàþòñÿ ðàâíûìè, åñëè ïåðåâîäÿòñÿ äðóã â äðóãà ýëåìåíòàðíûìè îïåðàöèÿìè. Äåéñòâèÿ íàä âåêòîðàìè èç C (n ) (òî åñòü íàä ïîëèíîìàìè (2.9.2), ñðåäè êîòîðûõ ðàâíûå îòîæäåñòâëÿþòñÿ è ñ÷èòàþòñÿ îäíèì è òåì æå âåêòîðîì) îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëàìè 72 Ãëàâà âòîðàÿ s x j ⊗ ... ⊗ x j = ∑ x j ⊗ ... ⊗ x j ; j =1 j = p +1 j =1 1 1 s s λ ∑ x j ⊗ ... ⊗ x j = ∑ λ x j ⊗ ... ⊗ x j = j j (2.9.4) 1 s = ... = ∑ x j ⊗ ... ⊗ λ x j ; j s 1 1 s s k k ∑ x ′j ⊗ ... ⊗ x ′j ∑ x ′j′ ⊗ ... ⊗ x ′j′ = ∑∏ xi′ x ′j′ . j i , j k =1 j p 1 ∑x s j ⊗ ... ⊗ x j + p+q ∑ 1 s Íàêîíåö, åñëè â êàæäîì ïðîñòðàíñòâå p+q 1 C (ni ) äåéñòâóåò îïåðàòîð Li , òî ìîæíî îïðåäåëèòü òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå L = L1 ⊗ L2 ⊗ ... ⊗ Ls (2.9.5) ýòèõ îïåðàòîðîâ, äåéñòâóþùèõ íà ìîíîìû ïî ïðàâèëó: 1 1 2 s s L x ⊗ ... ⊗ x = L1 x ⊗ L2 x ⊗ ... ⊗ Ls x . (2.9.6) Òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå ëþáîãî ÷èñëà óíèòàðíûõ îïåðàòîðîâ åñòü óíèòàðíûé îïåðàòîð.