Классическое определение вероятности

ww
w.
Си m
a
вк te
ов m
a
а te
Е. m
О .r
. u
Классическое определение вероятности
1. Брошены 3 монеты. Найти вероятность того, что
1) A — 1-я упала "гербом"вверх,
2) B — выпало ровно 2 герба,
3) C — выпало не больше 2 гербов.
Ответ: P (A) = 1/2, P (B) = 3/8, P (C) = 7/8.
2. Куб, все грани которого окрашены, распилен на 1000 кубиков одинакового размера, которые затем тщательно перемешаны. Найти
вероятность того, что наудачу взятый кубик имеет окрашенных
граней 1) одну, 2) две, 3) три.
Ответ: P1 = 0, 384, P2 = 0, 96, P (C) = 0, 008.
3. Брошены 2 игральные кости. Найти вероятность того, что
1) A — сумма выпавших очков не больше 6,
2) B — хотя бы на одной из костей выпала 3,
3) P (A + B), P (AB).
Ответ: P (A) = 15/36, P (B) = 11/36, P (AB) = 5/36,
P (A + B) = 21/36.
4. Брошены 2 игральные кости. Найти вероятность того, что
1) сумма выпавших очков равна 8, а разность 4,
2) сумма выпавших очков равна 5, а произведение 4.
Ответ: p1 = p2 = 1/18.
5. Брошены 3 игральные кости. Найти вероятность того, что
1) A — сумма выпавших очков равна 5,
2) B — на всех костях выпало одинаковое число очков,
3) P (A + B), P (AB).
Ответ: P (A) = P (B) = 1/36, P (AB) = 0, P (A + B) = 1/18.
6. Ребенок, играя кубиками, на которых написаны буквы М, М, Т, Т,
А, А, А, К, И, Е, сложил слово МАТЕМАТИКА. Можно ли считать,
что ребенок грамотный?
Ответ: вероятность сложить слово случайно p ≈ 6, 6 · 10−6 , значит,
можно считать, что ребенок грамотный.
7. На каждой из 5 одинаковых карточек напечатана 1 из 5 букв: О,
П, Р, С, Т. Найти вероятность того, что на карточках, разложенных в произвольном порядке, можно будет прочесть слов СПОРТ.
Ответ: p = 1/120.
1
ww
w.
Си m
a
вк te
ов m
a
а te
Е. m
О .r
. u
8. На каждом из 6 одинаковых кубиков напечатана 1 из 6 букв: А, А,
А, Н, Н, С. Найти вероятность того, что на кубиках, разложенных
в произвольном порядке, можно будет прочесть слов АНАНАС.
Ответ: p = 0, 1.
9. Лифт начинает движение с 7 пассажирами и останавливается на 10
этажах. Какова вероятность, что никакие два пассажира не выйдут
на одном этаже?
Ответ: p ≈ 0, 06.
10. В группе 10 студентов. Какова вероятность того, что
1) у всех студентов день рождения летом;
2) у всех студентов день рождения не летом;
3) не у всех студентов день рождения летом.
Ответ: p1 = (0, 25)10 , p2 = (0, 75)10 , p3 = 1 − (0, 25)10 .
11. В некотором городе происходит 7 катастроф в неделю. Найти вероятность того, что каждый день происходит одна катастрофа.
Ответ: p ≈ 6, 12 · 10−3 .
12. Числа 1, 2, . . . , n расставлены случайным образом. Предполагая,
что различные расположения чисел равновероятны, найти вероятность того, что числа 1, /2, /3 расположены в порядке возрастания,
но не обязательно рядом.
Ответ: p = 1/6.
Геометрическое определение вероятности
1. Двое друзей приходят в читальный зал в период от 11 до 17 часов.
Один сидит 2 часа, другой 3 часа. Найти вероятность того, что
студенты встретятся.
Ответ: p ≈ 0, 653.
2. Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время
прихода пароходов независимо и равновозможно в течение данных
суток. Определить вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого
парохода 1 час, а второго — 2 часа.
Ответ: p ≈ 0, 121.
2
ww
w.
Си m
a
вк te
ов m
a
а te
Е. m
О .r
. u
3. Точка (x, y) равномерно распределена в квадрате со стороной 2.
Найти вероятность того, что расстояние от точки до центра квадрата не превышает 1.
Ответ: p = π/4.
4. Параметры p и q заключены в пределах: 0 ≤ p ≤ 2, −1 ≤ q ≤
2. Найти вероятность того, что уравнение x2 + px + q = 0 имеет
действительные корни, сумма которых больше или равна (−1).
Ответ: p = 13/78.
5. Параметры p и q заключены в пределах: 0 ≤ p ≤ 4, 0 ≤ q ≤
4. Найти вероятность того, что уравнение x2 + px + q = 0 имеет
комплексные√корни, произведение которых меньше 1.
Ответ: p = 3/4.
6. Наудачу взяты два положительных числа x и y, каждое из которых
не превышает 1. Найти вероятность того, что сумма x + y будет не
больше 1, а произведение xy не меньше 0.09.
Ответ: p ≈ 0, 2.
7. Наудачу взяты два положительных числа x и y, каждое из которых
не превышает 2. Найти вероятность того, что произведение xy будет
не больше 1, а частное x/y не больше 2.
Ответ: p ≈ 0, 38.
8. На отрезке длины L наудачу поставлены 2 точки x и y. Найти вероятность того, что
1) точка x ближе к точке y, чем к левому концу отрезка;
2) точка x дальше от точки y, чем от середины отрезка.
Ответ: p1 = 3/4, p2 = 5/8.
9. На отрезок OA числовой оси длины L наудачу поставлена точка B.
Найти вероятность того, что меньший из отрезков OB и BA имеет
длину, большую, чем L/3.
Ответ: p = 1/3.
10. Монету радиуса 1 см бросают на плоскость, разграфленную квадратной сеткой линий со стороной квадрата 4 см.
1) Найти вероятность того, что монета окажется внутри одного из
квадратов сетки (событие A).
2) Какова вероятность того, что до первого появления события A
придется сделать от 2 до 4 бросков?
Ответ: p1 = 1/4, p2 ≈ 0, 434.
3
ww
w.
Си m
a
вк te
ов m
a
а te
Е. m
О .r
. u
Теоремы сложения и умножения вероятностей
1. Вероятность того, что на тесте по биологии учащийся О. верно решит больше 11 задач, равна 0,67. Вероятность того, что О. верно
решит больше 10 задач, равна 0,74. Найдите вероятность того, что
О. верно решит ровно 11 задач.
Ответ: p = 0, 07.
2. Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит
больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
Ответ: p = 0, 08.
3. Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А.
выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур.
Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.
Ответ: p = 0, 156.
4. На фабрике керамической посуды 90% произведенных тарелок не
имеют дефектов. При контроле качества продукции выявляется
80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка имеет дефект.
Ответ: p ≈ 0, 022.
5. ОТК проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что
изделие стандартно, равна 0.9. Найти вероятность того, что из двух
проверенных изделий только одно стандартное.
Ответ: p = 0, 18.
6. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0.7, а для
второго - 0.8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадет только один из стрелков.
Ответ: p = 0, 6.
7. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна
0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется
4
ww
w.
Си m
a
вк te
ов m
a
а te
Е. m
О .r
. u
в обоих автоматах.
Ответ: p = 0, 52.
8. Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется высшего сорта, равна 0,8. Найти вероятность того, что из трех проверенных
изделий только два изделия высшего сорта.
Ответ: p = 0, 384.
9. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная,
причём погода, установившись утром, держится неизменной весь
день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой
же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране
будет отличная погода.
Ответ: p = 0, 392.
10. Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0,46. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым из орудий, если известно, что для второго орудия
эта вероятность равна 0,7.
Ответ: p = 0, 6.
11. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах.
Известно, что 40% яиц из первого хозяйства - яйца высшей категории, а из второго хозяйства - 20% яиц высшей категории. Всего
высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того,
что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.
Ответ: p = 0, 75.
12. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда
выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей - 1 очко, если проигрывает - 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся
выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.
Ответ: p = 0, 32.
13. Устройство содержит два независимо работающих элемента, вероятности отказа которых равны 0.05 и 0.08 соответственно. Найти
5
ww
w.
Си m
a
вк te
ов m
a
а te
Е. m
О .r
. u
вероятность того, что устройство откажет, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент.
Ответ: p = 0, 126.
14. Для разрушения моста достаточно попадания одной авиабомбы.
Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него
сбросили 4 бомбы, вероятности попадания которых равны 0,3; 0,4;
0,5; 0,6 соответственно.
Ответ: p = 0, 916.
15. Вероятность хотя бы одного попадания стрелком в мишень при
трех выстрелах равна 0,936. Найти вероятность попадания при одном выстреле.
Ответ: p = 0, 6.
16. Вероятность успеха в одном испытании равна 0.1. Сколько испытаний нужно провести, чтобы вероятность хотя бы одного успеха
была не меньше 0.5?
Ответ: n ≥ 7.
17. Вероятность попадания в мишень стрелком при одном выстреле
равна 0,8. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с
вероятностью, меньшей 0,4, можно было ожидать, что не будет ни
одного промаха?
Ответ: n ≥ 5.
18. Сколько нужно взять случайных чисел, чтобы число 6 появилось
хотя бы один раз с вероятностью, не меньшей 1) 0, 7, 2) 0, 9? (Случайными числами, если не указано иное, называют реализацию последовательности независимых испытаний с равновероятными исходами 1, 2, . . . , 9.)
Ответ: n1 = 12, n2 = 22.
19. В некоторой лотерее вероятность выигрыша на один билет равна
1/5. Предполагая, что выигрыши на различные билеты независимы, определить число билетов n, которое нужно купить, чтобы вероятность получения хотя бы одного выигрыша была не меньше 1)
0, 65, 2) 0, 9, 3) 0, 99.
Ответ: n1 = 5, n2 = 11, n3 = 21.
20. В читальном зале имеется 6 учебников по теории вероятностей, из
которых 3 в переплете. Библиотекарь наудачу взял два учебника.
6
ww
w.
Си m
a
вк te
ов m
a
а te
Е. m
О .r
. u
Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в переплете.
Ответ: p = 0, 2.
21. Среди 100 лотерейных билетов есть 5 выигрышных. Найти вероятность того, что 2 наудачу выбранные билета окажутся выигрышными.
Ответ: p = 1/495.
22. Студент выучил 20 вопросов из 25. Найти вероятность того, что из
3 предложенных ему на экзамене вопросов он знает 1) все 3; 2) хотя
бы два вопроса.
Ответ: p1 ≈ 0, 496, p2 ≈ 0, 909.
23. В первом ящике находится 5 белых, 11 черных и 8 красных шаров,
во втором — 10 белых, 8 черных, 6 красных шаров. Из каждого
ящика достали по одному шару. Какова вероятность, что оба шара
одного цвета?
Ответ: p ≈ 0, 323.
24. Набирая номер телефона, абонент забыл последние 3 цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что он набрал правильный номер.
Ответ: p = 1/720.
25. Стрелки, имея каждый по 3 патрона, стреляют по очереди. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого
стрелка равна 0.7, а для второго - 0.8. Попавший первым получает
приз. Найти вероятность того, что приз получит первый стрелок.
Ответ: p ≈ 0, 745.
26. У человека в кармане 5 ключей, из которых только один подходит
к его двери. Ключи последовательно извлекаются (без возвращения), пока не появится нужный ключ. Найти вероятность того, что
нужный ключ появится при третьим по счету.
Ответ: p = 0, 2.
27. Вероятность попадания в мишень каждым из двух стрелков равна
0, 3. Стрелки стреляют по очереди, причем каждый должен сделать по два выстрела. Попавший в мишень первым получает приз.
Найти вероятность того, что
1) первый стрелок получит приз,
2) кто-то из стрелков получит приз.
Ответ: p = 0, 447, p2 = 0, 7599.
7
ww
w.
Си m
a
вк te
ов m
a
а te
Е. m
О .r
. u
28. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель
не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели
при первом выстреле равна 0, 4, а при каждом последующем - 0, 6.
Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0, 98?
Ответ: 5.
29. Два игрока поочередно извлекают шары (без возвращения) из урны, содержащей 2 белых и 4 черных шара. Выигрывает тот, кто
первым вынет белый шар. Найти вероятность выигрыша участника, начавшего игру.
Ответ: p = 3/5.
30. Два игрока поочередно извлекают шары (без возвращения) из урны, содержащей 2 белых шара, 4 черных и 1 красный. Выигрывает
тот, кто первым вынет белый шар. Если появляется красный шар,
то объявляется ничья. Найти 1) вероятность выигрыша участника,
начавшего игру, 2) вероятность выигрыша второго участника, 3)
вероятность, что игра закончится вничью.
Ответ: p1 = 44/105, p2 = 26/105, p3 = 1/3.
31. Монету бросают до тех пор, пока два раза подряд она не выпадет
одной и той же стороной. Найти вероятность того, что 1) опыт закончится не более, чем за 4 бросания, 2) опыт закончится за четное
число бросаний.
Ответ: p1 = 7/8, p2 = 2/3.
32. Две игральные кости бросают до тех пор, пока впервые на двух
костях не выпадет сумма очков, меньшая 6. Какова вероятность
того, что при последнем бросании сумма очков не меньше 3? Ответ: p = 0, 9.
33. Две монеты бросают до тех пор, пока не выпадет герб хотя бы на
одной из них. Найти вероятность того, что будет произведено n
бросаний n ∈ N.
Ответ: p = (1/4)n−1 (3/4).
8
ww
w.
Си m
a
вк te
ов m
a
а te
Е. m
О .r
. u
Задача о выборке
Число сочетаний из n элементов по k элементов:
Cnm =
n!
m!(n − m)!
— то, сколькими способами из n элементов можно выбрать m элементов, не учитывая порядок выбора.
Свойства:
1) 0! = 1 (по определению);
(n−m)
2) Cnm = Cn
;
n
0
3) Cn = Cn = 1.
Из урны, содержащей M белых и N − M черных шаров, наудачу выбирают n шаров. Тогда вероятность того, что среди выбранных шаров
окажется ровно m белых вычисляется по формуле:
CMm · CNn−m
−M
p=
.
n
CN
1. В ящике 5 белых и 7 черных шаров. Достали 6 шаров. Найти вероятность того, что среди них 2 белых и 4 черных.
Ответ: p ≈ 0, 379.
2. В группе учится 18 человек. Среди них — 3 отличника, 7 хорошистов, остальные учатся посредственно. Комиссия случайным образом выбрала для тестирования 5 человек. Найти вероятности:
1) среди них окажутся только хорошисты и отличники;
2) среди них окажется хотя бы один отличник.
Ответ: p1 ≈ 0, 029, p2 ≈ 0, 650.
3. В группе из 30 учеников на контрольной работе 6 учеников получили оценку "5" , 10 - "4" , 9 - "3" , остальные - "2" . К доске вызваны
три ученика. Найти вероятность того, что
1) все трое имеют оценку "2" за контрольную работу;
2) двое из них имеют оценку "5" , один - "3" за контрольную работу;
3) все три ученика имеют положительную оценку (не "2") за к.р.
Ответ: p1 ≈ 2, 463 · 10−3 , p2 ≈ 0, 033, p3 ≈ 0, 567.
4. Четырем игрокам раздали поровну 36 карт. Полагая все наборы
розданных карт равновероятными, найти вероятности:
9
ww
w.
Си m
a
вк te
ов m
a
а te
Е. m
О .r
. u
1) у первого игрока нет ни тузов, ни королей;
2) первый и второй игроки не получили тузов;
3) все тузы у первого игрока, а все короли у второго;
4) все тузы у одного из игроков;
5) у первого игрока есть хотя бы один туз.
Ответ: p1 ≈ 0, 073, p2 ≈ 0, 052, p3 ≈ 7, 495 · 10−6 , p4 ≈ 8, 556 ·
10−3 , p5 ≈ 0, 702.
5. В конверте среди 100 фотокарточек находится одна разыскиваемая.
Из конверта наудачу извлечены 10 карточек. Найти вероятность
того, что среди них окажется нужная.
Ответ: p = 0, 1.
6. В ящике 100 деталей, из них 10 бракованных. Наудачу извлечены 4
детали. Найти вероятность того, что среди них 1) нет бракованных;
2) нет годных.
Ответ: p1 ≈ 0, 652, p2 ≈ 5, 355 · 10−5 .
7. В партии изделий 80 исправных и 10 бракованных. Найти вероятность того, что среди 5 проданных изделий 1) ровно 2 бракованных;
2) нет бракованных; 3) хотя бы одна бракованная.
Ответ: p1 ≈ 0, 084, p2 ≈ 0, 547, p3 ≈ 0, 453.
8. В группе 12 студентов, из которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди
отобранных студентов 5 отличников.
Ответ: p ≈ 0, 255.
9. Из колоды в 36 карт выбираем 5. Найти вероятность того, что
1) среди них 2 бубновых,
2) в выборке 2 карты черной масти.
Ответ: p1 ≈ 0, 279, p2 ≈ 0, 331.
10. В коробке находится 18 ручек: 10 синих, 4 красных и 4 черных.
Наугад взяли 5 ручек. Найти вероятность того, что среди взятых
ручек:
1) 2 красные и 1 синяя;
2) хотя бы одна красная.
Ответ: p1 ≈ 0, 042, p2 ≈ 0, 766.
11. В ящике 10 черных и 5 белых шаров. Достаем шары по одному.
Найти вероятность того, что последний шар белый.
Ответ: p = 1/3.
10
ww
w.
Си m
a
вк te
ов m
a
а te
Е. m
О .r
. u
12. Имеется 100 карточек с номерами от 1 до 100. Выбираем 70 карточек. Найти вероятность того, что максимальный номер среди выбранных — 98.
Ответ: p ≈ 0, 063.
13. В чулане имеется n пар ботинок. Из них случайно отбирается 2m
ботинок (2m < n). Найти вероятность того, что среди отобранных
ботинок: 1) нет парных; 2) имеется ровно 1 пара.
2m−2
n · 22m−2 · Cn−1
22m · Cn2m
Ответ: p1 =
,
p
=
.
2
2m
2m
C2n
C2n
Формула Бернулли
Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие A ("успех") происходит с одной и той же вероятностью
p и не происходит с вероятностью q = 1 − p. Тогда вероятность того, что в n испытаниях произойдет ровно k успехов, вычисляется по
формуле:
pn (k) = Cnk pk q n−k
1. Производится 4 выстрела по мишени. Вероятность попадания при
одном выстреле равна 0.75. Найти вероятность того, что за 4 выстрела будет ровно 2 попадания. Какова вероятность хотя бы одного попадания?
Ответ: p1 ≈ 0, 211, p2 ≈ 0, 996.
2. Два равносильных противника играют в шахматы. Что вероятнее:
выиграть 2 партии из 4, или 3 партии из 6 (ничьи не учитываются)?
Ответ: p1 = 0, 375, p2 = 0, 3125, p1 > p2 .
3. Найти вероятность того, что при бросании 6 игральных костей
"1"выпадет 1) ровно 1 раз; 2) ровно 2 раза; 3) хотя бы 1 раз.
Ответ: p1 ≈ 0, 402, p2 ≈ 0, 201, p3 ≈ 0, 665.
4. На заводе 20 цехов. Вероятность аварии в одном цехе равна 0.1.
Найти вероятность того, что будет
1) ровно 2 аварии,
2) не больше 2 аварий,
3) хотя бы одна авария.
Ответ: p1 ≈ 0, 285, p2 ≈ 0, 677, p3 ≈ 0, 878.
11
ww
w.
Си m
a
вк te
ов m
a
а te
Е. m
О .r
. u
5. В семье пять детей. Найти вероятность того, что среди этих детей:
1) два мальчика; 2) не более двух мальчиков; 3) более двух мальчиков. Вероятность рождения мальчика принять равной 0,51.
Ответ: p1 ≈ 0, 306, p2 ≈ 0, 481, p3 ≈ 0, 519.
6. В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность, что он в данный момент включен, равна 0,8. Найти вероятность того, что в
данный момент 1) включено 4 мотора; 2) включен хотя бы 1 мотор.
Ответ: p1 = 0, 24576, p2 ≈ 0, 999936.
7. Три монеты подбросили 10 раз. Найти вероятность того, что 3 "герба" появятся в 5 испытаниях.
Ответ: p1 ≈ 3, 944 · 10−3 .
8. Баскетболист производит 15 бросков по корзине. Вероятность попадания при одном броске равна 0.8. Найти вероятность того, что
он попадет
1) 10 раз,
2) не менее 13 раз.
Ответ: p1 ≈ 0, 103, p2 ≈ 0, 398.
9. Стрелок стреляет в мишень 5 раз. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0.6. Найти вероятность того, что число удачных выстрелов больше, чем число неудачных.
Ответ: p = 0, 68256.
10. Студент знает каждый из экзаменационных вопросов с одной и той
же вероятностью p. Экзамен сдан, если студент правильно ответил
не менее, чем на половину вопросов билета. Лектор предлагает на
выбор два типа билетов: в первом содержится по два вопроса в билете, во втором - по четыре. Билет какого типа предпочтительнее
(выше вероятность сдать экзамен)?
Ответ: если p > 2/3, то предпочтительнее билет с четырьмя вопросами, если p = 2/3, то все равно, если p < 2/3, то предпочтительнее
билет с двумя вопросами.
11. Два человека бросают монету по n раз. Найти вероятность того,
n
C2n
.
что у них выпадет одинаковое число гербов. Ответ: p = 2n
2
12. Найти вероятность того, что в n испытаниях схемы Бернулли с
вероятностью успеха p появятся m + k успехов, причем k успехов
появятся в последних k испытаниях.
m
Ответ: p = Cn−k
pm+k (1 − p)n−m−k .
12
ww
w.
Си m
a
вк te
ов m
a
а te
Е. m
О .r
. u
13. Найти вероятность того, что в 2n испытаниях схемы Бернулли с
вероятностью успеха p появятся m + n успехов, причем все испытания с четными номерами закончатся успехом.
Ответ: p = Cnm pn+m (1 − p)n−m .
Формула полной вероятности. Формула Байеса
1. Имеется два ящика. В первом ящике 2 белых и 7 черных шаров,
во втором — 3 белых и 1 черный шар. Из первого ящика во второй
переложили 1 шар, а затем из второго ящика достали 1 шар.
1) Найти вероятность того, что из второго ящика достали белый
шар.
2) Если известно, что из второго ящика достали белый шар, найти вероятность того, что из первого ящика во второй переложили
черный шар.
Ответ: p1 ≈ 0, 644, p2 ≈ 0, 724.
2. Имеются две партии деталей 12 и 10 штук, содержащие по одной
бракованной детали. Из первой партии во вторую переложили одну
деталь, а затем из второй партии взяли наугад одну деталь. Какова
вероятность, что она бракованная?
Ответ: p ≈ 0, 098.
3. В одной коробке лежат 4 красных и 6 синих шаров, в другой 3 красных и 4 синих. Из первой коробки во вторую переложили наугад 1
шар, а затем из второй коробки достали 2 шара.
1) Какова вероятность, что оба шара синие?
2) Если это событие произошло, то какова вероятность того, что
переложенный шар также был синим?
Ответ: p = 0, 3.
4. Из 19 студентов, пришедших на экзамен, 7 человек выучили все
40 экзаменационных вопросов, 5 человек выучили 30 вопросов, 4
человека выучили 20 вопросов, остальные — 10 вопросов. Студент
получил 2 вопроса и ответил на оба. Найти вероятность, что он
выучил не все вопросы.
Ответ: p ≈ 0, 360.
5. Из трамвайного парка случайным образом выходят 4 трамвая №10
и 8 трамваев №20. Какова вероятность того, что
1) первый по порядку вышедший трамвай будет №10?
13
ww
w.
Си m
a
вк te
ов m
a
а te
Е. m
О .r
. u
2) второй по порядку вышедший трамвай будет №10?
Ответ: p1 = p2 = 1/3.
6. Студент выучил 20 билетов из 30. Найти вероятность того, что он
получит знакомый билет, если он берет билет 1) первым; 2) вторым;
3) третьим.
Ответ: p1 = p2 = p3 = 2/3.
7. Игрок может выбрать наугад один из трех лабиринтов.Известно,
что вероятности его выхода из различных лабиринтов за 5 минут
равны соответственно 0.5, 0.6, 0.3.
1) Найти вероятность того, что игрок выйдет из любого лабиринта
за 5 минут.
2) Игрок вышел из лабиринта. Найти вероятность того, что он выбрал второй лабиринт.
Ответ: p1 ≈ 0, 467, p2 ≈ 0, 429.
8. Закодированный текст содержит 40% символов A и 60% символов
B. Вероятность ошибки при передаче A–символа равна 0.15, а при
передаче B–символа — 0.2.
1) Найти вероятность получения ошибочного символа.
2) Если принятый символ ошибочный, то какова вероятность, что
ошибка произошла в A–символе?
Ответ: p1 = 0, 18, p2 = 1/3.
9. Три завода выпускают одинаковую продукцию. Первый завод выпускает 20% всей продукции, второй — 30%, третий — 50%. Вероятность брака у первого завода 10%, у второго завода — 15%, у
третьего завода — 5%.
1) Найти вероятность того, что купленное изделие будет бракованным.
2) Если известно, что купленное изделие бракованное, найти вероятность того, что это продукция второго завода.
Ответ: p1 = 0, 09, p2 = 0, 5.
10. В специализированную больницу поступают в среднем 50% больных с заболеванием K, 30% — с заболеванием L, 20% — с заболеванием M . Вероятность полного излечения болезни K равна 0.7; для
болезней L и M эти вероятности равны 0.8 и 0.9 соответственно.
Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найти
вероятность того, что этот больной страдал заболеванием K.
Ответ: p ≈ 0, 455.
14
ww
w.
Си m
a
вк te
ов m
a
а te
Е. m
О .r
. u
11. В пирамиде 5 винтовок, 3 из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле
из винтовки с оптическим прицелом, равна 0.95; для винтовки без
оптического прицела эта вероятность равна 0.7. Найти вероятность
того, что мишень будет поражена, если стрелок производит один
выстрел из наудачу взятой винтовки.
Ответ: p = 0, 85.
12. Одна монета из 10000 имеет герб с обеих сторон. Остальные монеты
обычные. Наугад выбранная монета бросается 10 раз, причем при
всех бросаниях падает гербом кверху. С какой вероятностью можно
считать, что была выбрана монета с двумя гербами?
Ответ: p ≈ 0, 093.
13. При рентгеновском обследовании вероятность обнаружить заболевание туберкулезом у больного туберкулезом равна 0.9. Вероятность принять здорового человека за больного равна 0.01. Пусть
доля больных туберкулезом по отношению ко всему населению равна 0.001. Найти вероятность того, что человек здоров, если он был
признан больным при обследовании.
Ответ: p ≈ 0, 917.
14. Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови.
Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется
положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен
гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом.
Результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, отрицателен. Найдите вероятность того, что он в
действительности болен.
Ответ: p ≈ 5, 288 · 10−3 .
15. На сборку поступают однотипные изделия из трех цехов. Вероятности изготовления бракованного изделия первым, вторым и третьим
цехами равны 0.03, 0.01, 0.02 соответственно. Все поступающие на
сборку изделия складываются вместе. Из первого цеха поступает в
два раза больше изделий, чем из второго, а из третьего в три раза
меньше, чем из второго.
1) Найти вероятность того,что взятое наугад изделие будет бракованным.
15
ww
w.
Си m
a
вк te
ов m
a
а te
Е. m
О .r
. u
2) Взятое наугад изделие оказалось бракованным. Найти вероятность того, что оно изготовлено в третьем цехе.
Ответ: p1 = 0, 023, p2 ≈ 0, 087.
16. Три станка, производительности которых относятся как 1:2:3, выпускают одинаковые детали,при этом первый станок делает 80%
деталей высшего сорта, второй — 65%, третий —50%.
1) Найти вероятность того,что взятая наугад деталь будет высшего
сорта.
2) Взятая наугад деталь оказалась высшего сорта. Найти вероятность того, что она изготовлена на втором станке.
Ответ: p1 = 0, 6, p2 ≈ 0, 361.
17. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором
стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по тому же шоссе, как 2:3. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0.1; для легковой машины эта
вероятность равна 0.2. На заправку подъехала машина. Найти вероятность того, что это грузовая машина.
Ответ: p = 0, 75.
18. В группе спортсменов лыжников в 2 раза больше, чем бегунов, а бегунов в 3 раза больше, чем велосипедистов. Вероятность выполнить
норму для лыжников равна 0.9, для бегунов - 0.75, а для велосипедистов - 0.8. Найти вероятность того, что спортсмен, выбранный
наудачу, выполнит норму.
Ответ: p = 0, 845.
16