Лекция 3 Тема Содержание темы

Лекция 3
Тема
Основные теоремы и формулы теории вероятностей
Содержание темы
Алгебра событий.
Теоремы сложения вероятностей.
Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей.
Формула полной вероятности.
Схема Бернулли. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число.
Основные категории
I
I
I
I
I
I
алгебра множеств, алгебра событий,
сложение вероятностей,
условная вероятность, зависимые и независимые события,
умножение вероятностей,
схема Бернулли,
наивероятнейшее число.
Алгебра множеств
Множество — совокупность объектов произвольной природы.
Объект, входящий в состав рассматриваемого множества,
называется элементом этого множества.
Множества обозначаем заглавными (прописными) латинскими
буквами, элементы множеств — строчными латинскими
буквами.
Задание. Дать определения следующих понятий, обозначений,
операций:
1) a ∈ A, a ∈
/ A (a принадлежит A, a не принадлежит A);
2) A ⊂ B (A есть подмножество B);
3) A ∪ B, A ∩ B, A\B (объединение, пересечение, разность
множеств).
Алгебра множеств — совокупность множеств с операциями
объединения и пересечения.
Алгебра событий — это математическая модель
эксперимента
Вначале задается множество Ω всех элементарных событий.
Алгеброй событий называется система подмножеств множества
Ω, которые называются событиями. Алгебра событий должна
удовлетворять следующим требованиям:
I
I
I
I
I
все множество Ω является событием (называется
достоверным событием);
пустое множество ∅ является событием (называется
невозможным событием);
если A, B — события, то A ∩ B тоже событие (называется
произведением событий AB);
если A, B — события, то A ∪ B тоже событие (называется
суммой событий A + B);
сумма бесконечного, но счетного числа событий тоже
является событием.
Аксиоматическое определение вероятности
В аксиоматическом подходе события A и B называются
несовместными, если AB = ∅. Если задано конечное или счетное
число событий A1 , A2 , . . . , An , . . ., то они называются попарно
несовместными, если Ai Aj = ∅ для любых двух различных
номеров i, j.
Вероятность — это функция P на алгебре событий, которая
удовлетворяет следующим требованиям:
I
I
I
0 6 P (A) 6 1 для любого события A;
P (∅) = 0, P (Ω) = 1;
если A1 , A2 , . . . , An , . . . — конечный или счетный набор
попарно несовместных событий, то
X
X
P(
Ai ) =
P (Ai ).
i
i
Теоремы сложения вероятностей
Теорема 1. Вероятность суммы несовместных событий равна
сумме вероятностей этих событий:
P (A + B) = P (A) + P (B).
Теорема 2. Вероятность суммы произвольных событий:
P (A + B) = P (A) + P (B) − P (AB).
Эти утверждения следуют из аксиоматического определения
вероятности и хорошо видны на диаграмме:
Следствия теорем сложения
Следствие 1. Сумма вероятностей событий, образующих полную
группу, равна единице:
AB = BC = CA = ∅
⇒ P (A) + P (B) + P (C) = P (Ω) = 1.
A+B+C =Ω
Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий
равна единице:
P (A) + P (A) = 1.
Следствие
3.
Вероятность
вычисляется по формуле:
противоположного
события
P (A) = 1 − P (A).
Пример: Вероятность не сдать зачет по предмету для некоторого
студента равна 0,8. Какова вероятность сдать зачет?
P (A) = 0, 8
⇒
P (A) = 1 − P (A) = 0, 2
Условная вероятность
Определение. Вероятность события B, найденная при условии, что событие
A произошло, называется условной вероятностью события B (при условии
A) и обозначается через PA (B) или P (A|B).
Формулы условных вероятностей: если P (A) 6= 0 и P (B) 6= 0, то условные
вероятности вычисляются по формулам
P (B|A) =
P (AB)
,
P (A)
P (A|B) =
P (AB)
.
P (B)
Определение. Событие B называется независимым от события A, если
P (B|A) = P (B); событие B называется зависимым от A, если P (B|A) 6=
P (B).
Определение. Два события называются независимыми, если появление
одного из них не меняет вероятности наступления другого:
P (B|A) = P (B),
P (A|B) = P (A).
Вероятность независимых событий
Из данных определений вытекает, что A независимо от B тогда и только
тогда, когда B независимо от A. И то, и другое равносильно тому, что A и B
независимы, а из формул условной вероятности следует теорема умножения
вероятностей.
Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух
событий равна произведению вероятности одного из них на условную
вероятность другого, найденную в предположении, что первое
событие произошло:
P (AB) = P (A)P (B|A) = P (B)P (A|B).
События A и B независимы тогда и только тогда, когда вероятность
их произведения равна произведению их вероятностей
P (AB) = P (A)P (B).
Задание
Бросают два игральных кубика. Выяснить, зависимы или нет
события A = {сумма очков не более 9}, B = {сумма очков не
менее 5}.
Формула полной вероятности
Задание
Повторить определение полной группы событий.
Теорема (формула полной вероятности). Пусть дана полная
группа событий H1 , H2 , . . . , Hn и произвольное событие A.
Тогда
n
X
P (A) =
P (A|Hi )P (Hi ).
i=1
Пояснение на рисунке: A есть сумма несовместных событий
AH1 , AH2 , . . . , AHn .
Формула Байеса
Пусть дана полная группа событий H1 , H2 , . . . , Hn .
Такую группу часто называют (особенно в статистике)
конкурирующими гипотезами, поскольку такие события
описывают все возможные исходы, но что именно происходит
— неизвестно.
Если заранее имеются предположения о вероятностях гипотез,
то есть как-то вычислены P (Hi ), то произведя некоторое
испытание, в результате которого произошло событие A,
можно уточнить вероятность гипотезы Hi .
Теорема (формула Байеса). Пусть дана полная группа
событий H1 , H2 , . . . , Hn и известно, что произошло событие A.
Тогда
P (A|Hi )P (Hi )
.
P (Hi |A) =
P (A)
Примеры использования формул
Допустим, что магазин получает товар от двух фирмпроизводителей Π1 и Π2 в соотношении — 30% от первого
и 70% от второго. Известно, что фирма Π1 допускает
20% некондиционного товара, а фирма Π2 допускает 10%
некондиционного товара.
Задача 1. Какова вероятность, что взятая наугад единица
товара окажется бракованной?
Решение. Пусть событие A состоит в том, что взятая наугад
единица товара оказалась бракованной (некондиционной),
H1 , H2 — события, состоящие в том, что поставщиком служат
фирмы Π1 и Π2 соответственно. Тогда
P (H1 ) = 0.3,
P (H2 ) = 0.7,
P (A|H1 ) = 0.2,
P (A|H2 ) = 0.1.
По формуле полной вероятности находим
P (A) = P (A|H1 )P (H1 )+P (A|H2 )P (H2 ) = 0.2×0.3+0.1×0.7 = 0.13.
Задача 2. В условиях предыдущей задачи взятая наугад
единица товара оказалась бракованной. Какова вероятность,
что она поставлена первой фирмой?
Решение. В первой задаче мы уже нашли
P (H1 ) = 0.3, P (H2 ) = 0.7, P (A|H1 ) = 0.2, P (A|H2 ) = 0.1,
P (A) = P (A|H1 )P (H1 ) + P (A|H2 )P (H2 ) = 0.13.
По формуле Байеса
P (H1 |A) =
0.2 × 0.3
6
P (A|H1 )P (H1 )
=
=
≈ 0.46.
P (A)
0.13
13
Схема Бернулли
Схемой Бернулли называется следующий эксперимент.
Имеется некоторое испытание (опыт), в результате которого
определяется произошло некоторое событие (успех) или не
произошло (неудача). Предполагается, что все испытания
независимы и проводятся в совершенно одинаковых условиях.
Обозначения:
обычно
общее
количество
испытаний
обозначают через n, вероятность успеха в одном испытании
(всегда одинаковая) обозначается через p. Тогда вероятность
неудачи (которая обозначается через q) вычисляется как
вероятность противоположного события:
p+q =1
⇒
q = 1 − p.
Примеры: 1) неоднократное бросание монеты, успех –
выпадение герба, p = 1/2; 2) неоднократное бросание кубика,
успех – выпадение тройки, p = 1/6.
Формула Бернулли
Теорема (формула Бернулли) Пусть задана схема Бернулли
из n испытаний с вероятностью успеха p. Обозначим через
Pn (k) вероятность того, что в такой серии испытаний
произойдет ровно k успехов. Эта вероятность вычисляется по
формуле Бернулли
Pn (k) = Cnk pk q n−k ,
где q = 1 − p.
Пример. Какова вероятность, что при пяти бросаниях монеты
герб выпадет четыре раза?
Решение. Имеем схему Бернулли с n = 5, p = 1/2. Тогда
P5 (4) = C54 (1/2)4 (1/2)5−4 = 5 ×
5
1
1
=
≈ .
5
2
32
6
Наивероятнейшее число успехов
Рассматривается схема Бернулли из n испытаний с вероятностью
успеха p (с вероятностью неудачи q = 1 − p).
Определение. Наивероятнейшим числом в схеме Бернулли
называется число k0 наступлений успеха в n испытаниях, если
Pn (k0 ) > Pn (k)
∀k = 0, 1, . . . , n.
(вероятность появления k0 успехов больше либо равна вероятности
появления любого другого числа успехов).
Теорема. Наивероятнейшее число k0 определяется из неравенства
np − q 6 k0 6 np + p,
причем если np + p нецелое, то существует одно наивероятнейшее
число k0 , если же np + p целое, то существует два наивероятнейших
числа k0 = np + p и k0 = np − q.
Задание. Вероятность опоздания на лекцию одного студента равна
0,3. Найти наивероятнейшее число опоздавших из 10 человек и
вычислить вероятность этого числа.
Контрольные вопросы
1. Определение алгебры событий.
2. Аксиоматическое определение вероятности.
3. Теорема сложения вероятностей.
4. Чему равна сумма вероятностей
событий? полной группы событий?
противоположных
5. Определение условной вероятности; события зависимые и
независимые.
6. Теорема умножения вероятностей.
7. Формула полной вероятности.
8. Формула Байеса.
9. Определение схемы Бернулли. Формула Бернулли.
10. Определение и формула наивероятнейшего числа.