16. Ñõîäèìîñòü ïî÷òè íàâåðíîå è ñõîäèìîñòü ïî âåðîÿòíîñòè 16.1. Ïðåäâàðèòåëüíûå ñâåäåíèÿ Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (ξn ) ñõîäèòñÿ ïî÷òè íàâåðíîå (ñ âåðîÿòíîñòüþ 1) ê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå ξ, åñëè P{ω : ξn (ω) → ξ(ω) ïðè n → ∞} = 1. Îáîçíà÷åíèå: ξn → ξ ï.í. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (ξn ) ñõîäèòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå ξ, åñëè äëÿ ëþáîãî ε > 0 èìååò ìåñòî ñõîäèìîñòü P{ω : |ξn (ω) − ξ(ω)| ≥ ε} → 0, n → ∞. Îáîçíà÷åíèå: ξn →P ξ. Êðèòåðèé ñõîäèìîñòè ïî÷òè íàâåðíîå: n o ξn → ξ ï.í. ⇔ ∀ε > 0 P ω : sup |ξk (ω) − ξ(ω)| ≥ ε → 0, n → ∞. k≥n 16.2. Ïðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå Ïóñòü ξn → ξ è ξn → η ï.í. Äîêàçàòü, ÷òî P{ξ = η} = 1. Ñïðàâåäëèâ ëè àíàëîãè÷íûé ðåçóëüòàò äëÿ ñõîäèìîñòè ïî âåðîÿòíîñòè? Ïóñòü ξn → ξ è ηn → η ï.í. Äîêàçàòü, ÷òî a) aξn + bηn → aξ + bη ï.í. (a, b ∈ R); á) |ξn | → |ξ| ï.í.; â) ξn ηn → ξη ï.í. Óñòàíîâèòü àíàëîãè÷íûå ðåçóëüòàòû äëÿ ñõîäèìîñòè ïî âåðîÿòíîñòè. Ïóñòü (ξn ) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí òàêàÿ, ÷òî äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñõîäèòñÿ ðÿä ∞ P P{|ξn − ξ| > ε} < ∞. Äîêàçàòü, ÷òî ξn → ξ ï.í. n=1 Èñïîëüçîâàòü êðèòåðèé ñõîäèìîñòè ïî÷òè íàâåðíîå. Ïóñòü a) ξn èìååò ðàñïðåäåëåíèå Áåðíóëëè ñ ïàðàìåòðîì pn ; á)∗ ξn ∼ Bin(n, pn ). Ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ íà pn äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (ξn ) èìååò ìåñòî ñõîäèìîñòü ïî âåðîÿòíîñòè? à) pn → 0 èëè pn → 1; á) npn → 0. Ïðèâåñòè è îáñóäèòü ïðèìåð, êîãäà ξn →P ξ, íî ξn 6→ ξ ï.í. 1. 2. 3. Óêàçàíèå. 4. Îòâåò. 5. 16.3. Äîìàøíåå çàäàíèå Ïóñòü (ξn ) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, P{ξn = eαn } = e−βn , P{ξn = e−αn } = 1 − e−βn . Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ α è β ïðè n → ∞ èìååò ìåñòî ñõîäèìîñòü ξn →P 0? Åñëè β = 0, òî α < 0; åñëè β > 0, òî α > 0. Ïóñòü ξn → a 6= 0 ï.í. Äîêàçàòü, ÷òî ξ1 → a1 ï.í. Óñòàíîâèòü àíàëîãè÷íûé ðåçóëüòàò äëÿ ñõîäèìîñòè ïî âåðîÿòíîñòè. ∗ Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξn ñõîäèòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè. Äîêàçàòü, ÷òî äèñïåðñèÿ ïðåäåëà ðàâíà 0. 6. Îòâåò. 7. n 8. 1