26. Ýëåìåíòû ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè-4 26.1. Ïðåäâàðèòåëüíûå ñâåäåíèÿ Ïóñòü H0 : θ = θ0 , H1 : θ = θ1 . ϕ ïðîâåðêè H0 ïðîòèâ H1 ñîñòîèò â íàõîæäåíèè ïî âûáîðî÷íûì äàííûì x çíà÷åíèÿ ôóíêöèè ϕ(x) è ïðèíÿòèè ãèïîòåçû H1 ñ âåðîÿòíîñòüþ ϕ(x)R è ãèïîòåçû H0 ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 − ϕ(x). R Îáîçíà÷èì p0 (x) = p(x; θ0 ), p1 (x) = p(x; θ1 ), E 0 ϕ = ϕ(x)p0 (x) dx, E 1 ϕ = ϕ(x)p1 (x) dx. Ω Ω Çíà÷åíèå E 0 ϕ åñòü (ïðèíÿòèå H1 , êîãäà íà ñàìîì äåëå âåðíà H0 ). Çíà÷åíèå 1 − E 1 ϕ åñòü (ïðèíÿòèå H0 , êîãäà íà ñàìîì äåëå âåðíà H1 ). Êðèòåðèé èìååò α, åñëè âåðîÿòíîñòü îøèáêè I ðîäà ðàâíà α. óðîâíÿ çíà÷èìîñòè α îáëàäàåò ìèíèìàëüíîé âåðîÿòíîñòüþ îøèáêè II ðîäà. îñíîâíàÿ ãèïîòåçà àëüòåðíàòèâíàÿ ãèïîòåçà -êðèòåðèé âåðîÿòíîñòü îøèáêè I ðîäà âåðîÿòíîñòü îøèáêè II ðîäà óðîâåíü çíà÷èìîñòè Îïòèìàëüíûé êðèòåðèé Òåîðåìà 1 (Íåéìàí-Ïèðñîí). ϕ∗ -êðèòåðèé ñ ôóíêöèåé 0 ≤ α ≤ 1 ñóùåñòâóþò 1, p1 (x) > cp0 (x), ε, p1 (x) = cp0 (x), ϕ∗ (x) = 0, p1 (x) < cp0 (x), Äëÿ ëþáîãî îïðåäåëÿåò îïòèìàëüíûé êðèòåðèé ñ óðîâíåì çíà÷èìîñòè òàêèå ÷èñëà c≥0 è 0 ≤ ε ≤ 1, ÷òî α. 26.2. Ïðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå 1. Ïóñòü X ÷èñëî èçþìèíîê, ñîäåðæàùèõñÿ â áóëî÷êå. Êàê ñëåäóåò èç ðàíåå ðåøåííîé çàäà÷è (ñì. òåìó ¾Ñõåìà Áåðíóëëè-2¿), ðàñïðåäåëåíèå X ïîä÷èíÿåòñÿ çàêîíó Ïóàññîíà, ò.å. P(X = k) = λk! e−λ ñ íåêîòîðûì λ > 0. Òðåáóåòñÿ ïðîâåðèòü îñíîâíóþ ãèïîòåçó H0 : λ = 4 ïðîòèâ àëüòåðíàòèâíîé ãèïîòåçû H1 : λ = 2 íà óðîâíå çíà÷èìîñòè α = 0.3. Ïîñòðîéòå ñîîòâåòñòâóþùèé îïòèìàëüíûé êðèòåðèé Íåéìàíà-Ïèðñîíà, íàéäèòå âåðîÿòíîñòü îøèáêè II ðîäà è ÷åòêî ñôîðìóëèðóéòå àëãîðèòì ïðîâåðêè ãèïîòåç, îñíîâàííûé íà ýòîì êðèòåðèè. x < 3, 1, 0.317, x = 3, Âåðîÿòíîñòü îøèáêè II ðîäà ðàâíà 0.266. Îòâåò. ϕ(x) = k 0, x > 3. 26.3. Äîìàøíåå çàäàíèå 2. Ïî ìèøåíè, âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â êîòîðóþ ðàâíà p, ïðîèçâîäÿòñÿ âûñòðåëû äî ïåðâîãî ïîïàäàíèÿ. Ïóñòü X ÷èñëî ñäåëàííûõ âûñòðåëîâ. Ïîñòðîéòå îïòèìàëüíûé êðèòåðèé Íåéìàíà-Ïèðñîíà äëÿ ïðîâåðêè íóëåâîé ãèïîòåçû H0 : p = 13 ïðîòèâ àëüòåðíàòèâíîé ãèïîòåçû H1 : p = 21 äëÿ óðîâíÿ çíà÷èìîñòè α = 0.3, íàéäèòå âåðîÿòíîñòü îøèáêè II ðîäà è ÷åòêî ñôîðìóëèðóéòå àëãîðèòì ïðîâåðêè ãèïîòåç, îñíîâàííûé íà ýòîì êðèòåðèè. 0.9, x = 1, Îòâåò. ϕ(x) = Âåðîÿòíîñòü îøèáêè II ðîäà ðàâíà 0.55. 0, x = 2, 3, . . . 1