Çàäà÷è ïî êóðñó Êîëìîãîðîâñêàÿ ñëîæíîñòü è åå ïðèëîæåíèÿ ×àñòü 1. Êîëìîãîðîâñêàÿ ñëîæíîñòü. 1. Äîêàçàòü, ÷òî óíèâåðñàëüíàÿ ôóíêöèÿ U (x, y) íå ÿâëÿåòñÿ âñþäó îïðåäåëåííîé. 2. Îáúÿñíèòå, ïî÷åìó ôóíêöèÿ ñëîæíîñòè K(x) îïðåäåëåíà äëÿ ëþáîãî x, à òàêæå, ïî÷åìó îíà íåîãðàíè÷åíà. 3. Äîêàçàòü ÷òî (a) K(0n |n) = 0(1), K(0n ) ≤ log n + 0(1), K(0n ) = K(n) + n + 0(1), ãäå 0n ñëîâî, ñîñòîÿùåå èç n íóëåé; K(2n ) ≤ log n+0(1) è K(22 ) ≤ log n + 0(1), ãäå 2n íàòóðàëüíîå ÷èñëî ñòåïåíü äâîéêè, ïîíèìàåìîå â îáû÷íîì ñìûñëå. (b) Ñóùåñòâóåò êîíñòàíòà c ≥ 0 òàêàÿ, ÷òî K(0n ) ≥ log n − c äëÿ áåñêîíå÷íî ìíîãèõ n. (c) K(x|l(x)) ≤ K(x) + 0(1) ≤ K(x|l(x)) + log l(x) + log log l(x) + + 2 log log log l(x) + 0(1). (d) K(x, x) = K(x) + 0(1); K(x, K(x)) = K(x) + 0(1). (e) K(x0) = K(x1) + 0(1) = K(0x) + 0(1) = K(1x) + 0(1) = = K(x) + 0(1). (f) K(x|y0) = K(x|y1) + 0(1) = K(x|0y) + 0(1) = K(x|1y) + + 0(1) = K(x|y) + 0(1). 4. Äîêàçàòü, ÷òî îïòèìàëüíûé ñïîñîá îïèñàíèÿ A(p) íå ÿâëÿåòñÿ âñþäó îïðåäåëåííîé ôóíêöèåé è äëÿ íåãî íå ñóùåñòâóåò ñîîòâåòñòâóþùåãî àëãîðèòìà êîäèðîâàíèÿ, êîòîðûé ïî ïðîèçâîëüíîé êîíå÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè x âûäàâàë áû êàêîé-íèáóäü ñàìûé êîðîòêèé êîä p, äëÿ êîòîðîãî A(p) = x. 5. Äîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ ñëîæíîñòè K(x) íå ÿâëÿåòñÿ ïåðå÷èñëèìîé ñíèçó, íî ÿâëÿåòñÿ ïåðå÷èñëèìîé ñâåðõó. 6. Äîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò êîíñòàíòà c òàêàÿ, ÷òî äëÿ ëþáîãî N íàéäåòñÿ ïàðà ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé (x, y), äëÿ êîòîðîé âûïîëíåíî l(x)+l(y) = N è K(x, y) ≥ N + log N − c. 7. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî n ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü x äëèíû n òàêàÿ, ÷òî çàìåíà íåêîòîðîãî áèòà â íåé íà ïðîòèâîïîëîæíûé ïðèâîäèò ê ïîñëåäîâàòåëüíîñòè x0 , ãäå K(x0 ) ≥ K(x) + log n − O(1). Ïðè ëþáîé òàêîé çàìåíå K(x0 ) ≤ K(x) + log n + O(log log n). 8. Ïóñòü K(x) ≥ n − c, c > 0, è x = yz , ãäå l(y) = l(z) = n/2. Òîãäà K(y) ≥ n/2 − O(log n) è K(z) ≥ n/2 − O(log n). 1 9. Ïðîâåñòè äîêàçàòåëüñòâî íåðàâåíñòâà (??). 10. Äîêàçàòü, ÷òî íåðàâåíñòâà K(x, y) ≤ K(x)+K(y|x)+O(1) è K(x, y) ≤ K(x) + K(y|x) + O(log log K(x, y)), à òàêæå íåðàâåíñòâî K(x, y) ≤ K(x) + K(y|x) + log K(x, y) + O(1) â îáùåì ñëó÷àå íåâåðíû. Ïðèâåñòè íåòðèâèàëüíûå ïðèìåðû ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, äëÿ êîòîðûõ ïåðâîå èç íåðàâåíñòâ âûïîëíåíî. 11. Ïóñòü A ïåðå÷èñëèìîå ìíîæåñòâî è ω = ω1 ω2 . . . åãî õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ãäå 1, åñëè i ∈ A, ωi = 0 â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Äîêàçàòü, ÷òî K(ω n |n) ≤ log n + O(1), ãäå ω n = ω1 ω2 . . . ωn . Îöåíèòü ñâåðõó K(ω n ). Êàê èçìåíÿòñÿ ýòè îöåíêè, åñëè ìíîæåñòâî A ðàçðåøèìî? 12. Äàíû äâà ñëîâà x è y äâà ñëîâà îäíîé äëèíû n. Îöåíèòü I(x : y) ñâåðõó è ïî âîçìîæíîñòè ïðèâåñòè îöåíêè ñíèçó â íàèõóäøåì ñëó÷àå: (a) x = 0101 . . . 01 è y = 1010 . . . 10 äëèíû 2n; (b) x = 0n è y = 1n/2 0n/2 ; (c) x = 0n/2 1n/2 è y = 1n/2 0n/2 ; (d) x = x1 . . . xn è x0 = x1 x1 . . . xn xn ; (e) x = uvw è y = usw, ñëîâà u, v, w, s äëèíû n; (f) x = uvw è y = svt, ñëîâà u, v, w, s, t äëèíû n; 13. Äîêàçàòü íåðàâåíñòâà: (a) K(x) ≤ K(xy) + 2 log K(x) + O(1); (b) K(x) ≤ K(xy) + 2 log K(y) + O(1); (c) ïðèâåñòè ïðèìåðû êîíå÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé x è y , äëÿ êîòîðûõ íåðàâåíñòâî K(x) ≤ K(xy) + O(1) íåâåðíî. Ïðèâåñòè ïðèìåðû ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé x äëèíû n, ó êîòîðûõ ñóùåñòâóþò ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè íà ïîðÿäîê áîëåå ñëîæíûå, ÷åì âñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. 14. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ïî÷òè ëþáîé áåñêîíå÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ω ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî m, ÷òî K(ω n ) ≥ n − m äëÿ áåñêîíå÷íî ìíîãèõ n. 15. Äîêàçàòü, ÷òî ñðåäè íàòóðàëüíûõ ÷èñåë îò 1 äî n íàéäåòñÿ ÷èñëî ñëîæíîñòè ≥ log n − 1. Îöåíèòü äîëþ ÷èñåë îò 1 äî n ñëîæíîñòü êîòîðûõ ≥ log n − c, ãäå c ≥ 1. 16. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî y ÷èñëî âñåõ x äëèíû n òàêèõ, ÷òî K(x|y) ≤ K(x) − m íå ïðåâîñõîäèò 2n−m+c , ãäå êîíñòàíòà c íå çàâèñèò îò m è y . 17. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ äþáûõ ñòðîê y, z, u äëèíû n íàéäåòñÿ ñòðîêà x äëèíû n òàêàÿ, ÷òî K(x|y) ≤ n − 2, K(x|z) ≤ n − 2 è K(x|u) ≤ n − 2. 18. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîé áåñêîíå÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ω áóäåò supn K(ω n |n) < ∞ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ω ÿâëÿåòñÿ âû÷èñëèìîé. 2 19. Ñóùåñòâóåò òàêàÿ êîíñòàíòà c, ÷òî äëÿ ëþáîé áåñêîíå÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ω âûïîëíåíî K(ω n ) ≤ n − log n + c äëÿ áåñêîíå÷íî ìíîãèõ n. 20. Ñóùåñòâóþò áåñêîíå÷íàÿ ω è êîíñòàíòà c òàêèå, ÷òî K(ω n ) ≥ n − 2 log n − c äëÿ âñåõ n. 21. Äîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò òàêàÿ êîíñòàíòà c, ÷òî äëÿ ëþáûõ x, n è k , åñëè èìååòñÿ ≥ 2k òàêèõ p, ÷òî A(p) = x è l(p) ≤ n, òî K(x|k) ≤ n − k + c (çäåñü A(p) îïòèìàëüíûé ñïîñîá îïèñàíèÿ). 22. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî áåçóñëîâíîãî ñïîñîáà îïèñàíèÿ A(p) ñóùåñòâóåò òàêàÿ êîíñòàíòà c, ÷òî äëÿ ëþáîãî x ÷èñëî åãî êðàò÷àéøèõ îïèñàíèé íå ïðåâîñõîäèò c. Óêàçàíèå: èñïîëüçîâàòü ïðåäûäóùóþ çàäà÷ó. Ñëó÷àéíîñòü ïî Ìàðòèí-Ëåôó 1. Äîêàçàòü, ÷òî ñëåäóþùèå ìíîæåñòâà áåñêîíå÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ÿâëÿþòñÿ ýôôåêòèâíî íóëåâûìè: (a) {0ω2 0ω3 0 · · · : ωi ∈ {0, 1}}; (b) {0∞ , 1∞ }; (c) ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç îäíîé âû÷èñëèìîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè; (d) ìíîæåñòâî âñåõ âû÷èñëèìûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé; (e) ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç âñåõ áåñêîíå÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ω òàêèõ, ÷òî K(ω n ) ≤ log n + O(1) äëÿ âñåõ n; (f) ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç âñåõ áåñêîíå÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ω òàêèõ, ÷òî K(ω n ) ≤ f (n) äëÿ âñåõ n. Äëÿ êàêèõ ôóíêöèé f ýòî âåðíî? 2. Äîêàæèòå, ÷òî îáúåäèíåíèå è ïåðåñå÷åíèå êîíå÷íîãî ÷èñëà ýôôåêòèâíî íóëåâûõ ìíîæåñòâ òàêæå ÿâëÿåòñÿ ýôôåêòèâíî íóëåâûì ìíîæåñòâîì. 3. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè íåêîòîðàÿ áåñêîíå÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ω = ω1 ω2 . . . ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé, òî (a) 0ω , 1ω , xω òàêæå ñëó÷àéíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ãäå x = x1 . . . xk êîíå÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü; (b) ω 0 = ω1 . . . ωn−1 x1 . . . xk ωn . . . òàêæå ñëó÷àéíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü; (ñ) òàêæå ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ ω 0 , ó êîòîðîé êàæäûé áèò ïðîòèâîïîëîæåí ñîîòâåòñòâóþùåìó áèòó ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ω ; (d) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ωn ωn+1 . . . ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé äëÿ ëþáîãî n; âåðíî è îáðàòíîå: äëÿ ëþáîãî n, åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ωn ωn+1 . . . ñëó÷àéíàÿ, òî ω1 ω2 . . . òàêæå ñëó÷àéíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. (e) ÿâëÿåòñÿ ëè ñëó÷àéíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âèäà ω1 ω1 ω2 ω2 . . . ? 3 4. Ïóñòü A ðàçðåøèìîå ìíîæåñòâî è α = α1 α2 . . . åãî õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Äîêàçàòü, ÷òî α íå ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ. 5. Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ω = ω1 ω2 . . . ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé è n1 < n2 < . . . âû÷èñëèìàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íîìåðîâ. Òîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ωn1 ωn2 . . . ñëó÷àéíàÿ. 6. Ïóñòü ω = ω1 ω2 . . . ñëó÷àéíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, à ïîñëåäîâàòåëüíîñòü α = α1 α2 . . . âû÷èñëèìàÿ. Òîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ω ⊕ α ñëó÷àéíàÿ. Çäåñü ω ⊕α = ω1 ⊕α1 ω2 ⊕α2 . . . è ⊕ ñëîæåíèå ïî ìîäóëþ 2 (0⊕0 = 0, 0 ⊕ 1 = 1, 1 ⊕ 1 = 0). 7. Ïóñòü A ïåðå÷èñëèìîå ìíîæåñòâî è ω = ω1 ω2 . . . åãî õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ãäå 1, åñëè i ∈ A, ωi = 0 â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Äîêàçàòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ω íå ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé. Ïîñòðîèòü òåñò Ìàðòèí-Ëåôà, êîòîðûé îòâåðãàåò òàêèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. 4