Ìîñêîâñêèé ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò Ôàêóëüòåò èííîâàöèé è âûñîêèõ òåõíîëîãèé Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà è òåîðèÿ àëãîðèòìîâ, âåñíà 2012 Ñâîéñòâà âû÷èñëèìûõ ôóíêöèé Ôóíêöèÿ U : N × N → N íàçûâàåòñÿ óíèâåðñàëüíîé âû÷èñëèìîé, åñëè îíà âû÷èñëèìà è äëÿ ëþáîé âû÷èñëèìîé ôóíêöèè f : N → N íàéä¼òñÿ òàêîå ÷èñëî n, ÷òî ïðè âñåõ x âûïîëíåíî U (n, x) = f (x). Óíèâåðñàëüíàÿ âû÷èñëèìàÿ ôóíêöèÿ U : N × N → N íàçûâàåòñÿ ãëàâíîé, åñëè äëÿ ëþáîé âû÷èñëèìîé ôóíêöèè V : N × N → N íàéä¼òñÿ âû÷èñëèìàÿ ôóíêöèÿ s : N → N, òàêàÿ ÷òî U (s(n), x) = V (n, x) ïðè âñåõ n è x. 1. Äîêàæèòå, ÷òî óíèâåðñàëüíàÿ âû÷èñëèìàÿ ôóíêöèÿ, çàäàþùàÿñÿ óíèâåðñàëüíîé ìàøèíîé Òüþðèíãà, ÿâëÿåòñÿ ãëàâíîé. Åñëè f (x) = U (n, x), òî n íàçûâàåòñÿ íîìåðîì ôóíêöèè f . Îäíà ôóíêöèÿ ìîæåò èìåòü ìíîãî íîìåðîâ.  ÷àñòíîñòè, ïðè íóìåðàöèè, çàäàííîé óíèâåðñàëüíîé ìàøèíîé, íîìåðà êàæäîé ôóíêöèè ýòî êîäû âñåõ ïðîãðàìì, âû÷èñëÿþùèõ ýòó ôóíêöèþ. Íóìåðàöèÿ, çàäàâàåìàÿ ãëàâíîé óíèâåðñàëüíîé ôóíêöèåé, òàêæå íàçûâàåòñÿ ãëàâíîé. Òåîðåìà ÓñïåíñêîãîÐàéñà óòâåðæäàåò, ÷òî ïðè ãëàâíîé íóìåðàöèè ìíîæåñòâî íîìåðîâ ôóíêöèé, îáëàäàþùèõ íåêîòîðûì íåòðèâèàëüíûì ñâîéñòâîì A, íå ðàçðåøèìî. 2. Ñôîðìóëèðóéòå òåîðåìó ÓñïåíñêîãîÐàéñà â òåðìèíàõ óíèâåðñàëüíîé ìàøèíû Òüþðèíãà. 3. Äîêàæèòå, ÷òî ïðè ãëàâíîé íóìåðàöèè ìíîæåñòâî íîìåðîâ íèãäå íå îïðåäåë¼ííîé ôóíêöèè íå ðàçðåøèìî. ßâëÿåòñÿ ëè îíî ïåðå÷èñëèìûì? 4. Ïðèäóìàéòå (íåãëàâíóþ) íóìåðàöèþ, â êîòîðîé íèãäå íå îïðåäåë¼ííàÿ ôóíêöèÿ èìååò ðîâíî îäèí íîìåð. 5. Äîêàæèòå, ÷òî ïðè ãëàâíîé íóìåðàöèè ìíîæåñòâî íîìåðîâ ôóíêöèé, îïðåäåë¼ííûõ â íóëå, íå ðàçðåøèìî. ßâëÿåòñÿ ëè îíî ïåðå÷èñëèìûì? 6. Ïðèäóìàéòå (íåãëàâíóþ) íóìåðàöèþ, â êîòîðîé ìíîæåñòâî íîìåðîâ ôóíêöèé, îïðåäåë¼ííûõ â íóëå, ðàçðåøèìî. 7. ßâëÿåòñÿ ëè ìíîæåñòâî íîìåðîâ âñþäó îïðåäåë¼ííûõ ôóíêöèé ïåðå÷èñëèìûì? À åãî äîïîëíåíèå? Çàâèñèò ëè ýòî îò ãëàâíîñòè íóìåðàöèè? 8. ßâëÿþòñÿ ëè ïåðå÷èñëèìûìè èëè êîïåðå÷èñëèìûìè ìíîæåñòâà íîìåðîâ ìàøèí Òüþðèíãà, êîòîðûå: a) Âñþäó îïðåäåëåíû è ïðèíèìàþò îäíî è òî æå çíà÷åíèå; b) Ïðèíèìàþò îäíî è òî æå çíà÷åíèå íà ñâîåé îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ; c) Âû÷èñëÿþò èíúåêòèâíûå ôóíêöèè; d) Âû÷èñëÿþò ñþðúåêòèâíûå ôóíêöèè; e) Íà ëþáîì âõîäå x îñòàíàâëèâàþòñÿ íå áîëåå, ÷åì çà 100x3 + 100 øàãîâ; f) Íà ëþáîì âõîäå x èñïîëüçóþò íå áîëåå, ÷åì 100x3 + 100 ÿ÷ååê íà ëåíòå? 1