Ìîñêîâñêèé ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò Ôàêóëüòåò èííîâàöèé è âûñîêèõ òåõíîëîãèé Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà è òåîðèÿ àëãîðèòìîâ, âåñíà 2011 Âû÷èñëèìûå ôóíêöèè; ðàçðåøèìûå è ïåðå÷èñëèìûå ìíîæåñòâà ×àñòè÷íî îïðåäåë¼ííàÿ ôóíêöèÿ f : N → N íàçûâàåòñÿ âû÷èñëèìîé, åñëè íàéä¼òñÿ àëãîðèòì, êîòîðûé ïðåîáðàçóåò x â f (x), åñëè f (x) îïðåäåëåíî, è íå îñòàíàâëèâàåòñÿ íà âõîäå x â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Âû÷èñëèìàÿ ôóíêöèÿ íåñêîëüêèõ àðãóìåíòîâ îïðåäåëÿåòñÿ àíàëîãè÷íî. Äîêàæèòå, ÷òî íå âñå ôóíêöèè âû÷èñëèìû. Äîêàæèòå, ÷òî êîìïîçèöèÿ âû÷èñëèìûõ ôóíêöèé âû÷èñëèìà. Äîêàæèòå, ÷òî ëþáàÿ ôóíêöèÿ ñ êîíå÷íîé îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ âû÷èñëèìà. Âåðíî ëè, ÷òî îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ ê ëþáîé âñþäó îïðåäåë¼ííîé èíúåêöèè âû÷èñëèìà? À ê èíúåêöèè, îïðåäåë¼ííîé âñþäó, êðîìå îäíîé òî÷êè? Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò áèåêòèâíîå âû÷èñëèìîå â îáå ñòîðîíû êîäèðîâàíèå ïàð, ò.å. òàêàÿ âû÷èñëèìàÿ áèåêöèÿ h : N × N → N, ÷òî âû÷èñëèìû ôóíêöèè l : N → N è r : N → N, äëÿ êîòîðûõ âûïîëíåíî l(h(x, y)) = x è r(h(x, y)) = y. Äîêàæèòå, ÷òî ñëåäóþùèå äâà îïðåäåëåíèÿ ýêâèâàëåíòíû: a) Ôóíêöèÿ F : N × N → N âû÷èñëèìà, åñëè ñóùåñòâóåò àëãîðèòì, êîòîðûé ïðåîáðàçóåò ïàðó âõîäîâ n è m â F (n, m), åñëè F (n, m) îïðåäåëåíî, è íå îñòàíàâàëèâàþùèéñÿ íà ïàðå (n, m) â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. b) Ôóíêöèÿ F : N × N → N âû÷èñëèìà, åñëè âû÷èñëèìà ôóíêöèÿ G : N → N, îïðåäåë¼ííàÿ ôîðìóëîé G(x) = F (l(x), r(x)), ãäå l è r îáðàòíûå ôóíêöèè ê âû÷èñëèìîìó êîäèðîâàíèþ ïàð. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè F : N × N → N âû÷èñëèìà, òî ïðè ëþáîì n ôóíêöèÿ Fn(x) = F (n, x) âû÷èñëèìà. Ìíîæåñòâî A ⊂ N íàçûâàåòñÿ ðàçðåøèìûì, åñëè ñóùåñòâóåò àëãîðèòì, ðàñïîçíàþùèé ïî ïðîèçâîëüíîìó íàòóðàëüíîìó n, âåðíî ëè, ÷òî n ∈ A. Äîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî ðàçðåøèìî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âû÷èñëèìà åãî õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. ( 1, n ∈ A; χA (n) = 0, n ∈ 6 A. Äîêàæèòå, ÷òî íå âñå ìíîæåñòâà ðàçðåøèìû. Ìîæåò ëè ïîäìíîæåñòâî ðàçðåøèìîãî ìíîæåñòâà áûòü íåðàçðåøèìûì? Äîêàæèòå, ÷òî ñëåäóþùèå äâà îïðåäåëåíèÿ ýêâèâàëåíòíû: a) Ìíîæåñòâî B ⊂ N × N ðàçðåøèìî, åñëè ñóùåñòâóåò àëãîðèòì, ðàñïîçíàþùèé ïî ïðîèçâîëüíîé ïàðå íàòóðàëüíûõ n è m, âåðíî ëè, ÷òî (n, m) ∈ B . 9. 10. 1 b) Ìíîæåñòâî B ⊂ N × N ðàçðåøèìî, åñëè ðàçðåøèìî ìíîæåñòâî {h(n, m) | (n, m) ∈ B}, ãäå h áèåêòèâíîå âû÷èñëèìîå â îáå ñòîðîíû êîäèðîâàíèå ïàð. Äîêàæèòå, ÷òî îáúåäèíåíèå, ïåðåñå÷åíèå, ðàçíîñòü è ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå ðàçðåøèìûõ ìíîæåñòâ ðàçðåøèìû. Ìîæåò ëè îáúåäèíåíèå äâóõ íåðàçðåøèìûõ ìíîæåñòâ áûòü ðàçðåøèìûì? Äîêàæèòå, ÷òî ëþáîå êîíå÷íîå ìíîæåñòâî ðàçðåøèìî. Äîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî ðàçðåøèìî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíî ëèáî ïóñòî, ëèáî ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì çíà÷åíèé íåêîòîðîé âñþäó îïðåäåë¼ííîé íåóáûâàþùåé âû÷èñëèìîé ôóíêöèè. Äîêàæèòå, ÷òî ñóììà ðàçðåøèìûõ ìíîæåñòâ ðàçðåøèìà. (Ñóììîé ìíîæåñòâ A è B íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî A + B = {x + y | x ∈ A, y ∈ B}). Ìîæåò ëè áûòü òàê, ÷òî A ∪ B , B ∪ C è C ∪ A ðàçðåøèìû, à A ∪ B ∪ C íå ðàçðåøèìî? Ìíîæåñòâî A ⊂ N íàçûâàåòñÿ ïåðå÷èñëèìûì, åñëè ñóùåñòâóåò àëãîðèòì, ïåðå÷èñëÿþùèé âñå åãî ýëåìåíòû â êàêîì-òî ïîðÿäêå. Ôîðìàëèçóéòå ýòî îïðåäåëåíèå â òåðìèíàõ ìàøèí Òüþðèíãà. Äîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî A ïåðå÷èñëèìî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âûïîëíåíî îäíî èç ñâîéñòâ: a) Âû÷èñëèìà ïîëóõàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ìíîæåñòâà A: 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. ( 1, n ∈ A; îïðåäåëåíà, n 6∈ A; íå b) A ÿâëÿåòñÿ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ âû÷èñëèìîé ôóíêöèè; c) A ÿâëÿåòñÿ îáëàñòüþ çíà÷åíèé âû÷èñëèìîé ôóíêöèè; d) A ïóñòî èëè ÿâëÿåòñÿ îáëàñòüþ çíà÷åíèé âñþäó îïðåäåë¼ííîé âû÷èñëèìîé ôóíêöèè; e) A ïåðå÷èñëÿåòñÿ àëãîðèòìîì, ïå÷àòàþùèì êàæäîå ÷èñëî ïî îäíîìó ðàçó; f) A ÿâëÿåòñÿ ïðîåêöèé ðàçðåøèìîãî ïîäìíîæåñòâà N × N íà ïåðâóþ êîîðäèíàòó. Äîêàæèòå, ÷òî íå âñå ìíîæåñòâà ïåðå÷èñëèìû. Ìîæåò ëè ïîäìíîæåñòâî ïåðå÷èñëèìîãî ìíîæåñòâà áûòü íåïåðå÷èñëèìûì? Äîêàæèòå, ÷òî îáúåäèíåíèå, ïåðåñå÷åíèå, ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå è ñóììà ïåðå÷èñëèìûõ ìíîæåñòâ ïåðå÷èñëèìû. (Òåîðåìà Ïîñòà) Äîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî A ðàçðåøèìî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà è A, è Ā ïåðå÷èñëèìû. Äîêàæèòå, ÷òî ôóíêöèÿ f âû÷èñëèìà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà å¼ ãðàôèê Γf = {(x, y) | y = f (x)} ïåðå÷èñëèì. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáîãî ïåðå÷èñëèìîãî ìíîæåñòâà ïàð U íàéä¼òñÿ âû÷èñëèìàÿ ôóíêöèÿ f , òàêàÿ ÷òî Γf ⊂ U , à îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ f ñîâïàäàåò ñ ïðîåêöèåé U íà ïåðâóþ êîîðäèíàòó. Äîêàæèòå, ÷òî îáðàç è ïðîîáðàç ïåðå÷èñëèìîãî ìíîæåñòâà îòíîñèòåëüíî âû÷èñëèìîé ôóíêöèè ïåðå÷èñëèìû. Ïóñòü X è Y ïåðå÷èñëèìûå ìíîæåñòâà. Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóþò òàêèå ïåðå÷èñëèìûå ìíîæåñòâà X 0 è Y 0, ÷òî X 0 ⊂ X , Y 0 ⊂ Y , X 0 ∩ Y 0 = ∅ è X 0 ∪ Y 0 = X ∪ Y . χ̄A (n) = 19. 20. 21. 22. 23. 24. 2