ÀÁÅËÜ È ÅÃÎ ÂÅËÈÊÀß Òåîðåìà Àáåëÿ Òåîðåìà Àáåëÿ. Íè äëÿ êàêîãî íàòóðàëüíîãî n, áîëüøåãî ÷åòûðåõ, íåëüçÿ óêàçàòü ôîðìóëó, êîòîðàÿ âûðàæàëà áû êîðíè ëþáîãî óðàâíåíèÿ ÷åðåç åãî êîýôôèöèåíòû ïðè ïîìîùè ðàäèêàëîâ. Ìû äîêàæåì çäåñü íåñêîëüêî áîëüøå, à èìåííî, ÷òî ñóùåñòâóåò (êîíêðåòíîå) óðàâíåíèå ïÿòîé ñòåïåíè ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè, íå ðàçðåøèìîå â ðàäèêàëàõ. Ïðèìåðîì ñëóæèò óðàâíåíèå p ( x ) = x5 − 4 x − 2 = 0 . Ìîæíî äîêàçàòü (ïîïðîáóéòå ñäåëàòü ýòî ñàìîñòîÿòåëüíî), ÷òî ìíîãî÷ëåí p ( x ) íåëüçÿ ðàçëîæèòü íà ìíîæèòåëè ìåíüøåé ñòåïåíè ñ ðàöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè (òàêèå ìíîãî÷ëåíû íàçûâàþòñÿ íåïðèâîäèìûìè îá èõ ñâîéñòâàõ ñì. Ïðèëîæåíèå). Íåðàçðåøèìîñòü â ðàäèêàëàõ óðàâíåíèÿ p ( x ) = 0 ñëåäóåò èç òàêîãî ôóíäàìåíòàëüíîãî óòâåðæäåíèÿ, äîêàçûâàåìîãî íàìè íèæå: åñëè íåïðèâîäèìîå óðàâíåíèå ïÿòîé ñòåïåíè ðàçðåøèìî â ðàäèêàëàõ, òî îíî èìååò ëèáî ïÿòü, ëèáî ëèøü îäèí äåéñòâèòåëüíûé êîðåíü. Äîêàæåì, ÷òî íàøå óðàâíåíèå èìååò òðè äåéñòâèòåëüíûõ 5 êîðíÿ. Îáîçíà÷èì êîðíè ýòîãî óðàâíåíèÿ {xk }k=1 . Ïî òåîðåìå Âèåòà (ñì. Ïðèëîæåíèå), σ1 = 5 ∑ xk = 0 k =1 4 (èáî ñóììà êîðíåé ðàâíà êîýôôèöèåíòó ïðè x , à îí ðàâåí íóëþ). Äàëåå, σ2 = 5 ∑ 1≤ k, l ≤ 5 xk xl = 0 (èáî ñóììà ïîïàð- íûõ ïðîèçâåäåíèé êîðíåé ðàâíà êîýôôèöèåíòó ïðè 3 x , à îí òîæå ðàâåí íóëþ). Íî òîãäà s2 = 2 5 ∑ k =1 xk2 = = σ 1 − 2σ2 = 0, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî âñå ïÿòü êîðíåé âåùåñòâåííûìè áûòü íå ìîãóò. Çíà÷èò, èìååòñÿ êîìïëåêñíûé êîðåíü a + bi. Íî òîãäà ÷èñëî a bi òîæå áóäåò êîðíåì. À ñ äðóãîé ñòîðîíû, íàøå óðàâíåíèå èìååò íå ìåíüøå òðåõ âåùåñòâåííûõ êîðíåé, èáî p ( −2 ) = −26 , p ( −1) = 1 , p (1) = −5 , p (2 ) = 22 , è ñóùåñòâîâàíèå òðåõ êîðíåé ñëåäóåò èç òåîðåìû î ïðîìåæóòî÷íûõ çíà÷åíèÿõ, ïðèíèìàåìûõ íåïðåðûâíîé ôóíêöèåé.  èòîãå ìû äîêàçàëè, ÷òî ìíîãî÷ëåí p ( x ) èìååò ðîâíî òðè âåùåñòâåííûõ êîðíÿ. (Ïðèâåäåííîå äîêàçàòåëüñòâî àëãåáðàè÷åñêîå, è òåîðåìà Âèåòà íàì ïîíàäîáèòñÿ â äàëüíåéøåì, íî óòâåðæäåíèå î òîì, ÷òî ïðèâåäåííîå óðàâíåíèå íå èìååò ïÿòè âåùåñòâåííûõ êîðíåé, ñîâñåì ïðîñòî äîêàçàòü àíàëèòè÷åñêè: åñëè áû îíî èìåëî ïÿòü âåùåñòâåííûõ êîðíåé, òî ïî òåîðåìå Ðîëëÿ ïðîèçâîäíàÿ p′ ( x ) = 5x 4 − 4 èìåëà áû ÷åòûðå âåùåñòâåííûõ êîðíÿ, à îíà èìååò òîëüêî äâà.) Äîêàçàòåëüñòâî îñíîâíîãî óòâåðæäåíèÿ Ïóñòü p ( x ) = x + 5 4 ∑ ak x k=0 k (ãäå ak ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà) íåïðèâîäèìûé ìíîãî÷ëåí (ò.å. ìíîãî÷ëåí, íå 13 ÒÅÎÐÅÌÀ ðàçëàãàþùèéñÿ â ïðîèçâåäåíèå äâóõ ìíîãî÷ëåíîâ ìåíüøåé ñòåïåíè), ðàçðåøèìûé â ðàäèêàëàõ. Ýòî çíà÷èò, ÷òî åãî êîðíè ïîëó÷àþòñÿ èç ñîâîêóïíîñòè âñåõ äðîáåé ïðèñîåäèíåíèåì íåêîòîðûõ ðàäèêàëîâ. Òàê íàïðèìåð, êîðíè ìíîãî÷ëåíà âòîðîé ñòåïåíè ïîëó÷àþòñÿ ïðèñîåäèíåíèåì ê äðîáÿì ÷èñåë âèäà p1 + p2 a , ãäå a ýòî äðîáü, íå ÿâëÿþùàÿñÿ êâàäðà- òîì, à êîðíè óðàâíåíèÿ x 3 + px + q = 0 ïîëó÷àþòñÿ ïðèñîåäèíåíèåì ê äðîáÿì ñíà÷àëà ðàäèêàëîâ a , à çàòåì ÷èñåë âèäà q1 + q2 3 c + 3 + q3 c2 , ãäå c = p1 + p2 a . ×èñëà b + a ìîæíî ñêëàäûâàòü, âû÷èòàòü, óìíîæàòü è äåëèòü (êðîìå, ðàçóìååòñÿ, äåëåíèÿ íà íîëü). Òàêèå ÷èñëîâûå îáðàçîâàíèÿ 3 íàçûâàþòñÿ ïîëÿìè. ×èñëà âèäà q1 + q2 3 c + q3 c2 , ãäå c = p1 + p2 a , à qi è p j äðîáè, òàêæå îáðàçóþò ïîëå. Åñëè p ( x ) ðàçðåøèì â ðàäèêàëàõ, ýòî çíà÷èò, ÷òî ê äðîáÿì ïîñëåäîâàòåëüíî ïðèñîåäèíÿþòñÿ ðàäèêàëû âèäà n1 a1 è îáðàçóþò ïîëå ïåðâîãî ðàíãà R1 , çàòåì ïðèñîåäèíÿåòñÿ êîðåíü n2 a2 , ãäå a2 ïðèíàäëåæèò R2 , è ò. ä. Ïóñòü R ÷èñëîâîå ïîëå, ïîëó÷àåìîå èç ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë ïðèñîåäèíåíèåì ê íèì âñåõ ðàäèêàëîâ, êðîìå ïîñëåäíåãî r = n a , ãäå a ïðèíàäëåæèò R è a ≠ α n íè äëÿ êîãî α èç R . Íå îãðàíè÷èâ ñåáÿ â îáùíîñòè, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî n ïðîñòîå ÷èñëî (èáî åñëè n íå ïðîñòîå ÷èñëî, òî åãî ìîæíî çàïèñàòü â âèäå n = n1 p , ãäå p ïðîñòîå, ïîñëå ÷åãî ïðèñîåäèn íèòü 1 a = a1 , à çàòåì è p a1 ). Ïî îïðåäåëåíèþ, p ( x ) èìååò êîðåíü â R n a (òàê îáîçíà÷àåòñÿ ïîëå, ïîëó÷åííîå ïðèñîåäèíåíèåì ê ïîëþ R ðàäèêàëà n a ). Ëþáîå ÷èñëî â R n a ïðåäñòàâèìî êàê ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè n 1 îò r ñ êîýôôèöèåíòàìè èç R (ñì. Ïðèëîæåíèå). Ìû ïîëüçóåìñÿ çäåñü òåì, ÷òî åñëè R ÷èñëîâîå ïîëå è r = n a , ãäå n ïðîñòîå ÷èñëî, a ≠ α n äëÿ α èç R , òî ëþáîé ýëåìåíò x èç R n a åäèíñòâåííûì îáðàçîì ïðåäñòàâèì â âèäå ( ) ( ) ( ) x= n −1 ∑ αkr k . Ýòîò ôàêò íåòðóäíî äîêàçàòü íåïîñðåä- k=0 ñòâåííî. Èòàê, ïóñòü x1 âåùåñòâåííûé êîðåíü ïîëèíîìà p ( x ) (à ó ïîëèíîìà ïÿòîé ñòåïåíè îäèí âåùåñòâåííûé êîðåíü îáÿçàòåëüíî ñóùåñòâóåò ýòî ñëåäóåò èç óæå óïîìèíàâøåãîñÿ ñâîéñòâà íåïðåðûâíîé ôóíêöèè ïðèíèìàòü âñå ïðîìåæóòî÷íûå çíà÷åíèÿ; ïîëèíîì ïÿòîé ñòåïåíè ñ ïîëîæèòåëüíûì ñòàðøèì êîýôôèöèåíòîì ïðè ñòðåìëåíèè x ê ïëþñ áåñêîíå÷íîñòè ñòðåìèòñÿ ê ïëþñ áåñêîíå÷íîñòè, ò.å. ñòàíîâèòñÿ ïîëîæèòåëüíûì, àíàëîãè÷íî, ïðè îòðèöàòåëüíûõ x îí ñòàíîâèòñÿ îòðèöàòåëüíûì, çíà÷èò, îí èìååò íîëü). Ïðåäñòàâèì x1 â âèäå x1 = n −1 ∑ αk r k ñ êîýôôèöèåíòàìè èç R . Ïóñòü k =0 ε = e2 πi / n ïåðâîîáðàçíûé êîðåíü èç åäèíèöû è xk = n −1 ∑ α j ε(k1) j r j , j =0 1 ≤ k ≤ n . Ïîëó÷èëè n ÷èñåë èç