Ëîãèêà âûñøèõ ïîðÿäêîâ P ÿâëÿåòñÿ áèåêöèåé èç A â B ∀x∀y ∀z P(x, y ) ∧ P(x, z) → Eq(y , z) ∀x∃y A(x) ∧ B(y ) ∧ P(x, y ) ∀y ∃x A(x) ∧ B(y ) ∧ P(x, y ) ∀x∀y ∀zP(x, z) ∧ P(y , z) → Eq(x, y ) Ëîãèêà âûñøèõ ïîðÿäêîâ P ÿâëÿåòñÿ áèåêöèåé èç A â B ∀x∀y ∀z P(x, y ) ∧ P(x, z) → Eq(y , z) ∀x∃y A(x) ∧ B(y ) ∧ P(x, y ) ∀y ∃x A(x) ∧ B(y ) ∧ P(x, y ) ∀x∀y ∀zP(x, z) ∧ P(y , z) → Eq(x, y ) Ðàâíîìîùíîñòü A è B : ∃P [∀x∀y ∀z P(x, y ) ∧ P(x, z) → Eq(y , z)] ∧ . . . Ïðèíöèï äîêàçàòåëüñòâà îò ïðîòèâíîãî I Íåîáõîäèìî äîêàçàòü, ÷òî ∃xP(x) Ïðèíöèï äîêàçàòåëüñòâà îò ïðîòèâíîãî I Íåîáõîäèìî äîêàçàòü, ÷òî ∃xP(x) I Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ∀x¬P(x) Ïðèíöèï äîêàçàòåëüñòâà îò ïðîòèâíîãî I Íåîáõîäèìî äîêàçàòü, ÷òî ∃xP(x) I Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ∀x¬P(x) I Ïðèäåì ê ïðîòèâîðå÷èþ Ïðèíöèï äîêàçàòåëüñòâà îò ïðîòèâíîãî I Íåîáõîäèìî äîêàçàòü, ÷òî ∃xP(x) I Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ∀x¬P(x) I Ïðèäåì ê ïðîòèâîðå÷èþ I Ñëåäîâàòåëüíî, ∃xP(x) Ïðèíöèï äîêàçàòåëüñòâà îò ïðîòèâíîãî I Íåîáõîäèìî äîêàçàòü, ÷òî ∃xP(x) I Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ∀x¬P(x) I Ïðèäåì ê ïðîòèâîðå÷èþ I Ñëåäîâàòåëüíî, ∃xP(x) Íî ÷åìó ðàâåí x ? Ìîäàëüíàÿ ëîãèêà Ìîäàëüíûå îïåðàòîðû: I KA èçâåñòíî I A A âîçìîæíî Ìîäàëüíàÿ ëîãèêà Ìîäàëüíûå îïåðàòîðû: I KA èçâåñòíî I A A âîçìîæíî A1 A2 A3 Ïðèíöèï îáúåêòèâíîñòè çíàíèÿ Äèñòðèáóòèâíîñòü çíàíèÿ è êîíúþíêöèè Ïðèíöèï ïîçíàâàåìîñòè ìèðà KA → A K (A ∧ B) → KA ∧ KB A → KA Ìîäàëüíàÿ ëîãèêà Ìîäàëüíûå îïåðàòîðû: I KA èçâåñòíî I A A âîçìîæíî A1 A2 A3 I Ïðèíöèï îáúåêòèâíîñòè çíàíèÿ Äèñòðèáóòèâíîñòü çíàíèÿ è êîíúþíêöèè Ïðèíöèï ïîçíàâàåìîñòè ìèðà Ïðåäïîëîæèì, A ∧ ¬KA KA → A K (A ∧ B) → KA ∧ KB A → KA Ìîäàëüíàÿ ëîãèêà Ìîäàëüíûå îïåðàòîðû: I KA èçâåñòíî I A A âîçìîæíî A1 A2 A3 Ïðèíöèï îáúåêòèâíîñòè çíàíèÿ Äèñòðèáóòèâíîñòü çíàíèÿ è êîíúþíêöèè Ïðèíöèï ïîçíàâàåìîñòè ìèðà I Ïðåäïîëîæèì, A ∧ ¬KA I Ïî A3, K (A ∧ ¬KA) KA → A K (A ∧ B) → KA ∧ KB A → KA Ìîäàëüíàÿ ëîãèêà Ìîäàëüíûå îïåðàòîðû: I KA èçâåñòíî I A A âîçìîæíî A1 A2 A3 Ïðèíöèï îáúåêòèâíîñòè çíàíèÿ Äèñòðèáóòèâíîñòü çíàíèÿ è êîíúþíêöèè Ïðèíöèï ïîçíàâàåìîñòè ìèðà I Ïðåäïîëîæèì, A ∧ ¬KA I Ïî A3, K (A ∧ ¬KA) I Ïî A2, (KA ∧ K (¬KA)) KA → A K (A ∧ B) → KA ∧ KB A → KA Ìîäàëüíàÿ ëîãèêà Ìîäàëüíûå îïåðàòîðû: I KA èçâåñòíî I A A âîçìîæíî A1 A2 A3 Ïðèíöèï îáúåêòèâíîñòè çíàíèÿ Äèñòðèáóòèâíîñòü çíàíèÿ è êîíúþíêöèè Ïðèíöèï ïîçíàâàåìîñòè ìèðà I Ïðåäïîëîæèì, A ∧ ¬KA I Ïî A3, K (A ∧ ¬KA) I Ïî A2, (KA ∧ K (¬KA)) I Ïî À1, (KA ∧ ¬KA) KA → A K (A ∧ B) → KA ∧ KB A → KA Ìîäàëüíàÿ ëîãèêà Ìîäàëüíûå îïåðàòîðû: I KA èçâåñòíî I A A âîçìîæíî A1 A2 A3 Ïðèíöèï îáúåêòèâíîñòè çíàíèÿ Äèñòðèáóòèâíîñòü çíàíèÿ è êîíúþíêöèè Ïðèíöèï ïîçíàâàåìîñòè ìèðà I Ïðåäïîëîæèì, A ∧ ¬KA I Ïî A3, K (A ∧ ¬KA) I Ïî A2, (KA ∧ K (¬KA)) I Ïî À1, (KA ∧ ¬KA) I Ïðîòèâîðå÷èå. Âñå óæå ïîçíàíî. KA → A K (A ∧ B) → KA ∧ KB A → KA