Çàäàíèå 2. (a; b) ⊂ R, 1. Ýëåìåíòàìè ìíîæåñòâà M ÿâëÿþòñÿ íåïåðåñåêàþùèåñÿ èíòåðâàëû åñòü (a; b) ∩ (a0 ; b0 ) = ∅, åñëè (a; b) 6= (a0 ; b0 ). òî Äîêàçàòü, ÷òî M íå áîëåå ÷åì ñ÷åòíî. 2. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ê áåñêîíå÷íîìó ìíîæåñòâó äîáàâèòü êîíå÷íîå èëè ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî, òî ìîùíîñòü ìíîæåñòâà íå èçìåíèòñÿ. Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî èððàöèîíàëüíûõ ÷èñåë ðàâíîìîùíî ìíîæåñòâó âñåõ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë. a ∈ R íàçûâàåòñÿ àëãåáðàè÷åñêèì, åñëè ñóùåñòâóåò ìíîãî÷ëåí P (x) ñ öåëûìè √ √ p 2, 3 − 2 - àëãåáðàèêîýôôèöèåíòàìè òàêîé, ÷òî P (a) = 0. Ïîêàçàòü, ÷òî ÷èñëà 3/7, 3. ×èñëî ÷åñêèå. Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî àëãåáðàè÷åñêèõ ÷èñåë ñ÷åòíî. 4. Èñïîëüçóÿ êîìïîçèöèè ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé, óñòàíîâèòå íåïîñðåäñòâåííî âçàèìíîîäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ìíîæåñòâàìè íà âåùåñòâåííîé ïðÿìîé a) (0; 1) è (0; ∞) b) (0; 1) è R 5. Äîêàæèòå ðàâíîìîùíîñòü îòðåçêà [0;1] è èíòåðâàëà (0;1) äâóìÿ ñïîñîáàìè: 1) óñòàíîâèâ íåïîñðåäñòâåííî âçàèìíî-îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå 2) èñïîëüçóÿ òåîðåìû Êàíòîðà-Áåðíøòåéíà 6. Äîêàçàòü, ÷òî óðàâíåíèå q 2 Ïîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî = 2 íå èìååò ðåøåíèé â ìíîæåñòâå ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë. M = {q ∈ Q| q 2 < 2} îãðàíè÷åíî ñâåðõó, íî íè îäíî ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî íå ìîæåò áûòü åãî òî÷íîé âåðõíåé ãðàíüþ. 7. Ìíîæåñòâà ∃c ∈ R ò.÷. (a ≤ c ≤ b) ∞ T A ⊂ R è B ⊂ R òàêîâû, ÷òî ∀a ∈ A, ∀b ∈ B (a ≤ c ≤ b). íåëüçÿ çàìåíèòü íà ∀a ∈ A, ∀b ∈ B (a < b). Ïðèâåñòè ïðèìåð, ïîêàçûâàþùèé, ÷òî íåðàâåíñòâî (a < c < b). 8. Ïóñòü èìååòñÿ ñèñòåìà âëîæåííûõ îòðåçêîâ: [an ; bn ] 6= ∅. Äîêàçàòü, ÷òî [a1 ; b1 ] ⊃ [a2 ; b2 ] ⊃ ... Ïðèâåñòè ïðèìåð ñèñòåìû âëîæåííûõ èíòåðâàëîâ (an ; bn ), Äîêàçàòü, ÷òî ïåðåñå÷åíèå êî- n=1 òîðûõ ïóñòî. Ïðèâåñòè ïðèìåð ñèñòåìû âëîæåííûõ îòðåçêîâ, ïåðåñå÷åíèå êîòîðûõ ñîäåðæèò áîëåå îäíîé òî÷êè. 9. Ïóñòü A ⊂ B. Äîêàçàòü, ÷òî inf B ≤ inf A, sup A ≤ sup B . Ïðèâåñòè ïðèìåðû, êîãäà íåðàâåíñòâî ïðåâðàùàåòñÿ â ðàâåíñòâî. 10. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè 11. Ñëîæèòü ÷èñëà a - íàèáîëüøèé ýëåìåíò ìíîæåñòâà 0, 5(68) è 0, (342). A, òî a = sup A. Îòâåò äàòü â âèäå îáûêíîâåííîé íåñîêðàòèìîé äðîáè. 1