метод изображения «проекции с числовыми

СТРОИТЕЛЬСТВО
М.В. Царёва, О.В. Крылова, Е.Н. Крылов
МЕТОД ИЗОБРАЖЕНИЯ
«ПРОЕКЦИИ
С ЧИСЛОВЫМИ ОТМЕТКАМИ»
ISBN 978-5-7264-1110-1
Учебное пособие
© НИУ МГСУ, 2015
© Оформление.
ООО «Ай Пи Эр Медиа», 2015
Москва 2015
УДК 514.18
ББК 22.151.3
Ц18
Ре ц е н зе н ты :
кандидат архитектуры А.А. Фаткуллина,
доцент кафедры начертательной геометрии МАРХИ;
М.Н. Калинина, доцент кафедры инженерной геодезии НИУ МГСУ
Царѐва, М.В
Ц18 М етод изображения «Проекции с числовыми отметками» [Электронный ресурс] :
Учебное пособие / М .В. Царѐва, О.В. Крылова, Е.Н. Крылов ; М -во образования и
науки Рос. Федерации, Нац. исследоват. М оск. гос. строит. ун-т. — Электрон. дан. и
прогр. (6 М б). — М осква : НИУ МГСУ, 2015. — Режим доступа:
http://www.iprbookshop.ru/. — Загл. с титул. экрана.
ISBN 978-5-7264-1110-1 (сетевое)
ISBN 978-5-7264-1109-5 (локальное)
Изложены основы геометрических построений методами начертательной геометрии, составляющие основу метода проекций с числовыми отметками. Показано
основное применение метода – составление чертежей и схем производства земляных
работ (работ нулевого цикла), приведены примеры решения типовых з адач.
Для студентов бакалавриата всех форм обучения направления подготовки
08.03.01 Строительство, и студентов специалитета направления подготовки 08.05.01
Строительство уникальных зданий и сооружений.
Учебное электронное издание
© НИУ МГ СУ, 2015
© Оформление.
ООО «Ай Пи Эр Медиа», 2015
Редактор Е.А. Копылова
Технический редактор А.В. Кузнецова
Корректор Ю.С. Кулик
Компьютерная верстка С.С. Сизиумовой
Дизайн первого титульного экрана Д.Л. Разумного
Для создания электронног о издания использовано:
M icrosoft Word 2013, приложение pdf2swf из ПО Swftools, ПО IPRbooks Reader,
разработанное на основе Adobe Air
Подписано к использованию 01.09.2015 г. Уч.-изд. л. 3,74. Объем данных 6 М б
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Национальный исследовательский
М осковский государственный строительный университет»
(НИУ МГСУ).
129337, М осква, Ярославское ш., 26.
Издательство МИСИ – М ГСУ.
Тел. (495) 287-49-14, вн. 13-71, (499) 188-29-75, (499) 183-97-95.
E-mail: ric@mgsu.ru, rio@mgsu.ru
ООО «Ай Пи Эр Медиа».
Тел. 8-800-555-22-35, (8452) 24-77-97, вн. 208,
E-mail: izdat@iprmedia.ru, mail@iprbookshop.ru
www.iprbookshop.ru
СОДЕРЖАНИЕ
1. СУЩНОСТЬ МЕТОДА И ЕГО НАЗНАЧ ЕНИЕ ......................................... 5
2. ПРЯМАЯ Л ИНИЯ.................................................................................................... 7
2.1. Задание прямой ........................................................................................................ 7
2.2. Уклон и интервал прямой ..................................................................................... 7
2.3. Градуирование прямой ........................................................................................ 10
2.4. Взаимное расположение прямых ...................................................................... 12
3. ПЛОСКОСТЬ .......................................................................................................... 14
3.1. Задание и назначение плоскости ...................................................................... 14
3.2. Масштаб уклона плоскости ................................................................................ 16
3.3. Углы падения и простирания плоскости ........................................................ 17
3.4. Построение масштаба уклона плоскости ....................................................... 17
3.5. Взаимное расположение дву х плоскостей ..................................................... 19
3.6. Примеры пересечения плоскостей при решении инженерных задач ..... 22
4. КРИВ ЫЕ Л ИНИИ И ПОВ ЕРХНОСТИ
В ПРОЕКЦИЯХ С Ч ИСЛОВЫМИ ОТМЕТКАМИ................................. 31
4.1. Градуирование дуги окружности ...................................................................... 31
4.2. Конические повер хности .................................................................................... 33
5. ТОПОГРАФИЧ ЕСКАЯ ПОВ ЕРХНОСТЬ ................................................... 37
5.1. Общие сведения о топографической повер хности ...................................... 37
5.2. Изображение топографической (земной) повер хности .............................. 38
5.3. Линии ската топографической поверхности ................................................. 39
5.4. Пересечение прямой линии с топографической повер хностью ............... 41
5.5. Пересечение плоскости с топографической повер хно стью ...................... 42
6. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ПРОЕКЦИИ С Ч ИСЛОВЫМИ
ОТМЕТКАМИ К РЕШЕНИЮ ИНЖЕНЕРНЫХ ЗАДАЧ,
СВ ЯЗАННЫХ С ЗЕМЛ ЯНЫМИ СООРУ ЖЕНИЯМИ ........................... 45
6.1. Неко торые положения и понятия ..................................................................... 45
6.2. Построение границы земляных работ для горизонтальной площадки........ 47
6.3. Определение линии ну левых работ дорожного полотна ........................... 49
6.4. Построение границы земляных работ
на прямоугольном участке дороги .................................................................... 52
6.5. Методические указания к выпо лнению задания
«Построение границы земляных работ» .......................................................... 54
Заключение ................................................................................................................... 57
Библиографический список.................................................................................... 58
4
1. СУЩНОСТЬ МЕТОДА И ЕГО НАЗНАЧЕНИЕ
Метод проекций с числовыми отметками используется при
проектировании таких объектов, высота которых невелика по сравнению с протяженностью занимаемой площади. К этим объектам относятся: железные и шоссейные дороги, аэропорты, гидроузлы и каналы,
различного рода коммуникации — канализационные, очистительные и
тому подобные объекты. Этот метод как основной используется в картографии при изображении поверхности Земли.
Данный метод изображения является базовым при изучении таких
дисциплин, как, например, «Инженерная геодезия», «Инженерная геология».
Метод проекций с числовыми отметками применяется при разработке архитектурных чертежей в курсовом и дипломном проектировании, где в состав чертежей входят генеральные планы, а также чертежи и
с вертикальной планировкой застраиваемой территории. Объекты
вертикальной планировки — это участки земной поверхности с различными сооружениями на ней: строительными площадками, котлованами, выемками и насыпями, кюветами для стока воды и пр.
Сущность метода изображения «Проекции с числовыми отметками» заключается в следующем: проецируемый объект ортогонально
(перпендикулярно) отображается на одну горизонтальную плоскость ―
условную плоскость нулевого уровня (Н0 ). При этом для получения
однозначного изображения объекта около проекций отдельных его точек (справа) проставляют числа, указывающие расстояние (обычно в
метрах) этих точек до плоскости нулевого уровня (Н0 ). Такие числа являются высотными координатами (альтитудами) и называются числовыми отметками.
Если точки объекта расположены ниже плоскости нулевого уровня,
то перед числом ставится знак «минус» (рис. 1).
Каждое изображение в проекциях с числовыми отметками сопровождается линейным масштабом (рис. 2).
Линейный масштаб представляет собой шкалу из равных отрезков,
обозначенных последовательным рядом чисел. Такие отрезки являются
масштабными единицами и выражаются в метрах (м).
Например (рис. 1), точка А возвышается над плоскостью нулевого
уровня (Н0– ) на три метра (3 м), точка В ниже плоскости нулевого уровня
на два метра (–2 м), а точка С принадлежит Н0– .
5
Рис. 1. Расположение точек выше
и ниже плоскости уровня Н0
Рис. 2. Линейный масштаб
Приравнивание масштабной единицы к метру объясняется тем, что
чертежи, связанные с земной поверхностью или земляными работами,
представляют собой уменьшенное изображение оригинала. А чтобы
изображение на чертежах было взаимно-однозначным оригиналу, под
линейной шкалой указывается соотношение метра и принятой масштабной единицы, т.е. (1 м ~ 10 мм), (1 м ~ 8 мм) или (1 м ~ 5 мм) означает, что одному метру на местности соответствует отрезок на чертеже, равный десяти, восьми или пяти миллиметрам (рис. 2). И прежде
чем приступить к построению любого изображения в проекциях с числовыми отметками, необходимо установить его масштаб.
Линейный масштаб является метрической характеристикой объекта
как в вертикальном, так и в горизонтальном положениях.
6
2. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
2.1. ЗАДАНИЕ ПРЯМОЙ
Прямая линия может быть задана:
1) проекцией отрезка с отметками его концов (рис. 2);
2) проекцией и тангенсом угла наклона (рис. 3), причем если прямая
проходит, поднимаясь над плоскостью Н0 , то тангенс положительный;
если опускаясь — отрицательный;
3) проекцией и точкой с отметкой (рис. 4), дополненными уклоном
прямой или углом наклона к плоскости Н01 . На рис. 4 прямая f поднимается от точки В под углом 20°, прямая s имеет спуск от точки А с уклоном 1:3.
Рис. 3. Проекция и тангенс
угла наклона
Рис. 4. Способ задания прямой ―
проекцией прямой и точкой с о тметкой
2.2. УКЛОН И ИНТЕРВАЛ ПРЯМОЙ
Прямая линия чаще всего задается отрезком, концы которого ограничены точками с определенными числовыми отметками. Длина
проекции отрезка, измеренная по шкале линейного масштаба, называется заложением прямой и обозначается символом L (рис. 5).
Например, прямая задана проекцией отрезка a 2b5 (рис. 6), заложение (L)
которого равняется 4,5 масштабным единицам, т.е. 4,5 м (L = 4,5 м).
1
Иногда у клон может быть задан в процентах. Например, на дорожных знаках
уклон дороги 12 %.
7
Рис. 5. Заложение прямой
Рис. 6. Проекция определенного о трезка
Подъем отрезка Δ определяется разностью альтитуд его концов, т.е.
(выражение 1):
hB
hA
3(м) .
(1)
Уклон (i) определяется тангенсом угла наклона, в данном случае —
отношением разности альтитуд (Δ) концов отрезка к заложению (L)
данного отрезка (выражение 2):
i
L
3м
4,5м
0, 666...
(2)
Переведя величину уклона в градусы, получим: наклон отрезка АВ к
плоскости Н0 составит примерно 34°40'.
Если подъем отрезка равен единице линейного масштаба — одному
метру (А = 1), то заложение называют интервалом (l) прямой. Точка С
с отметкой 3 (рис. 6) возвышается над точкой А на одну единицу линейного масштаба (на один метр), заложение а 2с3 является интервалом
(l) прямой, а поскольку концы отрезка имеют целочисленные отметки, то интервал равен 1,5 масштабной единицы (l = 1,5 м), что соответствует выражению (3):
l
L
4,5м
3м
8
1,5м .
(3)
Если сопоставить выражения (2) и (3), то интервал (l) и уклон (i) —
величины, обратные друг другу.
Так, при подъеме отрезка в одну масштабную единицу — на один
метр (Δ = 1 м) — интервал (l) можно представить выражением (4):
l
i
1
1,5м .
0, 666...
(4)
Отсюда следует, что чем больше интервал прямой, тем меньше ее
уклон, и обратное соотношение ― чем меньше интервал прямой, тем
больше уклон этой прямой.
Подтвердим соотношение между интервалом и уклоном следующим примером (рис. 7).
Рис. 7. Проекции отрезков, имеющих различные уклоны
Интервал больше уклона ( l > i)
Прямая задана проекцией отрезка а 2k5 , длина заложения (L) которого соответствует шести масштабным единицам (L = 6 м), подъем отрезка (Δ) равен трем масштабным единицам (Δ = h k-h A = 3 м). Привлекая
полученные данные заложения (L) и подъема отрезка (Δ) и опираясь на
выражения (2) и (3), получим подтверждение, что интервал больше уклона, т.е.:
i = ∆ / L = 3/6 = 0,5; l = L / ∆ = 3; l > I (3 > 0,5).
9
Угол (φ) наклона прямой к плоскости Н0 определим по тангенсу, где
tgφ = i, угол φ ≈ 26°40'.
Интервал меньше уклона ( l < i)
Прямая задана проекцией отрезка k5 t0 , причем точка K является
общей с отрезком АК (рис. 7). Длина заложения (L') отрезка k 5 t0 равна
четырем масштабным единицам (L' = 4 м), подъем (Δ') — пяти масштабным единицам (Δ' = 5 м).
В соответствии с выражениями (2) и (3) и полученными данными уклон (i') и интервал (l') примут следующие значения:
i′ = ∆′ / L′ = 5/4 = 1,25; l′ = L′ / ∆′ = 0,8; l′ < i′ (0,8 < 1,25).
Угол наклона φ = 51°20', tgφ = i' = 1,25.
Интервал равен уклону ( l = i)
Прямая ВС задана проекцией отрезка b 5c2 (рис. 7). Длина заложения
(L'') отрезка b 5c2 и его подъема (Δ'') будут равны одной и той же величине, т.е. L'' = 3 м, Δ'' = 3 м (hB – h C), L" = Δ". Используя эти данные и
опираясь на выражения (2) и (3), получим следующее подтверждение
равенства между интервалом и уклоном :
i′′ = ∆′′ / L′′ = 3/3 = 1; l′′ = L′′ / ∆′′ = 3/3 = 1; l′′ = i′′ (1 = 1).
Угол наклона = 45°.
Такое равенство между уклоном и интервалом иногда используется
при земляных работах, там выемка грунта производится под углом 45°.
2.3. ГРАДУИРОВАНИЕ ПРЯМОЙ
Проградуировать прямую — это найти на проекции прямой, заданной отрезком, проекции точек с целочисленными отметками.
Пример 1 (рис. 8). Проградуировать прямую, заданную проекциями
отрезка a 2,5b 7,5 , определить проекции точек с отметками 3; 4; 5.
Подъем отрезка (Δ) — разность альтитуд его концов — составляет
пять метров (Δ =5 м).
Решение:
1) проведем из точки a2,5 вспомогательную прямую N-a 2,5 под произвольным углом к заложению a 2,5 b7,5 длиной 5 м;
2) найдем точку 30 , отложив от точки a 2,5 отрезок, равный 0,5 м. А
затем последовательно отметим точки 40 , 50 , 60 , 70 с промежутками в
одну масштабную единицу, где вспомогательная прямая заканчивается
точкой
;
10
3)соединим точку
с b7,5 тонкой линией, параллельно которой
будем проводить прямые линии из каждой точки данной вспомогательной прямой, начиная с точки 70 до точки 30 , до пересечения с заложением отрезка a 2,5b 7,5. На заложении получим искомые точки с целочисленными отметками.
Рис. 8. Иллюстрация к примеру 1
Рис. 9. Иллюстрация к примеру 2
Пример 2 (рис. 9). Проградуировать отрезок прямой АВ, определить интервал прямой и ее уклон.
Решение:
1) определяем заложение (L) отрезка, измеряя длину а 3,2 ―b 5,6 в соответствии со шкалой линейного масштаба, L = 7,2 м;
2) вычисляем подъем (Δ) точки В над точкой А:
∆ = h B – hA = 5,6 – 3,2) = 2,4;
3) определяем уклон (i) прямой согласно выражению (2):
4) определяем интервал (l) в соответствии с выражением (3):
Учитывая, что интервал (l) является заложением отрезка с подъемом
в одну масштабную единицу (Δ = 1) между двумя смежными точками,
отметки которых — целые числа, а также то, что интервал (l) представляет собой величину, обратную уклону (i), получим следующий
результат:
l = 1 / i = 1 : 1/3 = 3 м,
11
где 1 — единичная разность высот (Δ) смежных точек;
i — уклон прямой АВ.
Нахождение проекции точек с целочисленными отметками на заложении отрезка a3,2 b5,6 можно выполнить по двум вариантам.
Первый вариант. Проградуируем заложение отрезка в соответствии
с последовательностью решения в примере 1 (рис. 7). В данном же
примере удваиваем вспомогательную прямую a 2,5 N5,5 , поскольку разность высот (Δ) концов отрезка слишком мала по отношению к его заложению.
Второй вариант. Интервал (l) равен трем масштабным единицам
(l = 3 м), при ∆m = 0,8м (h 4 – h a3,2 ) длина отрезка т от точки a 3,2 до
точки 4 составит 2,4 м (0,8 x 3). От точки 4 откладываем величину
интервала (l = 3 м) и получаем точку 5.
Проверим правильность построения:
1) при измерении оставшегося отрезка п (5 – b 5,6 ) получаем длину,
равную 1,8 м, где подъем (Δ'') отрезка п равен 0,6;
2) при расчете получаем ту же масштабную длину, т.е. n = 0,6 3 =
n
(∆
l) = 1,8 м (рис. 9).
2.4. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ
Две прямые в пространстве могут занимать относительно друг друга
различные положения: пересекаться, скрещиваться, быть параллельными между собой.
Положение двух прямых в пространстве может быть определено по
их проекциям на плоскость нулевого уровня (H0 ), если соблюдаются
следующие условия:
1) две прямые в пространстве могут быть параллельными только в
том случае, если проекции этих прямых будут иметь равные интервалы
(рис. 10, а), углы наклона к плоскости Н0 (рис. 10, б), а отметки будут
возрастать в одном направлении; параллельность двух прямых может
быть подтверждена, если вспомогательные прямые, проведенные через
проекции точек с одноименными числовыми отметками, также будут
параллельными между собой (рис. 10);
2) две прямые в пространстве могут считаться пересекающимися
только в том случае, если их проекции имеют общую точку с одноименной числовой отметкой (рис. 11);
3) если проекции двух прямых пересекаются, а кажущаяся точка
пересечения имеет разные числовые отметки, то такие две прямые в
пространстве являются скрещивающимися (рис. 12).
12
а
б
Рис.10. Параллельные прямые в пространстве:
а — проекции двух прямых, имеющих равные интервалы;
б — проекции двух прямых, имеющих равные углы наклона к плоскости Н0
Рис. 11. Пересекающиеся прямые
Рис. 12. Скрещивающиеся прямые
13
3. ПЛОСКОСТЬ
3.1. ЗАДАНИЕ И НАЗНАЧЕНИЕ ПЛОСКОСТИ
Плоскость в проекциях с числовыми отметками может быть задана
так же, как и в ортогональных проекциях, и может занимать различное
положение в пространстве относительно плоскости нулевого уровня Н0 .
Рис. 13. Плоскости уровня « H» и образуемые ими горизонтали
на плоскости ну левого уровня
В проекциях с числовыми отметками положение плоскости (общее
или частное) задается в зависимости от ее функционального назначения.
Так, при составлении рабочих чертежей, при решении инженерных задач, связанных с земляными работами, используются плоскости общего
и частного положения как секущие, например:
14
1) наклонные плоскости «Р» (плоскости общего положения) — при
построении откосов выемок и насыпей и определении границы 2 земляных работ на прямолинейных участках строительных площадок, дорожного полотна и тому подобных объектов;
2) горизонтальные плоскости «H» (плоскости уровня) — при построении проекций горизонталей поверхностей (гранных, криволинейных, топографических) на Н0 , рассекая эти поверхности по высоте с
промежутками в один метр (рис. 13);
3)
вертикальные
плоскости
«Q»
(горизонтально-проецирующие) — при построении разреза (профиля) местности
(рис. 14).
Рис. 14. Профиль топографической повер хности
2
Границей земляных работ называется линия (чаще кривая) пересечения откосов выемок и насыпей с земной поверхностью. Эта граница на чертежах позволяет определить срезку или подсыпку грунта, ч то дает возможность точнее у станавливать объем земляных работ.
15
3.2. МАСШТАБ УКЛОНА ПЛОСКОСТИ
Наклонная плоскость (Р) в проекциях с числовыми отметками чаще
всего задается ее горизонталями с расстоянием по высоте в один метр и
линией наибольшего ската NM (рис. 15).
Определение I. Интервалами (lр ) плоскости называются отрезки
между смежными проекциями горизонталей с целочисленными отметками возрастающего или убывающего последовательного ряда чисел.
Интервалы плоскости совпадают с интервалами проградуированной
проекции (mn) линии наибольшего ската данной плоскости, а потому
плоскость может быть задана проекцией линии наибольшего ската с
нанесенными на ней интервалами плоскости, разделенными между собой перпендикулярными прямыми.
Определение II. Градуированная проекция линии наибольшего
ската наклонной плоскости называется масштабом уклона плоскости.
Рис. 15. Способ задания наклонной плоскости
при помощи линии наибольшего ската
Масштаб уклона плоскости (Р) изображается двойной линией
(тонкой и толстой) и обозначается символом плоскости с индексом уклона i, т.е. Pi — масштаб уклона плоскости Р (рис. 16).
Числовые отметки проекций горизонталей на масштабах уклона
плоскостей наносятся со стороны тонкой линии.
16
3.3. УГЛЫ ПАДЕНИЯ И ПРОСТИРАНИЯ ПЛОСКОСТИ
Угол наклона плоскости общего положения к плоскости Н0 , заключенный между линией наибольшего ската NM и ее проекцией тп,
называют углом падения плоскости, который принято обозначать
символом φ (рис. 15).
Иногда при решении инженерных задач на рабочих чертежах, связанных с рельефом земной поверхности, возникает необходимость
ориентировать наклонную плоскость относительно земного меридиана.
В таком случае вводится понятие угла простирания плоскости.
За направление простирания плоскости принимается правое направление горизонталей, если смотреть на плоскость в сторону возрастания отметок (рис. 15).
Угол ψ между северной стороной магнитной стрелки компаса и
направлением простирания, измеренный (проведенный) против часовой
стрелки, называется углом простирания плоскости (рис. 16).
Рис. 16. Масштаб уклона плоскости. Угол простирания плоскости
3.4. ПОСТРОЕНИЕ МАСШТАБА УКЛОНА ПЛОСКОСТИ
Плоскость общего положения (Р) задается масштабом уклона Р i
(п. 3.2). Как построить масштаб уклона плоскости Р, если она задана отрезком АВ с отметками 2 и 5 и точкой С с отметкой 3 (рис. 17), а также как
определить уклон (ip ) плоскости и угол (φp ) падения плоскости к Н0?
Решение:
1) проградуировав заложение отрезка а2 b5 , находим точки с целочисленными отметками — 3 и 4;
2) через точки d 3 и с3 проводим горизонталь с отметкой 3;
3) перпендикулярно горизонтали 3 строим масштаб уклона Pi ;
17
4) параллельно горизонтали 3 через точки а2 , 4, b 5 проводим оставшиеся три горизонтали;
5) измеряем интервал (lp ) плоскости в соответствии с заданным
масштабом (рис. 17), где lp = 1,6 м;
6) для определения уклона (ip ) и угла падения (φp ) плоскости представим следующие выражения (5), (6):
tgφp
ip
ip ,
I
,
lp
(5)
(6)
где I — единичное, т.е. на 1 единицу высоты, например 1 м, превышение
смежных горизонталей;
lр — интервал плоскости;
при
lр = 1,6 м; ip = 0,625; φp = 32°.
Рис. 17. Прямая, заданная о трезком и точкой
Если же плоскость Р будет задана уклоном (ip ), то интервал (1Р )
плоскости определяется по выражению (7), т.е.
lp
I
.
ip
18
(7)
Например, плоскость Р задана углом падения φ = 11°20'. Построить
масштаб уклона Pi плоскости Р, определив сначала интервал (lр ) плоскости. Уклон плоскости будет равен 0,2, что соответствует тангенсу
угла в 11°20', отсюда интервал плоскости составит 5 м; привлекая
выражение (7), получим (8):
lp
I
ip
1
0, 2
5м .
(8)
Определение III. Наклонную плоскость можно считать заданной
однозначно, если она будет задана одним из ее основных «параметров» —
углом падения (φ), интервалом (lр ) или уклоном (ip ).
3.5. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ,
ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
Две плоскости в пространстве могут быть либо параллельными
между собой, либо пересекаться под прямым или острым (тупым) углом.
Параллельность двух наклонных плоскостей в проекциях с числовыми отметками может быть доказана или опровергнута в соответствии
с условиями параллельности.
Определение IV. Две наклонные плоскости могут считаться параллельными между собой, если отвечают следующим условиям:
1) масштабы уклонов двух плоскостей параллельны между собой;
2) интервалы масштаба уклонов имеют одну и ту же величину;
3) числовые отметки возрастают или убывают в одном и том же
направлении.
Например, плоскости Р и Т отвечают условиям параллельности
(рис. 18, а).
Если у двух наклонных плоскостей, заданных масштабом уклонов,
отсутствует хотя бы одно из условий параллельности, то такие плоскости пересекаются.
Определение V. Линией пересечения двух плоскостей является
прямая, проходящая через две точки, где каждая точка лежит на пересечении горизонталей с одноименными числовыми отметками, а пары
пересекающихся горизонталей находятся на разных уровнях.
Например, две плоскости, заданные масштабами уклонов Pi и Тi ,
пересекаются по прямой MN, концы заложения которой лежат на горизонталях 5 и 7 ( рис. 18, б).
19
Рис. 18. Частные случаи расположения прямых и плоскостей:
а ― плоскости параллельны; б ― иллюстрация к определению V;
в ― иллюстрация к определению VI; г ― прямая лежит в плоскости;
д ― прямая пересекает плоскость
20
Определение VI. Плоскости пересекаются по биссектрисе угла,
проходящей между их масштабами уклонов Pi и Тi , если интервалы двух
пересекающихся плоскостей Р и Т равны (lP = lТ).
Докажем состоятельность определения VI на следующем примере.
По условию задачи (рис. 18, в), дана прямая а 5b 8 как линия пересечения
двух плоскостей Р и Т и равенство между интервалами (lP = lТ) этих
плоскостей.
Требуется построить масштабы уклонов Pi и Тi плоскостей и доказать, что заложение отрезка а 5b 8 является биссектрисой угла между Pi и Тi .
Приводим последовательное решение данной задачи:
1) через любую точку как через центр проградуированного заложения
а 5b 8 прямой, например точку 7, проводится дуга окружности радиусом,
равным интервалам плоскостей (R = lP = lT);
2) из точки b 8 проводятся касательные к окружности, которые и
будут горизонталями плоскостей Р и Т c отметками 8, а масштабы уклонов Pi и Тi при этом будут параллельны радиусам 7с и 7с' соответственно;
3) после построения масштабов уклонов Pi и Тi проводим горизонтали
7 и 6 либо параллельно горизонтали 8, либо по точкам ограничения интервалов (любое из этих построений равноправно).
Проанализируем построенный чертеж (рис. 18, в). Учитывая, что
прямоугольные треугольники 7cb8 и 7с'b 8 имеют общую гипотенузу 7b 8 и
равенство катетов 7с и 7с' как радиусов окружности, то и катеты b8 c и b8 c'
также будут равны. Отсюда следует, что углы при вершине 7 будут
равны, а заложение отрезка а 5b 8 является биссектрисой угла между
масштабами уклонов Pi и Тi .
Рассмотрим два примера: прямая лежит в плоскости и прямая пересекает плоскость.
Прямая лежит в плоскости (рис. 18, г). Плоскость Р задана масштабом уклона Pi , отрезки прямых AN и AM заданы проекцией точки а 7 ,
лежащей на горизонтали плоскости, и равными интервалами (lAM = lAN) этих
отрезков. Определить положение отрезков AM и AN.
Решение:
1) из точки а7 как из центра проводим дугу окружности, радиус
которой равен интервалам отрезков (R = 1 АМ = lAN);
2) пересечение дуги окружности с горизонталями плоскости 8 и 6
определяют положение точек т и n, т' и п' и их принадлежность
плоскости Р.
Прямая пересекает плоскость (рис. 18, д). Плоскость задана
масштабом уклона Рb , а прямая — заложением а 2b7 . Определить точку (k)
пересечения прямой с плоскостью.
21
Решение:
1) проводим через отрезок прямой АВ вспомогательную плоскость X
общего положения;
2) через концы заложения а 2 b7 проводим горизонтали плоскости X
под произвольным углом, но так, чтобы точки пересечения этих горизонталей с одноименными горизонталями заданной плоскости Р находились в пределах чертежа;
3) строим линию пересечения двух плоскостей, вспомогательной X
и заданной P. Плоскость X, в свою очередь, задается двумя направлениями горизонталей: по одному направлению — под углом 90° из концов заложения а 2b 7 — получим прямую пересечения mn, по другому —
под острыми углами — получим прямую m'n';
4) две прямые MN и M'N', полученные в результате двух направлений горизонталей плоскости X и являющиеся двумя линиями пересечения плоскостей Р и X, пересекаются между собой в общей точке «k» на
заложении отрезка а2 b7 . Отсюда следует, что, по каким бы направлениям
ни проводились горизонтали вспомогательной плоскости из концов заложения заданной прямой, получим одну-единственную точку пересечения прямой с плоскостью.
Определение VII. Единственная точка пересечения прямой с плоскостью общего положения может быть однозначно определена, если
соблюдаются следующие условия:
1) нельзя заключать прямую в вертикальную (проецирующую)
плоскость, поскольку заданная прямая и общая прямая пересечения двух
плоскостей совпадут с проецирующим следом, т.е. сольются в одну
линию на Н0 ;
2) проекции горизонталей вспомогательной плоскости должны быть
параллельными между собой независимо от того, под каким углом они
будут проводиться из концов заложения отрезка прямой, но учитывая,
что эти горизонтали должны проходить через точки заложения с целочисленными отметками.
3.6. ПРИМЕРЫ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПЛОСКОСТЕЙ
ПРИ РЕШЕНИИ ИНЖЕНЕРНЫХ ЗАДАЧ
Пример 1. Построить горизонтальную площадку высотой 4 м под
какое-либо «скульптурное сооружение», при условии, что земная поверхность сравнительно ровная и совмещена с плоскостью нулевого
уровня, т.е. Н0 = Н23.
22
Рис. 19. Начальные построения:
а ― площадка на вершине насыпи; б ― график масштаба уклонов
Дано: конфигурация площадки, уклоны откосов насыпи относительно сторон площадки, где две стороны из четырех имеют одинаковые
уклоны откосов (рис. 19, а).
Требуется: определить линии пересечения откосов насыпи, вычислить углы падения откосов, построить профиль в соответствии с
заданной вертикальной (горизонтально-проецирующей) секущей плоскостью Q.
Решение. Рассмотрим подробно последовательность решения данной задачи:
1) устанавливаем масштабную единицу (один метр будет соответствовать восьми миллиметрам) и вычерчиваем линейную шкалу;
2) строим график3 масштаба уклонов (рис. 19, б). Горизонтальная
ось OL графика представляет собой линейный масштаб чертежа. По оси
OL откладываются интервалы (l) масштаба уклонов откосов. Интервалы
для трех положений откосов представлены отрезками: l1 — для сторон
площадки АВ и АС, l2 — для CD, l3 — для BD (рис. 19, а; 19, б). На вертикальной оси Oh откладываются линейные единицы масштаба чертежа
(высоты). На графике три наклонные прямые, соответствующие заданным уклонам откосов, образуют с горизонтальной осью углы падения плоскостей (откосов);
3
График масштаба уклонов строится в том случае, если уклоны о ткосов н асыпи или выемки заданы разными значениями.
23
3) вычерчиваем площадку (рис. 20, а) по заданной конфигурации и
строим масштабы уклонов Pi , Ni , Ti перпендикулярно сторонам площадки, так как каждая ее сторона является горизонталью откоса с числовой отметкой 27;
Рис. 20. Построение чертежа насыпи:
а ― построение масштабов уклонов и горизонталей откосов;
б ― профиль насыпи
4) на масштабы уклонов Pi , Ni , Ti наносим интервалы, начиная откладывать их длину со сторон площадки. Длины отрезков интервалов
(рис. 19, б) можно уточнить расчетом согласно выражению (7), т.е.:
24
l1( Pi )
I
ii
1 м; l2( Ni )
I
i2
2 м; l3(Ti )
I
ii
1 м.
Через точки интервалов проводим горизонтали откосов параллельно горизонталям с отметкой 27, т.е. параллельно сторонам пл ощадки (рис. 20, а);
5) линии пересечения смежных откосов будут проходить через
точки пересечения горизонталей одного уровня. Линию пересечения
откосов АВ и АС можно было провести в начале построения горизонталей как биссектрису угла при вершине А (определение VI), поскольку
эти откосы имеют одинаковые уклоны;
6) построим профиль4 объекта (рис. 20, б). Зададим вертикальную
плоскость Q так, чтобы она, пересекая горизонтали откосов, проходила
через площадку (рис. 20, а). На профиле устанавливаем вертикальный
масштаб в соответствии с линейным масштабом чертежа и наносим
сетку горизонталей. Первая (нижняя) горизонталь сетки называется
базой профиля. Для получения конфигурации профиля наносим точки
на соответствующие горизонтали сетки профиля, попавшие в сечение
вертикальной плоскости Q;
7) углы падения откосов насыпи определяем по выражению (9):
tgφ i ,
(9)
где:
tgφ2
i2 ,φ2
45 ,
26 40' ,
tgφ3
i3 ,φ3
33 40' .
tgφ1
i1 ,φ1
8) для завершения чертежа необходимо нанести бергштрихи. При
построении чертежа насыпи бергштрихи проводятся от стороны площадки в сторону понижения откосов перпендикулярно горизонталям
(рис. 20, а).
Пример 2. Построить чертеж выемки грунта для котлована глубиной 3 м. Поверхность земли совпадает с плоскостью нулевого уровня Н0
(рис. 21).
4
Профилем называется конфигурация, полученная в результате сечения (разреза)
объекта вер тикальной (проецирующей) плоскостью .
25
Дано: прямоугольник 3 на 6 м (контур дна котлована). Уклоны откосов выемки:
1) i = 1:1 ― уклон с трех сторон контура дна АВ, AC, BD, что соответствует углу наклона 45° плоскости откоса к Н0 ;
2) i = 1:3 ― уклон со стороны CD более пологий, предназначен для
въезда землеройных машин.
Рис. 21. Построение чертежа ко тлована
Требуется:
1) определить линии пересечения откосов выемки;
2) построить продольный разрез (профиль) котлована.
Решение: поскольку интервал между смежными горизонталями
плоскости откоса является обратной величиной уклону (п. 3.2), то интервалы плоскостей откосов с трех сторон прямоугольника АВ, AC, BD
будут равны одному метру (l1 = I/i1 = 1 м), с четвертой стороны CD ―
трем метрам (l2 = I/i2 = 3 м).
Построение откосов выемки и линий их пересечения аналогично
построению откосов насыпи в примере 1 (рис. 19, 20), за исключением
вида земляных работ.
26
В данном примере откосы боковых сторон АВ и BD и торцевой АВ
будут пересекаться по биссектрисам углов А и В (определение VI).
Точки пересечения горизонталей с нулевой отметкой и угол контура дна
котлована определяют линии пересечения откосов — A1 A; В1 В; С1 С;
D1 D (рис. 19).
Профиль строится по той же схеме, что и у задачи в примере 1
(рис. 18).
Расчет объема вынутого грунта производится по известным формулам при определении объема гранных поверхностей (формулы 10, 11):
(2a a1 ) b (2a1 a) b1 ,
V
h
6
(10)
.
(11)
Рис. 22. Геометрическая фигура, поясняюща я расчет объема вынутого грунта
Фигура, полученная в результате построения чертежа выемки,
представляет собой усеченную пирамиду, площадь (Σ) поверхности которой составляет 468 м2 , а объем (V) ― 234 м3 (рис. 22), (выражение 12):
.
27
(12)
Для определения веса вынутого грунта воспользуемся средним
коэффициентом (k) объемного веса, например разрыхленной земли естественной влажности, где k = 1,5 т/м3 . Таким образом, вес вынутого
грунта составит 350 т.
Рис. 23. Чертеж траншеи
28
Пример 3. Построить чертеж траншеи, например дренажной, с понижением от поверхности земли через каждые три метра на метр. Земная
поверхность с отметкой 10 совпадает с плоскостью нулевого уровня Н0
(рис. 23).
Дано: полотно траншеи шириной 2 м, длиной 9,5 м. Уклоны откосов
выемки:
1) iб — уклоны выемки со стороны бровок траншеи;
2) iт — уклон с торцевой стороны траншеи, что соответствует углу 45°
плоскости откоса к земной поверхности.
Требуется: построить линии пересечения откосов и профиль вдоль
полотна траншеи.
Решение: интервалы iб = 1,5 м; iт = 1 м. Горизонтали с торцевой
стороны траншеи строятся аналогично построению горизонталей откосов в примере 2 (рис. 21), т.е. параллельно отрезку торца полотна.
Горизонтали плоскости откосов со стороны бровок полотна траншеи не будут проходить параллельно им, поскольку полотно имеет уклон к плоскости нулевого уровня Н0 . Поэтому для проведения этих горизонталей воспользуемся вспомогательными конусами с вершинами в
точках пересечения соответствующих горизонталей полотна траншеи с
ее бровками.
Условием выбора таких конусов является равенство углов наклона образующей конуса к его основанию и плоскости откоса выемки со стороны бровок траншеи (рис. 24).
Рис. 24. Геометрические построения в примере 3 :
а ― построение вспомогательных конусов;
б ― геометрическая фигура, позволяющая рассчитать объем вынутого грунта
29
Например (рис. 24, а), точка А с отметкой 7 — вершина конуса, а
горизонталь конуса с отметкой 8 представляет дугу окружности, радиус
которой соответствует интервалу плоскости откоса, т.е. R = iб = 1,5 м.
Касательная С1 С, проведенная из точки С с отметкой 8 к основанию
конуса перпендикулярно к его образующей АО, и будет являться горизонталью с отметкой 8 откоса бровки АК (см. рис. 24, а).
Поверхность, образованная в результате выемки грунта при построении траншеи, представляет собой клин (рис. 24, б), острие которого, отрезок А1 А, — торец полотна траншеи, высота (h) поверхности
клина — глубина траншеи на отметке 7. Основание клина К1 В1 ВК
(контур выемки) и его боковая сторона А1 В1 ВА — трапеции, пересекающиеся по горизонтали 10 (В1 В).
Для определения площади (Σ) клина и его объема (V) необходимо
определить метрические величины трех сторон основания К1 В1 ; В1 В; ВК,
две из которых — боковые горизонтали откосов бровок К1 В1 и ВК —
равны между собой.
Вопросы для самопроверки:
1. В чем назначение метода проекций с числовыми отметками?
2. Что такое уклон прямой?
3. Что подразумевается под заложением отрезка?
4. Укажите зависимость между уклоном и интервалом.
5. Какая разница между заложением и интервалом?
6. Что такое градуирование прямой?
7. Как установить параллельность двух прямых?
8. Как задается плоскость в проекциях с числовыми отметками?
9. Что является масштабом уклона плоскости?
10. Как определить точку пересечения прямой с плоскостью?
11. В каком случае невозможно определить точку пересечения
прямой с плоскостью?
12. Как установить параллельность прямой и плоскости?
13. Какие необходимы условия для определения параллельности
двух плоскостей?
14. Как построить линию пересечения двух плоскостей?
15. Что такое профиль сооружения?
30
4. КРИВЫЕ ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ В ПРОЕКЦИЯХ
С ЧИСЛОВЫМИ ОТМЕТКАМИ
Здания и сооружения в зависимости от их функционального назначения, а также отдельные части зданий и сооружений могут иметь различные геометрические формы — поверхности многогранные или
криволинейные широкого диапазона. На ортогональных чертежах планов, фасадов, разрезов зданий эти поверхности будут представлены сочетанием прямых и кривых линий.
В практике же строительства, связанного с производством земляных
работ, при возведении инженерных сооружений, использование класса
кривых линий и поверхностей очень ограниченно. Так, среди плоских
кривых используются в основном окружности; среди пространственных
кривых — винтовые линии (гелисы) и кривые равного уклона. При построении откосов выемок и насыпей на криволинейных участках дорог,
съездов, дамб и прочих сооружений, связанных с земляными работами,
используются конические поверхности, чаще всего конусы, поверхности одинакового ската и эвольвентные поверхности.
4.1. ГРАДУИРОВАНИЕ ДУГИ ОКРУЖНОСТИ
Градуирование дуги окружности или части дуги — это определение на дуге точек с целочисленными отметками. При градуировании
дуги окружности, заданной уклоном (i0 ), радиусом (R) и начальной
точкой (An ) с заданной числовой отметкой «п», угол (β0 ), соответствующий интервалу (l0 ), вычисляется по следующей формуле (13):
β0
180 l0 .
π R
(13)
Заменив интервал l0 на l = I/i согласно выражению (4), получим выражение (14):
β0
180
.
π Ri0
(14)
В случае если начальная точка на дуге окружности будет задана
дробной числовой отметкой, то величина угла β10 будет вычисляться по
31
формуле (13), т.е. β10
180 l1 где l — интервал, соответствует разности
1
,
π R
отметок (выражение 15):
li
hm hn
.
i
(15)
Приведем пример градуирования дуги окружности.
Дуга окружности задана: радиусом R = 30, начальной точкой А с
дробной числовой отметкой 5,7 м и уклоном i = 1:15.
Рис. 25. Градуирование дуги окружности
Требуется найти на дуге окружности точки с целочисленными отметками 5,0; 4,0; 3,0; 2,0 (рис. 25).
Решение: первая ближайшая точка В с отметкой 5,0 находится от
точки A5,7 на расстоянии интервала lI, определяемого по формуле (15), т.е.
Угол β10 , соответствующий заложению lI, определяем по формуле (13):
Интервал (l) между двумя смежными точками с целочисленными
отметками является обратной величиной уклону (i); величину интервала, опираясь на выражение (4), получим : l = I /I = 15 м.
32
Угол β0 между прямыми, проходящими через центр дуги окружности и две смежные точки с целочисленными отметками, определяется
также по формуле (13):
0
180 l0
R
180 15
3,14 30
28,65 .
В случае если дуга окружности будет задана углом β 00 и интервалом i0 , то радиус окружности может быть определен по представленным
формулам. Приведем пример.
Определить радиус кривизны RKp искривленного участка дорожного
полотна с продольным уклоном i д = 1 : 2 5 и интервалом lд = 25 м как
обратной величине уклону. Угол β 00 , соответствующий единичному
заложению lд , равен 22°. Согласно формуле (13) известную величину
угла β 00 заменим на неизвестный радиус кривизны, т.е.
180 l0 ,
R
180 l0 180 l0
R
0
3,14 22
0
65м .
Таким образом, если криволинейный участок дороги изгибается по
цилиндрической винтовой линии, то радиус кривизны будет равен 65 м.
4.2. КОНИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
Некоторые части земляных сооружений представляют собой поверхности прямого кругового конуса с вертикальной осью, причем конус может быть обращен как вершиной вверх (опоры мостов и шлюзов),
так и вершиной вниз (котлованы, выемки криволинейных участков
площадок).
Прямой круговой конус задается его горизонталями, полученными в
результате сечения горизонтальными плоскостями, проведенными через
единицу высоты. Расстояние между смежными секущими плоскостями
называется высотой сечения5 (рис. 26).
5
Высота сечения может приниматься за один, пять, десять и так далее метров в
зависимости от типа проектируемого земляного сооружения и рельефа местности.
33
Рис. 26. Сечение прямого кругового конуса
Горизонтали прямого кругового конуса на плоскости нулевого
уровня Н0 изображаются в виде концентрических окружностей с центром в вершине конуса S 3 . Принимая высоту сечения, равную единице,
радиусы окружностей (горизонталей конуса) будут отличаться один от
другого на величину интервала (l). Прямая образующая f конуса является линией наибольшего ската, а ее проградуированная проекция Ao S 3
на Н0 — масштабом уклона (рис. 26).
Прямые круговые конусы образуют поверхность равного уклона
(поверхность одинакового ската), если их вершины будут перемещаться
по направляющей — кривой линии равного уклона, а прямолинейные
образующие конусов при этом будут наклонены к их основаниям под
одним и тем же постоянным углом (рис. 27).
Конусы, образующие поверхность одинакового ската, изображаются на Н0 рядом концентрических окружностей с центрами в точках
направляющей т6 п 0 с целочисленными отметками (рис. 28, а). Поверхность одинакового ската изображается на плоскость Н0 касательными,
проведенными к горизонталям конусов с одноименными числовыми
отметками (рис. 28, б).
34
Рис. 27. Повер хность равного уклона
Рис. 28. Изображение повер хности о динакового ската на плос кости:
а ― изображение образующих повер хность конусов;
б ― изображение повер хнос ти при помощи касательных линий
35
Определение VIII. Каждая горизонталь поверхности одинакового
ската является огибающей семейства горизонталей конусов, где каждое
семейство имеет одинаковую числовую отметку.
Если в качестве направляющей равного уклона принята прямая
линия, то прямые круговые конусы, перемещаясь по данной прямой с
вершинами в точках с целочисленными отметками этой прямой, образуют две плоскости — ABC и АВD (рис. 29). Такое образование плоскостей характерно при построении откосов насыпей и выемок на прямолинейных участках дороги с продольным уклоном.
Рис. 29. Образование повер хностей о динакового ската в виде плоско стей
Вопросы для самопроверки:
1. Что такое градуирование кривой?
2. Укажите, как в проекциях с числовыми отметками изображается
поверхность одинакового ската.
3. По какой линии (направляющей) должны перемещаться конусы
для образования поверхности одинакового ската?
36
5. ТОПОГРАФИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
5.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ТОПОГРАФИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Поверхности, образование которых не подчинено какому-либо
геометрическому закону, называются топографическими. К топографическим поверхностям, в частности, относится и земная поверхность.
Земная поверхность в основном состоит из неровностей повышения
или понижения рельефа местности. Хоть неровность земной поверхности и не подчинена никаким геометрическим законам, но отдельные
повышенные или пониженные участки рельефа классифицированы, т.е.
получили свои определенные наименования (рис. 30).
Рис. 30. Типы рельефа земной повер хности:
а ― хо лм; б ― ко тловина; в ― хребет; г ― лощина;
д ― овраг; е ― седловина
Так, неровность, обратная возвышению, называется котловиной;
высшая точка возвышения — вершиной; боковая поверхность холма
или горы — склоном, или скатом. Нижняя часть котловины — дном,
боковые стороны котловины — щеками. Ступенчатые, относительно
горизонтальные участки вокруг возвышений (холмов или гор) называются террасами, а большие участки — плато, долинами или лощинами.
37
Склон холма (горы) или щеки котловины может иметь больший или
меньший угол наклона к условной горизонтальной плоскости. Такой
угол наклона называется крутизной склона (ската) холма, или крутизной щеки котловины.
5.2. ИЗОБРАЖЕНИЕ ТОПОГРАФИЧЕСКОЙ
(ЗЕМНОЙ) ПОВЕРХНОСТИ
Рельеф земной поверхности изображается горизонталями, полученными в результате сечения рядом горизонтальных плоскостей, параллельных некоторой условной плоскости нулевого уровня. Эти горизонтали являются незакономерными кривыми линиями, параллельными плоскости проекции Н0 , где каждая пятая горизонталь или кратная
ей проводится более толстой линией, например 5; 10; 15;...; 45 и т.д.
Рис. 31. Участок топографической повер хности
Рассмотрим участок топографической поверхности, заданной горизонталями от 4-й до 11-й с разрывом (рис. 31). По возрастанию горизонталей и их замкнутости можно предположить, что на чертеже представлен план какого-либо холма или горы. С одной стороны изображения все горизонтали обозначены числовыми отметками; с другой —
только некоторые горизонтали, но бергштрихами показано направление,
в какую сторону происходит понижение топографической поверхности.
Оба эти способа задания поверхности могут считаться равноправными,
если будет задан масштаб изображения и расстояние между смежными
секущими плоскостями. Такое расстояние между горизонталями по
высоте называется высотой сечения (h). Высота сечения (h) в зависимости от гористости участка рельефа и его протяженности может быть
принята за один, пять, десять метров и более.
38
Кроме горизонталей с целочисленными отметками, при необходимости могут проводиться также и промежуточные горизонтали (рис. 36).
Расстояние между целочисленной горизонталью и промежуточной по
высоте должно быть равно половине высоты сечения. Промежуточные
горизонтали называются полугоризонталями и обозначаются штриховой линией.
Рассмотрим пример (рис. 30): конусообразная «гора», условно
рассеченная горизонтальными плоскостями, расположенными одна над
другой на равных расстояниях. Эти секущие плоскости рассекут данную
поверхность по замкнутым незакономерным кривым — горизонталям.
Изображение горизонталей на плоскость Н0 дает наглядное представление о крутизне склонов. Две секущие проецирующие (вертикальные)
плоскости Q и Р, рассекая поверхность через высшую точку, определяют расстояние между горизонталями поверхности: чем меньше расстояние между ними, тем круче склон, что соответствует сечению
плоскостью Р.
Рис. 32. Конусообразная топографическая повер хность и горизонтали,
полученные в результате сечения горизонтальными плоскостями
5.3. ЛИНИИ СКАТА ТОПОГРАФИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Крутизна склонов холмов или гор, а также любого участка местности с повышением (понижением) рельефа определяется линией ската,
полученной в результате сечения вертикальной плоскостью (рис. 32).
При решении различных инженерных задач на плоскости нулевого
уровня такая линия ската не дает полного представления о характере
рельефа.
39
Рис. 33. Линия наибольшего ската
Для наиболее точного определения откосов топографической поверхности проводится линия наибольшего ската. Линия наибольшего
ската представляет собой ломаную линию, составленную из отрезков
прямых между точками смежных горизонталей (рис. 33). Например,
точка А лежит на горизонтали 17. Из точки А17 как из центра проводим
дугу окружности, касающейся горизонтали 16 в точке В; из точки B16
проводится следующая дуга и т.д.
Соединяя точки касания, получаем искомую линию наибольшего
ската участка рельефа местности между горизонталями 17 и 11. Очевидно, что чем меньше отрезок между двумя точками смежных горизонталей, тем больше уклон на этом заложении. Так, угол наклона φ2
между горизонталями 14 и 15 наибольший, поскольку заложение отрезка между точками D14 и C15 минимально. На профиле (рис. 33) линия
наибольшего ската Аk дает относительно полное представление спуска
рельефа на данном участке местности.
40
5.4. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ
С ТОПОГРАФИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
На участке топографической поверхности задана прямая заложением отрезка A22 B15 . Требуется определить точку пересечения (k) прямой
с топографической поверхностью. Для определения точки пересечения
прямой с поверхностью необходимо выполнить некоторые предварительные построения и расчеты в следующей последовательности:
1) найти на заложении отрезка A22B15 точки с целочисленными отметками (рис. 8);
2) установить величину интервала (l) единичного отрезка;
3) вычислить уклон (i) прямой;
4) заключить прямую во вспомогательную плоскость (определение VII);
5) провести горизонтали вспомогательной плоскости;
6) нанести линию пересечения топографической поверхности со
вспомогательной плоскостью;
7) определить числовую отметку точки k — обшей точки прямой и
поверхности.
Решение. Поскольку пограничные точки отрезка прямой заданы
целочисленными отметками, то данный отрезок A22 B15 будет содержать
еще шесть точек также с целочисленными отметками, а заложение A22 B15
будет разделено на семь единичных отрезков (рис. 34):
Рис. 34. Построение пересечения прямой
с топографической поверхностью
41
1) местоположение искомых точек определим градуированием
исходного отрезка А22 В15. Из точки А22 (рис. 34) проведем прямую под
произвольным углом к заложению А22 В15 и нанесем на нее семь равных
фиксированных отрезков, начиная с точки А22 . Получим конечную точку
N15o (штриховая линия). Соединим точку N15o с точкой В15 , а затем параллельно отрезку N15o B15 проведем ряд линий (штриховых) из точек
прямой N15o B15 до пересечения с заложением отрезка А22 В15 и получим
искомые точки с целочисленными отметками;
2) интервал (l) заложения отрезка А22 В15 будет равен l ≈ 1,7 м, для
определения его величины необходимо измерить отрезок между двумя
смежными точками и сопоставить его величину с линейным масштабом
(рис. 34);
3) уклон (i) прямой вычислим как обратную величину интервалу (l)
в соответствии с формулой (4), т.е. i = 3:5 ;
4) заключим прямую во вспомогательную плоскость Р общего
положения и проведем ее горизонтали. Первую горизонталь 22 данной
плоскости Р проведем так, чтобы она пересеклась с горизонталью 22
топографической поверхности в пределах чертежа (определение VII).
Соединив смежные точки пересечения одноименных горизонталей
прямой и поверхности, получим их общую линию пересечения C22 F16 6 .
Точка k, принадлежащая отрезку прямой А22 В15 и топографической поверхности, является результатом пересечения ломаной линии C22 F16 с
заложением отрезка А22 В15 (рис. 34). Точка k лежит между точками 18 и 19
и имеет отметку 18,5.
Такое подробное решение данной задачи обусловлено закреплением
теоретического материала, изложенного во втором и третьем параграфах.
5.5. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПЛОСКОСТИ
С ТОПОГРАФИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
Пример 1. (рис. 35). На участке топографической поверхности задана плоскость Р масштабом уклона Рi (рис. 15). Требуется определить
линию их пересечения.
Поскольку плоскость Р задана масштабом уклона Pi , то, продолжив
ее горизонтали до пересечения с одноименными горизонталями топографической поверхности, получим искомую линию пересечения.
6
Линией пересечения плоскости с топографической повер хностью будет незакономерная кривая. В данном примере кривая аппроксимирована ломаной.
42
Рис. 35. Пересечение плоскости с топографической поверхностью
Пример 2. (рис. 36). Плоскость задана треугольником A2 B7 C5 . Требуется определить линию пересечения плоскости A2 B7 C5 с топографической поверхностью. Проводим горизонтали плоскости через одноименные точки треугольника, предварительно определив местоположение промежуточных точек с целочисленными отметками на сторонах
данного треугольника (рис. 34).
Рис. 36. Пересечение плоскости, заданной треугольником,
с топографической поверхностью
43
Линией пересечения плоскости с поверхностью является кривая,
проходящая через точки пересечения одноименных горизонталей. Треугольник будет пересекаться с топографической поверхностью по кривой FN, при этом одна часть треугольника (с вершиной В7 ) будет видимой, а другая часть (с вершинами А2 и С5 ) будет невидимой, как
ушедшая под поверхность рельефа местности.
Для уточнения линии FN проведем дополнительные горизонтали —
промежуточную горизонталь 5,5 в треугольнике и полугоризонталь 5,5
топографической поверхности. Точка k пересечения полугоризонталей 5,5 определяет уточненное положение линии FN.
Вопросы для самопроверки:
1. Какие поверхности называются топографическими?
2. Как изображается топографическая поверхность?
3. Когда и как строятся промежуточные горизонтали (полугоризонтали) ?
4. Что называется высотой сечения?
5. Как построить линию наибольшего ската топографической поверхности, заданной горизонталями?
6. Как определить точку пересечения прямой с топографической
поверхностью?
7. Какое положение должна занимать вспомогательная плоскость
относительно плоскости нулевого уровня Н 0 при определении точки
пересечения прямой с топографической поверхностью?
44
6. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ПРОЕКЦИЙ
С ЧИСЛОВЫМИ ОТМЕТКАМИ К РЕШЕНИЮ ИНЖЕНЕРНЫХ
ЗАДАЧ, СВЯЗАННЫХ С ЗЕМЛЯНЫМИ СООРУЖЕНИЯМИ
6.1. НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ И ПОНЯТИЯ
При производстве земляных работ, когда требуется придать участку
земли вид плоскости с определенным уклоном, необходимо установить
границу этих работ, т.е. построить кривую линию, ограничивающую
планируемый участок и являющуюся линией пересечения плоскостей
откосов выемок и насыпей с топографической поверхностью. Такая
линия (граница земляных работ) называется пределом работ, или линией нулевых работ.
В процессе проектирования сооружения со сторон выемок планируются кюветы (канавы) для отвода поверхностных водных потоков.
Уклоны откосов кюветов в зависимости от рельефа местности, проектируемого сооружения и высоты откосов выемок могут быть заданы
различными соотношениями, например ik = 1:2; 2:3; 4:5; 2:1.
Независимо от уклона откосов глубина кювета7 и ширина его дна
должны быть одинаковыми и могут колебаться от 0,5 до 1 м. Профиль
кювета будет представлять собой равнобокую трапецию (рис. 37).
Рис. 37. Профиль кювета
Прежде чем приступить к решению задачи, связанной с земляными
работами, необходимо установить линейный масштаб: определить,
скольким сантиметрам или миллиметрам соответствует один метр
(рис. 36), или сколько метров содержит один сантиметр (10 мм) чертежа.
7
В учебных целях глубина кю вета и ширина дна принимаю тся за 0,5 м; ширина
между бровками 1 м; уклон откосов стенок кювета i k = 2, т.е. по д углами в 63°.
45
Рис. 38. Линейный масштаб
Чтобы придать чертежу выразительность и указать направление
ската поверхности или плоскости откосов выемок и насыпей, наносится
штриховка — бергштрихи. Бергштрихи проводятся от границы земляных работ откосов выемок и от сторон контура сооружения или бровок дорожного полотна откосов насыпи. Направление бергштрихов —
перпендикулярно горизонталям плоскости откоса, если контур площадки и бровки дороги — прямые линии (рис. 39, а)8 .
Если же площадка или дорога содержит криволинейные участки, то
бергштрихи проводятся к центру кривизны (рис. 39, б).
Рис. 39. Нанесение бергштрихо в:
а ― контур земляных работ ― прямая линия;
б ― нанесение на криволинейных участках
8
В учебных целях бергштрихи о ткосов выемок можно проводить упрощенно
(не по всей длине границы выемки и насыпи).
46
6.2. ПОСТРОЕНИЕ ГРАНИЦЫ ЗЕМЛЯНЫХ РАБОТ
ДЛЯ ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПЛОЩАДКИ
На участке рельефа местности между горизонталями 7—15 необходимо возвести квадратную площадку ABCD со стороной пять метров
на уровне 11-й горизонтали (рис. 40).
Заданы уклоны (i0 ) откосов: выемки iв = 1:1; насыпи iн = 3:4; кювета
iк = 2:1.
Интервалы (l) горизонталей откосов выемок и насыпей вычисляются как обратные величины уклонов в соответствии с формулой (4) и
будут равны: lв = 1 м; lн = 3 м.
Кювет устраивается со сторонами выемки шириной 1 м, глубиной и шириной дна 0,5 м.
Прежде чем приступить к решению задачи (любой задачи), необходимо установить линейный масштаб и вычертить график уклонов (рис. 40).
Решение. На сетку горизонталей топографической поверхности
наносится контур площадки. К сторонам площадки перпендикулярно
проводим плоскости откосов масштабами уклонов Рi Рil Ti (см. п. 3.2) и
параллельно сторонам площадки — горизонтали откосов с учетом вычисленных интервалов. Нижние горизонтали откосов выемок — горизонтали 11 — будут проходить на расстоянии одного метра от сторон
площадки для устройства кювета.
Строим линии пересечения откосов, проводя их через точки пересечения одноименных горизонталей.
Поскольку горизонталь 11 рельефа местности, совмещенная с
плоскостью нулевого уровня Н0 , пересекает площадку так, что ее вершины А и В находятся в зоне насыпи, а вершины С и D — в зоне выемки,
то линии пересечения плоскостей откосов будут проходить по биссектрисам углов квадрата (см. определение VI).
Устанавливаем границу земляных работ (линию нулевых работ),
соединяя точки пересечения горизонталей откосов выемок и насыпей с
одноименными горизонталями топографической поверхности.
Для определения точек пересечения (т.н. «точек схода») (A1;B1 ;С1 ;D1)
границ смежных откосов выполняем следующие построения:
1) вертикальную горизонталь 15 откоса плоскости Р продолжим за
пределы линии Dt D (штриховая линия) до пересечения в точке E15 с
горизонталью 15 рельефа местности (рис. 40);
2) соединяя точку E15 с точкой V14 , получим искомую точку «схода»
D1 на линии пересечения плоскостей откосов Р и P1 ;
47
Рис. 40. Построение чертежа земляных работ для горизонтальной площадки
48
3) продолжим горизонталь 15 плоскости откоса Рг (штриховая линия) до пересечения с горизонталью 15 рельефа. Получим точку S 15 ;
4) соединив точку S 15 с точкой Wl4 , убедимся, что линия их соединения пройдет через точку «схода» D1 .
Двух последних построений можно было бы и не выполнять, но для
наглядности и достоверности определения точки пересечения D1 границ
двух смежных откосов такие действия были нелишними.
Аналогично только что выполненным построениям нахождения
точек пересечения смежных откосов определяем остальные три точки
пересечения границ насыпи (A1 и B1 ) и выемки (С1 ).
При построении границы земляных работ откоса плоскости Т насыпи на участке A1 ABB1 горизонтали 8 пересекаются в двух точках, а
горизонтали 7 не имеют точек пересечения. Поэтому для более точного
построения границы на этом участке проводим дополнительные горизонтали на половину высоты сечения , т.е. промежуточную горизонталь 7,5 плоскости откоса и полугоризонталь 7,5 рельефа местности.
Дополнительные горизонтали проводим штриховой линией (рис. 40).
Пересечение дополнительных горизонталей 7,5 в точке I позволяет более точно установить границу откоса насыпи на этом участке рельефа
местности.
Определение границы земляных работ при постройке любого сооружения требует особенно тщательного подхода, поскольку это связано с большими материальными затратами (рис. 22, 24).
Построим сечение данного сооружения (профиль) вертикальной
плоскостью A, где за базовую принимаем горизонталь 7 рельефа (рис. 40).
На вертикальной линии (h) откладываем высотные отрезки в соответствии с линейным масштабом и наносим сетку горизонтальных линий.
На горизонтальной линии (L) отмечаем точки заложения отрезков
топографической поверхности, попавших в секущую плоскость. Наносим эти точки на сетку профиля в соответствии с их высотными отметками и проводим линию рельефа. А затем строим сечение выполненного
сооружения.
6.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛИНИИ НУЛЕВЫХ РАБОТ
ДОРОЖНОГО ПОЛОТНА
Линия, проходящая по ширине проезжей части дорожного полотна,
каждая точка которой принадлежит земной поверхности, называется
линией нулевых работ, или линией перехода.
Линия перехода разделяет полотно дороги на два противоположных
участка: один участок проходит в выемке, другой — на насыпи.
49
Пример (рис. 41). Построить отрезок дороги на участке рельефа
местности между горизонталями 27—18. Ширина дороги равна 4 м,
продольный уклон iд = 1:5. Уклоны откосов выемки iв = 1:1; уклоны
откосов насыпи iн = 2:3; уклоны откосов кювета iк = 2:1.
Интервалы (l0) откосов: выемки lв = 1 м, насыпи lн = 1,5 м. Интервал полотна дороги lд = 5 м.
Дано: ось (J) дорожного полотна с начальной точкой J24,5 , совмещенной с точкой А горизонтали 27 земной поверхности, т.е. точки A27 и J24,5
принадлежат одному и тому же проецирующему лучу.
Требуется определить:
1) границу земляных работ выемки и насыпи;
2) линию нулевых работ полотна дороги.
Рис. 41. Построение чертежа отрезка дороги на участке рельефа местности
Решение. Проведем бровки дороги параллельно оси J’―J, отступив
от оси по 2 м в обе стороны. Отметим точки на оси с целочисленными
отметками (рис. 7 и рис. 4) и через эти точки проведем горизонтали
полотна дороги.
Проанализируем положение горизонталей полотна дороги и рельефа местности. Горизонтали рельефа 21 и 22 лежат между горизонталями 21 и 22 полотна дороги. Отсюда следует, что линия нулевых работ
будет проходить между этими горизонталями (рис. 41).
50
Горизонтали 23 и 24 рельефа проходят между горизонталями 22 и 23
полотна дороги, т.е. горизонтали рельефа выше горизонтали полотна.
Значит, в сторону горизонталей полотна 22; 23; 24 — выемка, а от горизонтали полотна 21 и далее 20; 19 — насыпь.
Строим горизонтали откосов выемки и насыпи как касательные к
прямым круговым конусам, радиусы оснований которых будут равны
интервалам.
На участке дороги в выемке отступаем от бровок дороги на один
метр для устройства кюветов. Точки 23 внешних бровок кюветов будут
являться вершинами конусов (вершиной вниз), а основания конусов с
высотной отметкой 24. Из точки 24 бровок кюветов проводим касательные к основаниям конусов. Эти касательные являются горизонталями откосов выемки с отметкой 24. Задаем плоскости откосов масштабами уклонов и проводим остальные горизонтали.
Аналогично проводим горизонтали откосов насыпи. Конусы с
вершинами в точках бровок 21 и основаниями на отметке 20.
Строим границы земляных работ откосов насыпи, соединяя точки
пересечения 18; 20; 21 одноименных горизонталей плоскостей откосов и
рельефа. Чтобы определить, где заканчивается граница насыпи, необходимо выполнить следующие построения:
1) проведем горизонтали насыпи с отметками 22 (штриховые линии)
до пересечения с горизонталью 22 рельефа в точках т22 и п 22 (рис. 41);
2) соединим точки пересечения границы 21 с обеих сторон полотна с
точками т22 и п 22 , получим точки пересечения этих линий с бровками
дороги — 21 х т22 = p; 21 х п22 = q.
Линия pq (двойная линия) и является искомой линией нулевых работ, т.е. линией перехода от насыпи к выемке.
Произведем следующие построения для определения конечных точек границы выемки, которые будут находиться на внешних бровках
кюветов:
1) проведем горизонтали 21 выемки (штриховые линии) и продолжим их до пересечения с горизонталью рельефа 21 в точках k21 и t21 ;
2) соединим точки пересечения горизонталей 22 откосов выемки и
рельефа местности с точками k 21 и t21 , получим точки f и s соответственно на внешних бровках кюветов.
Кюветы глубиной 0,5 м продлеваем до горизонтали рельефа 21,
отводя их в стороны от насыпи, т.е. продолжаем кювет так, чтобы его
дно сравнялось с естественным грунтом, а в кювете не образовывался
водяной мешок.
51
Дорогу с продольным уклоном, как в рассмотренном примере
(рис. 41), иногда называют аппарелью. Аппарель (фр. appareil — «аппарат, устройство») представляет собой наклонную платформу для погрузки тяжелой техники в вагоны или плиту с небольшим уклоном
(пологим спуском) для прохода, проезда к зданию или сооружению.
Пандус также можно называть аппарелью.
6.4. ПОСТРОЕНИЕ ГРАНИЦЫ ЗЕМЛЯНЫХ РАБОТ
НА ПРЯМОУГОЛЬНОМ УЧАСТКЕ ДОРОГИ
Задана земная поверхность сеткой горизонталей 31—20 протяженностью 35 м и вертикальной осью J31 '—J20 (рис. 42).
Требуется построить границу земляных работ для прокладки дорожного полотна с двумя горизонтальными обочинами — прямоугольной и криволинейной.
Правая бровка дорожного полотна, сторона АВ прямоугольной
площадки, диаметр DF и центр С полукруглой обочины совмещены с
вертикальной осью J'—J рельефа местности.
Прямоугольная площадка расположена на уровне 25-й горизонтали
рельефа земной поверхности. Кривая линия pq, являясь отрезком горизонтали 25, пересекает данную площадку по ширине и представляет
собой линию перехода из зоны выемки в зону насыпи.
Дорога (ширина полотна три метра) проходит с продольным уклоном (i = 1:3) в одном направлении и разделяется горизонтальными
площадками на три участка — два внешних и один внутренний. Внешний участок дороги № 1 проходит в зоне выемки, а внутренний участок и
внешний участок № 2 — в зоне насыпи.
Радиус (r) полукруглой площадки равен 3 м, а ее центр (С) отстоит
от нижнего угла (B) прямоугольной площадки на девять метров (ВС = 9 м).
Расстояние между верхней точкой (D) диаметра полудуги и углом (В)
прямоугольника равно шести метрам (BD = 6 м). А это значит, что горизонталь 23 дорожного полотна, проходящая через точку D диаметра,
будет являться уровнем полукруглой обочины.
Уклоны откосов равны: выемки iв = 1:1, насыпи iн = 2:3. Интервалы (l) горизонталей откосов соответственно равны: выемки lв = 1 м;
насыпи lн = 1,5 м.
Построение откосов выемок и насыпей, а также устройство кюветов
очень подробно изложено в п. 6.2, 6.3.
52
Рис. 42. Чертеж прямоугольного участка дороги с двумя обочинами
53
6.5 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ
ЗАДАНИЯ «ПОСТРОЕНИЕ ГРАНИЦЫ ЗЕМЛЯНЫХ РАБОТ»
Эпюр выполняется на двух листах формата A3 (297 x 420). Чертеж
после правильного решения задачи выполняется карандашом (студентами-специалистами оформляется тушью с цветной отмывкой).
Рис. 43. Образец выполнения задания, разметка будущего чертежа
Лист первый (рис. 43) — расположение вертикальное — делается в
следующей последовательности:
1) вычерчивается формат чертежа и рамка, ограничивающая поле
чертежа. В правом нижнем углу проводится прямоугольник для
оформления основной надписи;
2) устанавливается линейный масштаб, где за единицу линейного
масштаба принимается отрезок, равный десяти миллиметрам, который
соответствует одному метру (1 м ~ 10 мм);
3) внутри рамки чертежа вычерчивается габаритный прямоугольник 260 x 330 мм в масштабе чертежа и разбивается на 20
квадратов 65 x 65 мм (в тонких линиях карандашом), образуя прямоугольную однородную сетку.
54
На данную сетку карандашом от руки наносятся горизонтали
рельефа местности по своему варианту.
В нижнем левом углу строится график уклонов и фиксируются отрезки ― интервалы горизонталей откосов: выемки (lв), насыпи (lн) и
дорожного полотна (lд).
На сетку горизонталей рельефа наносится, согласно варианту задания, контур строительной горизонтальной площадки и дороги с продольным уклоном, условный центр (0) площадки совмещается с точкой 0
рельефа местности. Вертикальная ось площадки устанавливается под
заданным углом к меридиану. Например, угол равен 10° или 20° (рис. 43).
Площадка строится на уровне 25 м (или 50 м) в соответствии с вариантом задания, дорога — со спуском на метр9 через каждые 3 м. Таким образом, первая часть задания — подготовительная — выполнена.
Во второй части задания необходимо (рис. 44):
1) показать в зоне выемки площадки условные границы кюветов;
2) определить линии пересечения откосов насыпи и выемки сооружения с топографической поверхностью;
3) построить профиль местности и сооружения по направлению,
указанному преподавателем.
Второй лист — построение профиля сооружения — расположение
как горизонтальное, так и вертикальное (в зависимости от протяженности секущей плоскости, заданной преподавателем).
Задать плоскости откосов выемок и насыпей масштабами уклонов.
Вопросы для самопроверки:
1. Для какой цели устраиваются кюветы?
2. Какое назначение имеют линии нулевых работ (линии перехода)?
3. Как строится линия перехода на дорогах с продольным уклоном?
4. Как определяется линия перехода на горизонтальных площадках?
5. Как проводятся горизонтали откосов выемки или насыпи на горизонтальных участках?
6. Как проводятся горизонтали откосов выемки или насыпи к прямолинейным бровкам дорог с уклоном?
7. Что является базой профиля?
9
Понижение дорожного полотна допускается до 12 %. На дорогах-серпантинах
в исключительных случаях уклон может быть больше.
55
Рис. 44. Пример выполнения эпюра «Построение границы земляных работ»
56
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Данное пособие, как уже отмечалось, может быть использовано
студентами старших курсов, аспирантами, желающими исследовать
что-то новое в описанном методе, а также преподавателями кафедр начертательной геометрии.
В литературных источниках метод проекции изображения представлен отдельными главами в общих курсах начертательной геометрии
и в большинстве из них изложен в краткой форме, за исключением отдельного издания B.C. Сокова.
Многие вопросы, связанные с этим методом, позаимствованы из
приведенных источников, а также часть задач, которые были несколько
перестроены и сопровождались рисунками, разработанными авторами
данного пособия.
57
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Добряков, А.И. Курс начертательной геометрии. М ., Стройиздат, 1952.
2. Колотов, С.М. Курс начер тательной геометрии / С.М. Коло тов и др.
Киев : Госиздат, 1958.
3. Королев, Ю.И. Начертательная геометрия. М . : Стройиздат, 1987.
4. Крылов, Н.Н. Начертательная геометрия / Н.Н. Крылов и др. М. : Высшая
Школа, 1977.
5. Кузнецов, Н.С. Начертательная геометрия. М. : Высшая шко ла, 1981.
6. Рынин, Н.А. Начертательная геометрия. М . : Госстройиздат, 1939.
7. Соков, B.C. Проекции с числовыми отметками. М .–Л. : ОНТИ, 1935.
58