3

ºðºì²ÜÆ äºî²Î²Ü вزÈê²ð²Ü Æ ¶Æî²Î²Ü îºÔºÎ² ¶Æð
Ó×ÅÍÛÅ ÇÀ ÏÈÑÊÈ ÅÐ ÅÂÀÍÑÊÎÃÎ ÃÎÑÓ ÄÀÐÑÒ ÂÅÍÍÎÃÎ ÓÍÈÂÅÐ ÑÈÒÅÒÀ
´Ý³Ï³Ý ·ÇïáõÃÛáõÝÝ»ñ
3 , 2008
Åñòåñòâåííûå íàóêè
Математика
УДК 517.9
А. А. МАМИКОНЯН
ФУНКЦИЯ ЛЯПУНОВА ПОЛУГРУПП, ПОРОЖДЕННЫХ ОДНИМ
КЛАССОМ УРАВНЕНИЙ ТИПА СОБОЛЕВА
В данной работе изучается ф ункция Ляпунова полугруппы, порожденной начально-краевой задачей
  u 
 A    Bu  0,
  t 

u t  0  u0 ,


u   0,

где нелинейныe операторы A и B имеют следующий вид:
n
n


Au   
ai ( x, u ), Bu   bi ( x, u ) .
i 1 xi
i 1 xi
Доказывается существование ф ункции Ляпунова, определенной на
аттракторе полугруппы, порожденной этой задачей. Также представлена
структура аттрактора, получающаяся при помощи неподвижных точек этой
полугруппы.
Одной из осн овных проблем теории эволюционных дифференциальных
уравнений является изучени е поведения траектори й их решений при t   .
Эта проблема тесно связана с существованием многообразий, называемых
аттракторами. В данной статье рассматривается проблема описания структуры этих многообразий для некоторого класса уравнений типа Соболева.
В работах [1, 2] изучены аттракторы ряда эволюционных уравнений,
таких как параболические уравнения с монотонной главной частью, уравнения типа систем химической кинетики и др. Доказано существование аттракторов, порожденных этими уравнениями, а также изучены их свойства. Приведены важные классы уравнений, аттракторы полугрупп которых обладают
глобальной функцией Ляпунова. В работе [3] рассматриваются аттракторы
полугрупп, порожденных начально-краевой задачей для широкого класса
вырождающихся квазилинейных эволюционных уравнений в частных производных, доказывается существование глобальной функции Ляпунова. В [4]
построена функция Ляпунова для некоторого класса вырождающихся квазилинейных систем типа Соболева. В работах [5, 6] доказаны существование
3
единственного решения начально-краевой задачи для широкого класса нелинейных уравнений типа Соболева и существование ограниченного аттрактора, порожденного этой задачей. В данной статье доказывается существование
глобальной функции Ляпунова и дается структура аттрактора для этой же
задачи.
Пусть   R n – область с достаточно гладкой границей  , a
    [0, T ] . Рассматривается начально-краевая задача
 u 
A    Bu  0 ,
 t 
u (0, x)  u0 ( x ) ,
(1)
(2)
u  0,
(3)
где н елинейныe дифференциальные оп ераторы A и B имеют следующий
вид:
n 
n 
Au   
ai ( x, u ), Bu  
bi ( x, u ) .
i 1 xi
i 1 xi
Для краткости впредь через u  будем обозначать производн ую функu (t , x ) 

ции u ( t , x ) по t  u  
 , которая понимается в смысле распределений.
t 

0
Через
 обозначается норма в W21 ( ) .
0
Определение 1. Функцию u ( x, t )  L2 (0, T , W21 ( )) назовем решением
0
уравнения (1), если для произвольной функции v( x, t )  L2 (0, T , W21 ( )) почти
всюду на [0, T ] имеет место следующее интегральное равенство:
n
n
v
v
  ai ( x,  u) x dx    bi ( x,  u ) x dx  0 .
 i 1
 i 1
i
i
Пусть для функций ai ( x,  ) и bi ( x,  ) выполнены следующи е условия:
n
ai ( x,  )  c1  i , i  1, n,
(4)
i 1
a i ( x,  )
 c2 , i, j  1, n ,
 j
n
a i ( x ,  )
i j  c3 i 2 ,
 j
i , j 1
i 1
(5)
n

(6)
n
b j ( x,  )  c4   i , j  1, n,
(7)
i 1
b i ( x,  )
 c5 , i, j  1, n ,
 j
где c1 ,..., c5 – положительные константы.
4
(8)
Т е о р е м а 1 ( см. [5]). Пусть функции ai ( x,  ) , bi ( x,  ) непрерывны
по всем компон ентам, непрерывно дифференцируемы по  и выполнены условия (4)–(8). Тогда задача (1)–(3) имеет единственное решени е
0
0
u (t , x )  C (0, T , W21 ( )) u0 W21 ( ).
Пусть  X ,   – некоторое банахово пространство.
Определение 2. Полугруппой, порожденн ой уравнением (1), называется
семейство оп ераторов St , t  0 , St : X  X , действующих по формуле
St u0  u (t ) , u0  X , где u (t ) – решени е задачи Коши u (0)  u0 для этого уравнения. Операция в
St , t  0
определяется по формуле St1  St2  St1 t2 , а
S0  I – тождественный оператор. При этом предп олагается, что эта задача
одн означно разрешима.
Определение 3. Максимальным аттрактором п олугруппы St  называется такое замкнутое ограниченное мн ожество U  X , которое обладает
следующими свойствами:
1) инвариантностью, т. е. StU  U t  0;
2) свойством притяжения, т. е. для любого ограниченного множества
B  X расстояние dist ( St B,U )  0 при t   .
Для краткости в дальнейшем максимальные аттракторы будем
называть просто аттракторами. Имеет место следующая
Т е о р е м а A (см. [1]). Пусть полугруппа St  , St : X  X , удовлетворяет следующим условиям:
1) полугруппа St  равномерно ограничена, т.е. R  0 C ( R) такое,
что St u  C , если u  R t   0,    ;
2) существует ограниченное (компактное) в X поглощающее множество B0 , т.е. для любого ограниченного множества B  X существует
такое число T , что при t  T St B  B0 ;
3) оп ераторы St : X  X непрерывны при t  0 .
Тогда у полугруппы St  имеется ограниченный (компактный) в X максимальный аттрактор.
Определение 4. Пусть St  – полугруппа оп ераторов, St : X  X . Точка
z  X называется неподвижной точкой полугруппы St  , если St z  z t  0.
Определение 5. Пусть z – неподвижная точка полугруппы St  . Неустой чивым инвариантным многообразием, выходящим из точки z , называется множество M ( z ) точек u  X , обладающих следующим свойством:
существует в X такая непрерывная кривая u ( ),      , что
1) u (0)  u ;
2) St u ( )  u (  t )   R, t  0;
3) u ( )  z при   .
5
Определение 6. Пусть E  X – слабо инвариантное множество п олугруппы St  : St E  E . Непрерывный на E функционал  ,  : E  R,
называется глобальной функцией Ляп унова полугруппы St  на множестве
E , если выполнены следующи е условия:
1) для любого u  E функция   St u  убывает по t при t  0 ;
2) если   St u0    (u0 ) при некотором t  0, то z  u0 является н еп одвижной точкой полугруппы St  .
Для краткости глобальную функцию Ляпунова будем называть просто
функцией Ляпунова.
Т е о р е м а Б (см. [1]). Пусть компактное множество U инвариантно
отнoсительно полугруппы St  , т.е. StU  U t  0 , и St  на U обладает
функцией Ляпунова  . Предполагается, что множество  неп одвижных точек St  кон ечно. Кроме того, доп устим, что для любого u  U функция St u
непрерывно зависит от t в E . Тогда имеет место включение U   M ( z ) ,
z
где M ( z ) – неустойчивое инвариантное многообразие, выходящее из точки z.
Т е о р е м а В (см. [1]). Пусть полугруппа St  обладает максимальным
аттрактором U и выполнены условия теоремы Б. Тогда U   M ( z ) , где 
z
– множество неподвижных точек St  .
Потребуем, чтобы функции ai ( x,  ) , bi ( x,  ) были такими, чтобы для
решения задачи (1)–(3) выполнялись следующи е интегральные неравенства:
n
  ai ( x ,  u )
i 1 
n
n
u
u   u
dx  c6  

dx ,
xi
i 1  xi xi
u
  bi ( x,  u ) x
i 1 
2
dx  c7 u (t )  k (t ) ,
(9)
(10)
i
где k (t ) – непрерывная неотрицательная на 0;   функция, для которой

e
2 c7
t
c6
k (t ) dt  R0   .
0
Т е о р е м а 2 (см. [6]). Пусть функции ai ( x,  ) , bi ( x,  ) удовлетворяют
условиям теоремы 1 и для решения задачи (1)–(3) выполняются неравенства
(9), (10). Тогда у полугруппы, порожденной задачей (1)–(3), существует огра0
ниченный в W21 ( ) максимальный аттрактор.
Предположим, что существует интегрируемая на  функция b( x,  u ) ,
b( x,  )
для которой bi ( x,  ) 
, i  1,2,..., n .
i
Обозначим
 (u )   b( x,  u ) dx .
(11)

6
Докажем, что функция  (u ) является функцией Ляпунова для задачи
(1)–(3), которая определена на аттракторе полугруппы St  , порожденной
этой задачей.
Лемма 1. Функция  , определенная равенством (11), непрерывна на
аттракторе полугруппы St  .
Доказательство. Пусть U – аттрактор полугруппы задачи (1)–(3). Для
произвольных u , v  U оценим разность
1 n
 (u )   (v) 
 (b( x,  u )  b( x,  v))dx 

 
i 1
0
b( x,  w) (u  v )

d dx ,
i
xi
где w  v   (u  v) .
Далее, учитывая (11), получим
1 n
n 1
(u  v )
(u  v )
 (u )   (v)     bi ( x,  w)
d dx     bi ( x,  w)
d dx 
xi
xi
 i 1 0
 0 i 1
12
 n  w  2 

 
  c 
i 1  xi  
0


1



12
 n   (u  v)  2 

 
 i 1  xi  


 c1  v  u  v

d dx  c1 w u  v 
uv .
Следовательн о, непрерывность  доказана.
Лемма 2. Функция  (u (t , x)) убывает по t , t   0,    .
Доказательство. Пусть
u (t , x ) является решени ем уравнения
Au   Bu  0 . Тогда, скалярно умн ожив это уравнени е на u  , получим
Au , u   Bu , u  0 , т.е. Au , u    Bu , u .
Теперь оц еним Au , u  , учитывая неравенство (5).
n 
n
n u u
u
2
Au, u    ai ( x, u)udx    ai ( x, u)
dx  c   
dx  c u  0.
xi
 i 1 xi
 i1
 i 1 xi xi
Далее, используя полученное н еравенство, оценим d (u (t , x)) / dt :
n b( x,  u ) 
d (u(t, x)) d
  b( x,  u)dx   
 i dx  
dt
dt 


t
i

1


i
n

u
bi ( x, u )

x
i 1

n
 bi ( x, u)
i 1
 2u( x, t )
dx 
xi t
dx  Bu, u   Au, u  0.
i
Лемма доказана.
Для того чтобы  была функцией Ляпунова для задачи (1)–(3), осталось доказать, что для нее выполняется последний пункт определения 6.
Пусть  (u0 )   ( St u0 ) для некоторого t  0 .
t
t
t
d
0   (u0 )   ( St u0 )    ( St u0 )dt   Bu , u dt    Au , u  dt.
0 dt
0
0
Следовательн о, Au, u  0 . Так как из предыдущей леммы
2
Au, u  c u ,
7
то получим u   0 . Обозначим z  u0 ( x ) . Тогда из вышесказанного следует,
что z  u0 ( x ) является н еподвижной точкой для полугруппы St  .
Из последн его, а также из лемм 1, 2 следует, что  является функцией
Ляпунова для задачи (1)–(3) на аттракторе полугруппы, порожденной этой
задачей.
Т е о р е м а 3 . Функция  , определенная равенством (11), является
глобальной функцией Ляпунова для задачи (1)–(3). Если множество  неподвижных точек полугруппы St  конечно, то для аттрактора имеет место
представление U   M ( z ) , где M ( z ) – неустойчивое инвариантное многоz
образие, выходящее из точки z .
Доказательство. Для того чтобы воспользоваться теоремой В, необходимо проверить, что для любого u  U функция St u непрерывно зависит от
0
0
t в W21 ( ) , т.е. для каждого u0 W21 ( ) решени е задачи (1)–(3) н епрерывно
по t. А это следует из теоремы 1. Значит, имеет место теорема В и аттрактор
имеет представлени е U   M ( z ) .
z
Кафедра теории оптимального управления
и приближенных методов
Поступила 25.12.2007
Л ИТЕР АТУ Р А
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Бабин А.В., Вишик М.И. – УМН, 1983, т. 38, № 4 (232), с. 133–185.
Бабин А.В., Вишик М.И. Аттракторы эволюционных уравнений. М.: Наука, 1989.
Акопян Г.С., Шахбагян Р.Л. – Изв. НАН Армении. Математика, 1994, т. 29, № 5, с. 27–37.
Акопян Г.С., Шахбагян Р.Л. – Изв. НАН Армении. Математика, 1996, т. 31, № 3, с. 5–29.
Мамиконян А.А. – Ученые записки ЕГУ, 2006, №2, с. 33–40.
Мамиконян А.А. – Ученые записки ЕГУ, 2008, №1, с. 18–23.
Ð. ². زØÆÎàÜÚ²Ü
êà´àȺìÆ îÆäÆ Ð²ì²ê²ðàôØܺðÆ ØÆ ¸²êàì ÌÜì²Ì
ÎÆê²ÊØ´ºðÆ ÈÚ²äàôÜàìÆ üàôÜÎòƲÜ
²Ù÷á÷áõÙ
Ðá¹í³ÍáõÙ áõëáõÙݳëÇñíáõÙ ¿ êáµáÉ¨Ç ïÇåÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ ÙÇ
¹³ëÇ Ñ³Ù³ñ ëϽµÝ³Ï³Ý å³ÛÙ³ÝÝ»ñáí Ñ»ï¨Û³É »½ñ³ÛÇÝ ËݹñÇ ÈÛ³åáõÝáíÇ ýáõÝÏódzÝ.
  u 
 A  t   Bu  0,
  
 u u ,
0
t 0

 u  0,


8
áñï»Õ A -Ý ¨ B -Ý á㠷ͳÛÇÝ ¹Çý»ñ»ÝóÇ³É ûå»ñ³ïáñÝ»ñ »Ý ¨ áõÝ»Ý
Ñ»ï¨Û³É ï»ëùÁ.
n 
n 
Au   
ai ( x, u ) , Bu  
bi ( x, u ) :
i 1 xi
i 1 xi
Ðá¹í³ÍáõÙ ³å³óáõóíáõÙ ¿ ÈÛ³åáõÝáíÇ ýáõÝÏódzÛÇ ·áÛáõÃÛáõÝÁ` áñáßí³Í ³Ûë Ëݹñáí ÍÝí³Í St , t  0 ÏÇë³ËÙµÇ ³ïñ³ÏïáñÇ íñ³: êï³óíáõÙ
¿ ³ïñ³ÏïáñÇ Ï³éáõóí³ÍùÁ ³Û¹ ÏÇë³ËÙµÇ ³Ýß³ñÅ Ï»ï»ñÇ û·ÝáõÃÛ³Ùµ:
H. A. MAMIKONYAN
LYAP UNOV FUNCTION OF SEMI-GROUPS GENERATED
BY A CLASS OF SOBOLEV TYPE EQUATIONS
S u mma r y
In this paper Lyapunov function the following initial boundary value
problem for a class of Sobolev type equations is consider ed
  u 
 A  t   Bu  0,
  
 u u ,
0
t 0

 u  0,


wher e A and B are nonlinear operators of the following form:
n 
n 
Au   
ai ( x, u ) , Bu  
bi ( x, u ) .
i 1 xi
i 1 xi
The existence of Lyapunov function on the attractor of the semi-group
generated by this equation is proved. It is given the construction of attractor by the
fixed points of that semi-group.
9