rsl01002656873 (1)

На правах рукописи
Воловий Михаил Евгеньевич
СРЕДСТВА ИССЛЕДОВАНИЯ ДИССИПАТИВНЫХ ХАОТИЧЕСКИХ
СИСТЕМ ПО ВРЕМЕННЫМ РЯДАМ
Специальность 05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка
информации (промышленность)
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата технических наук
Москва 2003
Работа выполнена в Московской государственной академии приборостроения и информатики
на кафедре «Управление и моделирование систем» (ИТ-6)
Научный руководитель: доктор технических наук,
профессор С.Н. Музыкин
Официальные оппоненты:
доктор технических наук,
профессор В.Н. Афанасьев
кандидат технических наук,
доцент И.М. Мамонов
Ведущая организация:
Н И И «Энергия»
Зашита состоится «16» декабря 2003 года в | 1 . часов на заседании Диссертационного
совета Д 212.119.02 Московской государственной академии приборостроения и информатики
по адресу: 107076, г. Москва, ул. С1ромынка, д. 20 (тел. 268-01-01).
С диссертацией можно ознакомится в библиотеке МГАПИ.
Автореферат разослан <^(f> ноября 2003 г.
Ученый секретарь
Диссертационного Совета -—Д 212.119.02
. = = = = — - —
-^
■
• к.т,н..доце1пУльянов М.В.
2004-4
25334
^^3^9^/^
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ
Актуальность темы. Создание эффективных технических систем и повы­
шение качества их функционирования, является одной из важных проблем со­
временной техники. Для решения этой задачи необходимо исследование ее
структурной и динамической сложности.
Диссертационная работа посвящена разработке средств моделирования и
исследования технических объектов, представляющих собой открытые диссипативиые динамические системы и демонстрирующих хаотгическое поведение.
Изучение хаотических систем важно для решения задач гидродинамики, радио­
техники, теплоэнергетики и других областей науки и техники в связи с исследо­
ванием различных предельных режимов. Такие системы характеризуются сжа­
тием фазового объема, которое приводит к тому, что фазовые траектории с те­
чением времени стягиваются в фиксированную ограниченную область — стран­
ный аттрактор.
Математическое моделирование реальных диссипативных систем, прояв­
ляющих хаотическое поведение, является сложной и трудно решаемой задачей,
в связи с их сложной внутренней структурой и частой невозможностью получе­
ния данных о системе в полном объеме. Одним из подходов к решению этой за­
дачи является метод задержки. Предложенный Н. Паккардом в начале 80-х го­
дов прошлого века, и математически обоснованный Ф. Такенсом он позволяет
реконструировать аттрактор динамической системы по ее одномерной реализа­
ции. В дальнейшем, на основе метода задержки Такенса-Паккарда, были разра­
ботаны методы вычисления различных инвариантных характеристик исходной
динамической системы, позволившие расширить область применения данного
подхода. Развитию этого направления были посвящены труды многих ученых
— А. Вольфа, Г. Г. Малинецкого, В. С. Анищенко, Т. Шрейбера, Т. Сауэра,
Р. Хеггера, Н. Канца, П. Гросбергера, И. Прокасиа, М. Розешптейна и многих
;ц)угих.
Вместе с тем общая методика моделирования хаотических процессов на
основе разработанных методов, алгоритмическое и программное обеспечение
методов проработано недостаточно. В связи с этим тема диссертационной рабо­
ты является актуальной и имеет широкое прикладное значение.
Целью диссертационной работы является разработка методики и про­
граммно-математических средств моделирования и исследования хаотических
процессов сложных систем на основе методов нелинейной динамики.
Основные задачи исследования:
1. Обзор основных научных результатов современной нелинейной теории сис­
тем.
2. Формулировка задачи разработки методики и алгоритмического обеспечения
моделирования сложных хаотических систем по временным рядам.
3. Разработка программно-математического обеспечения и исследование суще­
ствующих алгоритмов построения моделей хаотических процессов и их ха­
рактеристик.
-. ii .14,1<<-:;лЛьи';
БИБЛИОТеКА
CdtTtjifiMsr / ' / " '
03 №0V«»^^ S
4. Программная реализация и тестирование алгоритмического и математиче­
ского обеспечения на известных моделях хаоса; исследование области при­
менимости методик.
5. Тестирование разработанного алгоритмического и математического обеспе­
чения на экспериментальных данных.
6. Решение практических задач по моделированию реально существующих диссипативных хаотических систем.
Объект исследования. В качестве объекта исследования выбраны диссипативные хаотические динамические системы на этапе асимптотического поведе­
ния, которые либо не допускают непосредственного исследования своей струк­
туры, либо эта структура слишком сложна, и для анализа доступен только про­
изводимый системой сигнал.
Методы исследования. В работе используются методы информатики, тео­
рии сложных систем, теории динамических систем, теории хаоса и бифуркаций
и современные компьютерные технологии.
Научная новизна состоит в следующем:
- разработана методика исследования моделей и получения инвариант­
ных характеристик хаотических систем по временным рядам;
- разработаны алгоритмы поиска ближайших точек в фазовом многомер­
ном пространстве, позволяющие повысить скорость вычислений инва­
риантных характеристик;
- создано алгоритмическое обеспечение методики моделирования и ис­
следования хаотических моделей структурно-сложных систем, на осно­
ве реконструкции аттракторов методом Такенса-Паккарда и модифи­
цированных алгоритмов вычисления инвариантных характеристик по
временным рядам.
Практическая ценность. Разработанные методологии, модели и программ­
ное обеспечение могут бьггь использованы для проектирования автоматических
систем управления сложными техническими процессами и реализации подсис­
тем прогнозирования поведения хаотических систем.
Реализация результатов работы. Разработанные методики использованы
для моделирования теплоэнергетических систем промышленных предприятий
Ступинского района Московской области.
Программное обеспечение используется в учебном процессе кафедры
управления и моделирования систем М Г А П И в рамках дисциплин «Математи­
ческое моделирование», «Моделирование систем».
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсужда­
лись на 6 научных конференциях: I I I Всероссийской научно-технической
конференции «Новые информационные технологии» (г. Москва, М Г А П И ,
2000); Международной научно-практической конференции «Информаци­
онные технологии в науке и образовании» (г. Шахты, Ростовской обл.,
Ю Р Г У Э С , 2001); Всероссийской научно-практической конференции «Ин­
формационные
модели экономики»
(г. Москва,
МГАПИ,
2003);
V Молодежной научно-технической конференции «Наукоемкие техноло­
гии и интеллектуальные системы» (г. Москва, М Г Т У им. И. Э. Баумана,
2003);научном семинаре «Теории, методы и средства моделирования
сложных систем» кафедры «Управления и моделирования систем»
МГАПИ; IV Всероссийской конференции молодых ученых по математи­
ческому моделированию и информационным технологиям (г. Красноярск,
И В М с о РАН, 2003).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 печатных работ.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения,
четырех глав, заключения, списка литературы и приложений. Работа изложена
на 160 страницах машинописного текста и содержит 55 рисунков и 12 таблиц.
Список литературы содержит 131 наименование.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обосновывается актуальность разработки методики матема­
тического моделирования хаотических процессов сложных систем, создание ал­
горитмического обеспечения и методик исследования инвариантных характери­
стик; формулируются цели и задачи исследования; приводится краткая
характеристика основных разделов диссертации.
В первой главе проведен обзор основных научньпс результатов современ­
ной нелинейной теории систем; приведена классификация динамических сис­
тем; на основании проведенного обзора уточнена общая постановка задачи; рас­
смотрены основные понятия нелинейной теории систем.
Начиная с классических работ А. Пуанкаре в начале прошлого века до
настоящего времени, исследованию нелинейных динамических систем было
посвящено огромное количество трудов. Значительное влияние на развитие
нелинейной теории систем оказали работы С. Смейла, А. Колмогорова,
Д.Аносова, Н.Крылова, В. Оселедеца и других. Открытие в 1971 году
Д.Рюэлем и Ф.Такенсом странного аттрактора положило начало исследова­
ниям детерминированного хаоса. Значительное внимание было уделено ис­
следованию диссипативных систем, демонстрирующих хаотическое поведе­
ние.
Предполагается, что исследуемая по временному ряду хаотическая дина­
мическая система может быть представлена конечным числом обыкновенных
дифференциальных уравнений, а объект определяется заданием величин
хи Х2,..., xs в некоторый момент времени t=to. Величины х, могут принимать
произвольные значения, причем двум различным наборам величин х, и х] отве­
чают два разных состояния. Закон эволюции записывается:
или в векторной форме
^,=f,{Xf,x^,.:,Xff), i=\,N,
i = F(x),
(1)
где F(x) — вектор-функция размерности iV, хе R".
В силу сжатия фазового объема предельное множество фазовых траек­
торий в диссипативных системах всегда будет иметь нулевой объем. Однако
структура предельного множества при этом может быть различной: точка, ли­
ния, поверхность или множество поверхностей, имеющее в сечении Пуанкаре
структуру типа канторовой.
в работе рассматриваются автоколебательные режимы движения систе­
мы. Это означает, что в системе существуют установившиеся колебания, харак­
теристики которых не зависят в определенных пределах от выбора начального
состояния.
Пусть имеется некоторая конечная (или бесконечная) область G|, при­
надлежащая фазовому пространству Ш", которая включает в себя подобласть
Go- Области Gi и Go удовлетворяют следующим условиям:
— для любых начальных условий х,{0) из области G[ при /^>оо все фазовые тра­
ектории рано или поздно достигают области Go;
— область Go представляет собой минимальное компактное подмножество в фа­
зовом пространстве системы;
— если фазовая траектория принадлежит области Go в момент времени t=ti, то
она будет принадлежать Go всегда, то есть для любых t> ti фазовая траектория
будет находиться в области Go.
Если эти условия выполняются, то область Go называется аттрактором
динамической системы. Аттрактор Go - это минимальное предельное множество
траекторий системы, куда стремятся и там остаются любые траектории из об­
ласти G i , охватывающей Go- Область Gi называется областью притяжения ат­
трактора Go. В области Gi могут существовать исключительно переходные, не­
стационарные типы движений. Предельное множество Go отвечает установив­
шимся типам движения.
Исследования и практические результаты в этой области главным обра­
зом связаны с разработкой эффективных численных методов и расчетом харак­
теристик динамических систем по временным рядам. В работах А. Вольфа,
Т. Шрейбера,
Р. Хеггера,
Н. Канца,
П. Гросбергера,
И. Прокасиа,
М. Розенштейна, Т. Сауэра, Д. Кугиумциса и др. были предложены методы, по­
зволяющие выяснить, произведен ли сигнал динамической системой, а также
получить информацию о свойствах и характеристиках этой системы. Разви­
тию этого направления в России посвящены работы Г. Малинецкого, В.
Анищенко, А. Лоскутова, Т. Вадивасовой, А. Потапова, С. Кузнецова, диссер­
тационные работы М . Прохорова (1997), Г. Лукьянова (1998), А. Павлова (1998),
Н. Янсон (1998), А. Смирнова (2001).
На основе проведенного обзора уточнены цель и задачи диссертационной
работы.
Во второй главе рассмотрены характеристики хаотических процессов,
приведены их математические модели, и связь характеристик между собой; вы­
браны основные инвариантные характеристики, позволяющие по одномерной
реализации получить оценки устойчивости, энтропии и размерности исходной
системы; обоснован выбор характеристик.
Сложная структура хаотических сигналов позволила расширить сово­
купность параметров характеризующих отличительные особенности исходной
системы. В работе рассмотрены и приведены математические модели следую­
щих характеристик: инвариантная мера, спектр мощности, автокорреляционная
функция, энтропия, геометрические размерности, обобщенные размерности, по­
казатели Ляпунова. На основе анализа их свойств и взаимосвязей выбраны еле-
дующие характеристики, позволяющие получить информацию о структурной и
динамической сложности исследуемой системы, по ее одномерной реализации:
1. Энтропия динамической системы. Хаотическая система с течением
времени увеличивает неопределенность своего состояния.
Если дана динамическая система х^^, =Р(х^)и задана ее инвариантная
мера ц на компактном носителе А, АсгЖ", и произведено разбиение А на конеч­
ное число непересекающихся множеств А,, с мерой jc, =ц(Л,), таких
что4,у^,/" = 4Пр-'(/(,^)Пр-^(4,)-Лр-'*'(Д,),где р-'(4)-множество точек ат­
трактора динамической системы, отображаемых в Ai, отображением Р', то эн­
тропией динамической системы называется величина
А:(ц) = И т Н т ( я " " " - Я < " ) ,
е-й) /-ко \
'
где Я " ' = - X ЦЦ,, ,/")1пцК,, ,/'•), e = mfKdiam(A,).
ii-h-Ji
Энтропия является мерой потери информации о состоянии динамической
системы с течением времени.
2. Обобщенные размерности. Скорость расходимости энтропии при из­
мельчении разбиения можно использовать для оценки размерности странных
аттракторов.
Кроме обычной шенноновской энтропии для этой цели используются и
обобщенные энтропии Реньи Н^. Соответствующие размерности называются
обобщенными размерностями
D,=lim~-^,
Я,{е) = (1-д)-'1пХ/','■
При q=0, D^ представляет собой емкость, при q->l — информационная
размерность, а при q=2 — корреляционная размерность.
3. Характеристические показатели Ляпунова. Сумма показателей Ляпу­
нова траектории динамической системы характеризует скорость изменения фа­
зового объема в ее окрестности. Режимстранногоаттрактора реализуется толь­
ко в диссипативных системах и характеризуется наличием в спектре положи­
тельных показателей. Сумма показателей Ляпунова для диссипативных систем
отрицательна. Если сумма показателей Ляпунова равна нулю, то фазовый объем
системы во времени не изменяется — система консервативна и аттракторов не
содержит. В случае положительной суммы показателей Ляпунова фазовый объ­
ем во времени нарастает. Физически такой режим какстационарныйне возмо­
жен.
Для системы заданной отображением х^^., = P(Xj), матрица Якоби которого
Djp'(x), характеристические показатели Ляпунова определяются как:
X,=:\m-\n\v,ik,x)\,
к-*со 1^ •
'
где иД, х) — модуль /-го собственного значения ОхР*(дг).
При подходящих предположениях этот предел существует и одинаков для
типичных точек х на аттракторе. Упорядоченная по убыванию последователь­
ность чисел А,, образует спектр показателей Ляпунова.
в третьей главе разработана методика моделирования сложных хаотиче­
ских систем по временным рядам на основе реконструкции аттрактора методом
Такенса-Паккарда. Разработаны алгоритмы поиска ближайших точек в фазовом
многомерном пространстве, позволяющие повысить скорость расчетов по пред­
ложенной методике. На основе модифицированных алгоритмов вычисления ин­
вариантных характеристик по временным рядам, построено алгоритмическое
обеспечение методики моделирования сложных хаотических систем.
В рамках современной теории динамических систем, по временному ряду,
порожденному системой, возможно восстановить ее свойства и получить оценки
параметров исходной системы. Основой методов расчета инвариантных харак­
теристик по временному ряду является метод Такенса-Паккарда.
Пусть Б результате эксперимента получено значение наблюдаемого процес­
са в виде временного ряда х,=х(/,), t,=i-t являющегося значением скалярной
функции состояния динамической системы ф'(хо), где ф'(хо) - состояние системы
в момент /, если в начальный момент она находилась в состоянии хо, т.е.
д:,=Ь(х^)=Н(ф'' (хо)), X, е М'', М ' ' - фазовое пространство системы.
Тогда, согласно теореме Ф.Такенса, найдется векторная функция Л , ото­
бражающая М"* в евклидово пространство М "
г,=Л(Х(),
при т S 2d+l она будет давать вложение М'' в М"' и, следовательно, отображе­
ния Ф(х)=ф''(х), Ф:М''-^М'' и Ч'(2)=Л(Ф(Л"'(г)), 4 ' : R ' " ^ R ' " можно рассматри­
вать как отображения, связанные невырожденной и обратимой заменой пере­
менных z=A(s) или как различные представления одного и того же отображе­
ния, т.е. х,+1=Ф(х,) и z,+i=4'(z,). Следовательно, характеристики, инвариантные
относительно невырожденной замены, у обеих систем должны совпадать и их
можно пытаться определять по экспериментальным данным, не зная при этом
всех переменных динамической системы.
Б диссертационной работе используется подход, предложенный Паккардом,
который заключается в использовании векторов, получаемых из элементов вре­
менного ряда по тому же принципу, что и в задачах авторегрессии:
zr4*/> -^i+i >
х,+„.])
Полученная в результате реконструкции траектория в пространстве R " , на­
зываемая реконструкцией размерности т, не должна содержать самопересече­
ний, однако, самопересечений в массиве дискретных точек z, скорее всего нико­
гда не будет, поэтому ипдут так называемых «ложных близких соседей» — пары
векторов, которые оказались близкими в рекортструкции, но их прообразы нахо­
дились далеко. Пусть z/"' и z/"^ — два близких соседа в реконструкции размер­
ности т, а z,'"*" и z/"^'' соответствуют им в реконструкции размерности т+\.
Если мы имеем дело с истинно близкими соседями, то они чаще всего будут
близки в обеих реконструкциях. В то же время «ложные близкие соседи» в ре­
конструкции т, как правило, превращаются в отдаленных с ростом т. Пары, для
которых 11 z/"' - z/'"^ I мало, а 11 z,'"^'^ - z/"^"l I - нет, получили название «ложных
ближайших соседей». Если теперь увеличивать т и оценивать количество «лож­
ных близких соседей», то при достижении нужной размерности, при которой
достигается правильная реконструкция, это количество резко уменьшается.
Определение значения т осуществляется с помощью метода, основанного
на теории информации и использующего первый минимум взаимной информа­
ции для Xi и Xt+b Для этого по временному ряду строятся гистофаммы, аппрок­
симирующие распределения х^ и Xk-n, совместное распределение ж* и х^+х. По по­
строенным гистограммам рассчитываются энтропии и взаимная информация
5 =-Ip,(T)log,^^,
и
Р,Р,
где р, - вероятность нахождения точки д:* в /-том интервале, а Pijif) - совместная
вероятность, попадания х* в i -й интервал и попадания xt+i BJ-Й.
На основе выбора инв^зиантных характеристик и метода ТакенсаПаккарда разработана методика моделирования сложных хаотических систем по
временным рядам, состоящая из пяти этапов:
1. Определение размерности реконструидаи аттрактора по временному
ряду.
2. Вычисление задержки реконструкции аттрактора по временному ряду.
3. Реконструкция аттрактора по временному ряду.
4. Фильтрация шумов в полученной реконструкции.
5. Расчет инвариантных характеристик:
- старший показатель Ляпунова;
- спектр показателей Ляпунова;
- энтропию системы;
- размерность системы.
В работе показано, что в методах фильтрации шумов и расчета инвариантньпс характеристик многократно используется алгоритм поиска ближайших
точек в многомерном фазовом пространстве. В существовавшем алгоритмиче­
ском обеспечении для этой цели используется метод полного перебора с быст­
родействием порядка N^. Для увеличения скорости вычислений разработаны три
алгоритма быстрого поиска «ближайшего соседа». Все алгоритмы поиска разби­
ты на 2 этапа:
1. Этап подготовки.
2. Этап поиска.
Разделение произведено с целью разделить однократно и многократно
используемые части алгоритмов, что позволило дополнительно повысить общее
быстродействие алгоритмов, использующих поиск ближайших точек в много­
мерном пространстве.
В отличие от ранее предложенных (С. Бингхем и М. Кот, Т. Шрейбер,
П. Грассбергер, Я . Тейлер, И. Костелич и Я . Йорк) алгоритмов быстрого поиска,
разработанные алгоритмы не используют структур данных типа дерево, что по­
зволяет уменьшить количество занимаемой памяти и упростить реализацию, при
сохранении быстродействия порядка N\ogN.
В алгоритме 1 на этапе подготовки создается массив размерностиNxm,
где N - количество точек, т - размерность реконструкции. В столбцах массива
записаны индексы точек реконструированного пространства, сортированные по
координате соответствующей номеру столбца. На втором этапе в каждом столб­
це массива, созданного на этапе подготовки, перебираются k индексов точек
ближайших к опорной. На рис. 1 показана иллюстрация работы алгоритма - се­
рым отмечена опорная точка, черным - найденный «ближайший сосед». Основ­
ным достоинством алгоритма является простота реализации, малое количество
занимаемой памяти при значительном увеличении скорости поиска по сравне­
нию со стандартным алгоритмом при сохранении точности поиска.
-G-
о;
Рис. 1. Иллюстрация работы алгоритма 1.
Алгоритм 2 построен на использовании структуры данных hash multyшар. На этапе подготовки, область, в которой находятся все точки реконструи­
рованного аттрактора, разбивается на к подобластей по каждой координате. Все
точки аттрактора классифицируются на принадлежность к одной из подобластей
и заносятся в структуру hash multymap, индексируемую побитной комбинацией
координат подобласти. На этапе поиска ближайшие соседи находятся перебором
точек находящихся в той же подобласти, что и опорная. Если ближайший сосед
не найден - рассматриваются все прилегающие подобласти. На рис. 2 показана
иллюстрация работы алгоритма - серым отмечена опорная точка, черным - най­
денный «ближайший сосед». Достоинством алгоритма является то, за счет ис­
пользования структуры данных типа hash достигается компромисс между быст­
родействием алгоритма и количеством занимаемой данными памяти.
. П (ft^l*- :=- ^ f, й ! ^ *
^Ci ■Л^л'".*.^ t - %
■* *
■■
-»' ^
^, %
т-
1 .. ■■
!
>• Я
.^^Vi ■^;-s/'''^
i
*
1
h
1 li и i
ьГт
■*^i'
г^ -i
^рт.'лЧ'"^'*
' -^l*О 1.
' i ч *^- .1, >|Ч
j ; '^
i.ji4^:. .t;;hV
о
, ^ 1 :
t-' 5 • I- M
4 % Q- f j * ' » ■ * * , ;
i "к S '*'*>■ Ч I H H ™ * '
''-* :^ -It %^-'*
1 t;-;'Q,' Л
О"
с 1 * -, '
> -1ч ■» ^r ^^ + *i 1
г*
У, .* ^ ^ i^
г- <-М -и ^ F
Э
: ОС
i^.aj
о
l^i«.
о
Рис. 2. Иллюстрация работы алгоритма 2.
Алгоритм 3, в отличие от ранее предложенных алгоритмов, использует
для хранения разбиения фазового пространства (рис. 3), не структуру типа дере-
во, а одномерный массив и таблицы соответствия. На этапе подготовки все точ­
ки аттрактора нормируются. Для каждой точки реконструированного аттрактора
z,=(xi, ... , х„), j=lj^
компоненты х, представляются в двоичном виде
X, = 0,ala'2...a'^,i=\,m, а каждая подобласть, полученная разбиением пространст­
ва, записывается следующим образом:М^=0,а|'а^...а|'"в2«2"-Л2' а1а^..м'" и по­
мещается в одномерный массив. Затем, массив сортируется, и создаются табли­
цы соответствия точек аттрактора и подобластей разбиения в упорядоченном
массиве. На этапе поиска перебираются точки, находящиеся в соседних к по­
добласти разбиения, содержащей опорную точку подобластях пространства.
Достоинством алгоритма является экономия занимаемой памяти по сравнения с
алгоритмами, использующими деревья для хранения разбиения и простота реа­
лизации, при значительном увеличении скорости поиска по сравнению со стан­
дартным алгоритмом при сохранении точности поиска.
о
о
о
о
о
э
о
о
о
о
о
э
о
Рис. 3, Иллюстрация разбиения пространства в алгоритме 3
В работе построен модифицированный алгоритм фильтрации точек ат­
трактора. Для каждого вектора z, полученной реконструкции с помощь одного
из разработанных ашоритмов быстрого поиска вычисляются «ближайшие сосе­
ди» такие, что 11 z,- - z, 11 <s. Величина s задается исходя из априорных оценок
величины шума или путем последовательного приближения. Для каждого век­
тора z,=(x„ х,+[, ... x,,„.t)^ скорректированное значение г ,.[„щ вычисляется ус­
реднением по всем z' «ближайшим соседям»:
1"
После полного прохода по всем точкам реконструированной траектории все
точки кроме первых и последних [w/2] точек будут скорректированы.
В работе проведено исследование и показано, что существующие мето­
ды оценки показателей Ляпунова можно разделить на 2 больших класса: мат­
ричные методы и методы аналога.
Методы, связанные с восстановлением в каком-либо виде уравнений
движения, аппроксимацией матрицы D J и расчетом показателей называют мат­
ричными. Они основаны на построении локальных матриц Якоби для каждой
точки реконструированного аттрактора, после чего для нахождения показателей
(можно попытаться оценить весь спектр) используют численные методы. В дис­
сертационной работе реализован алгоритм вычисления спектра показателей Ля­
пунова основанный на методе Беннетина, в котором используются эволюциони­
рующие вектора.
Методы, связанные с непосредственным измерением скорости расходимо­
сти близких траекторий называют методами аналога. Они основаны на следую­
щем соотношении:
1«е^
где L — расстояние между близкими фазовыми траекториями, А, - старший по­
казатель Ляпунова.
В программно-математическом обеспечении реализовано три модифи­
цированных алгоритма вычисления старшего показателя Ляпунова на основе
методов аналога — по методу Вольфа, Розенштейна и Канца.
Метод Вольфа. Выберем произвольную стартовую точку ZQ В момент времени to
и проследим ее движение по фазовому пространству (базовая траектория). С
помощью одного из разработанных алгоритмов быстрого поиска,найдем точку
Zj, ближайшую к стартовой и обозначим расстояние между ними как Ц/о).
Спустя время t\ при движении пары точек zo и zj, по аттрактору они перейдут в
точки z\ и zj соответственно. Расстояние между ними, станет h^ti). Затем, с по­
мощью того же метода быстрого поиска «ближайшего соседа» находим точку
г\, удовлетворяющую следующим критериям: расстояние ЦС|) от нее до Z\ минимально и минимален угол меяаду векторами (zj - Zj) и (z, - zi). Повторяя
процедуру до тех пор, пока не закончится анализируемый временной ряд, вы­
числим максимальный характеристический показатель Ляпунова по формуле
1 м f
J-'^.iirMl
Х,=—^£!п
-
М^н)Г
где Л/это общее число шагов.
Метод Розенштейна. Метод показывает хорошую скорость расчета, од­
нако, результатом его работы является не численное значение Хи а функция от
времени:
y(i,At) = -^(inrf/O), d^O) = minjjx^ -X'JI
где Xj - рассматриваемая точка, a Xj -один из ее «соседей», поиск которого на
каждом шаге алгоритма выполняется с помощью одного из разработанных алго­
ритмов поиска ближайших соседей. Скобки обозначают усреднение по всем 4Алгоритм основан на связи dj и показателей Ляпунова: dj(i)«e^'-''\ Для оценки
используется ближайший сосед рассматриваемой точки. Старший показатель
Ляпунова предлагается вычислить как угол наклона ее наиболее линейного уча­
стка. Нахождение такого участка, оказывается нетривиальной задачей, а иногда
такой участок и вовсе указать не удается.
Метод Канца. Методика расчета показателей Ляпунова методом Канца
также как и метод Розенштейна основана на соотношении rf, (/) '■
Ленин старшего показателя по уголу наклона наиболее линейного участка неко­
торой функции вида:
5(е„,7)= In
It/,»!»•,'"„
Усреднение берется по всем |i7„[ ближайшим соседям х, в окрестности
радиуса ео, которые вычисляются с помощью одного из разработанных алгорит­
мов быстрого поиска.
В работе показано, что использование комбинация трех алгоритмов рас­
чета старшего показателя Ляпунова позволяет добиться повышения качества
вычислений.
В диссертационной работе построен алгоритм вычисления энтропии по
временному ряду основанный на выражении
С„(е) 1
1,
АГ, =limlimlim—In
С„(е)= Ит—2 Х ^ { е - к "^^ п— корреляционный интеграл, s — радиус сфе"У
ры, для которого определяется число точек М(е), оказавшихся внутри сферы,
Н— функция Хевисайда.
Разработан алгоритм расчета размерности динамической системы:
.1ПС(Е)
D, = lim'
е-.0
1пе
где С„(е) = to —5-£ Я ( 8 - ||z, - г^||), Е - радиус сферы.
Для увеличения скорости вычислений расчет корреляционного интеграла
производится с использованием разработанных алгоритмов быстрого поиска
ближайших точек в многомерном пространстве.
В четвертой главе произведено тестирование предложенной методики и разра­
ботанного алгоритмического обеспечения на известных системах. С помощью
разработанных средств, проведено исследование реально существующих диссипативных динамических систем.
В качестве входных данных при тестировании на модельных примерах, в
работе использовался временной ряд, полученный в результате численного ре­
шения системы Рёсслера. Полученные результаты приведены в таблице табл. 1 и
показанные на рисунках: рис.4а — реконструированный аттрактор, рис. 46 —
корреляционная размерность, рис. 4в — энтропия.
Табл. 1.
Размерность рекон­
струкции т
3
Задержка
г
8
Старший показа- j
тель Ляпунова j
0,08532
1
Спектр показателей Ляпунова
0.07314
[
0,00114
|
-0,2319
14
а
б
в
Рис. 4. Моделирование и исследование системы Рёсслера.
В результате применения разработанных алгоритмов к системе теплооб­
мена в установившемся режиме, выходом которой является температурный
процесс, измеряемый соответствующим датчиком, были получены результаты,
приведенные в таблице табл. 2 и показанные на рисунках: рис. 5а — реконст­
руированный аттрактор, рис. 56 — корреляционная размерность, рис. 5в —
энтропия.
Табл. 2.
Размерность реконсгруиотит
3
Задержка
г
12
Старший показатель
Ляпунова
0,03230
Спектр показателей Ляпунова
0,02814
1
0,00217
|
-0,05374
у
Х2Г
а
б
в
Рис. 5. Моделирование и исследование системы теплообмена.
В работе с помощью разработанных алгоритмов и методики проведено
исследование теплового процесса охлаждения алюминиевого сплава. На вход
поступает температура сплава, которая контролируются по показаниям термо­
электрического термометра и визируются электроникой литейной машины. По­
лученные результаты, приведены в таблице табл. 3 и показанные на рисунках:
рис. 5а — реконструированный аттрактор, рис. 56 — корреляционная размер­
ность, рис. 5в — энтропия.
Табл. 3.
Размерность реконсхрууощят
6
Задержка
г
45
Старший показа­
тель Ляпунова
0 345495
Спектр показателей Ляпунова
0.285 ! 0.086 1 -0 004 ! -0.188 1 -0 454 | -1.036
а
б
в
Рис. 6 Моделирование и исследование теплового процесса охлаждения алюминиевого сплава
При проведении тестирования модифицированных алгоритмов на рас­
смотренных примерах были получены результаты быстродействия, показанные
на рис. 7 а — среднее быстродействие при выполнении алгоритма вычисления
старшего показателя Ляпунова по методу Вольфа, рис. 76 — общее среднее бы­
стродействие при выполнении алгоритмов по предложенной в диссертационной
работе технологии.
Рис. 7. Сравнение среднего быстродействия алгоритмов.
Результаты исследований показывают
подхода.
эффективность
разработанного
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЬШОДЫ
1. Проведен анализ и классификация современных методов исследования хаоти­
ческих систем; обоснована необходимость построения алгоритмического
обеспечения.
2. На основе современных методов нелинейной динамической теории построены
алгоритмы математического моделирования основных количественных ха­
рактеристик хаотических процессов — расчет оптимальной размерности ре­
конструкции; получения старшего показателя Ляпунова по временным рядам
по методам Вольфа, Канца, Розенштейна; расчет энтропии динамической сис­
темы и корреляционной размерности.
3. Построено алгоритмическое обеспечение моделирования и исследования
сложных хаотических систем, включающее реконструкцию аттрактора по
временным рядам.
4. Разработаны модифицированные алгоритмы поиска «ближнего соседа» в фа-
16
зовом многомерном пространстве, позволяющие существенно повысить ско­
рость вычислений.
5. Создана методика исследования и реконструкции аттрактора сложных хаоти­
ческих систем по временным рядам.
6. Реализовано и используется в учебном процессе программное обеспечение
моделирования хаотических процессов на кафедре «Управления и моделиро­
вания систем» МГАПИ.
7. Разработаны и внедрены рабочие методики моделирования системы теплооб­
мена на кондитерской фабрике компании «Марс» и теплового процесса охла­
ждения алюминиевого сплава в ОАО «Ступинской металлургической компа­
нии».
8. По результатам исследований, проведенных в диссертационной работе, на­
правленных на моделирование хаотических процессов сделан вывод о состоя­
тельности и эффективности разработанных методик.
ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
1. Хныкин А. П., Никульчев Е. В., Волович М. Е. Синтез оптимального управле­
ния в задачах с несколькими критериями качества // Новые информационные
технологии: Материалы III науч.-техн. конференции / Под общ. ред. А. П.
Хньпсина.— М.: МГАПИ, 2000.— С. 113-116.
2. Волович М. Е. Программные средства и алгоритмы идентификации и иссле­
дования динамических систем по временным рядам // Информационные
технологии в науке и образовании: Материалы Международ, науч.-практ.
конф.— Шахты: Изд-во ЮРГУЭС, 2001.— С. 44 -46.
3. Никульчев Е. В., Волович М. Е. Идентификация фазовых портретов динамиче­
ских систем по временным рядам // Научные труды МАТИ им. К. Э. Циол­
ковского. — М.: ЛАТМЭС, 2001.— Вып. 4 (76).— С. 463-467.
4. Волович М. Е. Определение максимального времени предсказуемости курса
акций на фондовом рынке с помощью методов нелинейной динамики // Ма­
тематическое моделирование и управление в сложных системах: Сб. науч. тр.
под общ. ред. С. Н. Музыкина, А. П. Хныкина.— М.: МГАПИ, 2002.— Вып.
5.—С. 25-29.
5. Никульчев Е. В., Волович М. Е. Модели хаоса для процессов изменения курса
акций // Exponenta Pro. Математика в приложениях.— 2003.— №1—С. 49-52.
6. Волович М. Е. К задаче моделирования нелинейных динамических процессов
// Информационные модели экономики: Труды Всероссийской науч.-практ.
конф,— М.: МГАПИ, 2003.— С. 44-47.
7. Никульчев Е. В., Волович М. Е. Реконструкция фазового портрета системы те­
плообмена//Наукоемкие технологии и интеллектуальные системы: Труды V
Молодежной науч.-техн. конф.— М.: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2003.—
С. 132-135.
8. Волович М. Е. Алгоритмическое обеспечение моделирования хаотических
систем по временным рядам // Тезисы докл. IV Всероссийской конференции
молодых ученых по математическому моделированию и информационным
технологиям. — Новосибирск: ИВТ СО РАН, 2003.— С. 18.
Подписано к печати 11. 11. 2003 г.
Формат 60x84. 1/16
Объем 1,0 п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 189
Московская государственная академия
приборостроения и информатики
107076, Москва, ул. Стромынка, 20
p.1649
РНБ Русский фонд
2004-4
25334