Îãëàâëåíèå Ãëàâà 1. Ñëîæíûå (ñîñòàâíûå) ñèñòåìû . . . . . . . . 1.1. Ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû, ñîñòîÿùåé èç íåâçàèìîäåéñòâóþùèõ ïîäñèñòåì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Ñëîæåíèå ìîìåíòîâ. Êîýôôèöèåíòû Êëåáøà-Ãîðäàíà 1.3. Cèñòåìà ñâÿçàííûõ ãàðìîíè÷åñêèõ îñöèëëÿòîðîâ . . Ãëàâà 2. Ñèñòåìû òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö . . . . . . . 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. Ñèììåòðèÿ îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâîê . . . . . . . Cèñòåìû òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö . . . . . . . . . . . Âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ñèñòåìû òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö Ñâÿçü N -÷àñòè÷íûõ ñîñòîÿíèé ñ ïîëíûì ñïèíîì . . Îáìåííîå âçàèìîäåéñòâèå . . . . . . . . . . . . . . . Ãëàâà 3. Ïðåäñòàâëåíèå ÷èñåë çàïîëíåíèÿ . . . . . . . . . . . . 3.1. Îïåðàòîðû ðîæäåíèÿ è óíè÷òîæåíèÿ . . . . . . . . . 3.2. Ïðåäñòàâëåíèå ÷èñåë çàïîëíåíèÿ . . . . . . . . . . . . 3.3. Îïåðàòîðû ðîæäåíèÿ è óíè÷òîæåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå ÷èñåë çàïîëíåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Ïðåäñòàâëåíèå îñíîâíûõ îïåðàòîðîâ . . . . . . . . . . 3 4 4 5 11 16 16 18 20 23 26 29 29 33 34 38 Ãëàâà 1 Ñëîæíûå (ñîñòàâíûå) ñèñòåìû 1.1. Ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû, ñîñòîÿùåé èç íåâçàèìîäåéñòâóþùèõ ïîäñèñòåì Ðàññìîòðèì äâå íåâçàèìîäåéñòâóþùèå ñèñòåìû (÷àñòèöû) ñ ìîìåíòàìè j1 è j2 . Òîãäà ñîñòîÿíèå ïåðâîé ñèñòåìû îïðåäåëÿåòñÿ âåêòîðîì |n1 , j1 , m1 i, à ñîñòîÿíèå âòîðîé |n2 , j2 , m2 i. Çäåñü n1 è n2 îáîçíà÷àþò îñòàëüíûå êâàíòîâûå ÷èñëà èç ïîëíîãî íàáîðà ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí. Ñîñòîÿíèå ñèñòåìû äâóõ íåâçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö îïðåäåëÿåòñÿ âåêòîðîì |n1 , j1 , m1 ; n2 , j2 , m2 i = |n1 , j1 , m1 i|n2 , j2 , m2 i (1.1) Î÷åâèäíî, îïåðàòîðû, äåéñòâóþùèå íà ïåðâóþ ñèñòåìó, íå äåéñòâóþò íà âòîðóþ è íàîáîðîò (ñîîòâåòñòâåííî îíè ìåæäó ñîáîé êîììóòèðóþò): X fˆ1 |n1 , j1 , m1 i = |Φ1 i ≡ hn01 , j10 , m01 |fˆ1 |n1 , j1 , m1 i|n01 , j10 , m01 i. n01 ,j10 ,m01 Àíàëîãè÷íî è äëÿ âòîðîé ñèñòåìû: íî (1.2) fˆ2 |n2 , j2 , m2 i = |Φ2 i, (1.3) fˆ1 |n2 , j2 , m2 i = |n2 , j2 , m2 ifˆ1 . (1.4) Ïîýòîìó èìååì fˆ1 |n1 j1 m1 ; n2 j2 m2 i = |Φ1 ; n2 j2 m2 i ≡ |Φ1 i|n2 , j2 , m2 i, fˆ2 |n1 j1 m1 ; n2 j2 m2 i = |n1 j1 m1 ; Φ2 i ≡ |n1 , j1 , m1 i|Φ2 i. 4 (1.5) (1.6) Äëÿ îïåðàòîðà âèäà fˆ12 = fˆ1 fˆ2 , ñîãëàñíî ôîðìóëå (1.4) ïîëó÷àåì: fˆ1 fˆ2 |n1 , j1 , m1 ; n2 , j2 , m2 i =fˆ1 |n1 , j1 , m1 ifˆ2 |n2 , j2 , m2 i = =|Φ1 i|Φ2 i ≡ |Φ1 ; Φ2 i. (1.7) Êàê âèäèì, äåéñòâèå îïåðàòîðà fˆ1 fˆ2 íà âåêòîð ñîñòîÿíèÿ |n1 , j1 , m1 ; n2 , j2 , m2 i = |n1 , j1 , m1 i|n2 , j2 , m2 i îïðåäåëÿåòñÿ ñîãëàñíî ïðàâèëó ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ. Äåéñòâèòåëüíî, ïðîñòðàíñòâî ñîñòîÿíèé âñåé ñèñòåìû èìååò ðàíã, ðàâíûé ïðîèçâåäåíèþ ðàíãîâ ïðîñòðàíñòâ ñîñòîÿíèé êàæäîé ñèñòåìû. Êîëè÷åñòâî áàçèñíûõ âåêòîðîâ ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ ñîîòâåòñòâóþùèõ ÷èñåë äëÿ êàæäîé ñèñòåìû. Òàêèì îáðàçîì, âåêòîð ñîñòîÿíèÿ âñåé ñèñòåìû åñòü ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ ñîñòîÿíèé êàæäîé ïîäñèñòåìû. Ñîîòâåòñòâåííî è ïðîèçâåäåíèå îïåðàòîðîâ îòëè÷àåòñÿ îò îáû÷íîãî (âíóòðåííåãî) ìàòðè÷íîãî ïðîèçâåäåíèÿ, ïîñêîëüêó ýòî îïÿòü ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå îïåðàòîðîâ. Îáû÷íî çíàê ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ (èëè ñóììû) íå âûäåëÿþò îñîáî, ñ÷èòàÿ ýòîò ôàêò î÷åâèäíûì, îäíàêî îá ýòîì âñåãäà íóæíî ïîìíèòü. Èíûìè ñëîâàìè, ñòðîæå áûëî áû çàïèñàòü îïðåäåëåíèå (1.1) òàê: |n1 , j1 , m1 ; n2 , j2 , m2 i = |n1 , j1 , m1 i ⊗ |n2 , j2 , m2 i. (1.8) Òî æå ñàìîå óòî÷íåíèå ñëåäóåò ñäåëàòü è äëÿ ïðîèçâåäåíèÿ îïåðàòîðîâ. 1.2. Ñëîæåíèå ìîìåíòîâ. Êîýôôèöèåíòû ÊëåáøàÃîðäàíà Èòàê, áóäåì ñåé÷àñ ðàññìàòðèâàòü òîëüêî ñîñòîÿíèÿ ñ îïðåäåëåííûì ìîìåíòîì è äëÿ ïðîñòîòû îïóñòèì íàáîð îñòàëüíûõ êâàíòîâûõ ÷èñåë (íî îíè âñåãäà åñòü!). Äëÿ èçîëèðîâàííîé çàìêíóòîé ñèñòåìû, êàêîâîé è ïðåäñòàâëÿåòñÿ íàøà ñèñòåìà äâóõ íåâçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö, E, P, M èíòåãðàëû äâèæåíèÿ. Ïîýòîìó â íàøåì ñëó÷àå äîëæåí ñîõðàíÿòüñÿ ïîëíûé (ñóììàðíûé) ìîìåíò êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ: M = M1 + M2 ; b M → ~J; M1,2 → ~bj1,2 . (1.9) Ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû îïèñûâàþòñÿ ëèíåéíûìè êîìáèíàöèÿìè (2j1 + 1) · (2j2 + 1) íåçàâèñèìûõ âåêòîðîâ |j1 , m1 i|j2 , m2 i. Ýòî åñòü 5 ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà ñîñòîÿíèé ñèñòåìû äâóõ ÷àñòèö ñ ìîìåíòàìè j1 è j2 . Íàøà çàäà÷à ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû îïèñàòü ñîñòîÿíèÿ âñåé ñèñòåìû ñ ïîëíûì ìîìåíòîì J, îáðàçîâàííûì äâóìÿ íåçàâèñèìûìè ìîìåíòàìè j1 è j2 , êîòîðûå â ñâîþ î÷åðåäü ñàìè ïî ñåáå â îòäåëüíîñòè ñîõðàíÿþòñÿ, ïîñêîëüêó ÷àñòèöû ìåæäó ñîáîé íå âçàèìîäåéñòâóþò. Èíûìè ñëîâàìè, ìû çäåcü èìååì èíòåãðàëû äâèæåíèÿ j21 , j22 , J2 , Jz , êîòîðûå è äîëæíû áûòü âêëþ÷åíû â ïîëíûé íàáîð ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí. Èëè, êàê ïðèíÿòî ãîâîðèòü, çàäàòü ïðåäñòàâëåíèå, â êîòîðîì îïèñûâàåòñÿ ñèñòåìà ñ îïðåäåëåííûì ñóììàðíûì ìîìåíòîì. Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî îïåðàòîðû Jbz = ĵ1z + ĵ2z ; J2 = j21 + j22 + 2(j1 j2 ) ìåæäó ñîáîé êîììóòèðóþò, à îñòàëüíûå êîìïîíåíòû óäîâëåòâîðÿþò èçâåñòíûì êîììóòàöèîííûì ñîîòíîøåíèÿì äëÿ ìîìåíòà: [J2 , Jˆz ] = 0, [Jˆα , Jˆβ ] = ieαβγ Jˆγ . (1.10) Ñîîòâåòñòâåííî Ĵ2 |j1 , j2 , J, M i Jˆz |j1 , j2 , J, M i = J(J + 1)|j1 , j2 , J, M i, = M |j1 , j2 , J, M i ¾ . (1.11) Ïðåæäå âñåãî çàìåòèì, ÷òî ïî îïðåäåëåíèþ J = max{M } = j1 + j2 . Òàêîå ñîñòîÿíèå îäíî: ¾ |J, Ji = |j1 +j2 , j1 +j2 i = |j1 , j1 i|j2 , j2 i, . (1.12) |J, J −1i = |j1 +j2 , j1 +j2 − 1i ∝ Jˆ− |J, Ji Ïîäåéñòâóåì îïåðàòîðîì J− íà ñîñòîÿíèå ñ ìàêñèìàëüíîé ïðîåêöèåé √ Jb− |J, Ji = 2J|J, J − 1i = p p = 2j1 |j1 , j1 − 1i|j2 , j2 i + 2j2 |j1 , j1 i|j2 , j2 − 1i. Ïîëó÷àåì ñîñòîÿíèå ñ ïðîåêöèåé íà 1 ìåíüøå: s s j1 j2 |J, J − 1i = |j1 , j1−1i|j2 , j2 i+ |j1 , j1 i|j2 , j2−1i. (1.13) j1 +j2 j1 +j2 6 Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ñóùåñòâóåò âòîðàÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ (îðòîãîíàëüíàÿ ê ïåðâîé) ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ: ˜ j1 + j2 − 1i = |J, s s j2 j1 |j1 , j1 −1i|j2 , j2 i− |j1 , j1 i|j2 , j2 −1i. = j1 +j2 j1 +j2 (1.14) Ïîñêîëüêó ýòî ñîñòîÿíèå íå îòíîñèòñÿ ê ñîñòîÿíèþ ñ ïîëíûì ìîìåíòîì J = j1 +j2 , îíî äîëæíî ñîîòâåòñòâîâàòü ñîñòîÿíèþ ñ äðóãèì ïîëíûì ìîìåíòîì. Òàê êàê ìàêñèìàëüíàÿ ïðîåêöèÿ ðàâíà j1 +j2 −1, ïî îïðåäåëåíèþ ñëåäóåò ïîëîæèòü J˜ = j1 + j2 − 1. Äåéñòâóÿ òåïåðü ïîíèæàþùèì îïåðàòîðîì íà ñîñòîÿíèÿ |J = f = j1 + j2 − 1i, ïîëó÷èì j1 + j2 , M = j1 + j2 − 1i è |J˜ = j1 + j2 − 1, M äâà ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ñîñòîÿíèÿ, îòíîñÿùèõñÿ ê ñîîòâåòñòâóþùèì ïîëíûì ìîìåíòàì. Oäíàêî, åñëè J − 1 6= 0 èëè 1/2, íàðÿäó ñ ïîëó÷àþùèìèñÿ âåêòîðàìè ìîæíî ïîñòðîèòü òðåòèé, ëèíåéíî íåçàâèñèìûé, îðòîãîíàëüíûé ê äâóì ïîëó÷åííûì âåêòîð1 . Êàê è ïðåæäå, ýòîò âåêòîð äîëæåí áûòü îòíåñåí ê ñîñòîÿíèþ ñ ïîëíûì ìîìåíòîì J = j1 + j2 − 2. Ïðîäîëæàÿ ïðîöåäóðó, âèäèì, ÷òî íîâûå ëèíåéíî íåçàâèñèìûå âåêòîðû ìîãóò áûòü ïîñòðîåíû äî òåõ ïîð, ïîêà ïðîåêöèÿ íå ïîíèçèòñÿ äî çíà÷åíèÿ M = |j1 − j2 |. Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì, ÷òî ïîëíûé ìîìåíò ñèñòåìû äâóõ ÷àñòèö ñ ìîìåíòàìè j1 è j2 ìîæåò ïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ |j1 − j2 | ≤ J ≤ (j1 + j2 ). (1.15) Ýòî òàê íàçûâàåìîå íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà. Åñëè j2 < j1 , ïîëó÷àåòñÿ âñåãî 2j2 +1 ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé, êîòîðûå ìîæåò ïðèíèìàòü ïîëíûé ìîìåíò ñèñòåìû äâóx ÷àñòèö. Ïîëíîå æå ÷èñëî ñîñòîÿíèé âñåé ñèñòåìû îñòàåòñÿ íåèçìåííûì: J=j 1 +j2 X (2J + 1) = (2j1 + 1)(2j2 + 1). (1.16) J=|j1 −j2 | Òàêèì îáðàçîì, ïðîñòðàíñòâî (2j1 +1)(2j2 +1) ñîñòîÿíèé ñ áàçèñíûìè âåêòîðàìè |j1 , m1 i|j2 , m2 i ðàçáèëîñü íà 2j2 + 1 èíâàðèàíòíûõ 1 Ýòî ñïðàâåäëèâî, åñëè j è j > 1/2. 1 2 7 ïîäïðîñòðàíñòâà íåçàâèñèìûõ ñîñòîÿíèé ñ áàçèñíûìè âåêòîðàìè ñîîòâåòñòâåííî: |J = j1 + j2 , j1 , j2 , M i, . . . , |J = |j1 − j2 |, j1 , j2 , M i. Ýòîò ðåçóëüòàò ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå X |j1 , j2 , J, M i = CjJ,M |j1 , m1 i|j2 , m2 i. 1 ,m1 ;j2 ,m2 (1.17) m1 +m2 =M Êîýôôèöèåíòû CjJ,M ñîñòàâëÿþò ìàòðèöó, êîòîðàÿ îñó1 ,m1 ;j2 ,m2 ùåñòâëÿåò íåîáõîäèìîå ðàçáèåíèå ïðîñòðàíñòâà. Îíè íàçûâàþòñÿ êîýôôèöèåíòàìè ÊëåáøàÃîðäàíà. Îñòàíîâèìñÿ êðàòêî íà èõ ñâîéñòâàõ. Ñîãëàñíî îáùåìó ïðàâèëó, êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ (1.17) îïðåäåëÿþòñÿ ïðè ïîìîùè ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ íà ñîîòâåòñòâóþùèé ñîïðÿæåííûé âåêòîð: CjJ,M = hj1 , m1 |hj2 , m2 ||J, M i. 1 ,m1 ;j2 ,m2 (1.18) Îáðàòíûé ïåðåõîä îò îïèñàíèÿ ñîñòîÿíèé ñèñòåìû â áàçèñå |j1 , j2 , J, M i ê îïèñàíèþ ñîñòîÿíèé â áàçèñå |j1 , m1 i|j2 , m2 i îñóùåñòâëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ îáðàòíîé ìàòðèöû: X ¡ −1 ¢J,M |j1 , m1 i|j2 , m2 i = C |j1 , j2 , J, M i, (1.19) j ,m ; j ,m 1 1 2 2 M = m1 + m2 ; |j1 − j2 | ≤ J ≤ |j1 + j2 | êîòîðàÿ òàêæå íàõîäèòñÿ ïî îïðåäåëåíèþ ¡ −1 ¢J,M C = hj1 , j2 , J, M |j1 , m1 i|j2 , m2 i = j1 ,m1 ; j2 ,m2 ³ ´∗ = hj2 , m2 |hj1 , m1 |j1 , j2 , J, M i . (1.20) Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî êîýôôèöèåíòû ÊëåáøàÃîðäàíà ìîãóò áûòü âûáðàíû âñå äåéñòâèòåëüíûìè. Èìåÿ îáðàòíóþ ìàòðèöó (1.20), ñðàçó ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèÿ îðòîãîíàëüíîñòè: X hj1 j2 ; JM |j1 m1 i|j2 m2 ihj2 m2 |hj1 m1 |j1 j2 ; J 0 M 0 i = δJJ 0 δM M 0 , m1 ,m2 (1.21) 8 è íàîáîðîò: X hj2 m2 |hj1 m1 |j1 j2 ; JM ihj1 j2 ; JM |j1 m01 i|j2 m02 i = δm1 m01 δm2 m02 . J,M (1.22) Èòàê, CjJ,M óíèìîäóëÿðíàÿ ìàòðèöà îðòîãîíàëüíîãî ïðå1 ,m1 ; j2 ,m2 îáðàçîâàíèÿ áàçèñà. Ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâ ÊëåáøàÃîðäàíà ðàçáèâàåò ïîëíîå ïðîñòðàíñòâî (2j1 + 1)(2j2 + 1) íà èíâàðèàíòíûå ïîäïðîñòðàíñòâà ìåíüøåãî ðàíãà, ñîîòâåòñòâóþùèå äàííîìó çíà÷åíèþ ïîëíîãî ìîìåíòà.  êà÷åñòâå ïðèìåðà ïîñòðîèì ñîñòîÿíèÿ ñ îïðåäåëåííûì ïîëíûì ìîìåíòîì |l1 , l2 , L, M i äëÿ ñëó÷àÿ l1 = l2 = 1.  äàííîì ïðèìåðå ìû äîëæíû ïîëó÷èòü 9 ñîñòîÿíèé: 5 ñîñòîÿíèé ñ L = 2; 3 c L = 1 è 1 ñ L = 0. Ïðåæäå âñåãî ñëåäóåò ïîñòðîèòü ñîñòîÿíèÿ ñ ìàêñèìàëüíûì çíà÷åíèåì L = 2. Ñîñòîÿíèÿ ñ ìàêñèìàëüíîé è ìèíèìàëüíîé ïðîåêöèÿìè ìû çíàåì: |1, 1, 2, ±2i = |1, ±1i|1, ±1i. Äàëåå, ñîãëàñíî èçëîæåííîé ïðîöåäóðå, ïîëó÷àåì ñîñòîÿíèÿ ñ ïðîåêöèÿìè ±1: 1 |1, 1, 2, ±1i = √ (|1, 0i|1, ±1i + |1, ±1i|1, 0i) . 2 Âíîâü, äåéñòâóÿ ïîíèæàþùèì îïåðàòîðîì íà ñîñòîÿíèå ñ M = +1, ïîëó÷èì ïîñëåäíåå èç ñîñòîÿíèé ñ L = 2: ´ 1 ³ |1, 1, 2, 0i = √ |1, −1i|1, +1i + |1, +1i|1, −1i + 2|1, 0i|1, 0i . 6 Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ñîñòîÿíèé ñ ìîìåíòîì L = 1 âîñïîëüçóåìñÿ ñîîòíîøåíèÿìè îðòîãîíàëüíîñòè äëÿ êîýôôèöèåíòîâ ÊëåáøàÃîðäàíà (1.21) è (1.22). Âíà÷àëå âûïèøåì ÿâíûé âèä óæå èçâåñòíûõ êîýôôèöèåíòîâ: 2,±2 C1,±1,1,±1 = 1, 2,0 C1,±1,1,∓1 1 2,±1 2,±1 C1,±1,1,0 = C1,0,1,±1 =√ , 2 r 1 2 2,0 = = √ , C1,0,1,0 . 3 6 9 Òåïåðü çàïèøåì ñîîòíîøåíèå îðòîãîíàëüíîñòè äëÿ M 0 = M = +1, L0 = 2, L = 1: ´ 1 ³ 1,+1 1,+1 √ C1,+1,1,0 + C1,0,1,+1 = 0. 2 Äëÿ çíà÷åíèé M 0 = M = 1 è L0 = L = 1 ñîîòíîøåíèå îðòîãîíàëüíîñòè åñòü ïðîñòî óñëîâèå íîðìèðîâêè, è ìû ïîëó÷àåì ´ 1 ³ |1, 1, 1, +1i = √ |1, 0i|1, +1i − |1, +1i|1, 0i . 2 Âåêòîð ñîñòîÿíèÿ |1, 1, 1, −1i îïðåäåëÿåòñÿ îòñþäà òðèâèàëüíî. Òåb − ê ïîëó÷åííîìó ñîñòîÿïåðü ïðèìåíèì ïîíèæàþùèé îïåðàòîð L íèþ: 1 |1, 1, 1, 0i = √ (|1, −1i|1, +1i − |1, −1i|1, +1i) . 2 Îñòàëîñü ïîñòðîèòü ïîñëåäíèé âåêòîð ñ L = 0. Âíîâü âîñïîëüçóåìñÿ ñîîòíîøåíèÿìè îðòîãîíàëüíîñòè äëÿ ñîñòîÿíèé ñ M 0 = M = 0: ´ 1 ³ 0,0 2 0,0 0,0 L0 = 2, L = 0 : √ C1,+1,1,−1 +C1,−1,1,+1 + √ C1,0,1,0 = 0; 6 6 ´ 1 ³ 0,0 0,0 L0 = 1, L = 0 : √ C1,+1,1,−1 −C1,−1,1,+1 = 0. (1.23) 2 Ðåøàÿ óðàâíåíèÿ (1.23) è èñïîëüçóÿ óñëîâèÿ íîðìèðîâêè, ïîëó÷àåì 1 |1, 1, 0, 0i = √ (|1, −1i|1, +1i+ 3 + |1, −1i|1, +1i − |1, 0i|1, 0i) . Î÷åíü ÷àñòî âìåñòî êîýôôèöèåíòîâ ÊëåáøàÃîðäàíà óäîáíî èñïîëüçîâàòü èõ âûðàæåíèå ÷åðåç 3j -ñèìâîëû Âèãíåðà, êîòîðûå ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì = CjJ,M 1 ,m1 ;j2 ,m2 (−1)j1 −j2 +M √ 2J + 1 j1 m1 j2 m2 J −M (1.24) . 3j -ñèìâîëû îáëàäàþò ñâîéñòâàìè ñèììåòðèè, íåêîòîðûå èç êîòîðûõ ìû ïåðå- ÷èñëèì. Ñèììåòðèÿ ïî îòíîøåíèþ ê ïåðåñòàíîâêå ñòîëáöîâ: j1 m1 j2 m2 j3 m3 = (−1)j1 +j2 +j3 10 j2 m2 j1 m1 j3 m3 . (1.25) Ñèììåòðèÿ ïî îòíîøåíèþ ê çàìåíå çíàêà ïðîåêöèé: j1 m1 j3 j1 = (−1)j1 +j2 +j3 m3 −m1 j2 m2 j2 −m2 j3 −m3 . (1.26) Ñóììà ïðîåêöèé ðàâíà íóëþ: m1 + m2 + m3 = 0. (1.27) Êðîìå ïåðå÷èñëåííûõ âàæíûõ ñâîéñòâ, ïðèâåäåì î÷åâèäíóþ, íî î÷åíü ïîëåçíóþ ôîðìóëó: j m j −m 1 0 = (−1)j−m √ . 0 2j + 1 (1.28) Áîëåå ïîäðîáíîå èçëîæåíèå ñâîéñòâ 3j -ñèìâîëîâ ìîæíî íàéòè â ó÷åáíèêàõ ïî êâàíòîâîé ìåõàíèêå èëè â ñïåöèàëüíîé ëèòåðàòóðå, ïîñâÿùåííîé ïðåäñòàâëåíèÿì ãðóïïû âðàùåíèé (ñì., íàïðèìåð,[?]-[?]). 1.3. Cèñòåìà ñâÿçàííûõ ãàðìîíè÷åñêèõ îñöèëëÿòîðîâ Ðàññìîòðèì òåïåðü, êàê ìîæíî îïèñàòü ñèñòåìó ñ áîëüøèì ÷èñëîì ñòåïåíåé ñâîáîäû, ïóòåì ñâåäåíèÿ åå ê ñîâîêóïíîñòè íåâçàèìîäåéñòâóþùèõ ïîäñèñòåì.  êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå òàêîé ïåðåõîä îñóùåñòâëÿëñÿ ïóòåì ââåäåíèÿ íîðìàëüíûõ êîîðäèíàò è èìïóëüñîâ: â ýòîì ñëó÷àå ñòåïåíè ñâîáîäû îêàçûâàëèñü íåçàâèñèìûìè. Äàííàÿ ïðîöåäóðà âîçìîæíà âñåãäà, êîãäà ãàìèëüòîíèàí ñèñòåìû ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû.  ýòîì ñëó÷àå ñèñòåìó ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê N ñâÿçàííûõ îäíîìåðíûõ ãàðìîíè÷åñêèõ îñöèëëÿòîðîâ, ãäå N ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû. Ãàìèëüòîíèàí òàêîé ñèñòåìû ìîæíî çàïèñàòü â âèäå b = H X Pb2 X k bk Q bl , + Vkl Q 2mk k (1.29) k,l b k è Pbk îïåðàòîðû îáîáùåííûõ êîîðäèíàò è èìïóëüñîâ, êîãäå Q òîðûå óäîâëåòâîðÿþò èçâåñòíûì êîììóòàöèîííûì ñîîòíîøåíèÿì: i i h i h h b k , Pbl = i~δkl , bk , Q b l = Pbk , Pbl = 0, Q (1.30) Q à ìàòðèöà ñâÿçè äåéñòâèòåëüíà è ñèììåòðè÷íà: Vkl = Vlk . 11 Ïðèâåäåì ãàìèëüòîíèàí (1.29) ê áîëåå ñèììåòðè÷íîìó âèäó, ñäåëàâ çàìåíó ïåðåìåííûõ q̂k = √ 1 b Pk mk bk , mk Q p̂k = √ Ukl = √ 2 Vkl , mk ml (1.31) è ââåäÿ ïåðåîïðåäåëåíèå òîãäà êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ îñòàíóòñÿ ïðåæíèìè (1.30), à ãàìèëüòîíèàí ïðèìåò âèä2 X 1X b =1 H p̂2k + Ukl q̂k q̂l . 2 2 k (1.32) k,l Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ìàòðèöà Ukl íåâûðîæäåíà è ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà, òîãäà åå ìîæíî äèàãîíàëèçîâàòü. Äèàãîíàëèçàöèÿ, ïî ñóòè äåëà, îçíà÷àåò ïåðåõîä ê íîðìàëüíûì êîîðäèíàòàì q̂α . Ïóñòü ïåðåõîä ê íîðìàëüíûì êîîðäèíàòàì îñóùåñòâëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ îðòîãîíàëüíîé ìàòðèöû: X X q̂α = Cαk q̂k , q̂k = Ckα q̂α , (1.33) α k ãäå X Cαk Cβk = δαβ , X Cαk Cαl = δkl . α k Ïîñêîëüêó ìàòðèöà Cαk äèàãîíàëèçóåò ìàòðèöó ñâÿçè, ìîæíî çàïèñàòü3 : X Ckα Vkl Clβ = ωα2 δαβ . (1.34) k,l Ñëåäîâàòåëüíî, X X X X X Ukl q̂k q̂l = Ukl Ckα q̂α Clβ q̂β = ωα2 q̂α2 . k,l k,l α β α 2 Òàêàÿ ôîðìà çàïèñè ãàìèëüòîíèàíà îñöèëëÿòîðîâ ñ åäèíè÷íûìè ìàññàìè áóäóò ïîëåçíà ïðè êâàíòîâàíèè ñâîáîäíîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ â Ãëàâå ??. 3 Ìàòðèöà ñâÿçè ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà! 12 Ïîñêîëüêó îïåðàòîðû êîîðäèíàòû è èìïóëüñà êàíîíè÷åñêè ñîïðÿæåíû, íîðìàëüíûå êîìïîíåíòû èìïóëüñà òàêæå îïðåäåëÿþòñÿ ìàòðèöåé Cαk : X X Cαk p̂k , p̂k = Ckα p̂α , (1.35) p̂α = α k ïðè÷åì (1.36) [q̂α , p̂β ] = i~δαβ . Ïîäñòàâëÿÿ âñå ââåäåííûå îáîçíà÷åíèÿ è îïðåäåëåíèÿ â ôîðìóëó (1.32), ïîëó÷àåì ãàìèëüòîíèàí â âèäå ñóììû ãàìèëüòîíèàíîâ íåñâÿçàííûõ îñöèëëÿòîðîâ: X¡ ¢ b =1 p̂2α + ωα2 q̂α2 . H 2 α (1.37) Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî ñîñòîÿíèå ñèñòåìû ñâÿçàííûõ îñöèëëÿòîðîâ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ ñîñòîÿíèé îäíîìåðíûõ îñöèëëÿòîðîâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ íîðìàëüíûì ñòåïåíÿì ñâîáîäû. Ïîñêîëüêó ñîñòîÿíèå îäíîìåðíîãî îñöèëëÿòîðà îïðåäåëÿåòñÿ òîëüêî îäíèì êâàíòîâûì ÷èñëîì n, èìååì |Ψi = |n1 i ⊗ |n2 i ⊗ · · · ⊗ |nN i ≡ N Y ⊗|nα i. (1.38) α=1 Çäåñü ìû ÿâíî íàïèñàëè çíàê ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ, ïîñêîëüêó ïðîñòðàíñòâî ñîñòîÿíèé N îñöèëëÿòîðîâ èìååò ðàçìåðíîñòü ïðîèçâåäåíèÿ ðàçìåðíîñòåé ïðîñòðàíñòâ ñîñòîÿíèé îäíîìåðíûõ îñöèëëÿòîðîâ. Î÷åíü ÷àñòî çíàê ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ ⊗ îïóñêàþò äëÿ ïðîñòîòû, ñ÷èòàÿ ýòî ñàìî ñîáîé ðàçóìåþùèìñÿ, îäíàêî, ïî êðàéíåé ìåðå, îäèí ðàç âñå íóæíî íàïèñàòü â ÿâíîì âèäå. Ýíåðãèÿ ñèñòåìû îñöèëëÿòîðîâ ðàâíà ñóììå ýíåðãèé. Ñîîòâåòñòâåííî, êàê è äëÿ îäíîãî îäíîìåðíîãî îñöèëëÿòîðà, óäîáíî ââåñòè ïîâûøàþùèé è ïîíèæàþùèé îïåðàòîðû: µr ¶ 1 ωα i √ √ âα = p̂α , q̂α + ~ ~ωα 2 µr ¶ 1 ωα i + âα = √ p̂α , (1.39) q̂α − √ ~ ~ωα 2 13 r q̂α = ¢ ~ ¡ + âα + âα , 2ωα r p̂α = i ¢ ~ωα ¡ + âα − âα . 2 (1.40) Òàê ââåäåííûå íàìè îïåðàòîðû óäîâëåòâîðÿþò êîììóòàöèîííûì ñîîòíîøåíèÿì: h i h i + + [âα , âβ ] = â+ , â = 0, â , â (1.41) α α β β = δαβ . Ó÷èòûâàÿ îïðåäåëåíèÿ îïåðàòîðîâ è èõ êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ (1.41), çàïèøåì ãàìèëüòîíèàí (1.32) â âèäå µ ¶ X 1 + b H= ~ωα âα âα + . (1.42) 2 α Ñîîòâåòñòâåííî ñîáñòâåííûå ñîñòîÿíèÿ çàäàþòñÿ ñîâîêóïíîñòüþ N ÷èñåë nα è èõ ìîæíî çàïèñàòü êàê " # Y (a+ )nα α √ |Ψi ≡ |n1 n2 , . . . nN i = |00 . . . 0i, (1.43) nα ! α à óðîâíè ýíåðãèè ðàâíû En1 ,n2 , ...nN = X (nα + 1/2) ~ωα . (1.44) α P Ýíåðãèÿ îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ |00 . . . 0i ðàâíà α ~ωα /2 è äëÿ ñèñòåìû ñ áåñêîíå÷íûì ÷èñëîì ñòåïåíåé ñâîáîäû îáðàùàåòñÿ â áåñêîíå÷íîñòü. Ïîýòîìó îáû÷íî ýíåðãèþ ñèñòåìû ïåðåîïðåäåëÿþò, îòñ÷èòûâàÿ îò ýíåðãèè îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ.  òàêîì ñëó÷àå â ôîðìóëàõ (1.42) è (1.44) 1/2 â ñêîáêàõ èñ÷åçàåò.  çàêëþ÷åíèå ïàðàãðàôà, ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ñèñòåìà ñâÿçàííûõ îñöèëëÿòîðîâ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà êàê àíñàìáëü íåçàâèñèìûõ îñöèëëÿòîðîâ, à ýíåðãèÿ ñèñòåìû ðàâíà ñóììå ýíåðãèé âñåõ íåçàâèñèìûõ ïîäñèñòåì. Ïðè ýòîì çàìåòèì, ÷òî åñëè ðàññìàòðèâàòü òîëüêî ýíåðãèþ ñèñòåìû (1.44), åå ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ñóììó ýíåðãèé X N = nα α îñöèëëÿòîðîâ, èç êîòîðûõ nα îïèñûâàþòñÿ îäèíàêîâîé ÷àñòîòîé ωα è íàõîäÿòñÿ íà ïåðâîì âîçáóæäåííîì óðîâíå. Òåïåðü â íàøåì 14 îïèñàíèè ïîëó÷èëè, ÷òî âñå nα√îñöèëëÿòîðîâ íåðàçëè÷èìû, è ýòîò ôàêò âûðàæàåòñÿ ìíîæèòåëåì nα ! â çíàìåíàòåëå ôîðìóëû (1.44). Çàìåòèì, ÷òî nα ! ÷èñëî ïåðåñòàíîâîê îäèíàêîâûõ (òîæäåñòâåííûõ) îñöèëëÿòîðîâ. 15 Ãëàâà 2 Ñèñòåìû òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö 2.1. Ñèììåòðèÿ îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâîê ×àñòèöû, êîòîðûå îáëàäàþò âñåìè îäèíàêîâûìè ôèçè÷åñêèìè õàðàêòåðèñòèêàìè â êâàíòîâîé ìåõàíèêå íåðàçëè÷èìû è íàçûâàþòñÿ òîæäåñòâåííûìè. Èíûìè ñëîâàìè, òîæäåñòâåííûå ÷àñòèöû íåâîçìîæíî ïåðåíóìåðîâàòü. Ýòî âàæíîå ñëåäñòâèå ñîîòíîøåíèÿ íåîïðåäåëåííîñòåé â êâàíòîâîé ìåõàíèêå. Ðàññìîòðèì äâå òîæäåñòâåííûå ÷àñòèöû, ñîñòîÿíèå êîòîðûõ îïèñûâàåòñÿ äâóõ÷àñòè÷íîé âîëíîâîé ôóíêöèåé. Îáû÷íî â íåðåëÿòèâèñòñêîé ôèçèêå ñïèí ÷àñòèöû íå ðàññìàòðèâàþò, åñëè íåò ìàãíèòíûõ âçàèìîäåéñòâèé, îäíàêî ïðè ðàññìîòðåíèè ìíîãî÷àñòè÷íûõ çàäà÷ ñïèí íà÷èíàåò èãðàòü ïðèíöèïèàëüíóþ ðîëü. Äåéñòâèòåëüíî, ïîëíîå îïèñàíèå ñîñòîÿíèÿ ÷àñòèöû çàäàåòñÿ íå òîëüêî â êîíôèãóðàöèîííîì ïðîñòðàíñòâå, íî è ñîñòîÿíèåì äîïîëíèòåëüíûõ, âíóòðåííèõ ñòåïåíåé ñâîáîäû ïðîåêöèè ñïèíà íà îñü êâàíòîâàíèÿ. Î÷åâèäíî, ÷àñòèöû, îáëàäàþùèå ðàçëè÷íûìè ïðîåêöèÿìè ñïèíà, íàõîäÿòñÿ â ðàçëè÷íûõ ñîñòîÿíèÿõ. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, íåðàçëè÷èìîñòü ÷àñòèö ìîæåò ïðîÿâèòüñÿ òîëüêî â èíâàðèàíòíîñòè âñåõ ñâîéñòâ ñèñòåìû îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâêè (ïåðåìåíû) ÷àñòèö ìåñòàìè, íî ÷àñòèöà ïðè ýòîì ïåðåíîñèòñÿ âìåñòå ñî ñâîèìè âíóòðåííèìè ñòåïåíÿìè ñâîáîäû, ò.å. ïðîåêöèåé ñïèíà ms . Ïîýòîìó, åñëè ìû õîòèì îïèñàòü ïîëîæåíèå ÷àñòèöû, ñëåäóåò õàðàêòåðèçîâàòü åå êàê êîîðäèíàòîé â êîíôèãóðàöèîííîì ïðîñòðàíñòâå r, òàê è êîîðäèíàòîé âíóòðåííèõ ñòåïåíåé ñâîáîäû ms . Òàêèì îáðàçîì, ïîëîæåíèå ÷àñòèöû â ñèñòåìå òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö îáÿçàòåëüíî äîëæíî îïðåäåëÿòüñÿ ïàðîé {r, ms } ≡ x. (2.1) Ñîîòâåòñòâåííî âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ñèñòåìû äâóõ òîæäåñòâåííûõ 16 ÷àñòèö çàâèñèò îò ïàðû êîîðäèíàò (2.1) è ïðè ïåðåñòàíîâêå ÷àñòèö ìåñòàìè äîëæíà îïèñûâàòü ôèçè÷åñêè òî æå ñàìîå ñîñòîÿíèå: PbΨ(x1 , x2 ; t) = Ψ(x2 , x1 ; t), (2.2) ãäå Pb îïåðàòîð ïåðåñòàíîâêè äâóõ ÷àñòèö. Çàïèøåì ôîðìàëüíî ãàìèëüòîíèàí ñèñòåìû äâóõ íåðåëÿòèâèñòñêèõ òîæäåñòâåííûõ âçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö, íàõîäÿùèõñÿ âî âíåøíåì ïîëå: 2 2 b 2) = p1 + p2 + U (r1 ) + U (r2 ) + V (r1 , r2 ). H(1, 2m 2m (2.3) Î÷åâèäíî, ãàìèëüòîíèàí (2.3) ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâêè äâóõ ÷àñòèö, ïîýòîìó êîììóòàòîð b 2)] = 0, [Pb, H(1, (2.4) à ñëåäîâàòåëüíî, âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óðàâíåíèþ Øðåäèíãåðà i~ ∂ b 2)Ψ(x1 , x2 ; t), Ψ(x1 , x2 ; t) = H(1, ∂t (2.5) áóäåò òàêæå ñîáñòâåííîé ôóíêöèåé îïåðàòîðà ïåðåñòàíîâêè: PbΨ(x1 , x2 ; t) = λΨ(x1 , x2 ; t). (2.6) Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ λ = ±1. Ñëåäîâàòåëüíî, âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ äîëæíà îáëàäàòü îïðåäåëåííîé ÷åòíîñòüþ îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâêè ÷àñòèö, è ýòî ñâîéñòâî åñòü èíòåãðàë äâèæåíèÿ. Ýòîò âûâîä âûòåêàåò èç îáùèõ ñâîéñòâ óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà, òî÷íåå, èç ñâîéñòâ ìàòåìàòè÷åñêîãî àïïàðàòà, è íèêàê íå ñâÿçàí ñî ñïèíîì ÷àñòèö. Âàæíî áûëî òîëüêî åãî íàëè÷èå êàê òàêîâîãî. Îäíàêî, íà ñàìîì äåëå, ñâîéñòâî ñèììåòðèè âîëíîâîé ôóíêöèè îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâêè òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö íîñèò ôóíäàìåíòàëüíûé õàðàêòåð è îäíîçíà÷íî ñâÿçàíî ñî ñïèíîì ÷àñòèöû. Ýòî óòâåðæäåíèå íå ñëåäóåò èç êàêèõ-ëèáî îáùèõ ïðèíöèïîâ è ïðèíèìàåòñÿ êàê ïîñòóëàò. Åãî ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïîñòóëàò î òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèöàõ. Òîæäåñòâåííûå ÷àñòèöû, îáëàäàþùèå ïîëóöåëûì ñïèíîì (1/2, 3/2, 5/2, . . . ), îïèñûâàþòñÿ òîëüêî àíòèñèììåòðè÷íûìè, à îáëàäàþùèå öåëûì ñïèíîì (0, 1, 17 2, ...) òîëüêî ñèììåòðè÷íûìè âîëíîâûìè ôóíêöèÿìè îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâêè ëþáûõ äâóõ ÷àñòèö. ×àñòèöû ñ ïîëóöåëûì ñïèíîì íàçûâàþòñÿ ôåðìè-÷àñòèöàìè è ïîä÷èíÿþòñÿ ñòàòèñòèêå ÔåðìèÄèðàêà, à ÷àñòèöû ñ öåëûì ñïèíîì íàçûâàþòñÿ áîçå-÷àñòèöàìè è ïîä÷èíÿþòñÿ ñòàòèñòèêå Áîçå Ýéíøòåéíà. Èíûìè ñëîâàìè: Ψ(x1 , x2 ; t) = − Ψ(x2 , x1 ; t) ïðè s = 1/2, 3/2, . . . − ôåðìè-÷àñòèöû; Ψ(x1 , x2 ; t) = + Ψ(x2 , x1 ; t) ïðè s = 0, 1, 2, . . . − áîçå-÷àñòèöû. (2.7) Åñëè â ñèñòåìå íàõîäèòñÿ áîëüøå äâóõ ÷àñòèö, ôîðìóëû (2.7) ëåãêî îáîáùàþòñÿ: Ψ(x1 . . . xi . . . xk . . . ; t) = ±Ψ(x1 . . . xk . . . xi . . . ; t), (2.8) ãäå âåðõíèé çíàê îòíîñèòñÿ ê áîçå-, à íèæíèé ê ôåðìè-÷àñòèöàì. 2.2. Cèñòåìû òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö  ïàðàãðàôå 1.3 ïîêàçàíî, ÷òî ñîñòîÿíèå ñèñòåìû ñ N ñòåïåíÿìè ñâîáîäû ìîæåò áûòü ñâåäåíî ê ñèñòåìå N íåçàâèñèìûõ ïîäñèñòåì è ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî ÷èñëà îäíî÷àñòè÷íûõ ñîñòîÿíèé. Ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî ìîæíî ðàññìàòðèâàòü N íåçàâèñèìûõ ðàçëè÷èìûõ ÷àñòèö. Åñëè ìû óñëîâíî ïðîíóìåðóåì âñå ýòè íåçàâèñèìûå ðàçëè÷íûå ÷àñòèöû è â ïðîèçâåäåíèè, îïèñûâàþùåì ñîñòîÿíèå âñåé ñèñòåìû ìåñòî êàæäîãî ñîìíîæèòåëÿ â ïðÿìîì ïðîèçâåäåíèè áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü ÷àñòèöå ñ äàííûì íîìåðîì, òîãäà òàêîå N -÷àñòè÷íîå ñîñòîÿíèå áóäåò çàïèñàíî â âèäå |ψiN = |ψ1 i|ψ2 i . . . |ψN i ≡ |ψ1 , ψ2 , . . . , ψN i. (2.9) Ïîñêîëüêó âñå îäíî÷àñòè÷íûå ñîñòîÿíèÿ îïðåäåëåíû â ñâîèõ îäíî÷àñòè÷íûõ ïðîñòðàíñòâàõ, ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ N ÷àñòè÷íûõ ñîñòîÿíèé åñòü hϕ|ψi = (hϕ1 |hϕ2 | . . . hϕN |)(|ψ1 i|ψ2 i| . . . |ψN i) = = hϕ1 |ψ1 ihϕ2 |ψ2 i . . . hϕN |ψN i. 18 (2.10) Âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ N -÷àñòè÷íîãî ñîñòîÿíèÿ (2.10) ìîæåò áûòü çàïèñàíà êàê ψ(r1 , r2 . . . rN ) = = hr1 |hr2 | . . . hrN ||ψi = ψ(r1)ψ(r2) · · · ψ(rN ). (2.11) Âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ (2.11) íå îáëàäàåò íèêàêîé ñèììåòðèåé îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâêè ÷àñòèö, ïîñêîëüêó îíè â äàííîì ñëó÷àå âñå ðàçëè÷èìû. Ñèñòåìó N íåçàâèñèìûõ òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö òàêæå ìîæíî îïèñàòü íà ÿçûêå îäíî÷àñòè÷íûõ ñîñòîÿíèé, îäíàêî â ñèëó íåðàçëè÷èìîñòè ÷àñòèö ìû òåïåðü íå ìîæåì ïðîíóìåðîâàòü èõ, à ìîæåì òîëüêî êîíñòàòèðîâàòü ôàêò, ÷òî â äàííîì N -÷àñòè÷íîì ñîñòîÿíèè ïðåäñòàâëåíû N , âîîáùå ãîâîðÿ ðàçëè÷íûõ, îäíî÷àñòè÷íûõ ñîñòîÿíèé. Ñîõðàíÿÿ òåïåðü âìåñòî íóìåðàöèè ÷àñòèö íóìåðàöèþ ñîñòîÿíèé, ìû äîëæíû ïîëíîñòüþ ñèììåòðèçîâàòü èëè àíòèñèììåòðèçîâàòü N -÷àñòè÷íîå ñîñòîÿíèå òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö. Ïîñêîëüêó ñèììåòðè÷íûìè ñîñòîÿíèÿìè îïèñûâàþòñÿ áîçå-÷àñòèöû, à àíòèñèììåòðè÷íûìè ôåðìè-÷àñòèöû, ââåäåì ïàðàìåòð ζ, êîòîðûé ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ ½ +1 äëÿ áîçå-÷àñòèö, ζ= (2.12) −1 äëÿ ôåðìè-÷àñòèö. Äëÿ òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö èìååò ìåñòî ñâîéñòâî |ψ1 , . . . , ψi , . . . , ψk , . . . , ψN i = ζ|ψ1 i, . . . , ψk , . . . , ψi , . . . , ψN i. (2.13) Òåïåðü ñîñòîÿíèå (2.13) ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç îäíî÷àñòè÷íûå ñîñòîÿíèÿ, ïðîâåäÿ âñå âîçìîæíûå ïåðåñòàíîâêè: 1 X P |ψ1 , ψ2 . . . ψNiζ = √ ζ |ψP (1) i|ψP (2) i . . . |ψP (N )i, N! P (2.14) ãäå ñèìâîë P îçíà÷àåò âñå ïåðåñòàíîâêè N àðãóìåíòîâ. Íàì íóæíî óìåòü ïåðåõîäèòü îò âåêòîðíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ (2.14) ê âîëíîâûì ôóíêöèÿì. Äëÿ ýòîãî ñëåäóåò îïðåäåëèòü ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå òàêèõ (àíòè)ñèììåòðèçîâàííûõ âûðàæåíèé. Çàïèøåì âåêòîð áðà: ζ hϕ1 , ϕ2 , 1 X Q . . . , ϕN | = √ ζ hϕQ(1) |hϕQ(2) | · · · hϕQ(N ) | N! Q 19 (2.15) è íàéäåì ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå åãî ñ âåêòîðîì (2.14): ζ hϕ1 , ϕ2 , = . . . , ϕN |ψ1 , ψ2 , . . . , ψN iζ = 1 X Q P ζ ζ hϕQ(1) |hϕQ(2) |. . .hϕQ(N) ||ψP (1)i|ψP (2)i. . .|ψP (N)i = N! Q,P 1 X Q P = ζ ζ hϕQ(1) |ψP (1)ihϕQ(2) |ψP (2)i. . .hϕQ(N ) |ψP (N )i = N! Q,P 1 X P Q−1 ζ hϕ1 |ψP Q−1 (1) ihϕ2 |ψP Q−1 (2)i. . .hϕN |ψP Q−1 (N)i. = N ! −1 PQ ,Q −1 Îáîçíà÷àÿ ïåðåñòàíîâêó P Q P = R è ó÷èòûâàÿ, ÷òî îñòàþùååñÿ íåçàâèñèìîå ñóììèðîâàíèå Q = N !, ïîëó÷àåì ζ hϕ1 . . .ϕN |ψ1 . . .ψN iζ = X ζ R hϕ1 |ψR(1) i. . .hϕN |ψR(N) i. (2.16) R Ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî äëÿ ôåðìè-÷àñòèö ñóììà (2.16) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äåòåðìèíàíò ìàòðèöû hϕ1 |ψ1 i . . . hϕ1 |ψN i ... ... . . . . (2.17) − hϕ1 , . . . , ϕN |ψ1 , . . . , ψN i− = det hϕN |ψ1 i . . . hϕN |ψN i Ëåãêî âèäåòü, ÷òî íèêàêèå äâå ôåðìè-÷àñòèöû íå ìîãóò íàõîäèòüñÿ â îäèíàêîâîì ñîñòîÿíèè. Äëÿ áîçå-÷àñòèö âìåñòî äåòåðìèíàíòà â âûðàæåíèè (2.16) ñòîèò ïîëíîñòüþ ñèììåòðè÷íàÿ ñóììà ñêàëÿðíûõ ïðîèçâåäåíèé, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ ïåðìàíåíòîì. 2.3. Âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ñèñòåìû òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö Íàõîæäåíèå âîëíîâîé ôóíêöèè ñèñòåìû, ñîñòîÿùåé èç áîëåå ÷åì äâóõ âçàèìîäåéñòâóþùèõ òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö, â êâàíòîâîé ìåõàíèêå òàê æå íåâîçìîæíî, êàê è ðåøåíèå ìíîãî÷àñòè÷íîé çàäà÷è â êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå. Îäíàêî êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà ïî ñâîåìó ñìûñëó íàõîäèòñÿ â áîëåå âûãîäíîì ïîëîæåíèè. Äåéñòâèòåëüíî, 20 äàæå äëÿ îäíî÷àñòè÷íîé çàäà÷è áûëî âåñüìà ïðîáëåìàòè÷íûì íàõîæäåíèå âîëíîâîé ôóíêöèè (îïðåäåëåíèå ñîñòîÿíèÿ). Áëàãîäàðÿ ïðèíöèïó ñóïåðïîçèöèè ýòó ïðîáëåìó óäàëîñü îáîéòè, ïðåäñòàâèâ ïðîèçâîëüíîå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû â âèäå ñóïåðïîçèöèè âîçìîæíûõ ñîñòîÿíèé, â êîòîðûõ îïðåäåëåíû ñîîòâåòñòâóþùèå õàðàêòåðèñòèêè (ôèçè÷åñêèå âåëè÷èíû), êîòîðûå ïðè ýòîì ìîæíî îäíîâðåìåííî èçìåðèòü.  ÷àñòíîñòè, äàæå ñâÿçàííîå ñîñòîÿíèå ìîæíî áûëî îïèñàòü â âèäå ñóïåðïîçèöèè ñîñòîÿíèé ñ îïðåäåëåííûì èìïóëüñîì, õîòÿ ÷àñòèöà îáëàäàåò îïðåäåëåííûì èìïóëüñîì òîëüêî áóäó÷è ñâîáîäíîé.  ìíîãî÷àñòè÷íîì ñëó÷àå ìîæíî ïîïûòàòüñÿ ïðåäñòàâèòü ñåáå òàêóþ êàðòèíó, êîãäà íàì óäàëîñü-òàêè íàéòè òî÷íîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà â âèäå ôóíêöèè ìíîãèõ ïåðåìåííûõ. Âîçíèêàåò âîïðîñ: äàåò ëè çíàíèå òàêîé ôóíêöèè ïîíÿòíóþ ôèçè÷åñêóþ êàðòèíó? Ñ ôîðìàëüíîé ñòîðîíû ìû ìîæåì âû÷èñëèòü ëþáóþ âåëè÷èíó, à ôàêòè÷åñêè íàì íóæíû âåëè÷èíû, êîòîðûå íåïîñðåäñòâåííî ìîãóò áûòü èçìåðåíû. Ìàêðîñêîïè÷åñêèé íàáëþäàòåëü â ëþáîì ñëó÷àå áóäåò ïðåäñòàâëÿòü ñîñòîÿíèå ñèñòåìû ìíîãèõ ÷àñòèö â âèäå ñîâîêóïíîñòè ñîñòîÿíèé êàæäîé ÷àñòèöû.  äàííîì ñëó÷àå äàæå íå ïðèíöèïèàëüíî, ÷òî âñå ÷àñòèöû íåðàçëè÷èìû. Âàæíî òî, ÷òî ñèñòåìà ìíîãèõ ÷àñòèö îïèñûâàåòñÿ ñ ïîçèöèé ñîñòîÿíèé îòäåëüíûõ ÷àñòèö îäíî÷àñòè÷íûõ ñîñòîÿíèé. Ñòðîãî ãîâîðÿ, îäíî÷àñòè÷íûå ñîñòîÿíèÿ ìîãóò áûòü îïðåäåëåíû òîëüêî äëÿ íåâçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö, ò.å. êîãäà ïåðåìåííûå, îòíîñÿùèåñÿ ê ðàçíûì ÷àñòèöàì, ðàçäåëÿþòñÿ. Ñîâîêóïíîñòü òàêèõ îäíî÷àñòè÷íûõ ñîñòîÿíèé ìîæåò ñëóæèòü áàçèñîì äëÿ ïîñòðîåíèÿ áàçèñà ìíîãî÷àñòè÷íûõ ñîñòîÿíèé. Îäíî÷àñòè÷íîå ñîñòîÿíèå êàæäîé ÷àñòèöû îïðåäåëÿåòñÿ ïîëíûì íàáîðîì âåëè÷èí, êîòîðûé â ñèñòåìå òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö îäèíàêîâ (õîòÿ êîíêðåòíûå çíà÷åíèÿ êâàíòîâûõ ÷èñåë ñîñòîÿíèÿ êîíå÷íî â îáùåì ñëó÷àå ðàçëè÷íû).  òàêîì ñëó÷àå îäíî÷àñòè÷íîå ñîñòîÿíèå ìîæíî îïèñàòü ñ ïîìîùüþ îäíî÷àñòè÷íîé âîëíîâîé ôóíêöèè, äëÿ êîòîðîé â íåðåëÿòèâèñòñêîì ñëó÷àå ñïèíîâûå è êîîðäèíàòíûå ïåðåìåííûå ìîãóò áûòü ðàçäåëåíû: |n, ms i → ψn (x) → hr|n, ms i = ψn (r)|ms i. (2.18) Çäåñü n îáîçíà÷àåò ïîëíûé íàáîð ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí çà èñêëþ÷åíèåì ïðîåêöèè ñïèíà. Ïóñòü â ôîðìóëå (2.13) îäíî÷àñòè÷íûå ñîñòîÿíèÿ îïðåäåëÿþòñÿ 21 âåêòîðàìè (2.18). Äëÿ òîãî ÷òîáû íàéòè âîëíîâóþ ôóíêöèþ ñèñòåìû òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö íåîáõîäèìî ñïðîåêòèðîâàòü ñîñòîÿíèÿ (2.14) íà ïðîñòðàíñòâî ïåðåìåííûõ (2.1), ò.å. ôîðìóëà (2.15) îïðåäåëÿåò ïîëíîñòüþ ñèììåòðèçîâàííûé èëè àíòèñèììåòðèçîâàííûé âåêòîð, îïðåäåëÿþùèé ïîëîæåíèå ÷àñòèö â êîîðäèíàòíîì è ñïèíîâîì ïðîñòðàíñòâå (â ïðîñòðàíñòâå ïåðåìåííûõ (2.1): hϕk | = hxk | = hrk ; msk |. Ñîîòâåòñòâåííî â ôîðìóëå (2.16) â ïðîèçâåäåíèè áóäóò ñòîÿòü îäíî÷àñòè÷íûå âîëíîâûå ôóíêöèè hϕk |ψR(i) i → hxk |ψni i = ψni (xk ). (2.19) Òàêèì îáðàçîì, âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ñèñòåìû N ôåðìè-÷àñòèö, íàõîäÿùèõñÿ â ñîñòîÿíèè ñ îïðåäåëåííûì íàáîðîì îäíî÷àñòè÷íûõ ñîñòîÿíèé, èìååò âèä Ψ(−) n1 ,n2 ,...,nN (x1 , x2 , . . . , xN ) = ψn1 (x1 ) ψn2 (x1 ) . . . 1 ψn1 (x2 ) ψn2 (x2 ) . . . = √ det .. N! . ψn1 (xN ) ψn2 (xN ) . . . ψnN (x1 ) ψnN (x2 ) , .. . (2.20) ψnN (xN ) √ ãäå ñòîÿùèé â çíàìåíàòåëå ìíîæèòåëü N ! îáåñïå÷èâàåò íîðìèðîâêó âîëíîâîé ôóíêöèè ïðè óñëîâèè, ÷òî âñå îäíî÷àñòè÷íûå âîëíîâûå ôóíêöèè íîðìèðîâàíû íà 1. Âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ôåðìè-÷àñòèö â ôîðìå (2.20) íàçûâàåòñÿ îïðåäåëèòåëåì Ñëåòòåðà. Äëÿ ñèñòåìû áîçå-÷àñòèö íóæíî ñîñòàâèòü ïîëíîñòüþ ñèììåòðèçîâàííóþ ïî âñåì ïåðåñòàíîâêàì ñóììó, êîòîðàÿ èíîãäà íàçûâàåòñÿ ïåðìàíåíòîì: Ψ(+) n1 ,n2 ,...,nN (x1 , x2 , . . . , xN ) = 1 X =√ Pψn1 (xP1 )ψn2 (xP2 ) . . . ψnN (xPN ), N ! {P} (2.21) ãäå ñóììèðîâàíèå âåäåòñÿ ïî âñåì ïåðåñòàíîâêàì P . Ôóíêöèè âèäà (2.20) è (2.21) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé N -÷àñòè÷íûé áàçèñ â îäíî÷àñòè÷íîì ïðåäñòàâëåíèè. Ïðîèçâîëüíîå ñîñòîÿíèå N òîæäåñòâåííûõ (âçàèìîäåéñòâóþùèõ) ÷àñòèö ñîãëàñíî ïðèíöèïó 22 ñóïåðïîçèöèè ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå: Ψ(±) (x1 , x2 , . . . , xN ) = X = Cn1 ,n2 , ..., nN Ψn(±) (x1 , x2 , . . . , xN ). 1 ,n2 , ..., nN (2.22) {n1 ,n2 , ..., nN } Çäåñü ñóììèðîâàíèå âåäåòñÿ ïî âñåì âîçìîæíûì íàáîðàì îäíî÷àñòè÷íûõ ñîñòîÿíèé {n1 , n2 , . . . , nN }. Åñòåñòâåííî, îáû÷íî ñóììà (2.22) ñîäåðæèò áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ÷ëåíîâ. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî äàæå â áàçèñíûõ âîëíîâûõ ôóíêöèÿõ (2.20) è (2.21) ñïèíîâûå è êîîðäèíàòíûå ïåðåìåííûå íå ðàçäåëÿþòñÿ, íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî â îäíî÷àñòè÷íûõ ñîñòîÿíèÿõ îíè ðàçäåëåíû. 2.4. Ñâÿçü N -÷àñòè÷íûõ ñîñòîÿíèé ñ ïîëíûì ñïèíîì Ñïèíîâûå è êîîðäèíàòíûå ïåðåìåííûå â ñèñòåìå íåâçàèìîäåéñòâóþùèõ òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö ìîãóò áûòü â íåêîòîðîì ñìûñëå ðàçäåëåíû, îäíàêî òåïåðü áàçèñíûå ñîñòîÿíèÿ áóäóò õàðàêòåðèçîâàòüñÿ îïðåäåëåííûì çíà÷åíèåì ïîëíîãî (ñóììàðíîãî) ñïèíà âñåé ñèñòåìû. Âíîâü ðàññìîòðèì ñíà÷àëà äëÿ ïðîñòîòû ñèñòåìó äâóõ òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö. Îäíî÷àñòè÷íûå ñîñòîÿíèÿ çàïèøåì â âèäå (2.18): ψn1,2 (x1,2 ) = ψn1,2 (r1,2 )|m1,2 i. (2.23) Áàçèñíûå ôóíêöèè äâóõ÷àñòè÷íûõ ñîñòîÿíèé çàïèøóòñÿ êàê 1 ³ √ Ψ(±) (x , x ) = ψn1 (r1 )ψn2 (r2 )|m1 i|m2 i± 1 2 n1 ,n2 2 ´ ±ψn1 (r2 )ψn2 (r1 )|m2 i|m1 i . (2.24) Ïîñêîëüêó â ôîðìóëå (2.24) â îáùåì ñëó÷àå |m1 i|m2 i 6= |m2 i|m1 i, ñïèíîâûå è êîîðäèíàòíûå ïåðåìåííûå íå ðàçäåëÿþòñÿ, ò.å. íåëüçÿ çàïèñàòü âûðàæåíèå â âèäå îäíîãî ïðîèçâåäåíèÿ Φ(r1 , r2 )|m1 , m2 i. Âïðî÷åì, ýòî íå î÷åíü óäèâèòåëüíî, ïîñêîëüêó ñïèíîâîå ñîñòîÿíèå âèäà |m1 i|m2 i íå õàðàêòåðèçóåò ñèñòåìó êàê öåëóþ. ×òîáû ðàçîáðàòüñÿ â ýòîì, ðàññìîòðèì ÷àñòíûå ñëó÷àè. 23 Âî-ïåðâûõ, äëÿ äâóõ áîçå-÷àñòèö ñî ñïèíîì 0 íèêàêèõ ïðîáëåì íå âîçíèêàåò, ïîñêîëüêó íåò ñïèíîâûõ ñòåïåíåé ñâîáîäû. Ïîýòîìó ðàññìîòðèì ñëó÷àé äâóõ ÷àñòèö ñ ìèíèìàëüíûì îòëè÷íûì îò íóëÿ ñïèíîì 1/2, ò.å. äâóõ ôåðìè-÷àñòèö. Ïðîåêöèè ñïèíîâ ìîãóò ïðèíèìàòü äâà çíà÷åíèÿ è ñîîòâåòñòâåííî äâà îäíî÷àñòè÷íûõ ñïèíîâûõ ñîñòîÿíèÿ |+i è |−i. Âñåãî âîçìîæíû 4 äâóõ÷àñòè÷íûõ ñïèíîâûõ ñîñòîÿíèÿ: |+i|+i, |+i|−i, |−i|+i, |−i|−i. (2.25) Äëÿ ïåðâîãî è ïîñëåäíåãî ñëó÷àåâ ñïèíîâîå ñîñòîÿíèå ìîæíî âûíåñòè èç ñêîáîê ôîðìóëû (2.24): (−) Ψ(−) n1 ,n2 (x1 , x2 ) = Φn1 ,n2 (r1 , r2 )|±i|±i, (2.26) ãäå 1 Φ(−) n1 ,n2 (r1 , r2 ) = √ (ψn1 (r1 )ψn2 (r2 )−ψn1 (r2 )ψn2 (r1 )) . 2 (2.27) Ïðè ýòîì ñïèíîâûå ñîñòîÿíèÿ â ôîðìóëå (2.26) åñòü ñîáñòâåííûå ñîñòîÿíèÿ ñóììàðíîãî ñïèíà S = 1 ñ ïðîåêöèÿìè ±1: |S = 1, MS = ±1i = |±i|±i. Ïóñòü òåïåðü ñïèíîâûå ñîñòîÿíèÿ ðàçëè÷íû, òîãäà èìååì Ψ(−) n1 ,n2 (x1 , x2 ) = ´ 1 ³ = √ ψn1 (r1 )ψn2 (r2 )|+i|−i − ψn1 (r2 )ψn2 (r1 )|−i|+i , 2 (2.28) ãäå ñïèíîâîå ñîñòîÿíèå íåëüçÿ âûíåñòè çà ñêîáêè. Çàìåòèì, îäíàêî, ÷òî êàê |+i|−i, òàê è |−i|+i íå îïèñûâàþò ñîñòîÿíèÿ ñ îïðåäåëåííûì ñóììàðíûì ñïèíîì äâóõ ÷àñòèö, íî îïèñûâàþò ñîñòîÿíèÿ ñ ñóììàðíîé ïðîåêöèåé ñïèíîâ, ðàâíîé 0. Ñîñòîÿíèÿ ñî ñïèíîì S = 1 è S = 0 ñ ïðîåêöèÿìè 0 èìåþò âèä 1 |S = 1, MS = 0i = √ (|+i|−i + |−i|+i), 2 1 |S = 0, MS = 0i = √ (|+i|−i − |−i|+i). 2 24 (2.29) Ñïèíîâûå ñîñòîÿíèÿ â ôîðìóëå (2.28) ñëåäóåò âûðàçèòü ÷åðåç ñîñòîÿíèÿ ñ îïðåäåëåííûì ïîëíûì ñïèíîì (2.29): 1 |+i|−i = √ (|1, 0i + |0, 0i), 2 1 |−i|+i = √ (|1, 0i − |0, 0i). 2 (2.30) Ïîäñòàâèì òåïåðü âûðàæåíèÿ (2.30) â ôîðìóëó (2.28) è ïîëó÷èì i 1 h (−) Ψ(−) Φn1 ,n2 (r1 , r2 )|1, 0i + Φ(+) n1 ,n2 (x1 , x2 ) = √ n1 ,n2 (r1 , r2 )|0, 0i , 2 (2.31) ãäå 1 Φ(+) n1 ,n2 (r1 , r2 ) = √ (ψn1 (r1 )ψn2 (r2 ) + ψn1 (r2 )ψn2 (r1 )) . 2 (2.32) Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ìîæíî çàïèñàòü â âèäå åäèíîé ôîðìóëû: X Ψ(−) CS,MS Φ(S) (2.33) n1 ,n2 (x1 , x2 ) = n1 ,n2 (r1 , r2 )|S, MS i. S,MS Çäåñü ¢ 1 ¡ Φ(S) ψn1 (r1 )ψn2 (r2 )+(−1)S ψn1 (r2 )ψn2 (r1 ) . n1 ,n2 (r1 , r2 ) = √ 2 (2.34) Ëåãêî ïîëó÷èòü ñàìîñòîÿòåëüíî, ÷òî ôîðìóëà (2.33) èìååò ìåñòî è äëÿ äâóõ áîçå-÷àñòèö: X Ψ(+) CS,MS Φ(S) (2.35) n1 ,n2 (x1 , x2 ) = n1 ,n2 (r1 , r2 )|S, MS i, S,MS ïðè÷åì êîîðäèíàòíàÿ äâóõ÷àñòè÷íàÿ ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà ïîïðåæíåìó ôîðìóëîé (2.34). Èíûìè ñëîâàìè, ôîðìóëû (2.33) è (2.35) èìåþò ìåñòî ñîîòâåòñòâåííî äëÿ ôåðìè- è áîçå-÷àñòèö ñ ëþáûì ñïèíîì. Ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå äëÿ äâóõ ÷àñòèö, ìîæíî îáîáùèòü è íà ñëó÷àé N òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö: Ψ(±) n1 ,n2 , ..., nN (x1 , x2 , . . . , xN ) = X = CS,MS Φ(S) n1 ,n2 , ..., nN (r1 , r2 , . . . , rN )|S, MS i, S,MS 25 (2.36) îäíàêî â ýòîì ñëó÷àå êîîðäèíàòíûå è ñïèíîâûå ôóíêöèè óæå íå èìåþò òàêîãî ïðîñòîãî âèäà è ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû, èñõîäÿ èç ñâîéñòâ ãðóïïû ïåðåñòàíîâîê â òåîðèè ñèììåòðèè. Çàìåòèì òîëüêî, ÷òî äëÿ ñèñòåìû ôåðìè-÷àñòèö ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâîê ÷àñòèö êîîðäèíàòíîé è ñïèíîâîé ôóíêöèé |S, MS i äîëæíû áûòü ïðîòèâîïîëîæíû, òîãäà êàê äëÿ áîçå-÷àñòèö îäèíàêîâû. 2.5. Îáìåííîå âçàèìîäåéñòâèå Ñâîéñòâà òîæäåñòâåííîñòè ÷àñòèö ïðèâîäèò ê ïîÿâëåíèþ ÷èñòî êâàíòîâûõ ýôôåêòîâ, ñâÿçàííûõ ñ òàê íàçûâàåìûì îáìåííûì âçàèìîäåéñòâèåì. Ðàññìîòðèì ñèñòåìó äâóõ òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö, âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó êîòîðûìè Vb (r1 − r2 ) = Vb (r2 − r1 ) íå çàâèñèò îò ñïèíà è ìîæåò áûòü ó÷òåíî êàê âîçìóùåíèå ê ãàìèëüòîíèàíó b0 = H b1 + H b2. H (2.37) Óðîâíè ýíåðãèè íåâîçìóùåííîé ñèñòåìû äâóõ ÷àñòèö = En1 + En2 En(0) 1 n2 (2.38) äëÿ ïðîñòîòû áóäåì ñ÷èòàòü âûðîæäåííûìè òîëüêî ïî ñïèíîâûì ïåðåìåííûì (2s+1)2 -êðàòíî1 . Âûáåðåì â êà÷åñòâå èñõîäíîãî áàçèñà ñîñòîÿíèÿ ñ îïðåäåëåííûì ñóììàðíûì ñïèíîì S : Ψ(0) (x1 , x2 ) = Φ(S) n1 ,n2 (r1 , r2 )|S, MS i. (2.39) Ðåøåíèå çàäà÷è ïî òåîðèè âîçìóùåíèé äëÿ âûðîæäåííîãî ñïåêòðà ñâîäèòñÿ ê âû÷èñëåíèþ ìàòðèöû âîçìóùåíèÿ: 0 hΨ(0) |V |Ψ(0) i = δSS 0 δMS MS0 hΦ(S) |V |Φ(S) i. (2.40) Ìàòðèöà âîçìóùåíèÿ îêàçûâàåòñÿ äèàãîíàëüíîé ïî ïîëíîìó ñïèíó è åãî ïðîåêöèè è åå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå hΦ(S) |V |Φ(S) i = I + (−1)S J, (2.41) 1 Ýòî òðåáîâàíèå ñîâñåì íåîáÿçàòåëüíî, îäíàêî óïðîùàåò äàëüíåéøåå èçëî- æåíèå, íå êîíêðåòèçèðóÿ òèï ÷àñòèö, íåâîçìóùåííûõ ñèñòåì è âçàèìîäåéñòâèÿ. 26 ãäå ZZ |ψn1 (r1 )|2 |ψn2 (r2 )|2 V (r1 − r2 |) dr1 dr2 = I= ZZ |ψn2 (r1 )|2 |ψn1 (r2 )|2 V (r1 − r2 ) dr1 dr2 ; = (2.42) ZZ J= ZZ = ψn∗ 1 (r1 )ψn2 (r1 )ψn∗ 2 (r2 )ψn1 (r2 )V (r1 − r2 ) dr1 dr2 = ψn∗ 2 (r1 )ψn1 (r1 )ψn∗ 1 (r2 )ψn2 (r2 )V (r1 − r2 ) dr1 dr2 . (2.43) Èòàê, íåñìîòðÿ íà íåçàâèñèìîñòü âîçìóùåíèÿ îò ñïèíîâ ÷àñòèö, ïîïðàâêè ê óðîâíÿì ýíåðãèè óæå çàâèñÿò îò âåëè÷èíû ïîëíîãî ñïèíà. Îáñóäèì ôèçè÷åñêèé ñìûñë äâóõ ñëàãàåìûõ, îïðåäåëÿþùèõ ïîïðàâêó ê íåâîçìóùåííîìó óðîâíþ ýíåðãèè (2.38). Ïåðâîå ñëàãàåìîå åñòü ïðîñòî ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ äâóõ ñèñòåì ñ ïëîòíîñòÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ ρ1,2 (r) = |ψn1,2 (r)|2 : ZZ I= ρn1 (r1 )ρn2 (r2 )V (r1 − r2 )dr1 dr2 . (2.44)  ÷àñòíîñòè, åñëè ðàññìàòðèâàòü ýëåêòðîíû â àòîìå, âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó íèìè êóëîíîâñêîå îòòàëêèâàíèå, à e|ψn1,2 (r)|2 = ρn1,2 (r) ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ çàðÿäîâ. Òîãäà ZZ Iêóëîí = ρ1 (r1 )ρ2 (r2 ) dr1 dr2 |r1 − r2 | (2.45) åñòü ïðîñòî èçâåñòíàÿ ôîðìóëà êëàññè÷åñêîé ýëåêòðîäèíàìèêè, îïðåäåëÿþùàÿ ýíåðãèþ âçàèìîäåéñòâèÿ äâóõ ðàñïðåäåëåííûõ ïëîòíîñòåé çàðÿäîâ. Âòîðîå ñëàãàåìîå êëàññè÷åñêîãî àíàëîãà íå èìååò, ïîñêîëüêó ñîäåðæèò ïåðåêðåñòíûå ÷ëåíû, âîçíèêàþùèå èç-çà ñèììåòðèçàöèè âîëíîâîé ôóíêöèè îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâêè (îáìåíà) ÷àñòèö. Ýòî òàê íàçûâàåìûé îáìåííûé èíòåãðàë, êîòîðûé ñâÿçàí ñ îáìåííûì âçàèìîäåéñòâèåì2 . Åñëè ââåñòè îáìåííóþ ïëîòíîñòü 2 Ïîñêîëüêó ðàññìàòðèâàþòñÿ, êàê ïðàâèëî çàðÿæåííûå ÷àñòèöû (÷àùå âñåãî ýëåêòðîíû), ýòî âçàèìîäåéñòâèå åùå ÷àñòî íàçûâàþò êóëîíîâñêèì îáìåííûì èëè ñïèí-îáìåííûì âçàèìîäåéñòâèåì. 27 ðàñïðåäåëåíèÿ ρex (r) = ψ1 (r)ψ2∗ (r), îáìåííûé èíòåãðàë ìîæíî çàïèñàòü â âèäå ZZ J= ρex (r1 )ρ∗ex (r2 )V (r1 − r2 ) dr1 dr2 . (2.46) Âèäíî, ÷òî ðàñùåïëåíèå óðîâíÿ ýíåðãèè äëÿ ñîñòîÿíèé c ðàçíûìè çíà÷åíèÿìè ñóììàðíîãî ñïèíà S ðàâíî ∆E = E÷åòS − Eíå÷åòS = 2J. (2.47) Èíîãäà, ÷òîáû ïîä÷åðêíóòü çàâèñèìîñòü ýíåðãåòè÷åñêîãî ñïåêòðà ñèñòåìû îò îáìåííîãî âçàèìîäåéñòâèÿ è ñîîòâåòñòâåííî ñïèíîâ, ââîäÿò ýôôåêòèâíîå ñïèí-îáìåííîå âçàèìîäåéñòâèå â âèäå îïåðàòîðà, îïèñûâàþùåãî ôîðìàëüíîå âçàèìîäåéñòâèå ñïèíîâ: Vbex = 2Jŝ1 ŝ2 . (2.48)  ýòîì ñëó÷àå íåâîçìóùåííûé óðîâåíü ýíåðãèè ðàâåí E0 = En1 + En2 + I − J/2. (2.49) ïîïðàâêè ê íåìó íàõîäÿòñÿ ïðîñòûì âû÷èñëåíèåì ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà (2.48) ïî ñîñòîÿíèÿì ñ ðàçíûìè çíà÷åíèÿìè ïîëíîãî ñïèíà. Åñëè îáìåííûé èíòåãðàë ïîëîæèòåëåí J > 0, îñíîâíîå ñîñòîÿíèå èìååò íå÷åòíûé ñóììàðíûé ñïèí. Íàïðèìåð, äëÿ äâóõ ýëåêòðîíîâ îñíîâíîå ñîñòîÿíèå áóäåò èìåòü S = 1. Ïîëîæèòåëüíûé îáìåííûé èíòåãðàë ïðèâîäèò ê ÿâëåíèþ ôåððîìàãíåòèçìà â òâåðäûõ òåëàõ. Åñëè îáìåííûé èíòåãðàë îòðèöàòåëåí J < 0, îñíîâíîå ñîñòîÿíèå èìååò ÷åòíûé ñóììàðíûé ñïèí, íàïðèìåð, äëÿ äâóõ ýëåêòðîíîâ S = 0. Îáìåííîå âçàèìîäåéñòâèå îáúÿñíÿåò ïðèðîäó õèìè÷åñêîé ñâÿçè è äèàìàãíåòèçì ìîëåêóë. 28 Ãëàâà 3 Ïðåäñòàâëåíèå ÷èñåë çàïîëíåíèÿ 3.1. Îïåðàòîðû ðîæäåíèÿ è óíè÷òîæåíèÿ  ïðåäûäóùåé ãëàâå ìû óâèäåëè, ÷òî îïèñàíèå ñèñòåì òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö íà ÿçûêå âîëíîâûõ ôóíêöèé îêàçûâàåòñÿ âåñüìà ãðîìîçäêèì. Ê ñîæàëåíèþ, òàêèõ òðóäíîñòåé íå óäàåòñÿ èçáåæàòü â ñëó÷àå, êîãäà äëÿ ïîëó÷åíèÿ îïðåäåëåííûõ ðåçóëüòàòîâ íåîáõîäèìî çàïèñàòü âîëíîâóþ ôóíêöèþ. Òàêàÿ ñèòóàöèÿ, â ÷àñòíîñòè, èìååò ìåñòî â çàäà÷àõ êâàíòîâîé õèìèè. Îäíàêî â çàäà÷àõ ñòàòèñòè÷åñêîé ôèçèêè îáû÷íî íå âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòè èñïîëüçîâàòü êîîðäèíàòíîå ïðåäñòàâëåíèå ñîñòîÿíèé, áîëåå òîãî, êàê ìû óâèäèì äàëåå, êîîðäèíàòíîå ïðåäñòàâëåíèå âîîáùå íå ïðèãîäíî â çàäà÷àõ ñòàòèñòè÷åñêîé ôèçèêè. Äëÿ òàêèõ çàäà÷ íåîáõîäèìî ðàçâèòü áîëåå àäåêâàòíûé ôîðìàëèçì, â êîòîðîì áû â ÿâíîì âèäå ó÷èòûâàëàñü òîæäåñòâåííîñòü ÷àñòèö è ñîîòâåòñòâåííî èõ ïðèíöèïèàëüíàÿ íåðàçëè÷èìîñòü.  ïàðàãðàôå 2.3 ìû çàïèñàëè â îáùåì ñëó÷àå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö ñ îïðåäåëåííûì íàáîðîì îäíî÷àñòè÷íûõ ñîñòîÿíèé â âèäå ïîëíîñòüþ ñèììåòðèçîâàííîãî èëè àíòèñèììåòðèçîâàííîãî âûðàæåíèÿ (2.14). Äëÿ òîãî ÷òîáû ïðîäâèíóòüñÿ äàëüøå, íåîáõîäèìî, ñëåäóÿ ñèñòåìå ïîñòóëàòîâ, îïðåäåëèòü äåéñòâèå ðàçëè÷íûõ îïåðàòîðîâ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí íà òàêèå ñîñòîÿíèÿ. Íàïîìíèì, ÷òî äåéñòâèå ëþáîãî îïåðàòîðà íà ïðîèçâîëüíûé âåêòîð ñîñòîÿíèÿ â îáùåì ñëó÷àå ïðèâîäèò ê èçìåíåíèþ ýòîãî âåêòîðà. Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîñòðîèòü îïåðàòîð, âûáèðàþò íåêîòîðîå ïðåäñòàâëåíèå, â êîòîðîì îïåðàòîð âñåãäà ìîæíî çàïèñàòü â âè- 29 äå ìàòðèöû. Âèä ìàòðèöû îïðåäåëÿåòñÿ âûáîðîì áàçèñà: X cn |ni, |ψi = n fˆ|ψi = X fkn cn |ki. (3.1) n,k P Çäåñü fkn = hk|fˆ|ni, è ìîæíî îïðåäåëèòü c̃k = n fkn cn , òîãäà fˆ|ψi ≡ |ϕi = X c̃k |ki. k Íà ïåðâûé âçãëÿä ìû íè÷åãî íîâîãî íå íàïèñàëè, à âñåãî ëèøü çàíèìàëèñü ïåðåîáîçíà÷åíèÿìè. Îäíàêî ïîïðîáóåì îáúÿñíèòü ñëîâàìè ïðîâåäåííûå ìàíèïóëÿöèè. Êàê âèäíî èç ôîðìóëû (3.1), äåéñòâèå îïåðàòîðà íà ñîñòîÿíèå |ni â âûáðàííîì ïðåäñòàâëåíèè ñâîäèòñÿ ê òîìó, ÷òî îíî çàìåíÿåòñÿ íà äðóãîå: |ki. Ýòó çàìåíó ôîðìàëüíî òàêæå ìîæíî îïèñàòü, ââåäÿ íîâûå îïåðàòîðû, ïîçâîëÿþùèå çàìåíÿòü îäíî ñîñòîÿíèå íà äðóãîå. Ïðîùå âñåãî òàêóþ îïåðàöèþ îïðåäåëèòü, ðàçáèâ åå íà äâà ýòàïà: íà ïåðâîì ýòàïå èçáàâëÿåìñÿ îò ñòàðîãî ñîñòîÿíèÿ, à íà âòîðîì ýòàïå ââîäèì íîâîå. Îïðåäåëèì îïåðàòîð, êîòîðûé ïîçâîëÿåò èçáàâëÿòüñÿ îò ñóùåñòâóþùåãî ñîñòîÿíèÿ: ân |ni = |0i, (3.2) ãäå íîâûé âåêòîð |0i áóäåò îáîçíà÷àòü, ÷òî ýòî ñîñòîÿíèå ïóñòîå. Òåïåðü èç ýòîãî ïóñòîãî ñîñòîÿíèÿ íåîáõîäèìî ïîëó÷èòü äðóãîå. Äëÿ ýòîãî îïðåäåëèì âòîðîé îïåðàòîð, êîòîðûé ñîçäàåò èñêîìîå ñîñòîÿíèå: â+ (3.3) k |0i = |ki. Òîãäà ñîñòîÿíèå |ni ïåðåõîäèò â ñîñòîÿíèå |ki ïðîñòûì äåéñòâèåì: |ki = â+ k ân |ni. Èìåÿ îïåðàòîðû â+ k â êîëè÷åñòâå, ðàâíîì ÷èñëó ñîñòîÿíèé (âîîáùå ãîâîðÿ, áåñêîíå÷íîì), ìîæíî ïîñòðîèòü âñå ñîñòîÿíèÿ èç îäíîãî ïóñòîãî, à ïðîèçâîëüíûé âåêòîð ñîñòîÿíèÿ è îïåðàòîð â ôîð- 30 ìóëå (3.1) ñîîòâåòñòâåííî ïðåäñòàâèòü â âèäå X |ψi = cn â+ n |0i, n fˆ|ψi = X ˆ cn fkn â+ k ân |ni èëè f = X cn fkn â+ k ân . (3.4) n,k n,k Êàê âèäèì èç ïîëó÷åííîé ôîðìóëû (3.4), ðîëü áàçèñíûõ âåêòîðîâ âçÿëè íà ñåáÿ îïåðàòîðû â+ k è åäèíñòâåííûé âåêòîð |0i.  îáû÷íîì ñëó÷àå ñìûñë ââåäåíèÿ íîâûõ îïåðàòîðîâ êàæåòñÿ âåñüìà ñîìíèòåëüíûì, îäíàêî ïðè îïèñàíèè ñèñòåì òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö àïïàðàò, èñïîëüçóþùèé òàêèå îïåðàòîðû, ñòàíîâèòñÿ íàèáîëåå àäåêâàòíûì. Îïðåäåëèì îïåðàòîð â+ (ϕ) òàêèì îáðàçîì, ÷òî ïðè äåéñòâèè íà ëþáîå N -÷àñòè÷íîå ñîñòîÿíèå îí ïåðåâîäèò åãî â N + 1-÷àñòè÷íîå ñëåäóþùèì îáðàçîì: â+ (ϕ)|ψ1 , . . . , ψN i = |ϕ, ψ1 , . . . , ψN i. (3.5) Îïåðàòîð â+ (ϕ) íàçûâàåòñÿ îïåðàòîðîì ðîæäåíèÿ. Ââåäåííûé òàêèì îáðàçîì îïåðàòîð íåýðìèòîâ, ïîñêîëüêó ¡ + ¢+ â (ϕ)|ψ1 . . . ψN i = hψ1 . . . ψN |â(ϕ) = hϕ, ψ1 . . . ψN |. Ñîïðÿæåííûé îïåðàòîð â(ϕ) íàçûâàåòñÿ îïåðàòîðîì óíè÷òîæåíèÿ. Äåéñòâèòåëüíî, ïî îïðåäåëåíèþ hϕ, ψ1 . . . ψN |ϕ, ψ1 . . . ψN i = hψ1 . . . ψN |â(ϕ)â+ (ϕ)|ψ1 . . . ψN i = |c|2 , ñëåäîâàòåëüíî, âåêòîð â(ϕ)â+ (ϕ)|ψ1 . . . ψN i N -÷àñòè÷íûé, è, òàêèì îáðàçîì, îïåðàòîð â(ϕ) ïåðåâîäèò (N+1) -÷àñòè÷íîå ñîñòîÿíèå â N ÷àñòè÷íîå, óíè÷òîæàÿ îäíî ñîñòîÿíèå. Îïðåäåëèì òåïåðü äåéñòâèå îïåðàòîðà óíè÷òîæåíèÿ íà N -÷àñòè÷íîå ñîñòîÿíèå. Âû÷èñëèì ìàòðè÷íûé ýëåìåíò C(ϕ) = hχ1 . . . χN −1 |â(ϕ)|ψ1 . . . ψN i = ¡ ¢∗ = hψ1 . . . ψN |â+ (ϕ)|χ1 . . . χN−1i = hψ1 . . . ψN |ϕ, χ1 . . . χN−1i∗. Cîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ N -÷àñòè÷íûõ ñîñòîÿíèé (2.16) ïîëó÷àåì C ∗(ϕ) = N X ζ k−1 hψk |ϕihψ1 . . . ψk−1 ψk+1 . . . ψN |χ1 . . . χN −1 i. k=1 31 Îêîí÷àòåëüíî, ó÷èòûâàÿ ïðîèçâîëüíîñòü (N −1) -÷àñòè÷íîãî ñîñòîÿíèÿ hχ1 . . . χN−1|, èìååì N X ζ k−1 hϕ|ψk i|ψ1 . . . ψk−1 , ψk+1 . . . ψN i. â(ϕ)|ψ1 . . . ψN i = (3.6) k=1 Îïðåäåëèì òåïåðü ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ ââåäåííûõ îïåðàòîðîâ ðîæäåíèÿ è óíè÷òîæåíèÿ. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî â+ (ϕ1 )â+ (ϕ2 ) = ζâ+ (ϕ2 )â+ (ϕ1 ). (3.7) Ñîîòâåòñòâåííî äëÿ îïåðàòîðîâ óíè÷òîæåíèÿ òàêæå â(ϕ1 )â(ϕ2 ) = ζâ(ϕ2 )â(ϕ1 ). Èíûìè ñëîâàìè, îïåðàòîðû ðîæäåíèÿ è ñîîòâåòñòâåííî îïåðàòîðû óíè÷òîæåíèÿ ìåæäó ñîáîé êîììóòèðóþò äëÿ áîçå-÷àñòèö è àíòèêîììóòèðóþò äëÿ ôåðìè-÷àñòèö. Ïîëó÷èì òåïåðü ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó îïåðàòîðàìè ðîæäåíèÿ è óíè÷òîæåíèÿ. Èìååì â(ϕ1 )â+ (ϕ2 )|ψ1 . . . ψN i = â(ϕ1 )|ϕ2 , ψ1 . . . ψN i = =hϕ1 |ϕ2 i|ψ1 . . . ψN i + N X ζ k hϕ1 |ψk i|ϕ2 , ψ1 . . . ψk−1 , ψk+1 . . . ψN i. k=1 (3.8) Äåéñòâèå îïåðàòîðîâ â îáðàòíîì ïîðÿäêå äàåò â+ (ϕ2 )â(ϕ1 )|ψ1 . . . ψN i = = N X ζ k−1 hϕ1 |ψk iâ+ (ϕ2 )|ψ1 . . . ψk−1 , ψk+1 . . . ψN i = k=1 = N X ζ k−1 hϕ1 |ψk i|ϕ2 , ψ1 . . . ψk−1 , ψk+1 . . . ψN i. (3.9) k=1 Óìíîæèì âûðàæåíèå (3.9) íà ζ è âû÷òåì åãî èç (3.8).  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì â(ϕ1 )â+ (ϕ2 ) − ζâ+ (ϕ2 )â(ϕ1 ) = hϕ1 |ϕ2 i. (3.10) Åñëè îäíî÷àñòè÷íûå ñîñòîÿíèÿ ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ |αi, êîììóòàòîð (3.10) ïðèíèìàåò ïðîñòîé âèä: + âα â+ α0 − ζâα0 âα = δαα0 . 32 (3.11) 3.2. Ïðåäñòàâëåíèå ÷èñåë çàïîëíåíèÿ Óñëîâèìñÿ, êàê íóìåðîâàòü îäíî÷àñòè÷íûå ñîñòîÿíèÿ. Ðàññìîòðèì âíà÷àëå áîçå-÷àñòèöû. Î÷åâèäíî, äëÿ îïèñàíèÿ îäíî÷àñòè÷íûõ ñîñòîÿíèé óäîáíî âûáðàòü îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ |βi i, ãäå βi ïîëíûé íàáîð êâàíòîâûõ ÷èñåë, íåîáõîäèìûõ äëÿ îïèñàíèÿ äàííûõ îäíî÷àñòè÷íûõ ñîñòîÿíèé. Ìîæíî ïðîíóìåðîâàòü â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ êàêîé-ëèáî âåëè÷èíû, ñêàæåì, ýíåðãèè. Òîãäà N ÷àñòè÷íîå ñîñòîÿíèå ìîæíî çàïèñàòü êàê |β1 , β2 . . . βNi, ãäå β1 ≤ β2 . . . βN äëÿ áîçå-÷àñòèö. Îáîçíà÷èì ïîëíûé íàáîð êâàíòîâûõ ÷èñåë ôåðìè-÷àñòèö αi . Ïîñêîëüêó ôåðìè-÷àñòèöû íå ìîãóò íàõîäèòüñÿ â îäèíàêîâûõ ñîñòîÿíèÿõ |αi i, ñëåäóåò îñòàâèòü ñòðîãèå íåðàâåíñòâà â îïðåäåëåíèè N -÷àñòè÷íîãî ñîñòîÿíèÿ |α1 , α2 , . . . αN i è α1 < α2 < · · · < αN . Ïîëó÷åííîå òàê N -÷àñòè÷íîå ñîñòîÿíèå äëÿ ôåðìè-÷àñòèö íîðìèðîâàíî, à äëÿ áîçå-÷àñòèö íå áóäåò íîðìèðîâàííûì, åñëè â |βi i ñîñòîÿíèè íàõîäèòñÿ ni > 1 ÷àñòèö. Íîðìèðîâêà äîñòèãàåòñÿ äåëåíèåì íà êîðåíü êâàäðàòíûé èç ñîîòâåòñòâóþùåãî ÷èñëà ïåðåñòàíîâîê. Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî çàïèñàòü: |β1 , β2 . . . βN i √ ; β1 ≤ β2 ≤ · · · ≤ βN äëÿ áîçå-÷àñòèö, n1 !n2 ! . . . |α1 , α2 . . . αN i; α1 < α2 < · · · < αN äëÿ ôåðìè-÷àñòèö. (3.12) Èòàê, ñîâîêóïíîñòü ñîñòîÿíèé (3.12) ñîñòàâëÿåò áàçèñ â ïðîñòðàíñòâå N -÷àñòè÷íûõ ñîñòîÿíèé ñîîòâåòñòâåííî áîçå- è ôåðìèñèñòåì. Åñëè ìû ðàññìàòðèâàåì ñèñòåìû ñ ïåðåìåííûì ÷èñëîì ÷àñòèö, ïðîñòðàíñòâî ñîñòîÿíèé òàêèõ ñèñòåì äîëæíî áûòü ïðÿìîé ñóììîé ïðîñòðàíñòâ âñåõ âîçìîæíûõ N -÷àñòè÷íûõ ñîñòîÿíèé: X |Ψi = |ψ (1) i ⊕ |ψ (2) i ⊕ · · · ⊕ |ψ (N ) i ⊕ · · · = ⊕|ψ (N ) i. (3.13) N =1 Î÷åâèäíî, ïî îïðåäåëåíèþ ñîñòîÿíèÿ ñ ðàçíûì ÷èñëîì ÷àñòèö îïðåäåëåíû â ïîäïðîñòðàíñòâàõ, ïîýòîìó ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ (3.13) êàê ñóììà ñêàëÿðíûõ ïðîèçâåäåíèé âåêòîðîâ â ïîäïðîñòðàíñòâàõ ñ îäèíàêîâûì ÷èñëîì ÷àñòèö. Îáû÷íî âìåñòî çíàêà ïðÿìîé ñóììû ïèøóò çíàê îáû÷íîãî ñóììèðîâàíèÿ, ïîëàãàÿ òàêîå ïðåäñòàâëåíèå î÷åâèäíûì. Ìû òàêæå äëÿ ïðîñòîòû â äàëüíåéøåì 33 áóäåì ïèñàòü âìåñòî çíàêà ⊕ çíàê îáû÷íîãî ñóììèðîâàíèÿ, ïîëàãàÿ, ÷òî ýòî íå ïðèâåäåò â äàëüíåéøåì ê íåäîðàçóìåíèÿì. Ïðîñòðàíñòâî ñîñòîÿíèé (3.13) íàçûâàåòñÿ ïðîñòðàíñòâîì Ôîêà. Äëÿ ñèñòåìû òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö, ïî ñóòè äåëà, íå èìååò ñìûñëà ïåðå÷èñëÿòü âñå îäíî÷àñòè÷íûå ñîñòîÿíèÿ, â êîòîðûõ íàõîäÿòñÿ N ÷àñòèö, òåì áîëåå åñëè ìû ðàññìàòðèâàåì ñîñòîÿíèå, êîòîðîå ïðåäñòàâëÿåòñÿ ñóïåðïîçèöèåé íåêîòîðûõ áàçèñíûõ ñîñòîÿíèé. Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ ñèñòåìû ôåðìè-÷àñòèö íèêàêîå îäíî÷àñòè÷íîå ñîñòîÿíèå íå ìîæåò ïîâòîðèòüñÿ, ïîýòîìó åñòü ñìûñë òîëüêî óêàçàòü, ïðåäñòàâëåíî ëè äàííîå îäíî÷àñòè÷íîå ñîñòîÿíèå èëè íåò. Äëÿ ñèñòåìû áîçå-÷àñòèö íèêàêèõ îãðàíè÷åíèé íà ýòîò ñ÷åò íåò, ïîýòîìó íàì íóæíî çíàòü òîëüêî ñêîëüêî ÷àñòèö íàõîäèòñÿ â äàííîì îäíî÷àñòè÷íîì ñîñòîÿíèè. Èíûìè ñëîâàìè, ñëåäóåò ïåðåéòè îò èçáûòî÷íî äåòàëüíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ (2.14) è ñîîòâåòñòâåííî áàçèñà (3.12) ê ïðåäñòàâëåíèþ, â êîòîðîì ñîäåðæèòñÿ èíôîðìàöèÿ òîëüêî î òîì, ïðåäñòàâëåíî ëè äàííîå îäíî÷àñòè÷íîå ñîñòîÿíèå â ðàññìàòðèâàåìîì N ÷àñòè÷íîì è ñêîëüêî ÷àñòèö â íåì íàõîäèòñÿ. Òàêîå ïðåäñòàâëåíèå íàçûâàåòñÿ ïðåäñòàâëåíèåì ÷èñåë çàïîëíåíèÿ. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ äàííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ñëåäóåò ðàññìîòðåòü ñëó÷àè áîçå- è ôåðìè-÷àñòèö ðàçäåëüíî. 3.3. Îïåðàòîðû ðîæäåíèÿ è óíè÷òîæåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå ÷èñåë çàïîëíåíèÿ Áîçå-÷àñòèöû. Ýòîò ñëó÷àé â íåêîòîðîì ñìûñëå ïðîùå, ïîýòîìó ðàññìîòðèì åãî ïåðâûì. Êàê ñëåäóåò èç ââîäíûõ çàìå÷àíèé ê ýòîìó ïàðàãðàôó, íóæíî îãðàíè÷èòüñÿ òîëüêî ðàññìîòðåíèåì áàçèñíûõ ñîñòîÿíèé (3.12). Äëÿ áîçå-÷àñòèö çàïèøåì: |n1 , n2 , . . . i = √ 1 | β1 . . . β1 , β2 . . . β2 , . . . i. n1 !n2 ! . . . | {z } | {z } n1 (3.14) n2 Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî êàæäîå nβ ìîæåò ïðèíèìàòü ëþáîå öåëîå íåîòðèöàòåëüíîå çíà÷åíèå (nβ = 0, 1, 2, . . . ), ìíîæåñòâî âñåõ âåêòîðîâ (3.14) ñîñòàâëÿåò áàçèñ â ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé (3.13). Äëÿ áàçèñíûõ îðòîíîðìèðîâàííûõ îäíî÷àñòè÷íûõ ñîñòîÿíèé îïåðàòîðû ðîæäåíèÿ è óíè÷òîæåíèÿ óäîâëåòâîðÿþò ïðîñòûì êîììóòàöèîííûì ñîîòíîøåíèÿì, êîòîðûå â òî÷íîñòè ñîâïàäàþò ñ êîììóòàöèîííûìè ñîîòíîøåíèÿìè äëÿ ïîâûøàþùèõ è ïîíèæàþùèõ 34 îïåðàòîðîâ ñèñòåìû ñâÿçàííûõ ãàðìîíè÷åñêèõ îñöèëëÿòîðîâ: + [aβ , aβ 0 ] = [a+ β , aβ 0 ] = 0, 0 [aβ , a+ β 0 ] = δββ . (3.15) Çàìåòèì, ÷òî â ôèçèêå î÷åíü ÷àñòî âîçáóæäåííûå ñîñòîÿíèÿ ìîæíî îïèñàòü êàê ñèñòåìû ýëåìåíòàðíûõ âîçáóæäåíèé êâàçè÷àñòèö, êîòîðûå îïèñûâàþòñÿ áîçåâñêèìè èëè ôåðìèåâñêèìè ôóíêöèÿìè.  îáùåì ñëó÷àå êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ (3.15) ñëåäóþò èç ñâîéñòâ ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâêè ÷àñòèö. Ïîäåéñòâóåì îïåðàòîðîì ðîæäåíèÿ íà ñîñòîÿíèÿ (3.14): a+ β |n1 , n2 , . . . i = √ 1 |βi , β1 , . . ., β2 , . . ., . . . , βi , . . ., . . . i = | {z } | {z } | {z } n1 !n2 ! . . . ni ! . . . n1 n2 ni 1 |β1 , . . . , β2 , . . . βi , . . ., . . . i = =√ | {z } n1 !n2 ! . . . ni ! . . . ni +1 √ = ni + 1|n1 , n2 , . . . , ni + 1, . . . i. (3.16) Òåïåðü ïîäåéñòâóåì îïåðàòîðîì óíè÷òîæåíèÿ íà ñîñòîÿíèÿ (3.14): aβi |n1 , n2 , . . . i = √ 1 a β | β 1 , . . ., β 2 , . . ., . . . , β i , . . ., . . . i = | {z } n1 !n2 ! . . . ni ! . . . i | {z } | {z } n1 n2 ni X 1 =√ | β1 , . . ., β2 , . . ., . . . , βi , . . ., . . . i = | {z } n1 !n2 ! . . . ni ! . . . β | {z } | {z } i n1 n2 ni −1 ni =√ | β1 , . . ., β2 , . . ., . . . , βi , . . ., . . . i = | {z } n1 !n2 ! . . . ni ! . . . | {z } | {z } √ n1 = ni |n1 , n2 , . . . , ni − 1, . . . i. n2 ni −1 (3.17) Òàêèì îáðàçîì, äëÿ îïåðàòîðîâ ðîæäåíèÿ è óíè÷òîæåíèÿ ïðîèçâîëüíîãî îäíî÷àñòè÷íîãî ñîñòîÿíèÿ β èìååì: p a+ nβ + 1|n1 , n2 , . . . , nβ + 1, . . . i, β |n1 , n2 , . . . i = √ aβ |n1 , n2 , . . . i = nβ |n1 , n2 , . . . , nβ − 1, . . . i. (3.18) Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ýðìèòîâ îïåðàòîð Nβ = a+ β aβ 35 (3.19) åñòü îïåðàòîð ÷èñëà ÷àñòèö â äàííîì îäíî÷àñòè÷íîì ñîñòîÿíèè. Ñîîòâåòñòâåííî îïåðàòîð ïîëíîãî ÷èñëà ÷àñòèö åñòü X b= (3.20) N a+ β aβ . β Äëÿ ôåðìè-÷àñòèö áàçèñíîå ñîñòîÿíèå (3.12) ìîæíî çàïèñàòü êàê |n1 , n2 , . . . i = |α1 , α2 , . . . i, ãäå nα = 0, 1. (3.21) Îïåðàòîðû ðîæäåíèÿ è óíè÷òîæåíèÿ äëÿ ôåðìè-÷àñòèö óäîâëåòâîðÿþò àíòèêîììóòàöèîííûì ñîîòíîøåíèÿì: + {aα , aα0 } = {a+ α , aα0 } = 0, ãäå {A, B} = AB + BA − {aα , a+ α0 } = δαα0 , (3.22) àíòèêîììóòàòîð. Ïîäåéñòâóåì òåïåðü îïåðàòîðàìè ðîæäåíèÿ è óíè÷òîæåíèÿ íà áàçèñíûå ñîñòîÿíèÿ ôåðìè-ñèñòåìû â ïðåäñòàâëåíèè ÷èñåë çàïîëíåíèÿ: 0, åñëè nα = 1, a+ 1 . . . i, åñëè nα = 0, α |n1 , n2 . . . i = |n1 , n2 . . . |{z} α 0, åñëè nα = 0, aα |n1 , n2 . . . i = |n1 , n2 . . . |{z} (3.23) 0 . . . i, åñëè nα = 1. α Ëåãêî âèäåòü, òî îïåðàòîðû ÷èñëà ÷àñòèö â îäíî÷àñòè÷íîì ñîñòîÿíèè è ñîîòâåòñòâåííî ïîëíîãî ÷èñëà ÷àñòèö ðàâíû: X N= (3.24) N α = a+ a+ α aα , α aα , α Èç àíòèêîììóòàöèîííûõ ñîîòíîøåíèé (3.22) è îïðåäåëåíèÿ (3.24) ñëåäóåò aα a+ α = 1 − Nα . Äî ñèõ ïîð ìû ðàññìàòðèâàëè äèñêðåòíûå êâàíòîâûå ÷èñëà, ìåæäó òåì, ñ îäíîé ñòîðîíû, âåñüìà ÷àñòî áàçèñíûå ñîñòîÿíèÿ ìîãóò îïðåäåëÿòüñÿ íåïðåðûâíûì ñïåêòðîì, à ñ äðóãîé ñòîðîíû, ÷àñòî ñîñòîÿíèÿ óäîáíî îïèñûâàòü íåïðåðûâíûìè âîëíîâûìè 36 ôóíêöèÿìè. Çàìåòèì ïðè ýòîì, ÷òî ñîñòîÿíèÿ íåïðåðûâíîãî ñïåêòðà íîðìèðîâàíû íà δ -ôóíêöèþ. Íàïðèìåð, ïóñòü îäíî÷àñòè÷íûé áàçèñ îïðåäåëÿåò ñîñòîÿíèÿ ñ îïðåäåëåííûì çíà÷åíèåì èìïóëüñà (ñâîáîäíûå ÷àñòèöû) è hp0 |pi = δ(p0 − p), òîãäà êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ (3.11) ïåðåïèøóòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: + 0 âp0 â+ p − ζâp âp0 = δ(p − p). (3.25) Ìîæíî òàêæå îïðåäåëèòü îïåðàòîðû ðîæäåíèÿ è óíè÷òîæåíèÿ ÷àñòèöû â òî÷êå ïðîñòðàíñòâà r.  ýòîì ñëó÷àå ïðèíÿòî ââîäèòü íåìíîãî íîâîå îáîçíà÷åíèå äëÿ ïîëåâîãî ψ -îïåðàòîðà, ñîîòâåòñòâåííî ψ̂ + (r) è ψ̂(r), òîãäà ψ̂(r0 )ψ̂ + (r) − ζ ψ̂ + (r)ψ̂(r0 ) = δ(r0 − r). (3.26) Îïåðàòîðû ðîæäåíèÿ è óíè÷òîæåíèÿ â îïðåäåëåííîì ñìûñëå ýêâèâàëåíòíû ñîñòîÿíèÿì, ïîýòîìó ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî ìîæíî ïåðåõîäèòü îò îäíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ îïåðàòîðîâ ê äðóãîìó ñ ïîìîùüþ ñîîòâåòñòâóþùèõ ìàòðèö ïåðåõîäà. Íàïðèìåð, ïåðåõîä îò êîîðäèíàòíîãî ê èìïóëüñíîìó ïðåäñòàâëåíèþ îñóùåñòâëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ ìàòðèöû ïåðåõîäà, êîòîðàÿ åñòü, ïî ñóòè äåëà, âîëíà äå-Áðîéëÿ, ïîýòîìó ìîæíî çàïèñàòü ñâÿçü 1 : Z −1 dp ψ̂(r) = ei~ pr ap , (2π~)3/2 Z −1 dp ψ̂ + (r) = e−i~ pr a+ (3.27) p. (2π~)3/2 Äåéñòâèòåëüíî, ïîäåéñòâóåì ïîëåâûì îïåðàòîðîì ðîæäåíèÿ ψ̂ + (r) íà íåêîòîðûé (ïðîèçâîëüíûé) âåêòîð, â êîòîðîì îòñóòñòâóåò îïèñàíèå ÷àñòèöû â òî÷êå r: ψ̂ + (r)| . . . i = |r, . . . i = |ri| . . . i. Åñëè ïîäåéñòâóåì íà ýòî æå ñîñòîÿíèå îïåðàòîðîì ðîæäåíèÿ ÷àñòèöû ñ èìïóëüñîì p, ïîëó÷èì a+ p | . . . i = |p, . . . i = |pi| . . . i. Òåïåðü ïåðåéäåì îò êîîðäèíàòíîãî ê èìïóëüñíîìó ïðåäñòàâëåíèþ: ψ̂ + (r)| . . . i = Z Z = Z dp|pihp|ri| . . . i = dphp|ri|pi| . . . i = −1 dp e−i~ pr a+ p | . . . i. (2π )3/2 ~ 1 Èíîãäà ñîîòíîøåíèå (3.27) îïåðåäåëÿþò íåñèììåòðè÷íî, ïî îòíîøåíèþ ê îáðàòíîìó ïðåîáðàçîâàíèþ, òîãäà çíàìåíàòåëü â ïîäûíòåãðàëüíîì âûðàæåíèè ðàâåí 1, à â ôîðìóëå (3.28) ðàâåí (2π ~)3 . 37  ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè âåêòîðà ñîñòîÿíèÿ | . . . i, ïîëó÷àåì ôîðìóëó (3.27). Îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå èìååò âèä: Z −1 dr ap = e−i~ pr ψ̂(r), (2π~)3/2 Z −1 dr + ap = ei~ pr ψ̂ + (r). (2π~)3/2 (3.28) Ñîîòíîøåíèÿ (3.27) ìîæíî îáîáùèòü è íà ëþáîé äðóãîé, â ÷àñòíîñòè äèñêðåòíûé, áàçèñ. Ïðè ýòîì ëåãêî âèäåòü, ÷òî ðîëü ìàòðèöû ïåðåõîäà áóäåò èãðàòü ñîîòâåòñòâóþùàÿ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ äèñêðåòíîãî îäíî÷àñòè÷íîãî áàçèñà ϕn (r): X X ψ̂(r) = ϕn (r)an , ψ̂ + (r) = (3.29) ϕ∗n (r)a+ n. n n Ñîîòíîøåíèÿ (3.27) è (3.29) îïðåäåëÿþò îïåðàòîðû óíè÷òîæåíèÿ è ðîæäåíèÿ ÷àñòèöû â òî÷êå r, ïðè îïèñàíèè åå ñîñòîÿíèé â ñîîòâåòñòâóþùèõ ïðåäñòàâëåíèÿõ. Ñ ïîìîùüþ ψ -îïåðàòîðîâ ìîæíî çàïèñàòü îïåðàòîð ïëîòíîñòè ÷èñëà ÷àñòèö: ρ̂(r) = ψ̂ + (r)ψ̂(r) (3.30) è ñîîòâåòñòâåííî ïîëíîå ÷èñëî ÷àñòèö åñòü Z Z N = drρ̂(r) = drψ̂ + (r)ψ̂(r). (3.31) 3.4. Ïðåäñòàâëåíèå îñíîâíûõ îïåðàòîðîâ Ïîëó÷èì òåïåðü âûðàæåíèå îñíîâíûõ îïåðàòîðîâ â ïðåäñòàâëåíèè âòîðè÷íîãî êâàíòîâàíèÿ. Îñíîâû äëÿ äàííîãî îïèñàíèÿ çàëîæåíû â íà÷àëå ïàðàãðàôà 3.1. Ïîêàæåì, ÷òî ëþáîé îäíî÷àñòè÷íûé îïåðàòîð fˆ ìîæíî çàïèñàòü â âèäå X fˆ = fnk |nihk|, (3.32) n,k ãäå |ni îäíî÷àñòè÷íûé áàçèñ. Äåéñòâèòåëüíî, ïîäåéñòâóåì îïåðàòîðîì (3.32) íà ïðîèçâîëüíóþ îäíî÷àñòè÷íóþ ôóíêöèþ: X X fnk ck |ni. fnk |nihk|ψi = fˆ|ψi = n,k n,k 38 Ïîëó÷èëè âûðàæåíèå, ñîâïàäàþùåå ñ ôîðìóëîé (3.1). Ïðè îïèñàíèè ëþáîé ìíîãî÷àñòè÷íîé ñèñòåìû ââîäÿòñÿ îïåðàòîðû, êîòîðûå äåéñòâóþò òîëüêî íà ñîñòîÿíèå îäíîé ÷àñòèöû, îäíî÷àñòè÷íûå îïåðàòîðû; îïåðàòîðû, êîòîðûå îïèñûâàþò âçàèìîäåéñòâèå äâóõ ÷àñòèö, äâóõ÷àñòè÷íûå îïåðàòîðû è ò.ä. Î÷åâèäíî, çàïèñü ýòèõ îïåðàòîðîâ â ïðåäñòàâëåíèè âòîðè÷íîãî êâàíòîâàíèÿ áóäåò ðàçëè÷íîé. Îïðåäåëèì äåéñòâèå îäíî÷àñòè÷íûõ îïåðàòîðîâ íà N -÷àñòè÷íîå ñîñòîÿíèå |ψiζ .  ëèíåéíîé êîìáèíàöèè (2.14) îäíî÷àñòè÷íûé îïåðàòîð ìîæåò äåéñòâîâàòü òîëüêî íà îäíó ÷àñòèöó, à ïîñêîëüêó â ñèñòåìå òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö îíà ìîæåò íàõîäèòüñÿ â ëþáîì ñîñòîÿíèè, îäíî÷àñòè÷íûé îïåðàòîð äîëæåí ïîäåéñòâîâàòü íà âñå îäíî÷àñòè÷íûå ñîñòîÿíèÿ, â êîòîðûõ ìîæåò íàõîäèòüñÿ ÷àñòèöà. Îäíî÷àñòè÷íûé îïåðàòîð çàìåíÿåò îäíî áàçèñíîå ñîñòîÿíèå íà äðóãîå ñ âåñîì, ðàâíûì ñîîòâåòñòâóþùåìó ìàòðè÷íîìó ýëåìåíòó (3.32). Ïîýòîìó ìû äîëæíû îáîáùèòü òàêîé ïîäõîä íà ñèììåòðèçîâàííîå ìíîãî÷àñòè÷íîå áàçèñíîå ñîñòîÿíèå. Ïóñòü |ϕi îäíî èç íîðìèðîâàííûõ îäíî÷àñòè÷íûõ áàçèñíûõ ñîñòîÿíèé. Îïðåäåëèì äåéñòâèå îïåðàòîðà a+ (ϕ1 )a(ϕ2 ) íà N -÷àñòè÷íîå ñîñòîÿíèå |ψiζ : a+ (ϕ1 )a(ϕ2 )|ψiζ = = N X ζ k−1 hϕ2 , ψk i|ϕ1 , ψ1 . . . ψk−1 , ψk+1 . . . ψN i. (3.33) k=1 Çàìåòèì äàëåå, ÷òî â ôîðìóëå (3.33) ìîæíî ïîñòàâèòü ñîñòîÿíèå |ϕ1 i íà ìåñòî ñîñòîÿíèÿ |ψk i : ζ k−1 |ϕ1 , ψ1 , . . . , ψk−1 , ψk+1 , . . . , ψN i = =|ψ1 . . . ψk−1 , ϕ1 , ψk+1 . . . ψN i. Òàêèì îáðàçîì, ëþáîé îäíî÷àñòè÷íûé îïåðàòîð ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå X fˆ(1) = fmn a+ (3.34) m an , m,n ãäå an ≡ a(ϕn ). Ðàññìîòðèì òåïåðü ïðåäñòàâëåíèå îïåðàòîðîâ, îïèñûâàþùèõ âçàèìîäåéñòâèå äâóõ ÷àñòèö äâóõ÷àñòè÷íîå èëè ïàðíîå âçàèìîäåéñòâèå: V (r1 − r2 ) = V (r2 − r1 ). Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ñêàçàííîå îá 39 îäíî÷àñòè÷íîì îïåðàòîðå àíàëîãè÷íûì îáðàçîì îáîáùàåòñÿ è íà äâóõ÷àñòè÷íûé: çäåñü îäíîâðåìåííî äîëæíû èçìåíèòüñÿ äâà îäíî÷àñòè÷íûõ ñîñòîÿíèÿ â N -÷àñòè÷íîì ñîñòîÿíèè |ψiζ . Ïóñòü â êà÷åñòâå îäíî÷àñòè÷íîãî áàçèñà âûáðàíû ñîñòîÿíèÿ ñ äèñêðåòíûì ñïåêòðîì òàê æå, êàê è â ôîðìóëå (3.32), òîãäà ìîæíî çàïèñàòü: 1 Vb (2) = 2! X + Vmn,m0 n0 a+ m an an0 am0 , (3.35) m,m0 ,n,n0 ãäå ìàòðè÷íûé ýëåìåíò ³ ´ Vmn,m0 n0 = hm, n|V |m0 , n0 i ≡ hm| hn|Vb |n0 i |m0 i, à êîýôôèöèåíò ïåðåä çíàêîì ñóììèðîâàíèÿ ó÷èòûâàåò ÷èñëî ïåðåñòàíîâîê îäèíàêîâûõ ÷àñòèö. Ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî ìîæíî çàïèñàòü â ïðåäñòàâëåíèè âòîðè÷íîãî êâàíòîâàíèÿ ëþáîé îïåðàòîð n-÷àñòè÷íîãî âçàèìîäåéñòâèÿ, íå çàáûâàÿ ïðè ýòîì ÷èñëî ïåðåñòàíîâîê n!. 40