Óòî÷íåíèå óðàâíåíèÿ Øð¼äèíãåðà ñ ó÷åòîì äèññèïàöèè âîëí â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå Å. Ì. Áåíèàìèíîâ  ðàáîòå ïðèâîäèòñÿ ïðèìåð ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè äëÿ îïèñàíèÿ êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêèõ ïðîöåññîâ, âçàèìîäåéñòâóþùèõ ñî ñðåäîé.  êà÷åñòâå ìîäåëè ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðîöåññ òåïëîâîãî ðàññåÿíèÿ âîëíîâîé ôóíêöèè, çàäàííîé íà ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå. Ðàññìàòðèâàåòñÿ ñëó÷àé, êîãäà òåïëîâàÿ äèôôóçèÿ çàäàåòñÿ òîëüêî ïî èìïóëüñàì. Ïðèâîäèòñÿ è èññëåäóåòñÿ ñîîòâåòñòâóþùåå ìîäèôèöèðîâàííîå óðàâíåíèå Êðàìåðñà äëÿ ýòîãî ïðîöåññà. Ðàññìàòðèâàþòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíûå ïðèáëèæåíèÿ ê ýòîìó óðàâíåíèþ ïî ñòåïåíÿì âåëè÷èíû, îáðàòíîé ê âåëè÷èíå ñîïðîòèâëåíèÿ ñðåäû íà åäèíèöó ìàññû ÷àñòèöû ïðîöåññà. Ïðèáëèæåíèÿ ñòðîÿòñÿ àíàëîãè÷íî òîìó, êàê â ñòàòèñòè÷åñêîé ôèçèêå èç îáû÷íîãî óðàâíåíèÿ Êðàìåðñà, îïèñûâàþùåãî èçìåíåíèå ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé äëÿ áðîóíîâñêîãî äâèæåíèÿ ÷àñòèöû â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå, ñòðîèòñÿ ïðèáëèæåííîå îïèñàíèå ýòîãî ïðîöåññà â âèäå óðàâíåíèå Ôîêêåðà-Ïëàíêà äëÿ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé â êîíôèãóðàöèîííîì ïðîñòðàíñòâå. Äîêàçàíî, ÷òî íóëåâûì (îáðàòèìûì) ïðèáëèæåíèåì ê ðàññìàòðèâàåìîé ìîäåëè ïî áîëüøîìó ïàðàìåòðó ñîïðîòèâëåíèÿ ñðåäû ÿâëÿåòñÿ îáû÷íîå êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêîå îïèñàíèå â âèäå óðàâíåíèÿ Øð¼äèíãåðà ñî ñòàíäàðòíûì îïåðàòîðîì Ãàìèëüòîíà.  ñòàòüå âûâîäèòñÿ ñëåäóþùåå ïðèáëèæåíèå ê ìîäåëè ïî îòðèöàòåëüíîé ñòåïåíè êîýôôèöèåíòà ñîïðîòèâëåíèÿ ñðåäû.  ðåçóëüòàòå ñòðîèòñÿ ìîäèôèöèðîâàííîå óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà, ó÷èòûâàþùåå äèññèïàöèþ ïðîöåññà â èñõîäíîé ìîäåëè. 1 1 Ââåäåíèå  ýòîé ñòàòüå ïðîäîëæàåòñÿ èññëåäîâàíèå îáîáùåííîãî óðàâíåíèÿ Êðàìåðñà, ââåäåííîãî â ñòàòüå [1].  ðàáîòå [1] îáîáùåííîå óðàâíåíèå Êðàìåðñà âîçíèêëî â êà÷åñòâå ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ïðîöåññà ðàññåÿíèÿ âîëí â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå ïîä äåéñòâèåì ñðåäû, íàõîäÿùåéñÿ â òåïëîâîì ðàâíîâåñèè.  [1] áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ïðè íåêîòîðûõ ïàðàìåòðàõ ìîäåëè ïðîöåññ, îïèñûâàåìûé îáîáùåííûì óðàâíåíèåì Êðàìåðñà, ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå êîìïîçèöèè áûñòðîãî ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà è ìåäëåííîãî ïðîöåññà. Ìåäëåííûé ïðîöåññ, êàê áûëî äîêàçàíî, ïðèáëèæåííî îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Øð¼äèíãåðà, ïðèìåíÿåìûì äëÿ îïèñàíèÿ êâàíòîâûõ ïðîöåññîâ. Òàêèì îáðàçîì ïîêàçàíî, ÷òî êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêîå îïèñàíèå âîçíèêàåò êàê àñèìïòîòè÷åñêîå îïèñàíèå ïðîöåññîâ òåïëîâîãî ðàññåÿíèÿ âîëí â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå. Öåëüþ ýòîé ñòàòüè ÿâëÿåòñÿ ïîñòðîåíèå ïðèáëèæåííîãî óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùåãî ìåäëåííóþ ñîñòàâëÿþùóþ ïðîöåññà, çàäàííîãî îáîáùåííûì óðàâíåíèåì Êðàìåðñà, ñ òî÷íîñòüþ, ïðè êîòîðîé ïðîÿâëÿþòñÿ äèññèïàòèâíûå ýôôåêòû â ýòîì ïðîöåññå. Ñòàòüÿ ñîñòîèò èç ÷åòûðåõ ðàçäåëîâ è ïðèëîæåíèÿ.  ñëåäóþùåì ðàçäåëå ïðèâîäÿòñÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷è, îáîáùåííîå óðàâíåíèå Êðàìåðñà äëÿ ïðîöåññà òåïëîâîãî ðàññåÿíèÿ âîëí íà ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå è ñâîéñòâà îïåðàòîðîâ, âõîäÿùèõ îáîáùåííîå óðàâíåíèå Êðàìåðñà.  ðàçäåëå 3 ïðèâîäÿòñÿ ðàíåå ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû äëÿ îïèñàíèÿ ïðîöåññà, çàäàííîãî îáîáùåííûì óðàâíåíèåì Êðàìåðñà, äàåòñÿ ìåòîä äëÿ ïðèáëèæåííîãî îïèñàíèÿ ýòîãî ïðîöåññà ïî îòðèöàòåëüíûì ñòåïåíÿì êîýôôèöèåíòà ñîïðîòèâëåíèÿ ñðåäû è ôîðìóëèðóåòñÿ îñíîâíîé ðåçóëüòàò ñòàòüè â âèäå òåîðåìû 4.  òåîðåìå ïðèâîäèòñÿ óðàâíåíèå, îïèñûâàþùåå ìåäëåííóþ ñîñòàâëÿþùóþ èññëåäóåìîãî ïðîöåññà ñ ó÷åòîì äèññèïàöèè. Ýòèì óðàâíåíèåì ÿâëÿåòñÿ ìîäèôèöèðîâàííîå óðàâíåíèå Øð¼äèíãåðà, ó÷èòûâàþùåå íåîáðàòèìîñòü ïðîöåññà. Ïîêàçàíî, ÷òî ñëåäñòâèåì ìîäèôèöèðîâàííîãî óðàâíåíèÿ Øð¼äèíãåðà ÿâëÿþòñÿ ýôôåêòû äåêîãåðåíöèè è ñïîíòàííûõ ïåðåñêîêîâ ìåæäó óðîâíÿìè.  ðàçäåëå 4 ñôîðìóëèðîâàíû íåêîòîðûå äàëüíåéøèå íàïðàâëåíèÿ ðàáîòû è âîçìîæíîñòè ñðàâíåíèÿ ïðåäëàãàåìîé ìîäåëè ñ ýêñïåðèìåíòàìè. Äîêàçàòåëüñòâî îñíîâíîé òåîðåìû ðàáîòû ïðåäñòàâëåíî â ïðèëîæåíèè. 2 2 Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷è è îñíîâíûå ñâîéñòâà îïåðàòîðîâ óðàâíåíèÿ Èòàê, ðàññìàòðèâàåòñÿ ñëåäóþùàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ïðîöåññà. Ñîñòîÿíèå ïðîöåññà â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè t ∈ R çàäàåòñÿ êîìïëåêñíîçíà÷íîé ôóíêöèåé ϕ[x, p, t] íà ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå (x, p) ∈ R2n , ãäå n ðàçìåðíîñòü êîíôèãóðàöèîííîãî ïðîñòðàíñòâà. Êîîðäèíàòû â êîíôèãóðàöèîííîì ïðîñòðàíñòâå çàäàþòñÿ íàáîðîì ÷èñåë x ∈ Rn , à èìïóëüñû íàáîðîì ÷èñåë p ∈ Rn . (Äàëåå âñþäó àðãóìåíòû ôóíêöèè áóäåò ïèñàòüñÿ â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ, ÷òîáû îòëè÷àòü àðãóìåíò ôóíêöèè îò óìíîæåíèÿ íà ïåðåìåííóþ.) Îáîáùåííûì óðàâíåíèåì Êðàìåðñà äëÿ ôóíêöèè ϕ[x, p, t] íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèå âèäà: ∂ϕ = Aϕ + γBϕ, (1) ∂t n n X X p2j ∂V ∂ϕ pj ∂ϕ i ãäå Aϕ = − − V − ϕ (2) m ∂xj h̄ j=1 ∂xj ∂pj j=1 2m n X ∂ Bϕ = j=1 ∂pj è ∂ ∂ϕ pj + ih̄ ϕ + kB T m ∂xj ∂pj ! ; (3) m ìàññà ÷àñòèöû; V [x] ïîòåíöèàëüíàÿ ôóíêöèÿ âíåøíèõ ñèë, äåéñòâóþùèõ íà ÷àñòèöó; i ìíèìàÿ åäèíèöà; h̄ ïîñòîÿííàÿ Ïëàíêà; γ = β/m êîýôôèöèåíò ñîïðîòèâëåíèÿ ñðåäû β íà åäèíèöó ìàññû ÷àñòèöû; kB ïîñòîÿííàÿ Áîëüöìàíà; T òåìïåðàòóðà ñðåäû. Åñëè â óðàâíåíèè (1) ïåðåéòè ê áåçðàçìåðíûì ïåðåìåííûì âèäà: √ V [x] p kB T m 0 0 p =√ , x = x, V 0 [x] = , (4) h̄ kB T kB T m òî â íîâûõ ïåðåìåííûõ óðàâíåíèå (1) ïðèíèìàåò âèä: ∂ϕ = A0 ϕ + γB 0 ϕ, ∂t ãäå (5) n n X (p0j )2 kB T X ∂V 0 ∂ϕ 0 ∂ϕ 0 Aϕ= − pj 0 − i V − ϕ h̄ j=1 ∂x0j ∂p0j ∂xj 2 j=1 0 è n X ∂ Bϕ= 0 j=1 ∂pj 0 3 p0j ∂ ∂ϕ +i 0 ϕ+ 0 ∂xj ∂pj (6) ! . (7) Çàìåòèì, ÷òî îïåðàòîð A0 êîñîýðìèòîâ, à îïåðàòîð B 0 íå ÿâëÿåòñÿ íè êîñîýðìèòîâûì, íè ñàìîñîïðÿæåííûì. Îïåðàòîð B 0 îïðåäåëÿåò ïðîöåññ ðàññåÿíèÿ âîëíîâîé ôóíêöèè ïî èìïóëüñàì è, ñëåäîâàòåëüíî, íåîáðàòèìîñòü ïðîöåññà.  ýòîé ðàáîòå ðàññìàòðèâàåòñÿ ñëó÷àé, êîãäà γ áîëüøàÿ âåëè÷èíà, òî åñòü âêëàä îïåðàòîðà B 0 â îáùèé ïðîöåññ èçìåíåíèÿ âîëíîâîé ôóíêöèè âåëèê. Ñâîéñòâà îïåðàòîðà B 0 ïðåäñòàâëåíû â ñëåäóþùåé òåîðåìå. Òåîðåìà 1. B0 ϕ[x, p] 0, −1, −2, ... 0 B Îïåðàòîð , çàäàííûé âûðàæåíèåì (7), èìååò ïîëíûé íàáîð ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé (â êëàññå ôóíêöèé , ñòðåìÿùèõñÿ ê íóëþ íà áåñêîíå÷íîñòè) c ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè Ñîîòâåòñòâåííî, îïåðàòîð ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå: B0 = − ∞ X (8) kPk , k=0 ãäå Pk îïåðàòîðû ïðîåêöèè íà ñîáñòâåííûå ïîäïðîñòðàíñòâà îïåðàòîðà B 0 ñ ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè −k. Îïåðàòîðû Pk , êàê ïðîåêòîðû íà ñîáñòâåííûå ïîäïðîñòðàíñòâà îïåðàòîðà B 0, óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèÿì: Pk Pk = Pk , Pk Pk = 0 ïðè k 6= k 0 , Pk B 0 = B 0 Pk = −kPk (9) 0 ∞ X è E = Pk , k=0 ãäå E òîæäåñòâåííûé îïåðàòîð. (10) Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû áóäåò äàíî âìåñòå ñ äîêàçàòåëüñòâîì ñëåäóþùåé òåîðåìû, â êîòîðîé îïèñûâàåòñÿ âèä îïåðàòîðîâ ïðîåêöèè Pk . def Îáîçíà÷èì ÷åðåç Hkk1 ...kn [p] = Hk1 [p1 ]...Hkn [pn ] ïðîèçâåäåíèå ïîëèíîìîâ Ýðìèòà [7] îò ñîîòâåòñòâóþùèõ ïåðåìåííûõ, ãäå k = k1 + ... + kn ñóììà ñòåïåíåé ïîëèíîìîâ Ýðìèòà, âõîäÿùèõ â ïðîèçâåäåíèå. Ïî îïðåäåëåíèþ ïîëèíîì Ýðìèòà Hkj [pj ] çàäàåòñÿ âûðàæåíèåì: p2 Hkj [pj ] = exp 2 def ! ∂ − ∂pj !kj p2 exp − 2 ! (11) Ïóñòü Sk1 ,...,kn è Ik1 ,...,kn îïåðàòîðû, êîòîðûå çàäàþòñÿ âûðàæåíèÿìè: def ψk1 ,...,kn = Sk1 ,...,kn [ϕ] = Z " Hkk1 ...kn Rn 4 # ∂ p + i 00 ϕ[x00 , p00 ]dp00 , ∂x 00 (12) def ϕk1 ,...,kn = Ik1 ,...,kn [ψk1 ,...,kn ] = (13) Z 0 0 2 (p −s ) 1 1 1 0 0 00 ... ψk1 ,...,kn [x00 ]Hkk1 ...kn [p0 − s0 ]e− 2 eis (x −x ) ds0 dx00 . 3n/2 (2π) k1 ! kn ! 2n R Òåîðåìà 2. Îïåðàòîðû ïðîåêöèè Pk èìåþò âèä: k X Pk = Ik1 ,...,kn Sk1 ,...,kn , (14) k1 ,...,kn =0 k1 +...+kn =k è îïåðàòîðû Sk ,...,k , Ik ,...,k óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèÿì: 0 1 0 n n 1 Sk10 ,...,kn0 Ik1 ,...,kn ψk1 ,...,kn = δk10 ,k1 ...δkn0 ,kn ψk1 ,...,kn , ãäå δk k ðàâíû 0, åñëè ki0 6= ki, è ðàâíû 1, åñëè ki0 = ki. (15) 0 i i  ÷àñòíîñòè, èç ôîððìóë (12), (13) è òåîðåìû 2 ñëåäóåò, ÷òî Z def ψ[x0 ] = S0̄ [ϕ] = (16) ϕ[x0 , p0 ]dp0 , Rn def ϕ0 [x0 , p0 ] = I0̄ [ψ] = Z (p0 −s0 )2 1 0 0 00 00 − 2 ψ[x ]e eis (x −x ) ds0 dx00 , (17) 3n/2 (2π) 2n R Z (p0 −s0 )2 1 0 0 00 00 00 00 − 2 ϕ[x , p ]dp e P0 ϕ = eis (x −x ) ds0 dx00 , 3n/2 (2π) 3n (18) R n X ! Z ∂ 1 00 pj + i 00 ϕ[x00 , p00 ]dp00 × P1 ϕ = 3n/2 (2π) ∂xj j=1 3n R (p0j − s0j )e (p0 −s0 )2 − 2 0 0 00 eis (x −x ) ds0 dx00 , (19) Çàìåòèì, ÷òî îïåðàòîðû I0̄ è S0̄ , çàäàííûå ôîðìóëàìè (17) è (16), óñòàíàâëèâàþò áèåêöèþ ìåæäó ìíîæåñòâîì ôóíêöèé ψ[x0 ] è ìíîæåñòâîì ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé ϕ0 [x0 , p0 ] îïåðàòîðà B 0 ñ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì, ðàâíûì 0. Ôóíêöèþ ψ[x0 ] = S0̄ [ϕ0 [x0 , p0 ]] áóäåì íàçûâàòü ïðåäñòàâëåíèåì ñîáñòâåííîé ôóíêöèè ϕ0 [x0 , p0 ]. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåì 1 è 2. Ïîäñòàâèì â âûðàæåíèå (7) ïðåäñòàâëåíèå ϕ[x0 , p0 , t0 ] â âèäå èíòåãðàëà Ôóðüå ïî x0 è îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå: ϕ[x0 , p0 , t0 ]= Z 1 0 0 ϕ̃[s0 , p0 , t0 ]eis x ds0 , n/2 (2π) Rn 5 (20) Z 1 0 00 ãäå ϕ̃[s , p , t ] = ϕ[x00 , p0 , t0 ]e−is x dx00 , n/2 n (2π) R 0 0 0 def def è ÷åðåç s0 x0 îáîçíà÷åíî âûðàæåíèå s0 x0 = Ïîëó÷èì, ÷òî îïåðàòîð B 0 èìååò âèä: Pn j=1 (21) s0j x0j . n 1 Z X ∂ϕ is0 (x0 −x00 ) 0 00 ∂ 0 0 B [ϕ[x , p ]] = (pj − sj )ϕ + 0 e ds dx . (22) (2π)n R2n j=1 ∂p0j ∂pj 0 00 0 Âû÷èñëÿÿ â ëåâîé ÷àñòè ïîëó÷åííîãî âûðàæåíèÿ èíòåãðàë ïî x00 , ñ ó÷åòîì ðàâåíñòâà (21) ïîëó÷èì: Z X n 1 ∂ ϕ̃ is0 x0 0 ∂ 0 0 B [ϕ[x , p ]] = (pj − sj )ϕ̃ + 0 e ds . (2π)n/2 Rn j=1 ∂p0j ∂pj 0 00 0 Îïåðàòîð n X ∂ ∂ ϕ̃ (p0j − s0j )ϕ̃ + 0 , 0 ∂pj j=1 ∂pj (23) (24) ñòîÿùèé ïîä èíòåãðàëîì â ïðåäûäóùåì âûðàæåíèè, õîðîøî èçâåñòåí (ñì., íàïðèìåð [6]). Ýòîò îïåðàòîð èìååò ïîëíûé íàáîð ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé â ïðîñòðàíñòâå ôóíêöèé, ñòðåìÿùèõñÿ ê íóëþ, ïðè |p0 − s0 |, ñòðåìÿùåìñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè. Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ýòîãî îïåðàòîðà ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé öåëûå íåïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà. Ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ 0 ñîîòâåòñòâóþò ñîáñòâåííûå ôóíêöèè âèäà ϕ̃0 [s0 , p0 ] = ψ̃[s0 ]e− (p0 −s0 )2 2 , ãäå ψ̃[s0 ] ïðîèçâîëüíàÿ êîìïëåêñíîçíà÷íàÿ ôóíêöèÿ äëÿ s0 ∈ Rn . Îñòàëüíûå ñîáñòâåííûå ôóíêöèè ïîëó÷àþòñÿ (÷òî ëåãêî ïðîâåðÿåòñÿ) äèôôåðåíöèðîâàíèåì ôóíêöèé ϕ̃0 [s0 , p0 ] ïî p0j , j = 1, . . . , n, è èìåþò ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ, ðàâíûå −1, −2, ..., ñîîòâåòñòâåííî, â çàâèñèìîñòè îò ñòåïåíè ïðîèçâîäíîé. Òàêèì îáðàçîì, ñîáñòâåííûìè ôóíêöèÿìè c ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì −k = −(k1 + ... + kn ) ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèè âèäà: ψ̃k1 ...kn [s0 ](−1)k (p0 −s0 )2 ∂ k1 ∂ kn − (p0 −s0 )2 0 k 0 0 − 2 2 ... e = ψ̃ , [s ]H [p − s ]e k ...k n 1 k1 ...kn 0kn 1 ∂p ∂p0k n 1 6 ãäå ψ̃k1 ...kn [s0 ] ïðîèçâîëüíûå êîìïëåêñíîçíà÷íûå ôóíêöèè îò s0 ∈ Rn , Hkk1 ...kn [p0 ] = Hk1 [p01 ]...Hkn [p0n ] ïðîèçâåäåíèå ïîëèíîìîâ Ýðìèòà îò ñîîòâåòñòâóþùèõ ïåðåìåííûõ, è k = k1 +...+kn ñóììà ñòåïåíåé ïîëèíîìîâ. Ïðè ýòîì ïîëèíîìû Ýðìèòà ìàëûõ ñòåïåíåé èìåþò âèä: H0 = 1, H1 [pj ] = pj , H2 [pj ] = p2j − 1. (25) Ïðåäñòàâèì, â ñâîþ î÷åðåäü, ôóíêöèè ψ̃k1 ...kn [s0 ] â âèäå èíòåãðàëîâ Ôóðüå: Z 1 0 00 0 ψ̃k1 ...kn [s ] = ψk1 ...kn [x00 ]e−is x dx00 . n/2 n (2π) R Îòñþäà, ñ ó÷åòîì ïðåäñòàâëåíèÿ (20) ôóíêöèè ϕ[x0 , p0 , t0 ] ÷åðåç ϕ̃[s0 , p0 , t0 ], ïîëó÷àåì, ÷òî ñîáñòâåííûå ôóíêöèè ϕk1 ...kn [x0 , p0 ] îïåðàòîðà B 0 èìåþò âèä: (p0 −s0 )2 1 Z 0 0 00 00 k 0 0 − 2 [x ]H [p − s ]e ψ eis (x −x ) ds0 dx00 . ϕk1 ...kn [x , p ] = k ...k n 1 k ...k n 1 n (2π) R2n 0 0 Èçâåñòíî [7], ÷òî ïîëèíîìû Ýðìèòà îáðàçóþò ïîëíóþ ñèñòåìó ôóíêöèé è óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùèì ñîîòíîøåíèÿì îðòîãîíàëüíîñòè: 02 1 1 1 Z 0 − p2 k0 0 k H dp0 = δk10 k1 ...δkn0 kn , ... 0 ...k 0 [p ]Hk ...k [p ]e k n 1 n/2 n 1 n (2π) k1 ! kn ! R (26) ãäå δki0 ki ðàâíû 0, åñëè ki0 6= ki , è ðàâíû 1, åñëè ki0 = ki (â ýòèõ ôîðìóëàõ ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî 0!=1). Îòñþäà íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóþò óòâåðæäåíèÿ òåîðåì 1 è 2.  ÷àñòíîñòè, ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî òåîðåìû 1 ñëåäóåò èç ïîëíîòû íàáîðà ñîáñòâåííûõ ïîäïðîñòðàíñòâ îïåðàòîðà B 0 . Çàìåòèì, ÷òî â ïðåäñòàâëåíèè ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé îïåðàòîðà B 0 â âèäå ôîðìóëû (13) ìîæíî âûïîëíèòü èíòåãðèðîâàíèå ïî s0 . Äëÿ ýòîãî ïîäñòàâèì â ýòó ôîðìóëó âûðàæåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïîëèíîìîâ Ýðìèòà (11). Ïîëó÷èì: ϕk1 ,...,kn = Ik1 ,...,kn [ψk1 ,...,kn ]= (27) Z (p0 −s0 )2 1 1 (−1)k ∂ k 1 0 0 00 00 − 2 ... ψ [x ]e eis (x −x ) ds0 dx00 . k ,...,k n 1 k1 k 3n/2 0 n 0 (2π) k1 ! kn ! ∂p1 ...∂pn 2n R Äàëåå, ïîä èíòåãðàëîì ñäåëàåì çàìåíó ïåðåìåííûõ s0 = s00 + p0 è âûïîëíèì èíòåãðèðîâàíèå ïî s00 , âîñïîëüçîâàâøèñü èçâåñòíûì ðàâåíñòâîì, 7 ÷òî ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå îò ôóíêöèè exp(−s00 /2) åñòü ôóíêöèÿ ýòîãî æå âèäà. Ïîëó÷èì: ϕk1 ,...,kn = Ik1 ,...,kn [ψk1 ,...,kn ]= (x0 −x00 )2 1 (−1)k ∂ k Z 1 1 00 − ip0 (x0 −x00 ) 2 ψ ... [x ]e e dx00 = k ,...,k n 1 k1 k n 0 (2π) k1 ! kn ! ∂p1 ...∂p0n n n R n Y (x0 −x00 )2 1 (−i) 1 0 0 00 00 0 00 kj − 2 ... ψ [x ] eip (x −x ) dx00 . (x − x ) e k ,...,k n 1 n (2π) k1 ! kn ! n j=1 k Z (28) R Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ïîëó÷åíî ïîñëå âûïîëíåíèÿ òðåáóåìûõ â ôîðìóëå äèôôåðåíöèðîâàíèé ïî p0 , íî ïîä çíàêîì èíòåãðàëà. Èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà â ÷àñòíîì ñëó÷àå äëÿ ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé îïåðàòîðà B 0 ñ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì, ðàâíûì íóëþ, èìååì âûðàæåíèå: (x0 −x00 )2 1 Z 0 0 00 00 − 2 ψ [x ]e eip (x −x ) dx00 . ϕ0 = I0̄ [ψ0 ]= 0 n (2π) n (29) R 3 Óðàâíåíèå Øð¼äèíãåðà äëÿ ïðîöåññà ðàññåÿíèå âîëí è åãî óòî÷íåíèå  ðàáîòàõ [1, 3] áûëà äîêàçàíà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà. Äâèæåíèå, îïèñûâàåìîå óðàâíåíèåì (1), àñèìïòîòè÷åñêè ðàñïàäàåòñÿ ïðè áîëüøîé âåëè÷èíå γ íà áûñòðîå äâèæåíèå è ìåäëåííîå. 1)  ðåçóëüòàòå áûñòðîãî äâèæåíèÿ ïðîèçâîëüíàÿ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ϕ(x, p, 0) ïåðåõîäèò çà âðåìÿ ïîðÿäêà 1/γ ê ôóíêöèè ϕ0 = P0ϕ, êîòîðàÿ ïîñëå íîðìèðîâàíèÿ è â èñõîäíûõ êîîðäèíàòàõ èìååò âèä: Òåîðåìà 3. Z 1 ψ[y, 0]χ[x − y]eip(x−y)/h̄ dy, ϕ0 [x, p] = n/2 (2πh̄) n (30) R !n/4 e−k T m(x−y) /(2h̄ ) . (31) ãäå ||ψ|| = 1 è χ[x − y] = Âîëíîâûå ôóíêöèè âèäà (30) îáðàçóþò ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé îïåðàòîðà B , çàäàííîãî âûðàæåíèåì (3), ñ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì, ðàâíûì íóëþ. Ýëåìåíòû ýòîãîR ïîäïðîñòðàíñòâà ïàðàìåòðèçóþòñÿ âîëíîâûìè ôóíêöèÿìè ψ[y, 0] = R ϕ[y, p]dp, çàâèñÿùèìè òîëüêî îò êîîðäèíàò y ∈ Rn. kB T m πh̄2 B n 8 2 2 2) Ìåäëåííîå äâèæåíèå, íà÷èíàþùååñÿ c âîëíîâîé ôóíêöèè ϕ0[x, p] âèäà (30) ñ íåíóëåâîé ôóíêöèåé ψ[y, 0], ïðîèñõîäèò ïî ïîäïðîñòðàíñòâó òàêèõ ôóíêöèé è ïàðàìåòðèçóåòñÿ âîëíîâîé ôóíêöèåé ψ[y, t], çàâèñÿùåé îò âðåìåíè. Ôóíêöèÿ ψ[y, t] ïðè ýòîì óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ Øð¼äèíãåðà âèäà ih̄∂ψ/∂t = Ĥψ, ãäå äåéñòâèå îïåðàòîðà Ĥ ïðè γ → ∞ èìååò âèä: 2 X n 2 Ĥψ = − h̄ 2m kB T ∂ ψ + V [y]ψ − nψ. 2 2 k=1 ∂yk (32) Äîêàçàòåëüñòâî ïåðâîé ÷àñòè òåîðåìû 3 ïðèâåäåíî â [3]. Äîêàçàòåëüñòâî âòîðîé ÷àñòè ýòîé òåîðåìû ïðèâåäåíî â [1], îäíàêî òàì áûëà äîïóùåíà îøèáêà ïðè âû÷èñëåíèè çíàêà ïåðåä (kB T /2)nψ . Òåîðåìà 3 îïèñûâàåò ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1) è, ñîîòâåòñòâåííî, óðàâíåíèÿ (5) â íóëåâîì äåòåðìèíèðîâàííîì ïðèáëèæåíèè ïî ïàðàìåòðó 1/γ ïîñëå ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà ÷åðåç âðåìÿ ïîðÿäêà 1/γ . Öåëüþ ýòîé ðàáîòû ÿâëÿåò äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû, óòî÷íÿþùèé ðåçóëüòàò òåîðåìû 3 â ÷àñòè, îïèñûâàþùåé ìåäëåííîå äâèæåíèå. Äëÿ ýòîãî ñòðîèòñÿ ñëåäóþùåå ïðèáëèæåíèå óðàâíåíèÿ (5) ïî ïàðàìåòðó 1/γ . Èòàê, ïåðåéäåì ê ïðèáëèæåííîìó îïèñàíèþ îáîáùåííîãî óðàâíåíèÿ Êðàìåðñà (5) äëÿ áîëüøèõ γ ñ ïîìîùüþ ñèñòåìàòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ ïî ñòåïåíÿì γ −1 . Ìåòîä, êîòîðûé ìû çäåñü èñïîëüçóåì, àíàëîãè÷åí ìåòîäó, èçëîæåííîìó â êíèãå Âàí Êàìïåíà [5].  íåé èç óðàâíåíèÿ Êðàìåðñà, îïèñûâàþùåãî áðîóíîâñêîå äâèæåíèå ÷àñòèöû â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå, âûâîäèòñÿ óðàâíåíèå Ôîêêåðà-Ïëàíêà, ïðèáëèæåííî îïèñûâàþùåå ýòîò æå ïðîöåññ, íî â âèäå áðîóíîâñêîãî äâèæåíèÿ ÷àñòèöû â êîíôèãóðàöèîííîì ïðîñòðàíñòâå ïîñëå íåêîòîðîãî âðåìåíè ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà, âî âðåìÿ êîòîðîãî óñòàíàâëèâàåòñÿ ðàñïðåäåëåíèå Ìàêñâåëëà ïî èìïóëüñàì. Ïåðåïèøåì óðàâíåíèå (5) â âèäå: 1 Bϕ= γ 0 ! ∂ϕ − A0 ϕ . ∂t (33) Áóäåì èñêàòü ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ â âèäå: ϕ = ϕ0 + γ −1 ϕ1 + γ −2 ϕ2 + ... (34) Ïîäñòàâèì âûðàæåíèå (34) â óðàâíåíèå (33) è âûïèøåì óðàâíåíèÿ äëÿ êîýôôèöèåíòîâ ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ γ −1 . Ïîëó÷èì: äëÿ γ 0 : B 0 ϕ0 = 0; 9 (35) ∂ϕ0 − A0 ϕ0 ; ∂t ∂ϕ1 B 0 ϕ2 = − A0 ϕ1 ; ... ∂t äëÿ γ −1 : (36) B 0 ϕ1 = äëÿ γ −2 : (37) Èç óðàâíåíèÿ (35) ñëåäóåò, ÷òî ϕ0 ïðèíàäëåæèò ïîäïðîñòðàíñòâó ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé îïåðàòîðà B 0 ñ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì 0, òî åñòü ϕ0 = P0 ϕ0 , ãäå P0 îïåðàòîð ïðîåêöèè íà ñîáñòâåííîå ïîäïðîñòðàíñòâî îïåðàòîðà B 0 ñ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì 0. Ïðèìåíèì ñëåâà ê îáåèì ÷àñòÿì ðàâåíñòâà (36) îïåðàòîð ïðîåêöèè P0 . Ñ ó÷åòîì ðàâåíñòâ P0 B 0 = 0 è ϕ0 = P0 ϕ0 ïîëó÷èì: 0= ∂ϕ0 − P0 A0 P0 ϕ0 . ∂t (38) (Çàìåòèì, ÷òî îïåðàòîðó P0 A0 P0 ñîîòâåòñòâóåò îïåðàòîð Øð¼äèíãåðà H 0 â òåîðåìå 3.) Ïðè óñëîâèè âûïîëíåíèÿ ðàâåíñòâà (38) óðàâíåíèå (36) èìååò ðåøåíèå, êîòîðîå ìû ïðåäñòàâèì â âèäå: ϕ1 = ϕ1,0 + f1 , ãäå P0 f1 = 0, ϕ1,0 = P0 ϕ1 = P0 ϕ1,0 , 0 f1 = B −1 (P0 A0 P0 ϕ0 − A0 P0 ϕ0 ), (39) 0 è B −1 îáðàòíûé îïåðàòîð ê îïåðàòîðó B 0 íà ïîäïðîñòðàíñòâå, ïîðîæäåííîì ñîáñòâåííûìè ôóíêöèÿìè îïåðàòîðà B 0 ñ íåíóëåâûìè ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè. Èç ôîðìóëû (8) äëÿ îïåðàòîðà B 0 ñëåäóåò, ÷òî 0 îïåðàòîð B −1 èìååò âèä: B 0 −1 =− ∞ X (40) k −1 Pk . k=1 0 Îòñþäà è èç ñâîéñòâ îïåðàòîðîâ ïðîåêöèè (9) ñëåäóåò, ÷òî P0 B −1 = 0 è 0 Pk B −1 = −k −1 Pk . 0 Ñ ó÷åòîì ðàâåíñòâà B −1 P0 = 0 âûðàæåíèå äëÿ f1 â ôîðìóëå (39) ïðèíèìàåò âèä 0 f1 = −B −1 A0 P0 ϕ0 . (41) Ïîäñòàâèì âûðàæåíèå ϕ1 = ϕ1,0 + f1 ôîðìóëû (39) â ðàâåíñòâî (37) è ïðèìåíèì ñëåâà ê îáåèì ÷àñòÿì ðàâåíñòâà (37) îïåðàòîð ïðîåêöèè P0 . Ñ 10 ó÷åòîì ðàâåíñòâ P0 B 0 = 0, P0 f1 =0 è ϕ1,0 = P0 ϕ1,0 è ðàâåíñòâà (41) ïîñëå ïåðå÷èñëåííûõ ïîäñòàíîâîê è ðàñêðûòèÿ ñêîáîê ïîëó÷èì: 0 = P0 ∂ϕ1 − A0 ϕ1 ∂t ! èëè ∂ϕ1,0 0 − P0 A0 P0 ϕ1,0 + P0 A0 B −1 A0 P0 ϕ0 . (42) ∂t Ñëîæèì, òåïåðü, óðàâíåíèÿ (38) è (42), óìíîæåííûå, ñîîòâåòñòâåííî, íà 1 è γ −1 . Òîãäà äëÿ ôóíêöèè ϕγ1,0 , ïî îïðåäåëåíèþ çàäàííîé ðàâåíñòâîì def ϕγ1,0 = ϕ0 + γ −1 ϕ1,0 , (43) 0= ïîëó÷èì ñëåäóþùåå óðàâíåíèå ñ òî÷íîñòüþ äî ñëàãàåìûõ ïîðÿäêà γ −1 : 0= ∂ϕγ1,0 0 − P0 A0 P0 ϕγ1,0 + γ −1 P0 A0 B −1 A0 P0 ϕγ1,0 + O[γ −2 ]. ∂t (44) def Ñîîòâåòñòâåííî, äëÿ ôóíêöèè ϕγ1 = ϕ0 +γ −1 ϕ1 , ó÷èòûâàþùåé òîëüêî äâà ïåðâûõ ñëàãàåìûõ â ðàçëîæåíèè (34) äëÿ ϕ, èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâî ϕ1 = ϕ1,0 + f1 â âûðàæåíèè (39) è ïîäñòàâèâ â íåãî âûðàæåíèå (41) äëÿ f1 , ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå ðàâåíñòâî ñ òî÷íîñòüþ äî ñëàãàåìûõ ïîðÿäêà γ −1 : 0 ϕγ1 = ϕγ1,0 − γ −1 B −1 A0 P0 ϕγ1,0 + O[γ −2 ] (45) Òàê êàê ϕγ1,0 = P0 ϕγ1,0 , òî åñòü ϕγ1,0 ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ îïåðàòîðà B 0 ñ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì, ðàâíûì 0, òî â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëàìè (16) è (17) è òåîðåìîé 2 îíà ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ ôóíêöèåé def ψ = S0̄ [ϕγ1,0 ] ïî ôîðìóëå ϕγ1,0 = I0̄ [ψ], ãäå S0̄ è I0̄ îïåðàòîðû, îïðåäåëåííûå ôîðìóëàìè (16) è (17). Êàê è ðàíåå, ýòó ôóíêöèþ ψ áóäåì íàçûâàòü ïðåäñòàâëåíèå ñîáñòâåííîé ôóíêöèè ϕγ1,0 . ×òîáû ïîëó÷èòü ψ -ïðåäñòàâëåíèå óðàâíåíèÿ (44), ïîäñòàâèì â íåãî âìåñòî ôóíêöèè ϕγ1,0 ðàâíîå åé âûðàæåíèå I0̄ [ψ], ïîäåéñòâóåì íà îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ îïåðàòîðîì S0̄ è âîñïîëüçóåìñÿ ñëåäóþùèìè ðàâåíñòâàìè, âûòåêàþùèìè èç ñîîòíîøåíèé òåîðåìû 2: P0 ϕγ1,0 = I0̄ S0̄ [ϕγ1,0 ] = I0̄ [ψ], S0̄ P0 = S0̄ 11 è ψ = S0̄ I0̄ [ψ]. Ïîëó÷èì: 0 = ∂ψ 0 − S0̄ A0 I0̄ ψ + γ −1 S0̄ A0 B −1 A0 I0̄ ψ + O[γ −2 ]. ∂t (46) Ñîîòâåòñòâåííî, âûðàæåíèå (45) ôóíêöèè ϕγ1 [x0 , p0 ], ïðåäñòàâëåííîå ÷åðåç ôóíêöèþ ψ[x0 ], áåç ó÷åòà ñëàãàåìûõ ïîðÿäêà γ −2 èìååò âèä: 0 ϕγ1 = I0̄ [ψ] − γ −1 B −1 A0 I0̄ [ψ] + O[γ −2 ] (47) Çàìåòèì, ÷òî èç ýòîãî ðàâåíñòâà ñëåäóåò, ÷òî S0̄ ϕγ1 = ψ . Òàêèì îáðàçîì, âûðàæåíèå (47) è îïåðàòîð S0̄ óñòàíàâëèâàþò âçàèìíî îáðàòíûå áèåêöèè ìåæäó ìíîæåñòâîì ôóíêöèé ϕγ1 [x0 , p0 ] è ìíîæåñòâîì ôóíêöèé ψ[x0 ]. Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèÿ ψ[x0 ] ÿâëÿåòñÿ òàêæå è ïðåäñòàâëåíèåì ôóíêöèè ϕγ1 [x0 , p0 ] ïî ôîðìóëå (47). Ïðè ýòîì, ôóíêöèÿ ψ[x0 ] ìåíÿåòñÿ âî âðåìåíè â ñîîòâåòñòâèè ñ óðàâíåíèåì (46). Èòàê, èç óðàâíåíèÿ (46) è ñîîòíîøåíèÿ P0 = I0̄ S0̄ òåîðåìû 2 ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå ïðèáëèæåííîå óðàâíåíèå ñ ó÷åòîì ñëàãàåìûõ äî ïîðÿäêà γ −1 äëÿ ìåäëåííîãî ïîäïðîöåññà â ïðîöåññå, îïèñûâàåìîì ìîäèôèöèðîâàííûì óðàâíåíèåì Êðàìåðñà (5): ∂ψ 0 = S0̄ A0 I0̄ ψ − γ −1 S0̄ A0 B −1 A0 I0̄ ψ + O[γ −2 ] ∂t (48) (Âèä ïåðâîãî ñëàãàåìîãî ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ îïåðàòîðà S0̄ A0 I0̄ , íàì èçâåñòåí èç òåîðåìû 3.) Ïîëíîå îïèñàíèå ïðàâîé ÷àñòè ýòîãî óðàâíåíèÿ äàåòñÿ ñëåäóþùåé òåîðåìîé. Ìåäëåííîå äâèæåíèå, î êîòîðîì ãîâîðèòñÿ â òåîðåìå 3, íà÷èíàþùååñÿ c âîëíîâîé ôóíêöèè ϕ0[x, p] âèäà (30) ñ íåíóëåâîé ôóíêöèåé ψ[y, 0] è ïàðàìåòðèçóåìîå âîëíîâîé ôóíêöèåé ψ[y, t], óäîâëåòâîðÿåò ìîäèôèöèðîâàííîìó óðàâíåíèþ Øð¼äèíãåðà âèäà ih̄∂ψ/∂t = Ĥ1ψ, ãäå äåéñòâèå îïåðàòîðà Ĥ1 èìååò âèä: Òåîðåìà 4. n n h̄2 X ∂ 2ψ kB T n iγ −1 X h̄ ∂ 2 V (kB T )2 n Ĥ1 ψ = − +Vψ− ψ+ − ψ+ 2m k=1 ∂yk2 2 4 j=1 m ∂yj2 h̄ (49) +O[γ −2 ]. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 4 ïðèâåäåíî â ïðèëîæåíèè 1. 12 Êîíñòàíòàìè â îïåðàòîðàõ Ĥ è Ĥ1 òåîðåì 3 è 4 ìîæíî ïðåíåáðå÷ü, îíè íåñóøåñòâåííû. Èñïîëüçóÿ ñòàíäàðòíûé ìåòîä òåîðèè âîçìóùåíèé [9], âû÷èñëèì ïîïðàâêè ê ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì è ôóíêöèÿì îïåðàòîðà Ãàìèëüòîíà äëÿ îïåðàòîðà Ĥ1 . Ïóñòü En(0) cîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà Ãàìèëüòîíà Ĥ , è ψn(0) ñîîòâåòñòâóþùèå èì ñîáñòâåííûå ôóíêöèè. Ïóñòü En è ψn ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå ôóíêöèè îïåðàòîðà Ĥ1 . Òîãäà ïî îïðåäåëåíèþ ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé âåðíû ðàâåíñòâà Ĥψn(0) = En(0) ψn(0) è Ĥ1 ψn = En ψn . Áóäåì èñêàòü En è ψn â âèäå: (50) (51) En = En(0) + γ −1 En(1) + O(γ −2 ) X (0) cnm ψm + O(γ −2 ). ψn = ψn(0) + γ −1 m m6=n Ïîäñòàâèì ýòè âûðàæåíèÿ â ðàâåíñòâî (49). Ïðèðàâíÿåì â ïîëó÷åííîì âûðàæåíèè êîýôôèöèåíòû ïðè ñîîòâåòñòâóþùèõ ñòåïåíÿõ γ −1 è âîçüìåì ñêàëÿðíûå ïðîèçâåäåíèÿ îò îáåèõ ÷àñòåé ïîëó÷åííûõ ðàâåíñòâ ñ ψn(0) (0) èëè ψk . Âîñïîëüçîâàâùèñü îðòîíîðìèðîâàííîñòüþ ñèñòåìû ñîáñòâåí(0) íûõ ôóíêöèé ψk îòíîñèòåëüíî ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ h ; i, ãäå hψk ; ψm i = Z (52) ψk [y]ψk∗ [y]dx, Rn ïîëó÷èì: ih̄ h∆2 V ψn(0) ; ψn(0) i 4m (0) ih̄ h∆2 V ψn(0) ; ψk i , = 4m En(0) − Ek(0) (53) En(1) = cnk ãäå ∆2 V = n X ∂ 2V k=1 ∂yk2 (54) (55) . Òîãäà, èç ýòèõ ðàâåíñòâ è ìîäèôèöèðîâàííîãî óðàâíåíèÿ Øð¼äèíãåðà ih̄∂ψ/∂t = Ĥ1 ψ ñëåäóåò, ÷òî ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ ψn ìåíÿåòñÿ âî âðåìåíè â ñîîòâåòñòâèè ñî ñëåäóþùèì âûðàæåíèåì: iEn t iE (0) t iγ −1 En(1) t ψn [t] = ψn [0] exp − = ψn [0] exp − n − , h̄ h̄ h̄ ! 13 iγ −1 En(1) γ −1 2 ãäå − = h∆ V ψn(0) ; ψn(0) i äåéñòâèòåëüíàÿ âåëè÷èíà. h̄ 4m Ñëåäîâàòåëüíî, ìîäóëü ñîáñòâåííîé ôóíêöèè ψn ýêïîíåíöèàëüíî ìåíÿåòñÿ âî âðåìåíè ñ ïîêàçàòåëåì ýêñïîíåíòû (γ −1 /4m)h∆2 V ψn(0) ; ψn(0) it. Òàêèì îáðàçîì, åñëè ñèñòåìà â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè íàõîäèòP ñÿ â ñîñòîÿíèè ψ[0], ãäå ψ[0] = ∞ n an ψn íåêîòîðàÿ ñóïåðïîçèöèÿ ñîáñòâåííûõ ñîñòîÿíèé îïåðàòîðà Ĥ1 , òî ÷åðåç âðåìÿ t ñèñòåìà áóäåò íàP õîäèòüñÿ â ñîñòîÿíèè ψ[t]/|ψ[t]|, ãäå ψ[t] = ∞ n an ψn [t]. Òàê êàê ìîäóëè ñîáñòâåííûõ ñîñòîÿíèé ψn [t] ýêïîíåíöèîíàëüíî ìåíÿþòñÿ ñ ðàçíûìè ñêîðîñòÿìè, òî ÷åðåç äîñòàòî÷íî áîëüøîå âðåìÿ ñîòîÿíèå ψ[t]/|ψ[t]| áóäåò áëèçêî ê íåêîòîðîìó ñîáñòâåííîìó ñîñòîÿíèþ ψk , äëÿ êîòîðîãî âå(1) ëè÷èíà −iEk íàèáîëüøàÿ ñðåäè âåëè÷èí −iEn(1) äëÿ n ñ íåíóëåâûìè P∞ an â ñóììå n an ψn . Òàêîå ÿâëåíèå ïîëó÷èëî íàçâàíèå äåêîãåðåíöèè è èçó÷àëîñü â ðÿäå ðàáîò [10, 11, 12]. Âðåìÿ äåêîãåðåíöèè â íàøåé ìîäå(1)t/h̄ ) >> ëè ìîæåò áûòü îöåíåíî, êàê âðåìÿ t, ïðè êîòîðîì ak exp(−iEk (1) (1) (1) ak1 exp(−iEk1 t/h̄), ãäå −iEk1 ñëåäóþùåå ïî âåëè÷åíå ÷èñëî ïîñëå −iEk P ñðåäè ÷èñåë −iEn(1) äëÿ n ñ íåíóëåâûìè an â ñóììå ∞ n an ψn . Êðîìå òîãî, èç ôîðìóë (51) è (54) ñëåäóåò, ÷òî ñîáñòâåííûå ôóíêöèè ψn îïåðàòîðà Ĥ1 â îáùåì ñëó÷àå íå îðòîãîíàëüíû äðóã äðóãó. Èìååì: hψn ; ψk i = γ −1 (cnk + c∗kn ) = 2γ −1 cnk . Ïóñòü ϕn [x, p] è ϕk [x, p] âîëíîâûå ôóíêöèè íà ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå, ñîîòâåòñòâóþùèå ïî ôîðìóëå (47) ôóíêöèÿì ψn è ψk .  ñîîòâåòñòâèè ñ ïðåäïîëîæåíèÿìè ìîäåëè êâàäðàò ìîäóëÿ îò ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ íîðìèðîâàííûõ ôóíóêöèé ϕn [x, p] è ϕk [x, p] äàåò âåðîÿòíîñòü íàéòè ñèñòåìó â ñîñòîÿíèè ψk , åñëè îíà íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè ψn . Èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà è ôîðìóëû (47) ñëåäóåò, ÷òî ýòà âåðîÿòíîñòü íåíóëåâàÿ, åñëè cnk 6= 0. 4 Çàêëþ÷åíèå  ýòîé ðàáîòå áûëî ïîñòðîåíî ïðèáëèæåííîå îïèñàíèå ìåäëåííîé ôàçû ïðîöåññà ðàññåÿíèÿ âîëíîâîé ôóíêöèè íà ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå ñ òî÷íîñòüþ äî γ −1 , ãäå γ ñîïðîòèâëåíèå ñðåäû íà åäèíèöó ìàññû ÷àñòèöûâîëíû. Ïîëó÷åííîå ïðèáëèæåíèå îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Øðåäèíãåðà, äîïîëíåíííîå ñëàãàåìûì ñ êîýôôèöèåíòîì γ −1 .  ýòîì ïðèáëèæåíèå 14 ïðîÿâëÿþòñÿ ýôôåêòû äåêîãåðåíöèè è ñïîíòàííûõ ïåðåñêîêîâ ñ óðîâíÿ íà óðîâåíü. Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ñâîáîäíîé ÷àñòèöû, êîãäà V = 0, è äëÿ ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà, êîãäà âòîðûå ïðîèçâîäíûå îò ïîòåíöèàëà äàþò êîíñòàíòó, ñëàãàåìîå îïåðàòîðà Ĥ1 ñ ìíîæèòåëåì γ −1 â òåîðåìå 4 ÿâëÿåòñÿ êîíñòàíòîé. Ñëåäîâàòåëüíî, â ïðèáëèæåíèè äî γ −1 çà ñ÷åò ýòîãî ñëàãàåìîãî â ýòèõ ñëó÷àÿõ âñå âîëíîâûå ôóíêöèè ñ îäèíàêîâîé ñêîðîñòüþ óìåíüøàþòñÿ ïî àìïëèòóäå, è äèññèïàöèÿ íåíàáëþäàåìà. Ïîýòîìó, ÷òîáû äèññèïàöèÿ áûëà ó÷òåíà â ïðèáëèæåíèè ýòîé ìîäåëè è äëÿ ñâîáîäíîé ÷àñòèöû è äëÿ ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà ñëåäóåò ó÷èòûâàòü ÷ëåíû ñ ìíîæèòåëÿìè γ −2 è γ −3 . Çàìåòèì òàêæå, ÷òî èñïîëüçîâàííûé â ýòîé ðàáîòå ïðèíöèï ïîñòðîåíèÿ â ìîäèôèöèðîâàííîì óðàâíåíèè Øðåäèíãåðà ñëàãàåìîãî ñ ìíîæèòåëåì γ −1 ïîçâîëÿåò, â ïðèíöèïå, ïîñòðîèòü ñëàãàåìûå è ñ ìíîæèòåëÿìè γ −2 è γ −3 . Ñëåäóþùåå ÿâëåíèå, êîòîðîå ìîæåò ïðîÿâèòüñÿ â ýòîé ìîäåëè ýòî ïîÿâëåíèå øèðèíû ó ëèíèé ñïåêòðà. Âçàèìîäåéñòâèå êâàíòîâîé ÷àñòèöû ñî ñðåäîé äîëæíî âûçûâàòü ïîÿâëåíèÿ øèðèíû ó óðîâíåé ýíåðãèè äëÿ îïåðàòîðà ýíåðãèè. Òî åñòü, åñëè ψj ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ îïåðàòîðà Ãàìèëüòîíà ñ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì Ej , òî ñîîòâåòñòâóþùàÿ åé âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ϕj [x0 , p0 ] â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå çàäàåòñÿ ôîðìóëîé (47).  ñîîòâåòñòâèè ñ ïðåäïîëîæåíèåì ìîäåëè ôóíêöèÿ ϕj [x0 , p0 ] îïðåäåëÿåò ôóíêöèþ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå â âèäå ϕj [x0 , p0 ]ϕ∗j [x0 , p0 ]. Ñîîòâåòñòâåííî, ñðåäíåå çíà÷åíèå ôóíêöèè ýíåðãèè H[x0 , p0 ] â ýòîì ñëó÷àå çàäàåòñÿ âûðàæåíèåì: Z Ej = H[x0 , p0 ]ϕj [x0 , p0 ]ϕ∗j [x0 , p0 ]dx0 dp0 . (56) R2n Òîãäà (∆Ej )2 ñðåäíåå îò êâàäðàòà îòêëîíåíèå îò ñðåäíåãî äëÿ ýíåðãèè, âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå: (∆Ej )2 = Z (H[x0 , p0 ] − Ej )2 ϕj [x0 , p0 ]ϕ∗j [x0 , p0 ]dx0 dp0 . (57) R2n Ýòè âû÷èñëåíèÿ ìîæíî ïðîâåñòè äî êîíöà äëÿ êîíêðåòíûõ êâàíòîâûõ ñèñòåì è ïîëó÷èòü çàâèñèìîñòü ∆Ej îò T è γ . Çàòåì, ïîëó÷åííûå äàííûå ìîæíî áóäåò ñðàâíèòü ñ ýêñïåðèìåíòàëüíûìè äàííûìè óøèðåíèé ëèíèé ñïåêòðà. 15 Ïðèëîæåíèå. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 4 Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 4 íóæíî âû÷èñëèòü ïðàâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (48) è ïåðåéòè ê èñõîäíûì êîîðäèíàòàì. Âèä ïåðâîãî ñëàãàåìîãî â ïðàâîé ÷àñòè ýòîãî óðàâíåíèÿ âû÷èñëåí â [1] (êàê áûëî îòìå÷åíî ðàíåå, â ýòîé ðàáîòå çíàê ïåðåä ïîñëåäíèì ñëàãàåìûì â ýòîé ôîðìóëå áûë âû÷èñëåí íåïðàâèëüíî). Îí èìååò âèä îïåðàòîðà Øð¼äèíãåðà, êîòîðûé â íîâûõ êîîðäèíàòàõ (4) ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå: n 2 X 1 ∂ n k T B − + V 0 − ψ. S0̄ A0 I0̄ ψ = −i h̄ 2 j=1 ∂(x0j )2 2 0 Âèä îïåðàòîðà S0̄ A0 B −1 A0 I0̄ , ñòîÿùèé â óðàâíåíèè (48) ñ ìíîæèòåëåì γ −1 , ïðåäñòîèò âû÷èñëèòü. Ñíà÷àëà ïðåîáðàçóåì ýòî âûðàæåíèå, èñïîëüçóÿ ïîëó÷åííîå ðàíåå (40) P 0 −1 ðàâåíñòâî B −1 = − ∞ k=1 k Pk è ñîîòíîøåíèÿ äëÿ k > 0 âèäà Pk P0 = 0, P Pk = k1 +...+kn =k Ik1 ,...,kn Sk1 ,...,kn òåîðåìû 2. Ïîëó÷èì: 0 S0̄ A0 B −1 A0 I0̄ = − = − ∞ X k=1 ∞ X k −1 S0̄ A0 Pk A0 I0̄ = (58) k −1 S0̄ A0 Ik1 ,...,kn Sk1 ,...,kn A0 I0̄ k1 ,...,kn =0 k1 +...+kn =k≥1 Âû÷èñëèì, òåïåðü, îïåðàòîð A0 Ik1 ,...,kn , ãäå îïåðàòîð A0 çàäàåòñÿ âûðàæåíèåì (6), à îïåðàòîð Ik1 ,...,kn îïðåäåëåí âûðàæåíèåì (13). Èìååì, 0 n n X pj2 kB T X ∂V 0 ∂ 0 ∂ 0 − pj 0 − i V − A Ik1 ,...,kn ψ = ◦ h̄ j=1 ∂x0j ∂p0j ∂xj j=1 2 0 (59) (p0 −s0 )2 1 1 1 Z is0 (x0 −x00 ) 00 k 0 0 − 2 ... ψ[x ]H [p − s ]e e ds0 dx00 . k ...k n 1 (2π)3n/2 k1 ! kn ! 2n R Ââåäåì â ýòîì âûðàæåíèè ñëàãàåìûå îïåðàòîðà A0 ïîä çíàê èíòåãðàëà è ðàçëîæèì ïîä çíàêîì èíòåãðàëà ôóíêöèè îò (p0 − s0 ) ïî ïîëèíîìàì Ýðìèòà Hll1 ...ln [p0 − s0 ]. Ó÷èòûâàÿ ñëåäóþùèå ðàâåíñòâà: (p0 −s0 )2 ∂ k 0 0 − 2 H [p − s ]e k1 ...kn ∂p0j def = −Hkk+1 [p0 − s0 ]e− 1 ...kj +1...kn 16 (p0 −s0 )2 2 , (60) ∂ is0 (x0 −x00 ) 0 0 00 e = is0j eis (x −x ) , 0 ∂xj (61) 0 0 0 pj2 = ((p0j − s0j )2 − 1) + 2p0j s0j − sj2 + 1 = H2 [p0j − s0j ] + 2p0j s0j − sj2 + 1, (62) ïîëó÷èì: X n 1 1 1 Z kB T ∂V 0 k+1 ... Hk1 ...kj +1...kn [p0 − s0 ] − A Ik1 ,...,kn ψ = − 0 h̄ (2π)3n/2 k1 ! kn ! 2n ∂x j j=1 0 R −i n X p0j s0j Hkk1 ...kn [p0 − s0 ] − iV 0 [x0 ]Hkk1 ...kn [p0 − s0 ] + j=1 n X i 0 + (H2 [p0j − s0j ] + 2p0j s0j − sj2 + 1)Hkk1 ...kn [p0 − s0 ] × 2 j=1 ×ψ[x00 ]e− (p0 −s0 )2 2 0 0 00 (63) eis (x −x ) ds0 dx00 . Ïîñëå ðàñêðûòèÿ ñêîáîê â ïîñëåäíåì ñëàãàåìîì è ïðèâåäåíèÿ ÷ëåíîâ, ïîäîáíûõ âòîðîìó ñëàãàåìîìó, ïîëó÷èì: X n ∂V 0 k+1 1 1 1 Z kB T ... − Hk1 ...kj +1...kn [p0 − s0 ] − A Ik1 ,...,kn ψ = 0 h̄ (2π)3n/2 k1 ! kn ! 2n ∂x j j=1 0 R n iX H2 [p0j − s0j ]Hkk1 ...kn [p0 − s0 ] − −iV 0 [x0 ]Hkk1 ...kn [p0 − s0 ]+ 2 j=1 − n (p0 −s0 )2 iX 0 0 0 00 (sj2 − 1)Hkk1 ...kn [p0 − s0 ] ψ[x00 ]e− 2 eis (x −x ) ds0 dx00 . (64) 2 j=1 Ëåììà 1. Îïåðàòîðû S0̄A0Ik ,...,k èìåþò ñëåäóþùèé âèä: 1 S0̄ A0 I0̄ [ψ] = n n kB T iX ∂ 2 ψ in −iV 0 ψ + + ψ ; 0 h̄ 2 j=1 ∂xj2 2 S0̄ A0 Ik1 ,...,kn [ψ] = êîãäà k = k1 + ... + kn = 2 ðàâåí 2; i kB T ψ, 2 h̄ k1 , ..., kn è òîëüêî îäèí èç â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ S0̄A0Ik ,...,k (65) (66) n = 0. 1  ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé (16) îïåðàòîð S0̄ ÿâëÿåòñÿ èíòåãðèðîâàíèåì ïî p. Ïîýòîìó äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ôîðìóë ëåììû 1 íóæíî âû÷èñëèòü èíòåãðàë ïî p îò âûðàæåíèÿ (64) îïåðàòîðà Äîêàçàòåëüñòâî. 17 A0 Ik1 ,...,kn . Äëÿ ýòîãî âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé îðòîãîíàëüíîñòè ìíîãî÷ëåíîâ Ýðìèòà (26) è òåì, ÷òî H0̄0 = 1. Îòñþäà ïîëó÷àåì, ÷òî èíòåãðàë ïî p îò ïåðâîãî ñëàãàåìîãî âûðàæåíèÿ (64) ðàâåí 0. Èíòåãðàë îò Hkk1 ...kn [p0 − s0 ] âî âòîðîì è ÷åòâåðòîì ñëàãàåìîì ïî 1/(2π)(n/2) exp[−(p0 − s0 )2 /2]dp ðàâåí 1 òîëüêî òîãäà, êîãäà k = 0, à â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ òàêæå ðàâåí 0. Èíòåãðàë îò H2 [p0j − s0j ]Hkk1 ...kn [p0 − s0 ] â òðåòüåì ñëàãàåìîì ïî 1/(2π)(n/2) exp[−(p0 − s0 )2 /2]dp îòëè÷åí îò 0 è ðàâåí 2 òîëüêî òîãäà, êîãäà k = 2, kj = 2 è îñòàëüíûå k1 , ..., kn ðàâíû 0. Çàòåì â ïîëó÷åííîì âûðàæåíèè âû÷èñëÿþòñÿ èíòåãðàëû ïî s0 è x00 , èñïîëüçóÿ òî, ÷òî èíòåãðàë 0 0 00 îò 1/(2π)n eis (x −x ) ïî s0 åñòü äåëüòà-ôóíêöèÿ â òî÷êå x0 , à èíòåãðàë îò 0 0 00 âûðàæåíèÿ 1/(2π)n s0 2 eis (x −x ) ïî s0 åñòü äåëüòà-ôóíêöèÿ â òî÷êå x0 îò −∂ 2 /∂x00 2 .  ðåçóëüòàòå ïðîèçâåäåííûõ âû÷èñëåíèé ïîëó÷àåì óòâåðæäåíèå ëåììû 1. Òàê êàê ïî ëåììå 1 îïåðàòîðû S0̄ A0 Ik1 ,...,kn ïðè k = k1 + ... + kn > 0 íå ðàâíû 0 òîëüêî òîãäà, êîãäà k = 2, kj = 2 (è, ñëåäîâàòåëüíî, îñòàëüíûå 0 k1 , ..., kn ðàâíû 0), òî äëÿ âû÷èñëåíèÿ îïåðàòîðà S0̄ A0 B −1 A0 I0̄ ïî ôîðìóëå (58) îñòàëîñü âû÷èñëèòü îïåðàòîðû Sk1 ,...,kn A0 I0̄ ïðè ýòèõ æå çíà÷åíèÿõ k1 , ..., kn . kj = 2 k1 +...+kn = Ëåììà 2. Sk1 ,...,kn A0 I0̄ 2 Îïåðàòîðû , èìåþò ñëåäóþùèé âèä: â ñëó÷àå, êîãäà kB T ∂ 2V 0 Sk1 ,...,kn A I0̄ [ψ] = −i 0 2 ψ + iψ h̄ ∂xj 0 è (67)  óñëîâèÿõ ëåììû 2, êîãäà k = kj = 2, îïåðàòîð ïî ôîðìóëå (12) èìååò âèä: Äîêàçàòåëüñòâî. Sk1 ,...,kn Sk1 ,...,kn [ϕ] def = Z " Rn = Z H2 # ∂ p + i 0 ϕ[x0 , p0 ]dp0 = ∂x 0 Hkk1 ...kn p0j Rn ∂ +i 0 ∂xj ! ϕ[x0 , p0 ]dp0 . (68) Îòñþäà è èç ôîðìóëû (64) äëÿ A0 I0̄ ïîëó÷èì: ! Z 1 ∂ k T B Sk1 ,...,kn A0 I0̄ [ψ] = H2 p0j + i 0 ◦ h̄ (2π)3n/2 3n ∂xj R n ∂V 0 [x0 ] i X 0 0 0 0 − s ] − iV [x ]+ ◦ − H [p H2 [p0j 0 − s0j 0 ] − 1 j0 j0 0 ∂x 2 j0 j 0 =1 j 0 =1 n X 18 − n (p0 −s0 )2 i X 0 0 00 2 (s0 j 0 − 1) ψ[x00 ]e− 2 eis (x −x ) ds0 dx00 dp0 . 2 j 0 =1 (69) Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ïî îïðåäåëåíèþ ìíîãî÷ëåíà Ýðìèòà H2 p0j + i ∂ ∂x0j ! = p0j + i ∂ ∂x0j !2 − 1 , ïðèìåíèì ýòîò îïåðàòîð â ïðåäûäóùåì âûðàæåíèè ñ ó÷åòîì ôîðìóëû äëÿ ïðîèçâîäíîé ïî ∂/∂x0j îò ïðîèçâåäåíèÿ ôóíêöèé, çàâèñÿùèõ îò x0 , è ðàâåíñòâà ∂ 0 0 00 0 0 00 i 0 eis (x −x ) = −s0 eis (x −x ) . ∂xj Ïîëó÷èì: Z kB T 1 0 0 Sk1 ,...,kn A I0̄ [ψ] = H p − s 2 j j × h̄ (2π)3n/2 3n 0 R n X n ∂V 0 [x0 ] i X 0 0 0 0 × − H [p − s ] − iV [x ]+ H2 [p0j 0 − s0j 0 ] − 1 j0 j0 0 ∂x 2 j0 j 0 =1 j 0 =1 − + n (p0 −s0 )2 i X 0 0 00 2 (s0 j 0 − 1) ψ[x00 ]e− 2 eis (x −x ) ds0 dx00 dp0 + 2 j 0 =1 (70) Z n X kB T ∂ 2 V 0 [x0 ] 1 0 0 −2i(p − s ) H1 [p0j 0 − s0j 0 ] + j j 0 0 3n/2 h̄ (2π) ∂xj ∂xj 0 j 0 =1 3n R n X 0 0 ∂ 2 V 0 [x0 ] ∂ V [x ] 0 0 0 0 ∂V [x ] + i × + H [p − s ] + 2(p − s ) 0 0 1 j j j j ∂ 2 x0j ∂x0j 0 ∂x0j ∂x0j 2 j 0 =1 3 0 0 ×ψ[x00 ]e− (p0 −s0 )2 2 0 0 00 eis (x −x ) ds0 dx00 dp0 (71) Äàëåå, â ïîëó÷åííîì âûðàæåíèè â êàæäîì èíòåãðàëå ïðîèçâåäåì èíòåãðèðîâàíèå ïî p0 , ó÷èòûâàÿ ñîîòíîøåíèå îðòîãîíàëüíîñòè ìíîãî÷ëåíîâ Ýðìèòà (26) è ðàâåíñòâà 1 = H0 (p0j −s0j ) è (p0j −s0j ) = H1 (p0j −s0j ). Ïîëó÷èì: Sk1 ,...,kn A0 I0̄ [ψ] = i kB T 1 Z 0 0 00 −0 − 0 + 2 − 0 ψ[x00 ]eis (x −x ) ds0 dx00 + n h̄ (2π) 2n 2 R kB T 1 + h̄ (2π)n R 0 0 ∂ V [x ] ∂ 2 V 0 [x0 ] 0 0 00 −2i + 0 + 0 + i ψ[x00 ]eis (x −x ) ds0 dx00 . (72) 02 02 ∂xj ∂xj 2n Z 2 ! 19 Ïîñëå âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâ â ïîëó÷åííîì âûðàæåíèè ïî s0 è x00 è ïðèâåäåíèÿ ïîäîáíûõ ÷ëåíîâ, ïîëó÷èì òðåáóåìîå â ëåììå 2 ðàâåíñòâî kB T ∂ 2 V 0 [x0 ] Sk1 ,...,kn A I0̄ [ψ] = −i ψ[x0 ] + iψ[x0 ] . 0 h̄ ∂xj2 0 (73) Òåïåðü ìû ãîòîâû ê òîìó, ÷òîáû ñ ïîìîùüþ ëåìì 1 è 2 âû÷èñëèòü 0 S0̄ A0 B −1 A0 I0̄ ïî ôîðìóëå (58). Ïî ëåììå 1 ñëàãàåìûå â ôîðìóëå (58) ìîãóò áûòü íåíóëåâûìè òîëüêî, åñëè kj = 2 äëÿ íåêîòîðîãî j ∈ {1, ..., n}, à îñòàëüíûå k1 , ..., kn ðàâíû 0. Ëåììû 1 è 2 äàþò âûðàæåíèÿ îïåðàòîðîâ S0̄ A0 Ik1 ,...,kn è Sk1 ,...,kn A0 I0̄ â ýòîì ñëó÷àå. Èòàê, ïî ôîðìóëå (58) è ëåììàì 1, 2 èìååì: 0 S0̄ A0 B −1 A0 I0̄ [ψ] = − ∞ X k −1 S0̄ A0 Ik1 ,...,kn Sk1 ,...,kn A0 I0̄ [ψ] k1 ,...,kn =0 k1 +...+kn =k≥1 = − X 2−1 S0̄ A0 Ik1 ,...,kn Sk1 ,...,kn A0 I0̄ [ψ] k1 ,...,kn ∈{0;2} k1 +...+kn =2 = − n X −1 2 j=1 1 kB T = − 4 h̄ i kB T kB T ∂ 2V 0 −i 0 2 ψ + iψ 2 h̄ h̄ ∂xj 2 X n ∂ 2V 0 0 2 ψ − nψ . j=1 ∂xj (74) Åñëè â ýòîì âûðàæåíèè âåðíóòüñÿ ê ñòàðûì êîîðäèíàòàì ïî ôîðìóëàì (4), òî ïîëó÷èì ðàâåíñòâî 0 S0̄ A0 B −1 A0 I0̄ )[ψ] = − n 1 1 X ∂ 2V kB T − 2 4 m j=1 ∂xj h̄ 2 n ψ. (75) Òàêèì îáðàçîì, ìû âû÷èñëèëè îïåðàòîð âî âòîðîì ñëàãàåìîì â óðàâíåíèè (48). Ýòîò îïåðàòîð ïîñëå óìíîæåíèÿ íà −ihγ −1 äàåò âòîðîå ñëàãàåìîå â îïåðàòîðå Ĥ1 òåîðåìû 4. Áëàãîäàðíîñòè. Àâòîð áëàãîäàðåí ïðîôåññîðó Ã.Ë. Ëèòâèíîâó çà ïîääåðæêó ðàáîò â ýòîì íàïðàâëåíèè è ñêîðáèò â ñâÿçè ñ óòðàòîé çàìå÷àòåëüíîãî ÷åëîâåêà è äðóãà. Ñïèñîê ëèòåðàòóðû [1] Beniaminov E.M. Quantum Mechanics as Asymptotics of Solutions of Generalized Kramers Equation. // Electronic 20 Journal of Theoretical Physics (EJTP) 8, No. 25 195-210 (2011) http://www.ejtp.com/articles/ejtpv8i25p195.pdf. Äèôôóçèîííûå ïðîöåññû â ôàçîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ è êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà // Äîêëàäû àêàäåìèè íàóê. 2007. Ò. 416. 1. Ñ. 31-35. (Beniaminov E. M. Diusion processes in phase spaces and quantum mechanics // Doklady Mathematics (Proceedings [2] Áåíèàìèíîâ Å.Ì. of the Russian Academy of Sciences), 2007, vol.76, No. 2, 771774.) Êâàíòîâàíèå êàê àñèìïòîòèêà íåêîòîðîãî äèôôóçèîííîãî ïðîöåññà â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå// Proc. [3] Áåíèàìèíîâ Å.Ì. Intern. Geom. Center 2(4), 7-50 (2009) (òåêñò íà àíãë. ÿç. http://arxiv.org/abs/0812.5116v1). (2008) Brownian motion in a eld of force and the diusion model of chemical reactions.// Physica. 7, 284304. (1940) [4] Kramers H. A. [5] Van Kampmen N.G. Stochastic Processes in Physics and Chemistry North Holland, Amsterdam, 1981; ïåð.: Ì.:"Âûñøàÿ øêîëà 1990. [6] Êàìêå Ý. Ñïðàâî÷íèê ïî îáûêíîâåííûì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì Ì.:"Íàóêà 1976. (Kamke E., Dierentialgleichungen: Losungsmethoden und Losungen, I, Gewohnliche Dierentialgleichungen, B. G. Teubner, Leipzig, 1977. ) [7] Weisstein Eric W. Hermite PolynomialFrom MathWorldA Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/HermitePolynomial.html A Method for Justication of the View of Observables in Quantum Mechanics and Probability Distributions in Phase Space [8] Beniaminov E.M. http://arxiv.org/abs/quant-ph/0106112 (2001). [9] Landau L. D., Lifschitz E. M., Quantum mechanics (non-relativistic theory). Theoretical physics, vol. 3, Nauka, Moscow, 1989 (in Russian). Roots and Fruits of Decoherence. [10] Zeh H.D. // In: Quantum Decoherence, Duplantier, B., Raimond, J.-M., and Rivasseau, V., edts. (Birkh auser, 2006), p. 151-175 (arXiv:quant-ph/0512078v2). 21 Decoherence and the transition from quantum to classical - REVISITED arXiv:quant-ph/0306072v1. 2003 (An updated version of [11] Zurek W. H. PHYSICS TODAY, 44:36-44 (1991)). Äèññèïàöèÿ è äåêîãåðåíöèÿ êâàíòîâûõ ñèñòåì. Dissipation and decoherence of quantum systems. [12] Ìåíñêèé Ì.Á. // ÓÔÍ. 2003. Ò.173. Ñ.1199-1219. (Menskij M. B. Physics-Uspekhi (Advances in Physical Sciences), 2003, vol.173, 1199-1219.) 22