Ìàòåìàòè÷åñêèé æóðíàë. Àëìàòû. 2005. Òîì 5. 4 (18) . C. 97 101 ÓÄÊ 517.5 ÊÎÝÔÔÈÖÈÅÍÒÛ ÔÓÐÜÅ ÔÓÍÊÖÈÉ ÈÇ ÀÍÈÇÎÒÐÎÏÍÎÃÎ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÀ ËÎÐÅÍÖÀ Í.Ò. Òëåóõàíîâà Åâðàçèéñêèé íàöèîíàëüíûé óíèâåðñèòåò èì. Ë.Í.Ãóìèëåâà 473021 ã. Àñòàíà óë. Ìóíàéòïàñîâà, 5 tleukhanova@yandex.ru Èññëåäîâàíû âîïðîñû ñóììèðóåìîñòè êîýôôèöèåíòîâ Ôóðüå ïî ðåãóëÿðíûì ñèñòåìàì ôóíêöèè èç àíèçîòðîïíîãî ïðîñòðàíñòâà Ëîðåíöà. Ïîëó÷åíû íèæíèå îöåíêè íîðìû ôóíêöèè èç ïðîñòðàíñòâà Ëîðåíöà ÷åðåç êîýôôèöèåíòû Ôóðüå, êîòîðûå óòî÷íÿþò èçâåñòíûå. Ðåçóëüòàòû ÿâëÿþòñÿ íîâûìè è â ñëó÷àå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ðÿäîâ. Ïóñòü 1 < p < ∞, Φ = {φ}∞ k=1 îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñèñòåìà, îãðàíè÷åííàÿ â ñîâîêóïíîï.â. P∞ ñòè, f ∈ Lp [0, 1], f = k=1 ak φk (x). Çàäà÷à î ñâîéñòâàõ ñóììèðóåìîñòè êîýôôèöèåíòîâ Ôóðüå {ak }∞ ôóíêöèè f â ñëó÷àå 1 < p < 2 ðåøàåòñÿ ñ ïîìîùüþ êëàññè÷åñêîãî íåðàâåíñòâà Õàðäèk=0 Ëèòëâóäà-Ïýëè [1] ∞ X k p−2 (a∗k )p ≤ ckf kpLp , (1) k=1 íåâîçðàñòàþùàÿ ïåðåñòàíîâêà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {|ak |}∞ k=1 . ∞ Åñëè 2 ≤ p < ∞ è îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñèñòåìà Φ = {φ}k=1 ðåãóëÿðíà, òî èç íåðàâåíñòâà, äîêàçàííîãî Íóðñóëòàíîâûì [2], ãäå {a∗k }∞ k=1 ∞ X k p−2 |a¯k |p ≤ ckf kpLp , (2) k=1 ¯ ¯P ¯ ¯ ãäå a¯k = k1 ¯ km=1 am ¯ . Äàííûå íåðàâåíñòâà èìåþò ìåñòî è â ìíîãîìåðíîì ñëó÷àå [2,3]. Åñëè æå ðàññìàòðèâàòü ôóíêöèè èç àíèçîòðîïíûõ ïðîñòðàíñòâ, çàâèñÿùèõ îò âåêòîðíîãî ïàðàìåòðà p = (p1 , ..., pn ), òî ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ ðàññìàòðèâàòü çàäà÷ó î ñóììèðóåìîñòè êîýôôèöèåíòîâ Ôóðüå, êîãäà îäíè ïàðàìåòðû pi áîëüøå 2, à îñòàëüíûå ìåíüøå èëè ðàâíû 2. Ïóñòü 1 ≤ p = (p1 , . . . , pn ) < ∞, 1 ≤ q = (q1 , ..., qn ) ≤ ∞. Keywords: Fourier series, anisotropic Lorentz space, lower estimates 2000 Mathematics Subject Classication: 42C10 c Í.Ò. Òëåóõàíîâà, 2005. 98 Í.Ò. Òëåóõàíîâà Îïðåäåëèì ïðîñòðàíñòâî Ëåáåãà Lp [0, 1]n ñî ñìåøàííîé ìåòðèêîé êàê ïðîñòðàíñòâî èçìåðèìûõ ôóíêöèé íà [0, 1]n ñ íîðìîé ÃZ kf kLp = µZ 1 1 ... 0 0 |f (x1 , ..., xn )|p1 dx1 ! p1n ¶ pp2 1 . . . dxn . Ïóñòü f (x1 , ..., xn ) èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ, çàäàííàÿ íà [0, 1]n . ×åðåç f ∗ (t) = f ∗1 ,...,∗n (t1 , ..., tn ) îáîçíà÷èì ôóíêöèþ, ïîëó÷åííóþ ïðèìåíåíèåì íåâîçðàñòàþùåé ïåðåñòàíîâêè ïîñëåäîâàòåëüíî ïî ïåðåìåííûì x1 , ..., xn â [0, 1]n , ñ÷èòàÿ îñòàëüíûå ïåðåìåííûå ôèêñèðîâàííûìè. Äàííóþ ôóíêöèþ f ∗ (t) áóäåì íàçûâàòü íåâîçðàñòàþùåé ïåðåñòàíîâêîé ôóíêöèè f . Ïðîñòðàíñòâî Lpq [0, 1]n [2,4] îïðåäåëÿåòñÿ êàê ìíîæåñòâî ôóíêöèé, äëÿ êîòîðûõ ÃZ kf kLpq [0,1]n = µZ 1 ... 0 ! q1n ¯q1 ¯ 1 ¶ qq2 1 ¯ 1 dt dt n 1 p pn ∗1 ...∗n ¯ 1 (t1 , . . . , tn )¯¯ ... < ∞. ¯t1 . . . tn f t1 tn 1¯ 0 Ïóñòü Wj íåêîòîðûå ôèêñèðîâàííûå ñåìåéñòâà êîíå÷íûõ íàáîðîâ ej ìóëüòèèíäåêñîâ èç N. Ñåìåéñòâî W = W1 × . . . × Wn ïîäìíîæåñòâ èç Nn íàçîâåì àíèçîòðîïíîé ñåòüþ â Nn . Îïðåäåëèì ïðîñòðàíñòâî ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé npq (W ) = {{as1 ,...,sn }s1 ∈Zm1 ,...,sn ∈Zmn :} . kaknpq (W ) = ∞ X kn =1 qn −1 pn kn ... ∞ X q1 −1 p1 k1 1/qn q2 /q1 (āk1 ...kn (W ))q1 . . . = k1 =1 = Fpq ({āk (W )}) < ∞} , çäåñü ¯ ¯ 1 ¯¯X ¯¯ āk1 ,...,kn (W ) = sup ak ¯ , ¯ ¯ |ej |>kj |e| ¯ e∈W k∈e ãäå |e| êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà e = e1 × . . . × en , à |ej | êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà ej , j = 1, . . . , n. Äëÿ ïðîñòðàíñòâ npq (W ), Lpq [0, 1]n âåðíû ñëåäóþùèå ñâîéñòâà. a). Åñëè W1 ⊂ W2 , òî npq (W2 ) ,→ npq (W1 ). b). Ïðè q ≤ q1 âåðíî npq (W ) ,→ npq1 (W ), Lpq [0, 1]n ,→ Lpq1 [0, 1]n . c) Åñëè pj0 < ∞, òî äëÿ ëþáîãî ε > 0 èìåþò ìåñòî âëîæåíèÿ np̄q1 (W ) ,→ npq (W ), Lpq [0, 1]n ,→ Lp̄q [0, 1]n , ãäå p = (p1 , ..., pn ), q = (q1 , ..., qn ), p̄ = (p1 , ..., pj0 −1 , pj0 −ε, pj0 +1 , ..., pn ), q1 = (q1 , ..., qj0 −1 , ∞, qj0 +1 , ..., qn ). Òåîðåìà 1 ([2]). Ïóñòü W ïðîèçâîëüíàÿ àíèçîòðîïíàÿ ñåòü â Nn , E = {ε = (ε1 , ..., εn ) : εi = 0èëè εi = 1} âåðøèíû åäèíè÷íîãî êóáà, 1 < p0 = (p01 , ..., p0n ) < p1 = (p01 , ..., p0n ) < ∞, Ìàòåìàòè÷åñêèé æóðíàë 2005. Òîì 5. 4 (18) Êîýôôèöèåíòû Ôóðüå ôóíêöèé èç àíèçîòðîïíîãî ïðîñòðàíñòâà àíèçîòðîïíîãî ïðîñòðàíñòâà Ëîðåíöà99 1 < q0 = (q10 , ..., qn0 ), q1 = (q10 , ..., qn0 ) < ∞, qi0 6= qi1 , i = 1, 2, ...n. Åñëè T ëèíåéíûé îïåðàòîð òàêîé, ÷òî äëÿ ëþáîãî ε ∈ E îãðàíè÷åí T : Lpε [0, 1]n → npε ∞ (W ) ñ íîðìîé Mε , ãäå pε = (pε11 , ..., pεnn ), òîãäà T : Lpr [0, 1]n → nqr (W ), ñ íîðìîékT k ≤ c max Mε , ε∈E ãäå 1 p = 1−θ p0 + θ p1 , 1 q = 1−θ q0 + θ q1 , 0 < θ = (θ1 , . . . , θn ) < 1, 0 < r = (r1 , . . . , rn ) ≤ ∞ . Îðòîíîðìèðîâàííóþ ñèñòåìó Φ = {φk (x)}∞ k=1 íàçîâåì ðåãóëÿðíîé, åñëè ñóùåñòâóåò êîíñòàíòà B , ÷òî 1) äëÿ ëþáîãî îòðåçêà e èç [0, 1] è k ∈ N âåðíî ¯Z ¯ ¯ ¯ ¯ φk (x)dx¯ ≤ B min(|e|, 1/k), ¯ ¯ e 2) äëÿ ëþáîãî îòðåçêà w èç N è t ∈ [0, 1] !∗ à X φk (·) (t) ≤ B min(|w|, 1/t), k∈w ãäå ¡P ¢∗ P k∈w φk (·) (t) íåâîçðàñòàþùàÿ ïåðåñòàíîâêà ôóíêöèé k∈w φk (x). Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ñèñòåìû, ìóëüòèïëèêàòèâíûå ñèñòåìû, â ÷àñòíîñòè, ñèñòåìà Óîëøà ÿâëÿþòñÿ ðåãóëÿðíûìè. n ∞ Ïóñòü Ψ1 = {ψk1 (x)}∞ k=1 , . . . , Ψn = {ψk (x)}k=1 îðòîíîðìèðîâàííûå â L2 [0, 1] ðåãóëÿðíûå ñèñòåìû ôóíêöèé. Îïðåäåëèì Φ = {φk (x)}k∈Nn ñëåäóþùèì îáðàçîì: φk (x) = φk1 ...kn (x1 , . . . , xn ) = ψk11 (x1 ) . . . ψknn (xn ). Íàçîâåì åå ðåãóëÿðíîé ñèñòåìîé â [0, 1]n . Äëÿ f ∈ L1 [0, 1]n îïðåäåëèì êîýôôèöèåíòû Ôóðüå ïî ñèñòåìå Ψ = {φk }k∈Nn Z ak = f (x)φk (x)dx, k ∈ Nn . [0,1]n ×åðåç Mp îïðåäåëèì ñåòü â N ñëåäóþùèì îáðàçîì. Åñëè 1 < p ≤ 2, òî ýòî ìíîæåñòâî âñåõ îòðåçêîâ èç N, åñëè æå 2 < p < ∞, òî ýòî ìíîæåñòâî âñåõ êîìïàêòîâ èç N. Ïóñòü 1 < p = (p1 , ..., pn ) < ∞, Mpi ñåòü, îïðåäåëåííàÿ âûøå, Mp = Mp1 × ... × Mpn − (3) ñåòü â Nn Òåîðåìà 2. Ïóñòü 1 < p = (p1 , ..., pn ) < ∞, p0i = pi /(pi − 1), 1 ≤ q = (q1 , ..., qn ) ≤ ∞, Mp ï.â. ñåòü, îïðåäåëåííàÿ ðàâåíñòâîì (3), f ∈ Lpq [0, 1]n , f = íåðàâåíñòâî ∞ X kn =1 ··· ∞ X à 1 p01 1 p0n !q1 k1 . . . kn āk1 ...kn (Mp ) k1 =1 Ìàòåìàòè÷åñêèé æóðíàë P q2 1 k1 Nn ak φk (x). Òîãäà èìååò ìåñòî k∈ q1 q1 n 1 ... kn ≤ ckf kLpq . 2005. Òîì 5. 4 (18) 100 Í.Ò. Òëåóõàíîâà Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì ñíà÷àëà ñëàáîå íåðàâåíñòâî ïðè 1 < p = (p1 , ..., pn ) < ∞ 1 p01 1 0 sup k1 . . . knpn āk1 ...kn (Mp ) ≤ ckf kLp . Nn (4) k∈ Ïóñòü 1 < p < 2, {φk }∞ k=1 ðåãóëÿðíàÿ ñèñòåìà, ñëåäîâàòåëüíî îíà îãðàíè÷åíà â ñîâîêóïíîñòè. Ïóñòü e ïðîèçâîëüíûé êîìïàêò èç N, |e| êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ â e. ×åðåç g(x) îïðåäåëèì ôóíêöèþ ¯ ¯ ¯ 1 ¯¯X ¯ g(x) = 1/p ¯ φk (x)¯ . ¯ |e| ¯ k∈e Èç íåðàâåíñòâà (1) ñëåäóåò ¯Z ¯ ¯ ¯ 0 = 1 |e|1/p 1 ¯ ¯ ¯¯Z 1 ¯ X ¯ ¯ 1 ¯ f (x) 1/p f (x)g(x)dx¯¯ = ¯ φk (x)dx¯ = ¯ 0 ¯ |e| k∈e 1 ¯ ¯ p |e| |e| ¯X ¯ X X 1 ¯ ¯ ∗ p−2 ∗ p am ¯ ≤ ak ≤ k (ak ) ≤ c1 kf kLp . ¯ ¯m∈e ¯ |e|1/p k=1 k=1 Âîçüìåì âåðõíþþ òî÷íóþ ãðàíü îò âûðàæåíèÿ ñëåâà ïî âñåì f ∈ Lp [0, 1] ñ íîðìîé kf kLp = 1. Èç îáðàòíîãî íåðàâåíñòâà Ãåëüäåðà èìååì kgkLp0 ≤ c1 . (5) Ïóñòü òåïåðü 2 ≤ p < ∞, Φ = {φk }∞ k=1 ðåãóëÿðíàÿ ñèñòåìà, ω ïðîèçâîëüíûé îòðåçîê â N. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ ¯ ¯ ¯ 1 ¯¯X ¯ ψ(x) = φk (x)¯ . ¯ 1/p ¯ ¯ |ω| k∈ω Èç íåðàâåíñòâà (2) èìååì ¯Z ¯ ¯ ¯ 0 1 ¯ ¯ ¯¯Z 1 ¯ X ¯ ¯ 1 1 ¯ φk (x)dx¯ = f (x)ψ(x)dx¯¯ = ¯ f (x) 1/p ¯ 0 ¯ |ω|1/p |ω| k∈ω ¯ ¯ ¯X ¯ ¯ ¯ am ¯ ≤ c2 kf kLp . ¯ ¯m∈ω ¯ Àíàëîãè÷íî èìååì kψ(x)kLp0 ≤ c2 . (6) Ïóñòü 1 < p = (p1 , ..., pn ) < ∞, Mp ñåòü, óêàçàííàÿ â óñëîâèè òåîðåìû, Q ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò ñåòè. Òîãäà Q = Q1 × · · · × Qn , ãäå Qi îòðåçîê, åñëè 2 ≤ pi < ∞, è Qi êîìïàêò, åñëè 1 < pi < 2. Ðàññìîòðèì âûðàæåíèå ¯ ¯ ¯ ¯ X X ¯ ¯ 1 ¯ ··· ak1 ...kn ¯¯ = 1 1 ¯ ¯ |Q1 | p1 . . . |Qn | pn ¯k1 ∈Q1 kn ∈Qn ¯ ¯ ¯Z 1 ¯ Z 1 n Y X ¯ ¯ 1 i ··· f (x1 , ..., xn ) = ¯¯ φki (x)dx1 ...dxn ¯¯ ≤ |Qi | 0 ¯ 0 ¯ i=1 ki ∈Qi Ìàòåìàòè÷åñêèé æóðíàë 2005. Òîì 5. 4 (18) Êîýôôèöèåíòû Ôóðüå ôóíêöèé èç àíèçîòðîïíîãî ïðîñòðàíñòâà àíèçîòðîïíîãî ïðîñòðàíñòâà Ëîðåíöà101 Z ≤ 1 Z · · · 0 0 ¯ ¯ ¯ X ¯ ¯ ¯ 1 ¯ |f (x1 , ..., xn )| φ1k1 (x1 )¯¯ dx1 ... × |Q1 | ¯¯ ¯ k1 ∈Q1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯¯ X n × φkn (xn )¯¯ dxn . ¯ |Qn | ¯ ¯ kn ∈Qn 1 Ïðèìåíèì íåðàâåíñòâî Ãåëüäåðà ïî êàæäîé ïåðåìåííîé è îöåíèì ïîñëåäíåå âûðàæåíèå ÷åðåç ° ¯ ¯° ¯ ¯° n ° Y ° 1 ¯ X i ¯° ° ¯ kf kLp · φki ¯¯° ° |Qi | ¯ ° . ¯ki ∈Qi ¯° i=1 ° Lp0 i Âîñïîëüçóåìñÿ (5) è (6), ïîëó÷èì 1 1 1 |Q1 | p1 . . . |Qn | pn ¯ ¯ ¯ X ¯ X ¯ ¯ ¯ ··· ak1 ...kn ¯¯ ≤ cj1 · cn−j 2 kf kLp , ¯ ¯k1 ∈Q1 ¯ kn ∈Qn ãäå j êîëè÷åñòâî pi áîëüøå 2, à êîíñòàíòû c1 è c2 èç íåðàâåíñòâ (5), (6) ñîîòâåòñòâåííî. Òàêèì îáðàçîì, ó÷èòûâàÿ ïðîèçâîëüíîñòü âûáîðà Q èç Mp , äëÿ ïðîèçâîëüíîãî 1 < p = (p1 , ..., pn ) < ∞ âåðíî kaknp0 ∞(Mp ) ≤ ckf kLp . (7). Ïóñòü 1 < p = (p1 , ..., pn ) < ∞. Íàéäóòñÿ p0 = (p01 , ..., p0n ) è p1 = (p11 , ..., p1n ) òàêèå, ÷òî 1 < p0 < p < p1 < ∞, ïðè÷åì, åñëè 2 < pi < ∞, òî 2 < p0i < pi < p1i < ∞.  ýòîì ñëó÷àå èìååì Mp ⊂ Mp0 , Mp ⊂ Mp1 è, áîëåå òîãî äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ε ∈ E, Mp ⊂ Mpε , ãäå pε = (pε11 , ..., pεnn ). Èç (7) ñëåäóåò kaknp0 ∞ (Mp ) ≤ kaknpε ∞ (Mpε ) ≤ ckf kLp ε äëÿ ëþáîãî ε ∈ E. Ïðèìåíèì èíòåðïîëÿöèîííóþ òåîðåìó 1, ïîëó÷èì íóæíîå íàì óòâåðæäåíèå. Öèòèðîâàííàÿ ëèòåðàòóðà 1. 2. 3. 4. Áàðè Í.Ê. Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ðÿäû. Ì., 1961. Íóðñóëòàíîâ Å.Ä. //Èçâ. ÐÀÍ. 2000. Ò.64, 1. C. 95-122. Nursultanov E.D. // East J. Approx. 1998. V 4, 2. P. 243-275 Blozinski A.P. //Transactions of the American Math. Soc. 1981. V.263, 1. P. 149-167. Ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 10.09.2005ã. Ìàòåìàòè÷åñêèé æóðíàë 2005. Òîì 5. 4 (18)