39 ÈÇÈ×ÅÑÊÈÉ ÔÀÊÓËÜÒÀÒÈÂ Ô È Ç ÈÔ × ÅÑÊÈÉ ÔÀÊÓËÜÒÀÒÈ Отклонение частиц и световых лучей полем тяготения îáå ÷àñòè â êâàäðàò è èñïîëüçóÿ òîæäåñòâî 1 cos2 θ ïîëó÷àåì ôîðìóëó (1). Çàïèøåì òåïåðü çàêîíû ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè Å è ìîìåíòà èìïóëüñà L ÷àñòèöû äëÿ ó÷àñòêà À åå òðàåêòîðèè (ñì. ðèñ.1): E A = EB , LA = LB , С.КОЖИНИН èëè 2 Р ÀÑÑÌÎÒÐÈÌ ÍÅÑÊÎËÜÊÎ ÈÍÒÅ- ðåñíûõ çàäà÷ î äâèæåíèè êëàññè÷åñêèõ ÷àñòèö è ôîòîíîâ â ïîëÿõ òÿãîòåíèÿ ïëàíåò è çâåçä. Задача 1. Рассеяние частицы полем Земли Íà êàêîé óãîë θ èçìåíèòñÿ íàïðàâëåíèå ñêîðîñòè ïðîëåòàþùåé ìèìî Çåìëè ìåòåîðíîé ÷àñòèöû ïîä äåéñòâèåì ïîëÿ çåìíîãî òÿãîòåíèÿ (ðèñ.1)? Ñêîðîñòü ÷àñòèöû íà áåñêî- α K mv ∞ r r θ/ O B O 2 2 = O′ 2 b − rm 2brm . (1) Äåéñòâèòåëüíî, ãèïåðáîëà ýòî ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, ðàçíîñòü ðàññòîÿíèé äî êîòîðûõ îò äâóõ çàäàííûõ òî÷åê Î è O ′ , íàçûâàåìûõ ôîêóñàìè (ðèñ.2), ïîñòîÿííà: r1 − r2 = const. Îäèí èç ôîêóñîâ ãèïåðáîëû Î ñîâïàäàåò ñ öåíòðîì Çåìëè, âòîðîé ôîêóñ O ′ ëåæèò íà ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð Çåìëè è áëèæàéøóþ ê öåíòðó òî÷êó  òðàåêòîðèè. Íà áåñêî- − 2 GMm rm , (2) bv∞ = rm vm , ãäå vm ñêîðîñòü ÷àñòèöû â òî÷êå Â; ìû ó÷ëè, ÷òî òî÷êà À íàõîäèòñÿ â áåñêîíå÷íîñòè, ïîýòîìó LA = L∞ = = r0 mv∞ sin α 0 = bmv∞ , LB = à o = rm mvm sin 90 = rm mvm . (Îòìåòèì, ÷òî âìåñòî çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ìîìåíòà èìïóëüñà ìîæíî èñïîëüçîâàòü âòîðîé çàêîí Êåïëåðà.) Èç ðàâåíñòâ (2) ïîëó÷àåì 2GM 2 v∞ 2 rm − b = 0 . (3) Åñëè ñ÷èòàòü çàäàííûì ðàññòîÿíèå rm , òî äëÿ ïðèöåëüíîãî ðàññòîÿíèÿ b íàõîäèì b = rm 1 + N íå÷íîñòè ðàâíà v∞ . Âëèÿíèå àòìîñôåðû Çåìëè íå ó÷èòûâàòü. Ïðè ðåøåíèè çàäà÷è ó÷òåì (áåç âûâîäà), ÷òî ÷àñòèöà äâèæåòñÿ ïî ãèïåðáîëè÷åñêîé òðàåêòîðèè. Îïèðàÿñü íà ãåîìåòðè÷åñêèå ñâîéñòâà ãèïåðáîëû, ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî óãîë ðàññåÿíèÿ θ , ïðèöåëüíîå ðàññòîÿíèå b è ðàññòîÿíèå rm îò öåíòðà ïëàíåòû äî áëèæàéøåé òî÷êè  òðàåêòîðèè ÷àñòèöû ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì θ 2 θ ϕm M Рис. 1 r mvm = rm + A rm R 2 mv∞ 2 θ B tg b N A b íå÷íî áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ îò Çåìëè êàê ïðè ïðèáëèæåíèè, òàê è ïðè óäàëåíèè ñêîðîñòü ÷àñòèöû íàïðàâëåíà ïî àñèìïòîòå ãèïåðáîëû, ïîýòîìó çàäà÷à ñîñòîèò â íàõîæäåíèè óãëà θ ìåæäó àñèìïòîòàìè. Òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ àñèìïòîò ëåæèò ïîñåðåäèíå ìåæäó ôîêóñàìè. Ïðèðàâíÿåì ðàçíîñòè ðàññòîÿíèé îò ôîêóñîâ Î è O ′ äî áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êè ýòî îòðåçîê O′ C íà ðèñóí- Ïîëÿðíàÿ îñü K = 1 + tg2 θ , 2GM 2 rm v∞ . Åñëè ñ÷èòàòü çàäàííûì ðàññòîÿíèå b, òî äëÿ rm íàõîäèì rm = Рис. 2 êå 2 è äî áëèæàéøåé ê öåíòðó Çåìëè òî÷êè. Èç òðåóãîëüíèêà OO ′ C íàõîäèì OC = 2b, θ 2b . θ cos 2 Ðàçíîñòü ðàññòîÿíèé îò ôîêóñîâ äî òî÷êè  ñîñòàâëÿåò O ′ C = 2b tg 2 d 2 v∞ F GG GH i ãäå ÂÎ = rm . Òåïåðü óñëîâèå ðàâåíñòâà ðàçíîñòè ðàññòîÿíèé äî âûáðàííûõ òî÷åê ìîæíî çàïèñàòü â âèäå 2b 2b tg = − 2rm . θ 2 cos 2 Ïåðåíîñÿ 2rm â ëåâóþ ÷àñòü, âîçâîäÿ F bv I 1+ G H GM JK 2 ∞ 2 I − 1J . JJ K (4) Äëÿ îïðåäåëåííîñòè áóäåì ñ÷èòàòü èçâåñòíûì ïðèöåëüíûé ïàðàìåòð b. Òîãäà, ñ ó÷åòîì (3), äëÿ óãëà ðàññåÿíèÿ ïîëó÷àåì , OO ′ = BO ′ − BO = OO ′ − BO − BO , θ GM tg θ GM = . 2 bv∞2 (5) Ìåòåîðíàÿ ÷àñòèöà íå çàäåâàåò ïëàíåòó, åñëè rm Ú R (ñì. ðèñ.1). Ïðè rm = = R ðàññòîÿíèå b îêàçûâàåòñÿ ìèíèìàëüíûì è ðàâíûì bmin = R 1 + 2GM 2 Rv∞ = R 1+ Fv I GH v JK 2ê 2 , ∞ ãäå v2 ê = 2GM R âòîðàÿ êîñìè÷åñêàÿ (ïàðàáîëè÷åñêàÿ) ñêîðîñòü. Ïðè çàäàííîì çíà÷åíèè v∞ è ìèíèìàëüíîì ïðèöåëüíîì ðàññòîÿíèè bmin óãîë îòêëîíåíèÿ (èëè óãîë ðàññåÿíèÿ) ìàêñè- 40 Ê Â À Í T $ 2001/№4 ìàëåí: θ = θ max è tg θ max 2 cv v∞ 2ê = c h e 2 2 1 + v2ê v∞ h = 2 e 2 GM Rv∞ = e j 2 1 + 2GM Rv∞ j . Îòñþäà ñëåäóþò âàæíûå ÷àñòíûå ñëó÷àè: 1) Åñëè v∞ @ v2ê , òî bmin ≈ R è, ñëåäîâàòåëüíî, c h c tg θ max 2 ≈ 0,5 v2ê v∞ h 2 = e 2 j = GM Rv∞ . Òàê êàê v2ê v ∞?1, òî θ max ≈ 2GM 2 Rv∞ (ìû ó÷ëè, ÷òî ïðè x → 0 tg x ≈ x ). 2) Åñëè v∞? v2ê , òî ôîðìóëà äëÿ óãëà ðàññåÿíèÿ ïðèâîäèòñÿ ê âèäó θ max tg 2 ≈ v2ê 2v∞ .  ïðåäåëüíîì ñëó÷àå, êîãäà v2ê v∞ → ∞ , ïîëó÷àåì tg θ max 2 → → ∞ è, ñëåäîâàòåëüíî, θ max → 180 o . Òàêèì îáðàçîì, ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõ çíà÷åíèÿõ v∞ íàïðàâëåíèå ñêîðîñòè ÷àñòèöû ïðè îáëåòå öåíòðàëüíîãî òåëà (ïëàíåòû èëè çâåçäû) èçìåíèòñÿ ïðàêòè÷åñêè íà ïðîòèâîïîëîæíîå! c h Çàìåòèì, ÷òî îáñóæäàåìóþ çàäà÷ó ìîæíî ðåøèòü, èñõîäÿ èç óðàâíåíèÿ òðàåêòîðèè ÷àñòèöû â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ: p = 1 + ε cos ϕ , r (6) 2 b g ãäå ϕ ïîëÿðíûé óãîë, p = L 2 mα ôîêàëüíûé ïàðàìåòð ÷àñòèöû, ε = 2 = 1 + 2 EL eα mj ýêñöåíòðèñèòåò îðáè2 òû, α = GMm , ïðè÷åì m? M , Å è L ïîëíàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ è ìîìåíò èìïóëüñà ÷àñòèöû ñîîòâåòñòâåííî. Èç íà÷àëüíûõ óñëîâèé ïîëó÷àåì tg mv∞ 2 F bv I 1+ G GH GM JJK 2 ε= ∞ tg b g θ 2 = GM bc 2 GM rc 2 , ?1 , R ≤ r ≤ ∞ , êîòîðîå íàçûâàþò óñëîâèåì, èëè ïðèáëèæåíèåì, ñëàáîãî ïîëÿ (èìåííî ïðè ýòîì óñëîâèè ïîëÿ òÿãîòåíèÿ ÿâëÿþòñÿ íüþòîíîâñêèìè). Íàïðèìåð, e j≈ íà ïîâåðõíîñòè Ñîëíöà GM Rc ≈ 10 −6 íî çàïèñàòü θ= 2 . Ó÷èòûâàÿ ìàëîñòü óãëà θ, ìîæ- 2GM bc 2 , òîãäà äëÿ ñâåòîâîãî ëó÷à, ïðîõîäÿùåãî âáëèçè ïîâåðõíîñòè çâåçäû (b ≈ R ), ïîëó÷èì 2GM θ≈ . 2 Rc Äëÿ Ñîëíöà θ ≈ 0,87 ′′ . Çàìåòèì, ÷òî ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå rm ïî-ïðåæíåìó îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (4), êîòîðàÿ ïðè v∞ = c ïðèíèìàåò âèä rm = ãäå b Ú R . Ëåãêî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî äëÿ îáû÷íûõ íåáåñíûõ òåë ìàññîé Ì è ðàäèóñîì R âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå (7) Òàê êàê ε > 1 , ÷àñòèöà äâèæåòñÿ ïî ãèïåðáîëè÷åñêîé òðàåêòîðèè. Èç âûðàæåíèÿ (6) ñëåäóåò, ÷òî ïðè ϕ = 0 ðàññòîÿíèå r ìèíèìàëüíî è ðàâíî p = a ε −1 , rm = (8) 1+ ε 2 ε −1 . Îöåíèòå óãîë îòêëîíåíèÿ θ ëó÷à ñâåòà ïðè åãî ïðîõîæäåíèè âáëèçè ïîâåðõíîñòè Ñîëíöà. Ìàññà Ñîëíöà 30 M = 2 ⋅ 10 êã , åãî ðàäèóñ R = 8 = 7 ⋅ 10 ì . Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ñâåò ñîñòîèò èç êîðïóñêóë ìàññîé m. Òàê êàê êîðïóñêóëà èìååò ìàññó, åå òðàåêòîðèÿ äîëæíà èñêðèâëÿòüñÿ ïîä äåéñòâèåì ñèëû ãðàâèòàöèè, ïîäîáíî òîìó êàê èñêðèâëÿþòñÿ òðàåêòîðèè îáû÷íûõ ÷àñòèö èëè òåë, äâèæóùèõñÿ â ïîëÿõ òÿãîòåíèÿ ïëàíåò è çâåçä. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñâåòîâàÿ êîðïóñêóëà äâèæåòñÿ â ïîëå òÿãîòåíèÿ çâåçäû ïî ãèïåðáîëè÷åñêîé òðàåêòîðèè (ñì. ðèñ.1).Åñëè ðàññìàòðèâàòü ñâåòîâóþ êîðïóñêóëó êàê êëàññè÷åñêóþ ÷àñòèöó ñ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèåé Ek = 2 2 = mv 2 = mc 2 , òî äëÿ îöåíêè óãëà θ ìîæåì âîñïîëüçîâàòüñÿ ðåçóëüòàòàìè çàäà÷è 1: ôîðìóëà (5) òåïåðü ïðèíèìàåò âèä 2 . 2 1 = Задача 2. Отклонение светового луча Солнцем , L = L∞ = mbv∞ . Ñëåäîâàòåëüíî, ýêñöåíòðèñèòåò îðáèòû ðàâåí θ Ýòó ôîðìóëó ìîæíî ïîëó÷èòü íåïîñðåäñòâåííî èç ñâîéñòâ ãèïåðáîëû. Ïîäñòàâëÿÿ ñþäà âûðàæåíèå (7) äëÿ ε , îïÿòü ïîëó÷àåì ôîðìóëó (5). 2 E = E∞ = b g j 2 ãäå a = p ε − 1 = α 2 E ïîëóîñü ãèïåðáîëû. Ëåãêî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî ôîðìóëó (8) ìîæíî ïðèâåñòè ê âèäó (4). Îïðåäåëèì óãîë ϕ m ìåæäó ëèíèåé, ñîåäèíÿþùåé òî÷êè Î è  (ïîëÿðíîé îñüþ), è íàïðàâëåíèåì àñèìïòîòû K1 N1 , ê êîòîðîé ïðèáëèæàåòñÿ òðàåêòîðèÿ ÷àñòèöû, óäàëÿþùåéñÿ â áåñêîíå÷íîñòü (ñì. ðèñ.1). Ïîñêîëüêó ïðè ϕ = ϕ m r = ∞ , òî èç ôîðìóëû (6) ïîëó÷àåì 1 cos ϕ m = − . ε Óãîë îòêëîíåíèÿ θ è óãîë ϕ m ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì θ = − π + 2 ϕ m , ïîýòîìó ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ïðèíèìàåò âèä GM c 2 F GG GH F bc I GH GM JK 2 1+ 2 I JJ JK F GM IJ . ≈ bG1 − H bc K −1 ≈ 2 Î÷åâèäíî, ÷òî ðàññìîòðåííûé ñïîñîá ðåøåíèÿ çàäà÷è ÿâëÿåòñÿ íåêîððåêòíûì ñ òî÷êè çðåíèÿ ñîâðåìåííîé ôèçè÷åñêîé òåîðèè. Äåéñòâèòåëüíî, â ðàìêàõ äàííîãî ñïîñîáà ñêîðîñòü ñâåòîâîé êîðïóñêóëû èçìåíÿåòñÿ îò v∞ = c äî vm = bv∞ rm = bc rm . Ïîíÿòíî, ÷òî ïðè b ≈ rm ≈ R vm ≈ v∞ = c , íî ýòî ïðèáëèæåíèå íè÷åãî íå ìåíÿåò ïî ñóùåñòâó: ñêîðîñòü ñâåòà îñòàåòñÿ ïåðåìåííîé âåëè÷èíîé. Êðîìå òîãî, òåïåðü ìû çíàåì, ÷òî êëàññè÷åñêàÿ ôîðìóëà 2 Ek = mv 2 , ãäå v ? c , ê ñâåòîâûì ÷àñòèöàì íå ïðèìåíèìà: ýíåðãèÿ ñâåòîâîé ÷àñòèöû, ò.å. êâàíòà ñâåòà, èëè ôîòîíà, îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé Ïëàíêà Ýéíøòåéíà 2 E = mc = hω , à ñêîðîñòü ôîòîíà â âàêóóìå âñåãäà ðàâíà c. Òåïåðü ðåøèì çàäà÷ó äðóãèì ñïîñîáîì, èñõîäÿ èç êâàíòîâîé òåîðèè ñâåòà. Ìåòîä ðåøåíèÿ çàäà÷è îñòàåòñÿ ïðåæíèì: âîñïîëüçóåìñÿ çàêîíàìè ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè è ìîìåíòà èìïóëüñà ôîòîíà (êâàíòà ñâåòà), äâèæóùåãîñÿ â ñëàáîì ïîëå òÿãîòåíèÿ çâåçäû. Ïîëíàÿ ýíåðãèÿ ôîòîíà ðàâíà GMm GM E = hω − = hω 1 − 2 = const r rc FG H IJ K (ìû ó÷ëè, ÷òî ìàññà ôîòîíà ðàâíà 2 m = hω c ). Ìîìåíò èìïóëüñà ôîòîíà ðàâåí hω L = rmc sin α = r sin α = const . c Ðàññìîòðèì äâèæåíèå ôîòîíà íà ó÷àñòêå À òðàåêòîðèè, êîòîðóþ ïîïðåæíåìó áóäåì ñ÷èòàòü ãèïåðáîëè÷åñêîé (ñì. ðèñ.1). Çàêîíû ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè: E A = EB è ìîìåíòà èì- ÔÈÇÈ×ÅÑÊÈÉ ïóëüñà: LA = LB äàþò óðàâíåíèÿ ω0 íèÿ çâåçäû îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì F GM I , = ω G1 − H r c JK 2 2 b c r 2 m bω 0 = rm ω , ãäå ω 0 ÷àñòîòà ôîòîíà â òî÷êå À, íàõîäÿùåéñÿ â áåñêîíå÷íîñòè, ω ÷àñòîòà ôîòîíà â òî÷êå  íà ðàññòîÿíèè rm îò öåíòðà çâåçäû. Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò, ÷òî ω > ω 0 òàê íàçûâàåìîå ôèîëåòîâîå ãðàâèòàöèîííîå ñìåùåíèå. Èç îáîèõ óðàâíåíèé ïîëó÷àåì GMb 2 rm − brm + c 2 = 0. rm 1− I JJ , K 2 Rg b 2 e j 2 Rg R = 2GM Rc ?1, ò.å. ïîëÿ òÿãîòåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ñëàáûìè. Íàïðèìåð, ãðàâèòàöèîííûé ðàäèóñ Ñîëíöà 2 ðàâåí Rg = 2GM c ≈ 3 êì , ò.å. Rg ? R . Òàê êàê b Ú R , òî â ïðèáëèæåíèè ñëàáîãî ïîëÿ ìîæíî çàïèñàòü Rg b rm = 1± 1− , b 2 èëè rm1 II JK JK g m2 = Rg 2 . Î÷åâèäíî, ÷òî âòîðîå ðåøåíèå íå èìååò ñìûñëà, ïîýòîìó îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì Rg . rm = b 1 − 2b F GH I JK Àíàëîãè÷íî, äëÿ óãëà îòêëîíåíèÿ θ íàõîäèì tg θ 2 = Rg 2b = GM bc 2 , θ≈ Rg b = 2GM bc 2 . Êàê âèäèì, â ïðèáëèæåíèè ñëàáîãî ïîëÿ ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå ñ îáåèõ òî÷åê çðåíèÿ êëàññè÷åñêîé è êâàíòîâîé, ïîëíîñòüþ ñîâïàäàþò. Îòìåòèì, ÷òî â 1915 ãîäó ðàñ÷åò óãëà îòêëîíåíèÿ âûïîëíèë À.Ýéíøòåéí. Ñîãëàñíî îáùåé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè (ÎÒÎ) Ýéíøòåéíà, â ïîëå ãðàâèòàöèè (òÿãîòåíèÿ) èçìåíÿþòñÿ çàêîíû ãåîìåòðèè è õîä âðåìåíè (èñêðèâëåíèå ïðîñòðàíñòâà âðåìåíè). Èç óðàâíåíèé ÎÒÎ ñëåäóåò, ÷òî òðàåêòîðèÿ ñâåòîâîãî ëó÷à â ñëàáîì ïîëå òÿãîòå- 2 GM 2 cos ϕ + sin ϕ . Äëÿ ëó÷à, ïðîõîäÿùåãî âáëèçè ïîâåðõíîñòè çâåçäû (b ≈ R ), ýòîò óãîë ðàâåí 4GM Rc 2 .  ÷àñòíîñòè, äëÿ Ñîëíöà e j ≈ 1,75′′ . θ = 4GM Rc ãäå Rg = 2GM c ãðàâèòàöèîííûé ðàäèóñ (èëè ðàäèóñ Øâàðöøèëüäà). Äëÿ îáû÷íûõ íåáåñíûõ òåë F F GH GH F R Ièr = bG1 − H 2b JK bc Êàê âèäíî, ýòî óðàâíåíèå îòëè÷àåòñÿ îò óðàâíåíèÿ òðàåêòîðèè êëàññè÷åñêîé ñâåòîâîé êîðïóñêóëû ÷ëåíîì 2 sin ϕ . Ó÷èòûâàÿ, ÷òî θ = − π + 2ϕ m , ïîëó÷àåì ôîðìóëó Ýéíøòåéíà äëÿ óãëà îòêëîíåíèÿ ñâåòîâîãî ëó÷à: 2 Rg 4GM θ= = 2 . b bc θ= Åñëè ñ÷èòàòü çàäàííûì ïðèöåëüíûé ïàðàìåòð b, òî bF = G1 ± 2 GH b g =1+ GM 41 ÔÀÊÓËÜÒÀÒÈ 2 Ïîíÿòíî, íàñêîëüêî âàæíî áûëî èçìåðèòü óãîë θ . Ðåçóëüòàòû èçìåðåíèé äîëæíû áûëè ïîäòâåðäèòü (èëè îïðîâåðãíóòü) âûâîäû ÎÒÎ îá èñêðèâëåíèè ïðîñòðàíñòâà âðåìåíè. Ïåðâûå èçìåðåíèÿ óäàëîñü îñóùåñòâèòü âî âðåìÿ ïîëíîãî ñîëíå÷íîãî çàòìåíèÿ 29 ìàÿ 1919 ãîäà àñòðîíîìàì À.Ýääèíãòîíó, Ô.Äàéñîíó è Ê.Äýâèäñîíó, êîòîðûå îðãàíèçîâàëè ýêñïåäèöèè â Áðàçèëèþ è ê áåðåãàì Àôðèêè. Ñôîòîãðàôèðîâàâ çâåçäû âáëèçè çàêðûòîãî Ëóíîé Ñîëíöà, îíè èçìåðèëè èõ ñìåùåíèÿ è ðàññ÷èòàëè óãîë îòêëîíåíèÿ ñâåòîâûõ ëó÷åé. Îí îêàçàëñÿ â ïîëíîì ñîãëàñèè ñ ôîðìóëîé Ýéíøòåéíà.  íàøå âðåìÿ óãîë θ èçìåðåí íàìíîãî òî÷íåå ïóòåì ðàäèîàñòðîíîìè÷åñêèõ íàáëþäåíèé (ñâåò è ðàäèîâîëíû ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ ïî òåì æå çàêîíàì), íå ñâÿçàííûõ ñ ñîëíå÷íûìè çàòìåíèÿìè. Ðåçóëüòàòû èçìåðåíèé åùå íàäåæíåå ïîäòâåðæäàþò òåîðåòè÷åñêóþ ôîðìóëó. ÎÒÎ âêëþ÷àåò â ñåáÿ ïðèíöèï ñîîòâåòñòâèÿ, ñîãëàñíî êîòîðîìó â ñëó÷àå ñëàáûõ ïîëåé è ìàëûõ ñêîðîñòåé ( v ? c ) âñå ïðåäñêàçàíèÿ ÎÒÎ äîëæíû ñîâïàäàòü ñ ïðåäñêàçàíèÿìè íüþòîíîâñêîé òåîðèè. Ïîñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî òðàåêòîðèè (ãåîäåçè÷åñêèå) íåðåëÿòèâèñòñêèõ ÷àñòèö «íå ÷óâñòâóþò» êðèâèçíó òðåõìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà. Íî êîãäà ðå÷ü èäåò î òðàåêòîðèÿõ ôîòîíîâ, ó÷åò ïðîñòðàíñòâåííîé êðèâèçíû ñòàíîâèòñÿ ñóùåñòâåííûì. Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî èñêðèâëåíèå òðàåêòîðèè ôîòîíîâ ñëàãàåòñÿ èç äâóõ ýôôåêòîâ: ýôôåêòà èçìåíåíèÿ õîäà ÷àñîâ (èñêðèâëåíèå âðåìåíè) è ýôôåêòà èñêðèâëåíèÿ ïðîñòðàíñòâà. Ïðè ðåøåíèè çàäà÷è â ðàìêàõ ÎÒÎ àâòîìàòè÷åñêè ó÷èòûâàþòñÿ îáà ýôôåêòà, â ðåçóëüòàòå äëÿ óãëà îòêëîíåíèÿ ÎÒÎ äàåò ôîðìóëó, êîòîðàÿ îòëè÷àåòñÿ îò êëàññè÷åñêîé ôîðìóëû ìíîæèòåëåì «2». Î÷åâèäíî, ÷òî ýòà ðàçíèöà èãðàåò ôóíäàìåíòàëüíóþ ðîëü. Задача 3. Звезда как гравитационная линза Òåîðèÿ òÿãîòåíèÿ ïðåäñêàçûâàåò, ÷òî ëþáîå ãðàâèòèðóþùåå òåëî (ïëàíåòà, çâåçäà è ò.ï.) äîëæíî îòêëîíÿòü ñâåòîâûå ëó÷è. Ñëåäîâàòåëüíî, ëþáîå ãðàâèòèðóþùåå òåëî äîëæíî äåéñòâîâàòü íàïîäîáèå îïòè÷åñêîé ëèíçû, ôîêóñèðóÿ ñâåòîâûå ëó÷è â íåêîòîðîé òî÷êå F, íàçûâàåìîé ôîêóñîì ëèíçû. Ïðåäïîëîæèâ, ÷òî çâåçäà ìàññîé Ì è ðàäèóñîì R ÿâëÿåòñÿ ãðàâèòàöèîííîé ëèíçîé è äåéñòâóåò òàê (èëè ïî÷òè òàê), êàê äåéñòâóåò îáû÷íàÿ îïòè÷åñêàÿ ñîáèðàþùàÿ ëèíçà, îöåíèòå ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå F òàêîé ëèíçû (ðèñ.3). b θ M R F θ O F Рис. 3 Êàê âèäíî èç ðèñóíêà 3, F= b tg θ . Âîñïîëüçóåìñÿ ðåçóëüòàòàìè ïðåäûäóùåé çàäà÷è.  ïðèáëèæåíèè ñëàáîãî ïîëÿ è ñ ó÷åòîì ìàëîñòè óãëà θ ïîëó÷àåì F≈ b θ ≈ Ïðè b ≈ R F≈ R b 2 Rg 2 Rg 2 2 = b c 2GM . 2 2 = R c 2GM . Äëÿ Ñîëíöà, íàïðèìåð, F ≈ 14 ≈ 1,7 ⋅ 10 ì . À òàê êàê ðàññòîÿíèå îò 11 Çåìëè äî Ñîëíöà ðàâíî l = 1,5 ⋅ 10 ì , òî F @ l . Ïîíÿòíî, ÷òî íàáëþäàòü ñ Çåìëè ëèíçîâûé ýôôåêò â ïîëå òÿãîòåíèÿ Ñîëíöà íåëüçÿ. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, áëèæàéøàÿ ê íàì çâåçäà Ïðîêñèìà Öåíòàâðà íàõîäèòñÿ îò íàñ íà ðàññòî16 ÿíèè l ≈ 4 ⋅ 10 ì @ F . Ñëåäîâàòåëüíî, ëþáàÿ èç óäàëåííûõ çâåçä ìîæåò ñòàòü ãðàâèòàöèîííîé ëèíçîé. Íåîáõîäèìî òîëüêî, ÷òîáû èñòî÷íèê èçëó÷åíèÿ, çâåçäà-ëèíçà è íàáëþäàòåëü ðàñïîëîæèëèñü íà îäíîé ïðÿìîé. (Окончание см. на с. 43) 42 Ê Â À Í T $ 2001/№4  ðàìêàõ ÎÒÎ ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå ãðàâèòàöèîííîé ëèíçû îïðåäåëÿåòñÿ ñ ó÷åòîì ôîðìóëû Ýéíøòåéíà è ïîýòîìó ðàâíî 2 2 2 b b c F= = 2R 4GM . g Äëÿ Ñîëíöà ïðè b ≈ R ïîëó÷àåì 13 F ≈ 8,3 ⋅ 10 ì . Ïîíÿòíî, ÷òî ñäåëàííûå âûøå âûâîäû î âîçìîæíîñòè íàáëþäåíèÿ ýôôåêòà ãðàâèòàöèîííîé ëèíçû îò Ñîëíöà è çâåçä îñòàþòñÿ â ñèëå. Ýôôåêò ãðàâèòàöèîííîé ëèíçû áûë ïðåäñêàçàí Ýéíøòåéíîì â 1936 ãîäó, íî îí îñòàâàëñÿ ëèøü òåîðåòè÷åñêèì ïðåäñêàçàíèåì áîëåå ñîðîêà ëåò.  1979 ãîäó áûë îòêðûò óäèâèòåëüíûé îáúåêò äâîéíîé êâàçàð QSO 0957 + + 561. Èçîáðàæåíèå êâàçàðà, ïîëó÷åííîå â ðàçëè÷íûõ äèàïàçîíàõ ýëåêòðîìàãíèòíîãî èçëó÷åíèÿ, ñîñòîÿëî èç äâóõ îòäåëüíûõ ïî÷òè òî÷å÷íûõ èçîáðàæåíèé, îòäåëåííûõ äðóã îò äðóãà óãëîâûì ðàññòîÿíèåì 5,7 ′′ , èìåþùèõ èäåíòè÷íûå ñïåêòðû è ïî÷òè îäèíàêîâóþ ÿðêîñòü. Ãðàâèòàöèîííîé ëèíçîé â ýòîì ñëó÷àå ñëóæèëà áîëüøàÿ ýëëèïòè÷åñêàÿ ãàëàêòèêà (èëè ñêîïëåíèå ãàëàêòèê), íàõîäÿùàÿñÿ íà ïóòè îò êâàçàðà ê Çåìëå è ñîçäàþùàÿ åãî äâîéíîå èçîáðàæåíèå.  îáû÷íîé (òîíêîé) ëèíçå, êàê èçâåñòíî, âñå ïðåëîìëåííûå ëó÷è ñîáèðàþòñÿ â îäíîé òî÷êå ôîêóñå ëèíçû.  ãðàâèòàöèîííîé ëèíçå äåëî îáñòîèò íå òàê: ÷åì áëèæå ê ïðèòÿãè- S âàþùåìó öåíòðó ïðîõîäèò ëó÷, òåì ñèëüíåå îí ïðåëîìëÿåòñÿ è òåì ìåíüøå ðàññòî- S ÿíèå îò öåíòðà äî òî÷êè F ïåðåñå÷åíèÿ ëó÷åé. Âìåñòî îäíîãî ôîêóñà â ãðàâèòàöèîííîé ëèíçå âîçíèêàåò öå- S ëàÿ ôîêàëüíàÿ îñü. Åñëè ÿäðî ãðàâèòàöèîííîé ëèíРис. 4 çû íå ïðîïóñêàåò ñâåò, òî ïåðåñå÷åíèå ëó÷åé âîçìîæíî òîëüêî íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî ìèíèìàëüíîãî ðàññòîÿíèÿ F, îïðåäåëÿåìîãî ïîñëåäíåé ôîðìóëîé.  ýòîé òî÷êå è íà÷èíàåòñÿ ôîêàëüíàÿ îñü, êîòîðàÿ ïðîñòèðàåòñÿ â îáëàñòü x > F. Íà ðèñóíêå 4 ïîêàçàíî, êàê âûãëÿäèò «òî÷å÷íûé» èñòî÷íèê, åñëè ñìîòðåòü íà íåãî ñêâîçü ãðàâèòàöèîííóþ ëèíçó. Åñëè íàáëþäàòåëü íàõîäèòñÿ íà îñè â òî÷êå 1, ãäå x < F, òî èñòî÷íèê S0 ñîâñåì íå âèäåí, òàê êàê îí çàêðûò íåïðîçðà÷íûì ÿäðîì ëèíçû.  òî÷êå 2, ãäå õ = F, èçîáðàæåíèå èñòî÷íèêà ïîÿâëÿåòñÿ ñî âñåõ ñòîðîí îò ÿäðà, ïîýòîìó çäåñü èñòî÷íèê âèäåí êàê ñâåòÿùååñÿ êîëüöî, ïðèìûêàþùåå ê ÿäðó. Ïðè óâåëè÷åíèè ðàññòîÿíèÿ (òî÷êà 3) êîëüöî îòðûâàåòñÿ îò ÿäðà, ìåæäó íèìè âîçíèêàåò çàçîð, êîòîðûé ïîñòåïåííî âîçðàñòàåò ïî ìåðå óäàëåíèÿ íàáëþäàòåëÿ (êîëüöåâîå èçîáðàæåíèå èñòî÷íèêà íàçûâàþò êîëüöîì Ýéíøòåéíà). Òåïåðü ïðåäñòàâèì, ÷òî óäàëåííûé íàáëþäàòåëü ñìåñòèëñÿ íà íå- S S 1 F 2 4 3 x Êîëüöî Ýéíøòåéíà êîòîðîå ðàññòîÿíèå îò îñè (òî÷êà 4). Êàðòèíà ñòàíîâèòñÿ ñîâñåì èíîé. Ñèììåòðèÿ ëó÷åé íàðóøàåòñÿ, ñâåòÿùååñÿ êîëüöî ðàçðûâàåòñÿ íà äâå äóãè, êîòîðûå ïî ìåðå óäàëåíèÿ îò îñè ñòÿãèâàþòñÿ â ìàëåíüêèå êðóæêè. Íàáëþäàòåëü óâèäèò âìåñòî îäíîãî èñòî÷íèêà S0 äâà åãî èçîáðàæåíèÿ: S1 è S2 .