Числовая ось. Числовые промежутки Файл

(c) Санкт‐Петербургский Государственный Политехнический Университет ; www.avalon.ru §4. Числовая ось. Числовые промежутки. Действительные числа изображаются точками на числовой оси. Числовая ось – это прямая, на которой указаны: направление, начало отсчета и единица масштаба: | |
1
O
x Положительные числа откладываются справа, а отрицательные числа – слева от начала отсчета (точки О). Расстояние от точки, изображающей число x, до точки О равно |x|. Тем самым устанавливается взаимно‐однозначное соответствие между множеством всех действительных чисел R и множеством точек числовой оси. Поэтому в дальнейшем понятия: « точка на числовой оси» и «действительное число» не будут различаться. Расстояние d между точками x1 и x2, равно: d = |x1 ‐ x2| = |x2 – x1|. d X1
X2
Например: расстояние между точками ‐2 и 3 равно: d = |‐2 ‐ 3|= |‐5|= 5 или: d = |3 – (‐2)|= |5|= 5. Упр.11. Найти расстояние между точками (‐1+3√2) и (6 ‐ 2√2). Ответ записать без знака модуля. Числовым множеством называется любое (конечное или бесконечное) подмножество множества R. Примером конечного числового множества является любой конечный набор действительных чисел: {x1, x2, … , xn}. Примерами бесконечных числовых множеств могут служить множества , , Q. Важным примером бесконечных числовых множеств являются числовые промежутки (ограниченные и неограниченные). К ограниченным числовым промежуткам относятся: •
(a; b)={x∈R|a < x < b} – открытый промежуток (интервал): a •
[a; b]={x∈R|a ≤ x ≤ b} – замкнутый промежуток (отрезок): •
(a; b]={x∈R|a < x ≤ b} – полуоткрытый промежуток: a b b a b
(c) Санкт‐Петербургский Государственный Политехнический Университет ; www.avalon.ru •
[a; b)={x∈R|a ≤ x < b} – полуоткрытый промежуток: b
a К неограниченным числовым промежуткам относятся: •
(‐ ∞; b)={x∈R|‐ ∞ < x < b} – открытая полуось: ‐∞ •
(‐ ∞; b]={x∈R|‐ ∞ < x ≤ b} – замкнутая полуось: b
b ‐∞ •
(a; + ∞)={x∈R|a < x < + ∞} – открытая полуось: •
[a; + ∞)={x∈R|a ≤ x < + ∞} – замкнутая полуось: (‐ ∞;+ ∞)= R – вся числовая ось: a +∞
•
a ‐∞
Над числовыми промежутками, как и над любыми множествами, можно производить операции объединения (сложения), пересечения (умножения) и разности (вычитания): A ∪ B = {x∈A или x∈B} – объединение множеств A и B; A ∩ B = {x∈A и x∈B} – пересечение множеств A и B; A \ B = {x∈A и x∉B} – разность множеств A и B; B \ A = {x∈ B и x∉ A } – разность множеств B и A. Упр.12. Найти A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A, где A = (‐3;7], B = [1;9). +∞
+∞