ÎÁÙÀß ÒÅÎÐÈß ÎÒÍÎÑÈÒÅËÜÍÎÑÒÈ ÎÁÙÀß ñÿ íà ïðîèçâîëüíóþ ãëàäêóþ ïîâåðõíîñòü: bg K x = lim S→ 0 α+β+γ −π S . (4) Çäåñü óãëû è ïëîùàäü îòíîñÿòñÿ ê ìàëîìó òðåóãîëüíèêó íà ïîâåðõíîñòè, îãðàíè÷åííîìó ëèíèÿìè êðàò÷àéøèõ ðàññòîÿíèé íà íåé, à êðèâèçíà, âîîáùå ãîâîðÿ, ìåíÿåòñÿ îò òî÷êè ê òî÷êå, ÿâëÿåòñÿ âåëè÷èíîé ëîêàëüíîé. È â îáùåì ñëó÷àå, òàê æå êàê è äëÿ ñôåðû, K ñëóæèò âíóòðåííåé õàðàêòåðèñòèêîé ïîâåðõíîñòè, íå çàâèñÿùåé îò åå ïîãðóæåíèÿ â òðåõìåðíîå ïðîñòðàíñòâî. Ãàóññîâà êðèâèçíà íå ìåíÿåòñÿ ïðè èçãèáàíèè ïîâåðõíîñòè áåç åå ðàçðûâà è ðàñòÿæåíèÿ. Òàê, íàïðèìåð, êîíóñ èëè öèëèíäð ìîæíî ðàçîãíóòü â ïëîñêîñòü, è ïîýòîìó äëÿ íèõ, òàê æå êàê äëÿ ïëîñêîñòè, K = 0. Íà ñîîòíîøåíèÿ (3), (4) ïîëåçíî âçãëÿíóòü íåñêîëüêî èíà÷å. Âåðíåìñÿ ê ðèñóíêó 1. Âîçüìåì íà ïîëþñå âåêòîð, íàïðàâëåííûé âäîëü îäíîãî èç ìåðèäèàíîâ, è ïåðåíåñåì åãî âäîëü ýòîãî ìåðèäèàíà, íå ìåíÿÿ óãëà ìåæäó íèìè (â äàííîì ñëó÷àå íóëåâîãî), íà ýêâàòîð. Äàëåå, ïåðåíåñåì åãî âäîëü ýêâàòîðà, ñíîâà íå ìåíÿÿ óãëà ìåæäó íèìè (íà ñåé ðàç π 2 ), íà âòîðîé ìåðèäèàí. È íàêîíåö, òàêèì æå îáðàçîì âåðíåìñÿ âäîëü âòîðîãî ìåðèäèàíà íà ïîëþñ. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî, â îòëè÷èå îò òàêîãî æå ïåðåíîñà ïî çàìêíóòîìó êîíòóðó íà ïëîñêîñòè, âåêòîð îêàæåòñÿ â êîíå÷íîì ñ÷åòå ïîâåðíóòûì îòíîñèòåëüíî ñâîåãî èñõîäíîãî íàïðàâëåíèÿ íà π 2 , èëè íà α + β + γ − π = KS . (5) Ýòîò ðåçóëüòàò, ïîâîðîò âåêòîðà ïðè åãî ïåðåíîñå âäîëü çàìêíóòîãî êîíòóðà íà óãîë, ïðîïîðöèîíàëüíûé îõâà÷åííîé ïëîùàäè, åñòåñòâåííûì îáðàçîì îáîáùàåòñÿ íå òîëüêî íà ïðîèçâîëüíóþ äâóìåðíóþ ïîâåðõíîñòü, íî è íà ìíîãîìåðíûå íååâêëèäîâû ïðîñòðàíñòâà. Îäíàêî â îáùåì ñëó÷àå n-ìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà êðèâèçíà íå ñâîäèòñÿ ê îäíîé ñêàëÿðíîé âåëè÷èíå K(x). Ýòî áîëåå ñëîæíûé ãåîìåòðè÷åñêèé îáúåêò, èìåþùèé 2 2 n n − 1 12 êîìïîíåíòîâ. Åãî íàçûâàþò òåíçîðîì êðèâèçíû, èëè òåíçîðîì Ðèìàíà, à ñàìè ýòè ïðîñòðàíñòâà ðèìàíîâûìè.  ÷åòûðåõìåðíîì ðèìàíîâîì ïðîñòðàíñòâåâðåìåíè îáùåé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè òåíçîð êðèâèçíû èìååò 20 êîìïîíåíòîâ. e j 3 Êâàíò ¹ 4 ÒÅÎÐÈß 9 ÎÒÍÎÑÈÒÅËÜÍÎÑÒÈ Êëàññè÷åñêèå îïûòû ïî ïðîâåðêå ÎÒÎ Â íà÷àëå ïðåäûäóùåãî ðàçäåëà óæå îòìå÷àëîñü, ÷òî ãðàâèòàöèîííîå ïîëå âëèÿåò íà äâèæåíèå íå òîëüêî ìàññèâíûõ òåë, íî è ñâåòà.  ÷àñòíîñòè, ôîòîí, ðàñïðîñòðàíÿÿñü â ïîëå Çåìëè ââåðõ, ñîâåðøàåò ðàáîòó ïðîòèâ ñèëû òÿæåñòè è ïîýòîìó òåðÿåò ýíåðãèþ. Êàê èçâåñòíî, ýíåðãèÿ ôîòîíà ïðîïîðöèîíàëüíà åãî ÷àñòîòå, êîòîðàÿ, åñòåñòâåííî, òîæå ïàäàåò. Ýòîò ýôôåêò êðàñíîå ñìåùåíèå áûë ïðåäñêàçàí Ýéíøòåéíîì åùå â 1907 ãîäó. Íåòðóäíî îöåíèòü åãî âåëè÷èíó. Ðàáîòà ïðîòèâ ñèëû òÿæåñòè, î÷åâèäíî, ïðîïîðöèîíàëüíà gh, ãäå g óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ, à h âûñîòà ïîäúåìà. Ïðîèçâåäåíèå gh èìååò ðàçìåðíîñòü êâàäðàòà ñêîðîñòè. Ïîýòîìó ðåçóëüòàò äëÿ îòíîñèòåëüíîãî ñìåùåíèÿ ÷àñòîòû âûãëÿäèò èç ñîîáðàæåíèé ðàçìåðíîñòè òàê: ∆ω gh = ω c 2 , (6) 10 ãäå c = 3 ⋅ 10 ñì ñ ñêîðîñòü ñâåòà. 3 3 2 Ïðè g ≈ 10 ñì ñ , h ; 10 ñì îòíîñèòåëüíîå ñìåùåíèå íè÷òîæíî −15 ìàëó ;10 . Íåóäèâèòåëüíî, ÷òî ýêñïåðèìåíòàëüíî êðàñíîå ñìåùåíèå óäàëîñü íàáëþäàòü ëèøü ñïóñòÿ ïîëâåêà, ñ ïîÿâëåíèåì òåõíèêè, èñïîëüçóþùåé ýôôåêò ̸ññáàóýðà. Ýòî ñäåëàëè Ïàóíä è Ðåáêà. Åùå îäèí ýôôåêò, ïðåäñêàçàííûé Ýéíøòåéíîì íà çàðå ÎÒÎ, îòêëîíåíèå ëó÷à ñâåòà â ïîëå Ñîëíöà. Åãî âåëè÷èíó íåòðóäíî îöåíèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Åñëè õàðàêòåðíîå, ïðèöåëüíîå, ðàññòîÿíèå ëó÷à îò Ñîëíöà ðàâíî ρ , òî ðàäèàëüíîå óñêîðåíèå 2 ñîñòàâëÿåò GM ρ , ãäå G íüþòîíîâñêàÿ ãðàâèòàöèîííàÿ ïîñòîÿííàÿ, à M ìàññà Ñîëíöà. Çà õàðàêòåðíîå âðåìÿ ïðîëåòà ρ c ðàäèàëüíàÿ êîìïîíåíòà ñêîðîñòè ôîòîíà èçìåíèòñÿ íà GM ρc è óãîë îòêëîíåíèÿ ñîñòàâèò ñîîòâåòñòâåííî b g θ; GM 2 c ρ . Óäîáíî ââåñòè ÷àñòî èñïîëüçóåìóþ â ÎÒÎ õàðàêòåðèñòèêó ìàññèâíîãî òåëà, òàê íàçûâàåìûé ãðàâèòàöèîííûé ðàäèóñ: rg = 2GM . (7) 2 c Íàèâíîå èñïîëüçîâàíèå ïîëóêëàññè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé äåéñòâèòåëüíî ïðèâîäèò ê îòâåòó θ= rg . ρ Èìåííî ýòîò ðåçóëüòàò áûë ïîëó÷åí Ýéíøòåéíîì â îäíîì èç ïåðâîíà÷àëüíûõ âàðèàíòîâ ÎÒÎ. Ïåðâàÿ ìèðîâàÿ âîéíà âîñïðåïÿòñòâîâàëà ïðîâåðêå, íåáëàãîïðèÿòíîé äëÿ òåîðèè. Îêîí÷àòåëüíûé, ïðàâèëüíûé ðåçóëüòàò ÎÒÎ âäâîå áîëüøå: rg (8) θ=2 . ρ Ãðàâèòàöèîííûé ðàäèóñ Ñîëíöà rg ≈ 3 êì, à ïðèöåëüíûé ïàðàìåòð åñòåñòâåííî ñäåëàòü êàê ìîæíî áëèæå ê îáû÷íîìó ðàäèóñó Ñîëíöà, êî5 òîðûé ñîñòàâëÿåò 7 ⋅ 10 êì. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ëó÷à ñâåòà, ïðîõîäÿùåãî âáëèçè ïîâåðõíîñòè Ñîëíöà, óãîë îòêëîíåíèÿ ðàâåí 1,75′′ . Èçìåðåíèÿ, ïðîâåäåííûå ãðóïïîé Ýääèíãòîíà âî âðåìÿ ñîëíå÷íîãî çàòìåíèÿ 1919 ãîäà, ïîäòâåðäèëè ïîñëåäíåå ïðåäñêàçàíèå. Ýòî áûë ïîäëèííûé òðèóìô ìîëîäîé îáùåé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè. È íàêîíåö, ê ÷èñëó êëàññè÷åñêèõ òåñòîâ ÎÒÎ îòíîñèòñÿ òàêæå âðàùåíèå ïåðèãåëèÿ îðáèòû Ìåðêóðèÿ. Çàìêíóòûå ýëëèïòè÷åñêèå îðáèòû ýòî ñïåöèôèêà íåðåëÿòèâèñòñêîãî äâèæåíèÿ â ïðèòÿãèâàþùåì ïîòåíöèàëå 1/r. Íåóäèâèòåëüíî, ÷òî â ÎÒÎ îðáèòû ïëàíåò íåçàìêíóòû. Ìàëûé ýôôåêò òàêîãî ðîäà óäîáíî îïèñûâàòü êàê âðàùåíèå ïåðèãåëèÿ ýëëèïòè÷åñêîé îðáèòû. Çàäîëãî äî ïîÿâëåíèÿ ÎÒÎ àñòðîíîìû çíàëè, ÷òî ïåðèãåëèé îðáèòû Ìåðêóðèÿ ïîâîðà÷èâàåòñÿ çà ñòîëåòèå ïðèìåðíî íà 6000 ′′ . Ïîâîðîò ýòîò â îñíîâíîì îáúÿñíÿëñÿ ãðàâèòàöèîííûìè âîçìóùåíèÿìè äâèæåíèÿ Ìåðêóðèÿ ñî ñòîðîíû äðóãèõ ïëàíåò Ñîëíå÷íîé ñèñòåìû. Îñòàâàëñÿ, îäíàêî, íåóñòðàíèìûé îñòàòîê îêîëî 40 ′′ â ñòîëåòèå.  1915 ãîäó Ýéíøòåéí îáúÿñíèë ýòî ðàñõîæäåíèå â ðàìêàõ ÎÒÎ. Èç ïðîñòûõ ñîîáðàæåíèé ðàçìåðíîñòè ìîæíî îæèäàòü, ÷òî ïîâîðîò ïåðèãåëèÿ çà îäèí îáîðîò ñîñòàâëÿåò rg δ; , R ãäå R ðàäèóñ îðáèòû. Àêêóðàòíûé ðàñ÷åò â ðàìêàõ ÎÒÎ äëÿ îðáèòû, áëèçêîé ê êðóãîâîé, äàåò 3 πrg δ= . (9) R Ïðè ðàäèóñå îðáèòû Ìåðêóðèÿ