Динамика материальной точки и системы материальных точек

1.2. Динамика материальной точки и системы
материальных точек.
1.2.1. Закон инерции. Инерциальные системы отсчета.
1.2.2. Масса. Сила.
1.2.3. Уравнение движения (второй закон Ньютона).
1.2.4. Третий закон Ньютона. Закон сохранения энергии и изменения
импульса.
1.2.5. Центр масс и закон его движения.
1.2.6. Движение тела переменной массы.
Динамика изучает движение тел в связи с теми причинами
(взаимодействиями между телами), которые обуславливают тот или иной
характер движения.
В классической механике выполняется принцип причинности. Он означает
возможность на основании известного в некоторый момент времени t0
состояния системы точно предсказать ее состояние в момент времени t. То есть,
если в момент времени t0 тело имело координаты х0, y0, z0 и проекции скорости
vxо, vyо, vzо, то с помощью решения уравнений его движения можно определить
координаты x, y, z и проекции скорости vx, vy, vz тела в любой момент времени t.
1.2.1. Закон инерции. Инерциальные системы отсчета.
Система отсчета называется инерциальной (ИСО), если по отношению к
ней тела, на которые не действуют другие тела, движутся без ускорения, т.е.
равномерно и прямолинейно. Любая система отсчета, движущаяся
относительно какой-либо инерциальной системы отсчета поступательно с
постоянной скоростью, также является инерциальной.
1
  
r  r   r0 , т.е.
  
v  v   v0 , так как



 dr dr  dr0
v


.
dt
dt
dt
Если на точку К не действуют никакие тела и система В инерциальная, то

скорость точки К в системе В постоянна ( v  const ). Скорость v0  const по
условию, тогда v’ также должна быть постоянна, т.е. точка К движется
относительно системы B’ с постоянной скоростью. Следовательно, система В’
тоже инерциальная.
Опытным путем было установлено, что инерциальной системой отсчета,
является система, начало которой совмещено с центром Солнца, а оси
направлены на неподвижные звезды. Эта система получила название
гелиоцентрической системы. В то же время Земля движется по отношению к
Солнцу с ускорением, поэтому система отсчета, связанная с Землей
неинерциальная. Однако, суточное вращение Земли очень медленное, поэтому в
большинстве практических задач лабораторную систему отсчета, связанную с
Землей считают инерциальной.
Утверждение о существовании инерциальных систем отсчета Ньютон
сформулировал в виде закона инерции.
Закон инерции (первый закон Ньютона): материальная точка сохраняет
состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, если
равнодействующая всех приложенных к ней сил равна нулю.
1.2.2. Масса. Сила.
Явление сохранения телом скорости движения при отсутствии внешних
воздействий на него со стороны других тел называется инерцией, а это
свойство тела называется инертностью.
Количественной характеристикой инертности является физическая
величина, называемая массой. Обозначается m. За единицу массы принят
килограмм (кг).
Масса аддитивная величина, т.е. масса тела равна сумме масс всех частей
этого тела. Масса механической системы:
n
m   mi , где mi - масса i-ой материальной точки.
i 1
Произведение массы на скорость Ньютон назвал количеством движения;
современное название импульс:


p  mv .
Импульс - векторная величина; измеряется в кгм/с
Если одно тело действует на другое и вызывает его ускорение,
то мерой

этого действия является векторная величина, называемая силой F .
2
кг  м
).
с2
Сила полностью задана, если указаны ее
*
модуль,
*
направление,
*
точка приложения силы.
Прямая линия, вдоль которой направлен вектор силы, называется линией
действия силы. Вектор силы является скользящим, т.е. точку приложения силы
можно переносить вдоль линии действия этой силы.
Если силу или систему сил, приложенных к телу, можно заменить другой
силой или системой сил, не изменяя при этом состояние движения, то такие
силы или системы сил называются эквивалентными.
В современной физике различают четыре вида взаимодействий, и все силы
сводятся также к четырем группам, обеспечивающим данные взаимодействия:
гравитационное, электромагнитное, сильное (ядерное), слабое.
Сила измеряется в Ньютонах ( H 
1.2.3. Уравнение движения (второй закон Ньютона).
Скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на
нее силе:

dp 
 F - уравнение движения материальной точки.
dt
Подставим в уравнение движения выражение для импульса, тогда

d (mv ) 
F.
dt

dv 
Учитывая, что m=const и
 a , получим
dt
 
ma  F .
Второй закон Ньютона: произведение массы материальной точки на ее
ускорение равно силе, действующей на эту точку.
Если на тело действует несколько сил, то под F подразумевается
результирующая сила, т.е.
 n  
ma   Fi  Fp .
i 1
Спроецируем векторы а и F на координатные оси x, y, z и учитывая, что




a  
xi  
yj  
zk , получим
mx  Fx ; my  Fy ; mz  Fz .
На основании обобщения опытных данных был сформулирован принцип
независимости действия сил: если на материальную точку одновременно
3
действуют несколько сил, то каждая из них сообщает материальной точки такое
же ускорение, как если бы других сил не было.
Таким образом, ускорение, приобретаемое материальной точкой под
действием одновременно
 приложенных к ней сил F1, F2, ..., Fn, равно

n 

 n 
F F
a   ai   i  p , где Fp   Fi - результирующая сила.
m m
i 1
i 1
Результирующая сила может быть разложена на две составляющие:

v2 

Fn  ma n  m n - нормальную,
R


dv 
F  ma   m  - тангенциальную,
 dt

причем Fp  Fn  F .
1.2.4. Третий закон Ньютона. Закон сохранения и изменения импульса.
Будем понимать под внешними телами все тела, не входящие в
рассматриваемую механическую систему.
Внутренними называются силы, с какими на данное тело действуют
остальные тела системы.
Внешними называются силы, вызванные действием тел, не входящих в
систему.
Если внешние силы отсутствуют, систему называют замкнутой.
Как показывают наблюдения - механическое действие двух тел друг на
друга всегда является их взаимодействием. Количественное описание
механического взаимодействия тел было дано Ньютоном.
Третий закон Ньютона: силы, с которыми взаимодействуют два тела,
равны по модулю
и противоположны по направлению.

F12   F21
Рассмотрим
механическую
систему,
состоящую из n материальных точек.
Для i-ой материальной точки второй закон
Ньютона имеет вид:

d (mi vi ) 
 Fi ,
dt

где Fi - сумма всех действующих на i-ую точку сил.
Силу Fi можно представить в виде суммы внешних и внутренних сил:
n 
 
Fi  Fi внеш   Fikвнут ,
k 1
 внут
где Fik - внутренняя сила, действующая на i-ую точку со стороны k-й;
4

Fi внеш - результирующая всех внешних сил, действующих на i-ую точку системы.
Суммируя для всех материальных точек системы, получаем
n

d
n
 внеш
 dt  m v    F
i i
i 1
i
i 1
n
n 
  Fik .
i 1 k 1
Согласно третьему закону Ньютона, силы взаимодействия i-й и k-й точек
системы
 равны
 по модулю

и противоположны по направлению:
Fik   Fki или Fik  Fki  0 .
Следовательно, сумма всех внутренних сил в системе равна нулю.
Для всей механической системы:

n
d (mi vi )  внеш
F ,
(*)

dt
i 1
n 

где F внеш   Fi внеш - главный вектор внешних сил.
i 1
Импульс механической системы определим как сумму импульсов всех
материальных точек этой системы:
n
 n 

p   pi   (mi vi ) .
i 1
i 1
Тогда, используя уравнение (*), получим

dp  внеш
F
- закон изменения импульса механической системы.
dt
Если механическая система замкнута, то внешние силы отсутствуют.

dp

 0 , следовательно p  const .
dt
Закон сохранения импульса механической системы: суммарный импульс
замкнутой системы материальных точек остается постоянным, т.е. при любых
изменениях механического состояния системы, внутренние силы не изменяют
импульс.
1.2.5. Центр масс и закон его движения.
Центром масс системы материальных точек называется точка С, радиусвектор которой равен отношению суммы произведений масс всех материальных
точек системы на их радиусы-векторы к массе всей системы:



 m1r1  m2 r2  mn rn 1 n 
rc 
  mi ri , где mi и ri - масса и радиус-вектор i-й
m1  m2  mn
m i 1
материальной точки.
Спроецировав rc на координатные оси, получим, декартовы координаты
центра масс:
1 n
1 n
1 n
xc   mi xi ; yc   mi yi ; zc   mi zi .
m i 1
m i 1
m i 1
5
Определим скорость центра масс

  1 n  1 n  1 n 
p
vc  rc   mi ri   mi vi   pi  .
m i 1
m i 1
m i 1
m
Скорость центра масс механической системы равна отношению импульса
этой системы к ее массе. Таким образом, закон движения центра масс имеет
вид:

d (mvc )  внеш
F .
dt
Центр масс механической системы движется как материальная точка,
масса которой равна массе всей системы и на которую действует сила, равная
главному вектору внешних сил, приложенных к системе.
1.2.6. Движение тела переменной массы.
Рассмотрим движение тела, масса которого меняется за счет потери или
приобретения вещества, т.е. изменение происходит за счет обмена веществом
между телом и внешней средой. Основное уравнение динамики тела
переменной массы было получено И. В. Мещерским в 1897 году.
Пусть m - масса, v - скорость тела в момент времени t. Спустя время dt
скорость и масса тела получили приращение dv, dm. Пусть v1 - скорость
отделяющихся частиц после отделения или присоединяющихся частиц до
присоединения. Определим изменение импульса системы за малое время dt.
 

p  p2  p1 , или





dp  (m  dm)(v  dv )  mv  dmv1






 
dp  mv  dmv  mdv  dmdv  mv  dmv1  mdv  Vdm

Примем
  dmdv  0 из-за малости по сравнению с остальными,
V  v1  v - относительная скорость.
Используя закон изменения импульса

dp  внеш
F ,
получим
dt 
 dm
dv 
m  F внеш  V
- уравнение Мещерского,
dt
dt
 dm
где V
- реактивная сила, характеризующая механическое действие на тело
dt
отделяющихся (или присоединяющихся) частиц.
Формула Циолковского для расчета максимальной скорости ракеты,
двигающейся
в отсутствии сил тяготения и сопротивления воздуха (то есть
 внеш
F
 0 ):
m* 
dm
m
v max    V
 V ln 0 ,
m
m
m0
6
где m*=m0-mт;
m0 - стартовая масса ракеты;
mт - масса топлива.
vреал < vmax.
7