Ответы на вопросы к экзамену по курсу ФИЗИКА (I семестр,...

Ответы на вопросы к экзамену по курсу ФИЗИКА (I семестр, АВТИ)
БИЛЕТ 1. Основные кинематические характеристики движения материальной точки.
Равнопеременное движение материальной точки.
1. Вектор перемещения и путь.
Вектором перемещения точки за промежуток времени от
t  t1 до
t  t 2 называется приращение радиуса-вектора r этой точки за
рассматриваемый промежуток времени:
r2  r1  r (t 2 )  r (t1 ) .
Вектор перемещения направлен вдоль хорды, стягивающей
соответствующий участок траектории точки, из положения
движущейся точки в момент времени t1 в ее положение в момент
времени t 2 . Поэтому во всех случаях, кроме прямолинейного
движения точки, модуль вектора перемещения меньше длины пути
точки за тот же промежуток времени.
Длиной пути называется расстояние s , пройденное точкой за рассматриваемый промежуток
времени и измеряемое вдоль траектории в направлении движения точки. Иначе говоря, длина
пути точки равна сумме длин всех участков траектории, пройденных точкой за рассматриваемый
промежуток времени. Длина пути не может быть отрицательной.
2. Скорость.
Скорость- векторная физическая величина, служащая для характеристики направления и
быстроты движения точки в механике. Средней скоростью точки в промежутке времени от
t
t  t называется вектор v , равный отношению приращения r радиуса-вектора точки за
этот промежуток времени к его продолжительности t :
r
v 
t
до
Средняя скорость направлена так же, как вектор перемещения r , то есть вдоль хорды,
стягивающей соответствующий участок траектории точки.
Скоростью точки в момент времени t называется вектор
времени от радиуса-вектора этой точки:
v , равный первой производной по
r d r

t 0 t
dt
r (t )  x(t )i  y (t ) j  z (t )k .
Вектор v можно разложить по базису i, j , k , то есть на три составляющие по осям прямоугольной
v  lim
декартовой системы координат.
dx
dy
dz
i
j k
dt
dt
dt
v  v X i  vY j  v Z k .
v(t ) 
v  v X2  vY2  vZ2  (
dx 2
dy
dz
)  ( )2  ( )2 .
dt
dt
dt
Если направление вектора v скорости точки не изменяется, то траектория точки- прямая линия.
При равномерном движении точки остается постоянным модуль ее скорости v , а путь,
пройденный точкой за промежуток времени от t до t  t , s  v  t .
3. Радиус кривизны траектории.
v  v 
  n 1
d r  dS 
d r dS  
v

 v 
dt
dt
dS
v 
.
dt
4. Ускорение.
Ускорение- векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости v .
Ускорением называется вектор a , равный первой производной по времени t от скорости v этой
точки. Ускорение точки также равно второй производной по времени от радиуса-вектора r этой
точки:
dv d 2 r
.
a

dt dt 2
Разложение ускорения точки по базису i, j , k , то есть на составляющие по осям прямоугольной
декартовой системы координат, имеет вид:
a a X i  aY j  a Z k , где
dv X d x
dv
dv
d2y
d 2z
 2 , aY  Y  2 , a Z  Z  2 .
dt
dt
dt
dt
dt
dt
Здесь v X , vY , v Z - компоненты скорости точки, а x, y, z - координаты точки в рассматриваемый
aX 
2
момент времени.
Если траектория точки- плоская кривая, то ускорение a точки лежит в этой плоскости. В общем
случае траектория точки- пространственная кривая, а ускорение a лежит в соприкасающейся
плоскости. В соприкасающейся плоскости есть два избранных направления- касательной к
траектории (орт  ) и главной нормали (орт n ). Поэтому вектор
составляющие вдоль этих направлений, то есть по базису

a удобно разложить на две
, n:
a  a  a n
a  a   называется касательным или тангенциальным ускорением точки, а
составляющая a n  a n  n - нормальным ускорением точки.
Для нахождения значений a и a n компонент вектора a воспользуемся выражением для скорости
Составляющая
точки
v  v . Следовательно,
a
d
dv
d
(v   ) 
  v
.
dt
dt
dt
a  a   an n
dv
a 
.
dt
При перемещении по траектории на малое расстояние ds единичный вектор
касательной поворачивается на угол d . Из равнобедренного треугольника
d
)  d , а по
2
направлению вектор d совпадает с ортом главной нормали n . Таким образом:
d d
v

n n
dt
dt
R
2
dv
v
a    n.
dt
R
векторов видно, что ввиду малости d  2  sin(
Равнопеременное движение материальной точки.
Движение точки называется равнопеременным, если в этом движении
a  const , то есть за
равные промежутки времени модуль скорости точки изменяется на одинаковые величины.
a
dv x
dv
и ax 
. a X  const , aY  const , aZ  const .
dt
dt
a  a  a X .
dv x
=const, то v x (t )  v x (0)  a x (t )
dt
dx
Так как v x 
, то зависимость от времени координаты x какой-либо точки тела имеет вид:
dt
t
a t2
x(t )  x(0)   v x (t )dt  x(0) v x (0)t  x , где x (0) и v x (0)  значения x и v x в момент начала
2
0
Так как
ax 
отсчета времени (t=0).
БИЛЕТ 2. Движение материальной точки по окружности. Связь угловых и линейных
величин.
Движение твердого тела, при котором все точки прямой АВ, жестко связанной с телом остаются
неподвижными, называется вращением тела вокруг неподвижной оси. Прямая AB называется
осью вращения тела.
Для описания вращательного движения тела неудобно пользоваться такими понятиями
кинематики точки, как перемещение, пройденный путь, скорость и ускорение точки. В этом случае
мерой перемещения всего тела за малый промежуток времени
dt служит вектор d 
элементарного поворота тела. По модулю он равен углу d поворота тела вокруг оси за время
dt и направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта: из конца вектора d  поворот тела
виден происходящим против хода часовой стрелки.
Кинематической характеристикой направления и быстроты вращения служит угловая скорость
тела, равная отношению вектора элементарного поворота тела к продолжительности этого
поворота:

dr
dv
, a
,
dt
dt
  const .
v
   0   0 (t  t 0 ) 

d
dt
d
,   d  .
dt
 (t t 0 ) 2
2
.
  v0   (t  t 0 ) .
Связь угловых и линейных величин.
1).
d r  ds  Rd
2). v 
ds Rd 

 R
dt
dt
Пусть материальная точка движется по окружности радиуса R. Тогда
S  R   . Разделим левую и правую части уравнения на t
S R  

 v  R . Векторы  , r, v взаимно перпендикулярны.
t
t
Сместим все векторы в одну точку (точка А).
v  r  , v  r  sin
a  r , a n 
2

2
v
  2r .
r
БИЛЕТ 3. Поступательное, вращательное и сложное движение твердого тела. Связь
скоростей различных точек твердого тела при сложном движении.
Сложное:
Поступательное:
Вращательное:
Связь скоростей различных точек твердого тела при сложном движении.
БИЛЕТ 4. Законы Ньютона. Импульс. Закон изменения импульса для материальной точки и
системы материальных точек.
I закон Ньютона: Всякое тело сохраняет состояние покоя или равномерно прямолинейно
движется до тех пор, пока взаимодействие с другими телами не вынудит его изменить это
состояние. Отсюда следуют 2 утверждения:
1) все тела обладают свойством инертности (то есть сохраняют состояние покоя или
равномерного прямолинейного движения).
2) В природе существует хотя бы одна инерциальная система отсчета (ИСО), в которой тело
в отсутствие взаимодействия покоится или движется равномерно прямолинейно.
Условия применимости I закона Ньютона:
- тело не деформируется, то есть абсолютно твердое
- тело движется в отсутствие внешних воздействий поступательно, а может еще и равномерно
вращаться по инерции.
Инерциальные системы отсчета- такие системы отсчета, по отношению к которым выполняется
закон инерции.
Пример: Опыты показали, что с очень большой степенью точности можно считать инерциальной
гелиоцентрическую систему отсчета. Начало координат этой системы находится в центре масс
Солнечной системы, а оси проведены в направлениях трех удаленных звезд, выбранных,
например, так, чтобы оси системы координат были взаимно перпендикулярны. Лабораторная
(земная) система отсчета неинерциальна главным образом из-за суточного вращения Земли.
Однако это вращение очень медленное. Поэтому в большинстве практических задач эффекты,
которые обусловлены суточным вращением Земли, оказываются пренебрежимо малыми, так что
лабораторную систему отсчета можно с достаточной степенью точности считать инерциальной.
Неинерциальные системы отсчета- такие системы отсчета, по отношению к которым закон
инерции не выполняется.
Пример: тела, лежащие неподвижно на гладком полу каюты на корабле, который идет равномерно
и прямолинейно по спокойной воде, могут прийти в движение по полу без всякого воздействия на
них со стороны других тел. Для этого достаточно, чтобы корабль начал изменять курс или скорость
хода, т. е. начал двигаться с ускорением.
II закон Ньютона: Сила- это количественная мера взаимодействия данного тела с другими
предметами. Из опыта следует, что:
1) Ускорение
2) Ускорение
Значит, a  k
a
m
a прямо пропорционально силе F .
a обратно пропорционально массе m , m -мера инертности тела.
F
., k зависит от выбора системы единиц и k =1.
m
F
a  . ma   Fi
m
i
d 2r
dt 2
d 2r
  Fi 
dt 2
i
d 2x
m 2   Fix
dt
i
2
d y
m 2   Fiy
dt
i
2
d z
m 2   Fiz
dt
i
III закон Ньютона: Две материальные точки действуют друг на друга с силами, равными по
модулю и направленными в противоположные стороны вдоль соединяющей эти точки прямой.
F21   F12
Импульс.
В ньютоновской механике масса материальной точки не зависит от времени t , а ускорение
a
dv
, где v - скорость точки. Поэтому можно записать:
dt
d
(mv)   F - II закон Ньютона в дифференциальной форме.
dt
dp
или
F
dt
Вектор p , равный произведению массы материальной точки на ее скорость, называется
импульсом материальной точки.
Скорость изменения импульса тела пропорциональна силе, действующей на тело.
d (mv)   Fdt , (где mv -импульс тела, Fdt - импульс силы).
1. Материальная точка
Закон изменения импульса.
2. Система материальных точек.
dP
 F  F
dt
d P  Fdt
P
t
P0
t0
 d P   F dt
t
P  P0   F dt
t0
t
F CP 
 Fdt
t0
t  t0
P  P 0  FCP (t  t 0 )
F  const
P(t )  P0  Ft
Изменение импульса материальной точки за
малый
промежуток
времени
dt равно
элементарному
импульсу
за
тот
же
промежуток времени результирующей всех
сил, действующих на эту материальную
точку.
d P  Fdt

e
d P1
 F 12  F 13  F 1
dt
e
d P2
 F 21  F 23  F 2
dt
e
d P3
 F 31  F 32  F 3
dt
e
e
e
d
( P1  P 2  P 3 )  F 1  F 2  F 3
dt
Импульсом системы материальных точек
назовем векторную сумму импульсов всех
материальных точек системы
P1  P 2  P 3  P
n
dP
e
  Fi
dt
i 1
БИЛЕТ 5. Центр масс. Теорема о движении центра масс.
Центром масс (центром инерции) системы материальных точек называется точка С , радиус
вектор которой равен отношению суммы произведений масс всех материальных точек системы на
их радиусы-векторы к массе всей системы.
1 n
rC   mi ri ,
m i 1
n
где
mi и ri - масса и радиус-вектор i -й материальной точки, n и m   mi - общее число этих
i 1
точек в системе и ее суммарная масса.
В частности, если радиусы-векторы проведены из центра масс
C (обозначим их ri * ), то
n
m r *  0
i 1
i i
Таким образом, центр масс- это геометрическая точка, для которой сумма произведений масс всех
материальных точек, образующих механическую систему, на их радиусы-векторы, проведенные из
этой точки, равна нулю.
Координаты центра масс системы:
x
 (m x )
i
i
mC
i
y
 (m y )
i
i
i
mC
z
 (m z )
i i
i
mC
В случае непрерывного распределения массы в системе (например, в случае протяженного тела)
радиус-вектор центра масс системы
rC 
1
rdm ,
m ( m )
где r - радиус-вектор малого элемента системы, масса которого равна dm , а интегрирование
производится по всем элементам системы, то есть по всей ее массе m .
vC 
drC
dr
1 n
1 n
p
  mi i   mi v i 
dt
m i 1
dt m i 1
m
Соответственно импульс системы равен произведению ее массы на скорость центра масс
p  mvC . Получаем закон движения центра масс:
d
(mvC )  F ВНЕШ
dt
Центр масс механической системы движется как материальная точка, масса которой равна
массе всей системы и на которую действует сила, равная главному вектору приложения к
системе внешних сил.
Этот закон показывает, что для изменения скорости центра масс системы необходимо, чтобы на
систему действовала внешняя сила. Внутренние силы взаимодействия частей системы могут
вызвать изменения скоростей этих частей (например при разрыве снаряда не несколько частей),
но они не могут повлиять на суммарный импульс системы и на скорость ее центра масс.
БИЛЕТ 6. Закон сохранения импульса. Абсолютно неупругий удар.
На замкнутую систему внешние силы не действуют. Поэтому из закона изменения импульса
вытекает закон сохранения импульса: Импульс замкнутой системы не изменяется с течением
времени.
n
dp
 0 и p   mi vi  const
dt
i 1
где
mi и vi - масса и скорость i -й материальной точки системы, состоящей из n точек.
Соответственно не изменяются также и проекции импульса замкнутой системы на оси декартовых
координат инерциальной системы отсчета:
p x  const p y  const p z  const
Импульс системы
p  mvC , где m - масса всей системы, а v C - скорость ее центра масс. Поэтому
из закона сохранения импульса следует, что при любых процессах, происходящих в замкнутой
системе, скорость ее центра масс не изменяется.
Рассмотрим применение закона сохранения импульса к расчету абсолютно неупругого прямого
центрального удара двух тел. Ударом называется явление изменения скоростей тел на конечные
значения за очень короткий промежуток времени, происходящее при их столкновениях В процессе
удара возникают кратковременные ударные силы взаимодействия между сталкивающимися
телами, причем эти силы во много раз превосходят все внешние силы, действующие на тела.
Поэтому в процессе удара систему соударяющихся тел можно приближенно считать замкнутой и
применять к ней закон сохранения импульса. Общая нормаль к поверхности соударяющихся тел в
точке их соприкосновения называется линией удара. Удар называется прямым, если перед
ударом скорости центров масс соударяющихся тел параллельны линии удара. Удар называется
центральным, если центры масс соударяющихся тел лежат на линии удара. Прямой центральный
удар называется абсолютно неупругим, если после удара тела движутся как одно целое, т. е. с
одной и той же скоростью. Бели скорости тел до удара равны v1 и v2 , а их массы равны m1 и m2 ,
то в соответствии с законом сохранения импульса общая скорость поступательного движения этих
тел после абсолютно неупругого прямого центрального удара равна
u
m1v1  m2 v2
m1  m2
При неупругом ударе происходят различного рода процессы в соударяющихся телах (их
пластические деформации, трение и др.), в результате которых кинетическая энергия системы
частично преобразуется в ее внутреннюю энергию, т. е. происходит диссипация механической
энергии системы.
Изменение кинетической энергии системы двух сталкивающихся тел при абсолютно неупругом
прямом центральном ударе равно
WK 
m1  m2 2 m1 2 m2 2
m1m2
v1  v2 2  0
u 
v1 
v2  
2
2
2
2(m1  m2 )
Для абсолютно неупругого удара:
n
n
n
i 1
i 1
i 1
 mi v i  U  mi и Q  
2
mi vi
U2 n

 mi (часть механической энергии системы переходит
2
2 i 1
во внутреннюю энергию Q )
p1  p 2  p
p cos   p1  p2 cos 
p sin   p2 sin 
p2 sin 
tg 
p1  p2 cos 
p  ( p1  p 2 cos  ) 2  p 22 sin 2 
БИЛЕТ 7. Работа. Мощность. Кинетическая энергия. Закон изменения кинетической энергии.
Изменение механического движения тела и, следовательно, его механической энергии происходит
в процессе механического действия на рассматриваемое тело со стороны других тел. Мерой этого
действия служат соответствующие силы. Поэтому следует говорить об изменении механической
энергии тела под влиянием приложенных к нему сил. Для количественного описания такого
процесса изменения энергии тела вводят в механике понятие работы силы.
Элементарной работой A силы F на малом перемещении
называется скалярное произведение F на dr :
A = Fdr  Fvdt
dr точки M приложения силы
dr
- радиус-вектор и скорость точки M , dt - малый промежуток времени в течение
dt
которого сила F совершает работу A .
где r и v 
Так как скалярное произведение двух векторов равно произведению их модулей на косинус угла
между ними, то
A = F dr cos   Fds cos   F ds
где
ds  dr - путь точки M за малое время dt ,  -угол между силой F и элементарным
перемещением
dr (или скоростью v ) точки M , F  F cos  - проекция силы F на направление
dr (или v ).
Сила не совершает работы в двух случаях:
1). Точка приложения силы неподвижна ( r =const, а
2). Угол
 
( F  v) .
Если угол

2
dr =0)
, то есть сила F направлена по нормали к траектории точки ее приложения.
 острый, то сила движущая, если тупой, то тормозящая.
Согласно правилу скалярного умножения векторов, элементарная работа силы F в декартовых
координатах равна:
A = Fx dx  Fy dy  Fz dz
Работа, совершаемая силой F на конечном перемещении точки ее приложения из положения 1 в
положение 2 равна сумме элементарных работ силы на всех малых участках траектории от точки 1
до точки 2. Эта сумма приводится к интегральной:
2
A1 2   Fdr .
1
2
Работа при прямолинейном движении равна: A1 2 
 F dx и численно равна площади под
x
1
графиком.
Работа потенциальной силы на произвольной замкнутой траектории L точки ее приложения равна
нулю.
 Fdr  0
L
Мощность.
Для характеристики работы, совершаемой силой за единицу времени, в механике вводится
понятие мощности.
Мощностью N силы называется отношение элементарной работы A , совершаемой силой F за
малый промежуток времени, к его длительности dt :
N
где
A
F
dr
 Fv
dt
dt
v -скорость перемещения точки приложения силы.
Также можно сказать, то и работа и мощность силы зависят от выбора системы отсчета. Это
очевидно их формулы, где скорость v различна по отношению к двум системам отсчета,
движущимся друг относительно друга.
Кинетическая энергия.
Кинетической энергией механической системы называется энергия механического движения этой
системы. Изменение кинетической энергии материальной точки происходит под действием
приложенной к ней силы F и равно работе, совершаемой этой силой.
dWK  Fdr  Fvdt или dWK  vdp 
m
1
pdp .
m
dv
F
dt
dv  dr
 Fdr
dt
mv  dv  Fdr
dv 2  2v  dv
dv 2
v  dv 
2
2
 mv 
  Fdr
d 
 2 
m
WK 
2
2
2
mvНАЧ
mv 2 mvКОН

  F  dr
,
2
2
2
1
Изменение кинетической энергии тела равно работе сил, приложенных к этому телу.
dWK  A .
WK 
p 2 mv 2

2m
2
Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетических энергий всех частей этой
системы. Например, кинетическая энергия системы из n материальных точек равна
n
2
mv
WK   i i
2
i 1
где v i скорость i-й материальной точки, mi ее масса.
Кинетическая энергия системы полностью определяется значениями масс и скоростей входящих в
нее материальных точек. Она не зависит от «предыстории» системы, т. е. от того, каким образом
части системы приобрели данные значения скоростей. Кратко это важное утверждение
формулируют следующим образом: кинетическая энергия системы есть функция состояния ее
механического движения. В отличие от импульса кинетическая энергия системы не зависит от
того, в каких направлениях движутся ее части.
Закон изменения кинетической энергии.
Изменение кинетической энергии равно сумме работ, совершаемых при этом всеми внешними и
внутренними силами:
n
dWK   Ai ,
i 1
причем сумму элементарных работ Ai всех сил, приложенных к i  й материальной точке системы
удобно разбить на две части:
Ai  A ПС i  Ai НПС .
БИЛЕТ 8. Консервативные и неконсервативные силы. Потенциальная энергия. Связь
потенциальной энергии с силой. Потенциальная энергия тела в положении равновесия.
Сила F, действующая на материальную точку М называется потенциальной (консервативной),
если работа этой силы зависит только от начального и конечного положений точки М.
(Пример: гравитационные силы и силы упругости)
Диссипативными (неконсервативными) называются силы, зависящие от скоростей точек
механической системы и совершающие отрицательную суммарную работу при любых
перемещениях этой системы.
(Пример: силы трения скольжения, силы сопротивления движению).
Работа A12 , совершаемая потенциальными силами при изменении конфигурации системы, то
есть расположения ее частей (материальных точек) относительно системы отсчета, не зависит от
того, как конкретно осуществляется процесс перехода из начальной конфигурации системы (1) в
конечную (2). Работа A12 полностью определяется начальной и конечной конфигурацией
системы. Следовательно, ее можно представить в виде разности значений некоторой функции
конфигурации системы WП , называемой потенциальной энергией системы:
A12 = WП (1)- WП (2).
Соответственно элементарная работа потенциальных сил при малом изменении конфигурации
системы
A  dWП
Если внешние потенциальные силы нестационарны, то потенциальная энергия системы зависит
не только от конфигурации системы, но также и от времени t . Между тем работу эти силы
совершают только при перемещении системы. Поэтому данное соотношение справедливо лишь
при условии стационарности внешних потенциальных сил. В общем случае:

A   dWП 

Член
WП 
WП
dt   dWП 
dt.
t
t

WП
dt. показывает, как изменяется за малое время dt потенциальная энергия системы
t
при условии, что конфигурация системы остается одной и той же. Измеряя работу потенциальных
сил, приложенных к системе, можно найти только разность значений потенциальной энергии этой
системы в двух ее состояниях: начальном и конечном. Иначе говоря, потенциальную энергию
системы можно найти только с точностью до произвольного постоянного слагаемого. В каждой
конкретной задаче для получения однозначной зависимости потенциальной энергии
рассматриваемой системы от ее конфигурации выбирают нулевую конфигурацию, в которой
потенциальную энергию системы полагают равной нулю. Таким образом, потенциальной энергией
механической системы называется величина, равная работе, которую совершают все
действующие на систему потенциальные силы при переводе системы из рассматриваемого
состояния в состояние, соответствующее ее нулевой конфигурации.
Рассмотрим простейшую механическую системы, состоящую из одной материальной точки,
на которую действует потенциальная сила F.
 WП
WП
WП 
dx 
dy 
dz 
y
z
 x

A  Fdr   
Так как координаты точки х, у, z — независимые переменные, то в последнем уравнении должны
быть попарно равны слева и справа коэффициенты при dx, dy и dz. Таким образом, связь между
потенциальной энергией материальной точки и соответствующей ей потенциальной силой F имеет
вид:
FX = 
W П
WП
WП
dy , FZ = 
dx , FY = 
dz ,
y
x
z
или
 W
WП
WП
F   П i 
j
y
z
 x

k

Вектор, стоящий в квадратных скобках и построенный с помощью скалярной функции
называется градиентом функции
WП ,
WП и обозначается grad WП .
F   gradW П .
Вид формулы потенциальной энергии зависит от характера взаимодействия тел.
Например, сила тяжести:
WП  mgh , сила упругости W П 
kX 2
.
2
Изменить WП могут гравитационные силы и силы упругости (в электростатике еще и кулоновские
силы). Работа этих сил по замкнутой траектории всегда равна нулю. Такие силы называют
консервативными.
Потенциальная энергия тела в положении равновесия.
F
i
 0 ( a  0 ).
W Пi
W Пi
W Пi
i
j
k ).
x
y
z


 F i  0   ( x WПi i  y WПi  j  ... ).
WПi  WП
Fi   (


WП i  WП j  ... ).
x
y
W П
WП
WП
0
0
0
y
x
z
0  (
WП  const
WП  min
WП  max
БИЛЕТ 9. Потенциальная энергия материальной точки в поле силы тяжести, в поле
центральной силы. Потенциальная энергия системы из двух взаимодействующих
материальных точек.
- в поле силы тяжести.
2
2
y2
1
1
y1
A12   ( F d r )   mgdr  mg  dy  mg ( y 2  y1 )
A132  A13  A32
0
(F
3
3
y2
1
1
y1
 d r ) =  ( F d r ) =  (mgdr cos  ) =   (mgdy) .
A12  WП  WП1  WП 2
WП1  mgy1
WП 2  mgy2
- в поле центральной силы.
Поле называется центральным, если сила, действующая на материальную точку, помещенную в
это поле, направлена вдоль прямой, соединяющей ее с ее центром.
 ( Fdr) A
12
 A23  A34  A41
l
A23  A41 =0, так как F  dr , A12   A43   ( Fdr ) 0
l
F
GMm
R2
2
2
A12   ( Fdr )   Fdr  cos 
1
1
R2
R2
dR
1
1
 )  W П1  W П 2
= GMm(
2
R 2 R1
R1 R
A12    GMm 
R1
dx
x
2

1
x
GMm
R1
GMm

R2
WП1  
WП 2
Потенциальная энергия системы из двух взаимодействующих материальных точек.
dA  ( F 12 d r 1 )  ( F 21d r 2 ) = ( F 12 ; d r 1  d r 2 )
F 12  F 21
R  d r 1  R  d r 2
d r 1  d r 2  R  R  d R
dA  ( F 12 d R)   F12 dR
A
R2
R2
R1
R1
 dA    F12 dR  G
F12  G
m1m2
R2
m1 m2
mm
 (G 1 2 ).
R1
R2
БИЛЕТ 10. Закон изменения механической энергии. Закон сохранения механической
энергии. Абсолютно упругий удар.
Рассмотрим произвольную механическую систему, состоящую из n материальных точек. Ее
кинетическая энергия WK , а изменение кинетической энергии равно сумме работ, совершаемых
при этом всеми внешними и внутренними силами:
n
dWK   Ai ,
i 1
причем сумму элементарных работ Ai всех сил, приложенных к i  й материальной точке системы
удобно разбить на две части:
Ai  A ПС i  Ai НПС .
Тогда
n
dW K   A ПС i  Ai
НПС
i 1
Из определения потенциальной энергии системы
WП следует, что согласно
W П
dt
t
i 1
WП
dWК  dWП  A НПС 
dt
t
WП
dW  A НПС 
dt
t
W  WК  WП
n
 dA
ПС
i
 dW П 
Величина W, равная сумме кинетической и потенциальной энергий системы, называется
механической энергией (полной механической энергией) системы. Уравнение выражает закон
изменения механической энергии:
изменение механической энергии системы равно алгебраической сумме работ всех
непотенциальных сил, действующих на систему, и изменения потенциальной энергии
системы за рассматриваемый промежуток времени, обусловленного нестационарностью
внешних потенциальных сил.
Если система замкнута, то изменение ее механической энергии обусловлено только действием в
ней непотенциальных сил: dW  A
НПС
Механическая система называется консервативной, если все действующие на нее
внешние и внутренние непотенциальные силы не совершают работы (  Анпс = 0), а все внешние
потенциальные силы стационарны. Потенциальная энергия консервативной системы может
изменяться только при изменении конфигурации системы. Следовательно, частная производная
по времени от потенциальной энергии консервативной системы, характеризующая быстроту
изменения этой энергии с течением времени при условии постоянства конфигурации системы,
тождественно равна нулю:
WП
 0.
t
Поэтому видно, что механическая энергия консервативной системы не изменяется с
течением времени.
Этот закон называется законом сохранения механической энергии. В частности, он справедлив
для замкнутых консервативных систем: механическая энергия замкнутой системы не
изменяется, если все внутренние силы потенциальны либо не совершают работы. Например,
силы трения покоя и гироскопические силы работы не совершают. Поэтому действие таких сил на
систему не вызывает изменения ее механической энергии.
Применение закона сохранения механической энергии к расчету абсолютно упругого
прямого центрального удара двух тел.
Абсолютно упругим ударом называется такой удар, при котором механическая энергия
соударяющихся тел не преобразуется в другие виды энергии.
Пусть два абсолютно упругих шара массами
m1 и m2 движутся до удара поступательно со скоростями
v1 и v2 , направленными вдоль оси ОХ, проходящей через
центры шаров. Нужно найти скорости u1 и u 2 шаров после
соударения.
В процессе удара систему соударяющихся упругих тел
можно считать замкнутой и консервативной.
Следовательно, для решения этой задачи можно
воспользоваться законами сохранения механической энергии и импульса. Перед ударом и после
его завершения соударяющиеся тела не деформированы, так что потенциальную энергию
системы в этих двух состояниях можно считать одинаковой и равной нулю. Тогда из закона
сохранения механической энергии имеем
m1v1  m2 v 2  m1u1  m2 u 2
2
2
2
2
По закону сохранения импульса:
m1v1  m2 v2  m1u1  m2u2
Так как все скорости направлены по оси ОХ, то
m1v1X  m2 v2 X  m1u1X  m2u2 X
(проекции векторов скоростей на ось ОХ)
m1 (u 21 X  v 21 X )  m2 (u 2 2 X  v 2 2 X )
m1 (u1X  v1X )  m2 (u2 X  v2 X )
Совместное решение уравнений дает
u1X  v1X  u2 X  v2 X
Окончательно получаем:
(m1  m2 )v1 X  2m2 v2 X
m1  m2
(m  m1 )v2 X  2m1v1 X
 2
m1  m2
u1 X 
u2 X
БИЛЕТ 11. Теорема Кёнига.
Значения скорости и кинетической энергии одной и той же материальной точки различны в двух
системах отсчета, движущихся друг относительно друга. Рассмотрим 2 системы отсчета:
инерциальную систему и систему, движущуюся относительно первой системы со скоростью u :
v  v  u
mv 2 m
m
m
mv  2 mu 2





 (v, v)  (v  u, v  u )  ((v v )  (v u )  (u v)  (uu )) 

 m(v u )
2
2
2
2
2
2
v i и vi
2
2
mvi
mvi
m u2

 i  mi (vi u )
2
2
2
2
2
mi vi
mi vi
mi u 2


 2  2  2   mi (viu )
mu 2
WK  WК 
 ( mi v  i , u )
2
m   mi
p
i
 mv c
u  v i v c  0
mvc
WK  WК 
2
2
- Теорема Кёнига.
Формулировка:
«Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетической энергии той же системы
в ее движении относительно системы центра масс и кинетической энергии, которую имела бы
рассматриваемая система, двигаясь поступательно со скоростью центра масс»
БИЛЕТ 12. Момент силы относительно неподвижной точки и оси. Момент пары сил. Момент
импульса материальной точки и системы материальных точек относительно неподвижной
точки и оси.
Момент силы
- относительно неподвижной точки
Моментом силы F относительно неподвижной точки O называется векторное произведение
радиуса-вектора r , проведенного из точки O в точку N , приложения силы на саму силу.
Точка
O принимается за начало координат инерциальной системы отсчета.
M  [r , F ]
Вектор M направлен перпендикулярно плоскости векторов r и F по
правилу правого винта. Модуль момента силы:
M  rF  sin   Fl
(где  - угол между r и , l  r  sin  -длина перпендикуляра,
опущенного из точки O на линию действия силы F . Величина
l называется плечом силы F )
- относительно неподвижной оси.
Моментом силы относительно неподвижной оси а называется скалярная величина
М a равная
проекции на эту ось вектора момента силы относительно какой-нибудь точки, лежащей на оси а
или векторная величина М a  M a  ia , где ia - орт оси а.
Также
M z  F , (где  - расстояние от точки приложения силы до оси, а F - проекция силы F
на направление вектора
 =v/  , где v-линейная скорость этой точки вращающегося тела.
M  M 0 oo'
r  r ||  r 
F  F ||  F 
M 0  [r , F ]  [ r ||  r  , F ||  F  ] =
r F  + r
||
||

 

 F  + r || F  + r  F ||
0 (направлено вдоль оси oo’)
M  [r  F || ]
Момент пары сил.
Парой называются силы равные по величине, противоположные по направлению, но не
действующие по одной прямой.
F  F '
M 0  [r F ]  [r 'F ']  [r F ]  [r F ]  [r  r ' , F ]
Момент пары сил не зависит от выбора оси
M  r  r '  F  sin   lF ( l -плечо пары сил).
Момент импульса:
- материальной точки относительно неподвижной точки
Моментом импульса Li материальной точки относительно
неподвижной точки
O называется векторное произведение
радиуса-вектора
ri материальной точки, проведенного из
точки O, на импульс этой материальной точки pi  mi vi
L i  [r i mi v i ]  [r i p i ]
- системы материальных точек относительно неподвижной точки
Моментом импульса механической системы относительно неподвижной точки O называется
вектор L равный геометрической сумме моментов импульса относительно той же точки всех
материальных точек системы.
n
n
i 1
i 1

L   Li   r i pi

- материальной точки относительно неподвижной оси.
L  [ rm v ]
L  rmv  sin( rmv)
- системы материальных точек относительно неподвижной оси.
Моментом импульса механической системы относительно оси называется проекция на эту ось
вектора момента импульса системы относительно любой точки, выбранной на рассматриваемой
оси.
БИЛЕТ 13. Момент инерции относительно оси. Теорема Штейнера. Примеры расчета
момента инерции.
Величина
J , равная сумме произведений масс mi всех материальных точек , образующих
механическую систему, на квадраты их расстояний ri от данной оси, называется моментом
инерции системы относительно этой оси.
n
J   mi ri
2
i 1
Момент инерции:
Материальной точки
Системы материальных точек
n
I   mi ri
I  mr 2
Абсолютно твердого тела
2
i 1
I   dmr
2
Таким образом, момент импульса тела относительно оси ОZ равен
LZ  J Z
d
( J Z )  M ZВНЕШ
dt
J Z  M ZВНЕШ
Теорема Штейнера:
Момент инерции I a тела относительно произвольной оси
тела относительно параллельной ей оси
a равен сумме моментов инерции J C
aC ,
проходящей через центр масс
C тела и произведения массы тела m на квадрат расстояния d
2
между этими осями. I A  I C  md
Доказательство:
На рисунке оси
a и aC направлены перпендикулярно плоскости чертежа, а
расстояния от малого элемента тела массой dm до этих осей обозначены
соответственно r и rC . По теореме косинусов:
r 2  rC  d 2  2drC cos 
2
IA 
r
( m)
2
dm 
r
C
(m)
2
dm  md 2  2d  x * dm
(m)
x*  rC cos  - абсцисса элемента dm тела в системе координат с началом в центре масс
тела и осью абсцисс, пересекающей оси a и a C и лежащей в перпендикулярной им плоскости. Из
где
определения центра масс следует, что
 x * dm  mx *
C
0
(m)
так как центр масс совпадает с началом координат
x * . Справедливость соотношения доказана.
Примеры расчета момента инерции.
1. Стержень
l/2
I C   r dm  2 
2
m
0
m
2m
y
dy 
l
l
2
l/2
2m y 3
0 y dy  l 3
2
l/2
0
2m l 3
ml 2


l 3  8 12
l
ml 2 ml 2 ml 2
I A  I C  m( ) 2 


2
12
4
3
2. Кольцо (тонкостенный цилиндр).
IC 
r
2
dm 
( m)
R
2
dm  R 2 m
(m)
3. Диск (сплошной цилиндр).
I C   d  I КОЛЬЦА
d  I КОЛЬЦА = dm  r 2
m
m
2mrdr
dS 
 2rdr 
2
S
R
R2
S  r 2
dS  2rdr
R
2mr 3 dr 2m 3
2m r 4
IC  

r
dr

R2
R 2 0
R2 4
dm 
R
0
4. Толстостенный цилиндр.
( m  m0 ) R2
(m ) R
I 0 1
2
2
2
2
5. Сферическая оболочка. (В декартовый координатах).
I xi  mi ( y 2  z 2 )
I yi  mi ( z 2  x 2 )
I xi  I yi + I zi = 2mi ( x 2  y 2  z 2 )  2mi R
I x  I y + I z = 2MR 2
IX  IX i
Ix  I y = Iz
3I X  2mR 2
I zi  mi ( x 2  y 2 )
Ix  I y = Iz =
2mR 2
3
6. Шар.
I   dI СФЕРЫ 
4 3
R
3
m
dm  dV
V
dV  4r 2 dr
m
dm 
4 3
R
3
2
I  mR 2
3
V 
2
dmr 2
3
( m)

БИЛЕТ 14. Тензор инерции.
I  -?
 1
   X i Y  j  Z  k
r  xi  y j  z k
I    r dm
2
r   r  r ||
r||  r cos   r  cos   (r , )
r||  x x  y y  z z
r||  x 2 2 x  y 2 2 y  z 2 2 z  2 xy x y  2 xz x z  2 yz y z
2
r
2

2
r
2
r
2

 x (1  
2
x


 x (
2
2
y
2

2
2
y

x
z
x  y z x 
2
2
)  y (1  
2
2
2
y
2
2
x
y
2
2
y

 z  z 
2
2
)  z (1   z ) 
2
2
1
  2 x )  y 2 ( 2 x   2 z )  z 2 ( 2 x   2 y ) 
r 2    2 x ( y 2  z 2 )   2 y ( x 2  z 2 )   2 z ( x 2  y 2 ) 
r
2

dm   2 x  ( y 2  z 2 )dm   2 y  ( x 2  z 2 )dm   2 z  ( x 2  y 2 )dm   dm
I xy  2 xydm
I xz  2  xzdm
I yz  2  yzdm
I   2 x I xx   2 y I yy   2 z I zz   x y I xy   x z I xz   y z I yz
Тензор инерции- I 
I XX
I  I YX
I XY
I YY
I ZX
I ZY
L

. Это некоторая матрица:
I XZ
I YZ , где I XX , I YY , I ZZ - осевые моменты инерции, а все остальные числаI ZZ
центробежные моменты инерции.
БИЛЕТ 15. Уравнение моментов относительно неподвижной точки и центра масс. Основное
уравнение динамики вращательного движения. Закон сохранения момента импульса.
Уравнение моментов
- относительно неподвижной точки (оси).
M 0  [r F ]
Материальная точка.
d L0
dr
dP
 [ P]  [r
]
dt
dt
dt
0
(v  P)
d L0
 [r  F i ]   [r F i ]   M Oi
dt
dP
 Fi
dt
d L0
  M Oi - Закон Изменения Момента Импульса для Материальной Точки.
dt
Система материальных точек.
e
d L 01
 M 01  M 0 F 12
dt
e
d L 02
 M 02  M 0 F 21
dt
L 01  L 01  L 0
e
d L0
 M O
dt
M 0 F12  M 0 F 21
e
dP
 F
dt
dL
 M
dt
Абсолютно твердое тело.
L  I
d (I)
 M
dt
d
I
 M
dt
I    M - основное уравнение динамики вращательного движения.
- относительно центра масс.
- система материальных точек.
M Ai  [r 'i , Fi ]  [r i  rA , Fi ]
ri ' ri  r A
L Ai  [r i ' p i ]  [r i p i ]  [r A p i ]
d pi
d pi
d L Ai
dri '
dr A
[
p i ]  [r i ,
][
p i ]  [r A
]
dt
dt
dt
dt
dt
0 ( vi  pi )
d pi
d L Ai
dr A
 [r i  r A ,
][
pi ]
dt
dt
dt
d L Ai
dr A
 M Ai  [
pi ]
dt
dt
 L Ai  L A
e
d L Ai
dr A
 M Ai  [
pC ]
dt
dt
AC
v A  vC
v C  p C
[v C p C ]  0
d LC
MC
dt
e
d LZ
M Z
dt
I C    M - относительно оси, проходящей через центр масс системы.
Закон сохранения момента импульса.
ВНЕШ
Для замкнутой системы момент внешних сил M
всегда равен нулю, так как на нее внешние
силы не действуют. Поэтому ЗСМИ формулируется следующим образом:
«Момент импульса замкнутой системы не изменяется с течением времени».
dL
 0 и L  const
dt
Кроме того закон выполняется для случая относительно любой неподвижной оси и центра масс:
LA  const и LC  const .
БИЛЕТ 16. Работа при вращательном движении. Кинетическая энергия вращающегося тела.
Работа при вращательном движении.
Если 
 0 , то r  r
A  F  r , где r - смещение точки приложения силы.
r  r
cos( F , r )  sin( F , r )  
A  ( F , r )  F  r  cos ( F , r ) = Fr sin( F , r )   =
{ Fr sin( F , r )  M }  M  
A  M  
2
A   ( M  d )
1
Кинетическая энергия вращающегося тела.
Представим энергию всего тела, как сумму энергий материальных точек.
WK  
WK
ВРАЩ
mi v 2 i
2
I Z 2

2
 {vi  ri }   (
mi r 2 i 2
2
)
 (m r
i
2
2
i
) 2

I Z 2
2
БИЛЕТ 17. Принцип относительности Галилея. Специальная теория относительности.
Постулаты Эйнштейна.
Принцип относительности Галилея- Электронная База Знаний (с.51-53).
Постулаты Эйнштейна:
1) Все законы физики одинаковы во всех инерциальных системах отсчета.
2) Скорость света- величина постоянная и не зависит от скорости источника или
приемника.
БИЛЕТ 18. Преобразования Лоренца.
Электронная База Знаний (с.54-56).
БИЛЕТ 19. Следствия из преобразования Лоренца (относительность одновременности,
замедление хода движущихся часов, сокращение длины).
Электронная База Знаний (с.57-60).
БИЛЕТ 20. Преобразование скоростей (СТО).
Электронная База Знаний (с.59-60). (V. Закон сложения скоростей)
БИЛЕТ 21. Релятивистский импульс. Релятивистское выражение для энергии.
Электронная База Знаний (с.61, 62-63 III. кинетическая энергия).
БИЛЕТ 22. Интервал (СТО).
Справочник Детлафа (с. 94-95).
БИЛЕТ 23. Инварианты преобразования Лоренца.
???????????????????????????????????????????
БИЛЕТ 24. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории.
Электронная База Знаний (С.69-71)
БИЛЕТ 25. Число степеней свободы. Закон равномерного распределения энергии по
степеням свободы.
Электронная База Знаний (С.72-74)
БИЛЕТ 26. Внутренняя энергия термодинамической системы. Работа. Количество теплоты.
Теплоемкость.
Электронная База Знаний (74-75, 80-83)
БИЛЕТ 27. Первое начало термодинамики. Применение первого начала термодинамики к
изопроцессам. Уравнение Майера.
Электронная База Знаний (76-79)
Справочник Детлафа (с. 121).
БИЛЕТ 28. Адиабатный процесс. Уравнение адиабаты.
Электронная База Знаний (77-78)
Справочник Детлафа (с. 122-124).
БИЛЕТ 29. Политропный процесс. Уравнение политропы. Теплоемкость в политропном
процессе.
Электронная База Знаний (78-79)
Справочник Детлафа (с. 124-125).
БИЛЕТ 30. Распределение Максвелла (распределение молекул по скоростям). Средняя,
наиболее вероятная и средняя квадратичная скорости молекул идеального газа.
Справочник Детлафа (с. 128-132).
БИЛЕТ 31. Идеальный газ во внешнем потенциальном поле. Барометрическая формула.
Распределение Больцмана.
Справочник Детлафа (с. 133-135).
БИЛЕТ 32. Эффективное сечение. Длина свободного пробега.
Эффективное сечение.
Справочник Детлафа (с. 136).
БИЛЕТ 33. Второе начало термодинамики.
Справочник Детлафа (с. 149, 158-161).
БИЛЕТ 34. Тепловые машины и их КПД. Тепловой насос. Холодильная установка.
Электронная База Знаний (84-85)
БИЛЕТ 35. Цикл Карно. КПД цикла Карно. Теорема Карно. Изменение энтропии в цикле
Карно.
Электронная База Знаний (86-88)
Справочник Детлафа (с. 150-153).
БИЛЕТ 36. Неравенство Клаузиуса. Энтропия. Изменение энтропии в изолированных
системах.
Электронная База Знаний (88-89)
Справочник Детлафа (с. 153-154).
БИЛЕТ 37. Энтропия и вероятность. Статистическое толкование второго начала
термодинамики.
Электронная База Знаний (90-93)
Справочник Детлафа (с. 162-164).