ТЕМА 5. Динамика поступательного движения

ТЕМА 5. Динамика поступательного движения
В ходе изучения важно запомнить: определение основных
динамических
характеристик
поступательного
движения
материальной точки, законы Ньютона, понятие о консервативной
силе, формулировки законов сохранения импульса, механической
энергии и полной энергии.
В основе классической механики лежат законы Ньютона. Обычно
законы носят имя тех, кто их открыл, однако Ньютон не является создателем
первого и второго законов. Почему же они носят имя Ньютона? Исаак
Ньютон объединил эти три закона и доказал в своем великом труде
«Математические начала натуральной философии» (1687 год), что знаний
этих законов достаточно для решения любых задач механики. При этом
подразумевалось, что известны выражения для всех сил, рассматриваемых в
данной задаче.
Начнем последовательно рассматривать законы Ньютона, используя
для этого более современный способ изложения, введенный последователями
Ньютона, так как язык «Математических начал натуральной философии» –
это геометрия.
5.1. Первый закон Ньютона
Существуют такие системы отсчета, которые называются
инерциальными, в которых если на тело не действует сила, то тело или
покоится или движется прямолинейно-равномерно.
Это закон существования инерциальных систем. Сколько же
инерциальных систем существует согласно первому закону? Как для любой
теоремы существования согласно первому закону Ньютона должна
существовать хотя бы одна такая система. В развитие первого закона
доказано, что если существует одна инерциальная система отсчета (СО),
то любая другая СО, движущаяся относительно нее с постоянной
скоростью, также будет инерциальной.
Таким образом, инерциальных систем бесконечно много и для каждой
задачи можно подобрать соответствующую СО.
В неинерциальных СО в отсутствие сил возможны сложные не
прямолинейные движения. Поэтому использование таких систем неудобно,
однако ими иногда приходится пользоваться, так как вращающаяся Земля неинерциальная СО и нельзя объяснить некоторые явления без рассмотрения
задачи в неинерциальных системах.
5.2. Второй закон Ньютона
Мы рассмотрим четыре различные формулировки этого закона и
обсудим, зачем нужна каждая из них.
Первая формулировка – это экспериментальный закон. Он может быть
легко установлен, например, для тела на воздушной подушке, если измерить
его ускорение и действующую на него суммарную силу (с помощью
динамометра).
Ускорение, приобретаемое материальной точкой в инерциальной
системе отсчета, совпадает по направлению с действующей на нее
результирующей силой и прямо пропорционально этой силе.
В таком виде закон неудобен для использования, так как
пропорциональности плохо поддаются математическим преобразованиям.
Поэтому следует от пропорциональности перейти к равенству, которое
удобно для математических операций. Для этого необходимо ввести
коэффициент пропорциональности. В данном случае коэффициент
пропорциональности – физическая величина, являющаяся мерой
инертности. Мера инертности тела при поступательном движении,
называется инертной массой𝑚и .
Таким образом, получаем вторую формулировку второго закона в виде
равенства


Fрез  mu  a ,
(5.1)
⃗⃗𝑖 .
где: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐹рез = ∑𝑛𝑖=1 𝐹
Надо подчеркнуть, что инертная масса во втором законе – это просто
коэффициент пропорциональности между ускорением и силой. Ее
физический смысл становится ясным при рассмотрении принципа
эквивалентности.
Принцип эквивалентности
Инертная масса равна гравитационной массе
mи  mгр
Этот принцип экспериментально установлен знаменитым венгерским
физиком Лораном Этвешем (1848-1918). Принцип многократно проверялся и
подтвержден с очень большой степенью точности.
Совпадение инертной и гравитационной масс не следует из каких-то
общих принципов, это свойство окружающего мира. И это очень
благоприятное для нас свойство, так как несовпадение указанных масс могло
бы, например, привести к принципиально более сложным движениям планет,
а, следовательно, резко уменьшить вероятность возникновения жизни на
основе белков.
Теперь мы можем говорить просто масса, так как ее различные виды
совпадают.
Импульсом материальной точки массой m, движущейся со скоростью
𝑣, называется физическая величина, задаваемая следующим соотношением


(5.2)
p  mv
Используя понятие
 импульса, получим третью формулировку второго
d
p
закона Ньютона
.F
рез
dt
Покажем, что в рамках классической механики вторая и третья
формулировки эквивалентны


 
dp
dv
m
 ma  Fрез
dt
dt
(5.3)
Однако, в рамках современной физики эти формулировки
неэквивалентны, поскольку, как следует из результатов специальной теории
относительности (СТО) Альберта Эйнштейна, масса зависит от скорости
следующим образом
m0
m
2
(5.4)
1 v 2
c
где 𝑚0 - масса покоя, то есть масса при нулевой скорости тела, 𝑐скорость света. Если скорость тела не превышает одного процента от
скорости света, то массу можно считать постоянной. Таким образом, только
третья формулировка второго закона Ньютона является справедливой как в
классической, так и в современной физике.
Возможна еще одна (четвертая) формулировка второго закона,
позволяющая формализовать решение механических задач.
Представив ускорение как вторую производную от радиус-вектора,
получим


n 
 dr
d 2r
m 2   Fk (r , , t )
dt
dt
k 1
(5.5)
где ⃗⃗⃗⃗
𝐹𝑘 - силы, действующие на материальную точку, которые в общем
случае могут зависеть от координат, скоростей и времени, n- количество сил.
Уравнение представляет собой дифференциальное уравнение второго
порядка, решением которого будет закон движения 𝑟(𝑡). В теории
обыкновенных дифференциальных уравнений показано, что при заданных
начальных условиях такие уравнения всегда имеют единственное решение.
Такой подход позволяет сказать, что в рамках динамики обратная
задача получает окончательное решение.
5.3. Третий закон Ньютона
Если два тела взаимодействуют друг с другом, то сила, действующая
на первое тело со стороны второго, равна по величине и противоположна
по направлению силе, действующей на второе тело со стороны первого.
В виде формулы третий закон записывается так ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐹12 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐹21 .
где ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐹12 - сила, действующая на первое тело со стороны второго, а ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐹21 сила, действующая на второе тело со стороны первого. На рис.5.1 показан
опыт, подтверждающий третий закон.
Рис. 5.1. Третий закон Ньютона
Несмотря на свою простоту, третий закон Ньютона часто вызывает
трудности при своем применении, поэтому проиллюстрируем его действие
на следующем примере. На лежащую на столе книгу, как и на любое другое
тело у поверхности Земли, действует сила тяжести. Какая сила равна ей по
третьему закону Ньютона? Это сила гравитационного притяжения,
действующая на Землю со стороны книги. В свою очередь, действующая на
книгу со стороны стола сила реакции опоры равна в силу третьего закона
силе, действующей на стол со стороны книги, которая называется весом тела.
Напомним, что весом называется сила, с которой тело действует на
подставку или подвес.
5.4 Закон сохранения импульса
Определенный нами импульс также как и некоторые другие
физические величины, которые мы рассмотрим позже, обладает особым
свойством – сохраняемостью при некоторых условиях.
Совокупность материальных точек, рассматриваемых как единое целое,
называется механической системой.
Импульс системы, состоящей из n материальных точек, равен
n
n



pсист   pi  mi vi
i 1
(5.6)
i 1
где 𝑚𝑖 - массы материальных точек, входящих в систему.
Силы взаимодействия можно разделить на внутренние и внешние.
Силы взаимодействия между материальными точками механической системы
называются внутренними. Силы, с которыми на материальные точки системы
действуют внешние тела, называются внешними.
Эти определения позволяют выделить важный вид механических
систем – замкнутые системы.
Механическая система, на которую не действуют внешние силы,
называется замкнутой (изолированной).
Закон сохранения импульса для замкнутой системы.
В инерциальной системе отсчета суммарный импульс замкнутой
системы с течением времени не изменяется. То есть
n


pсист   mi vi  const
i 1
(5.7)
Докажем это утверждение. Для этого воспользуемся третьей
формулировкой второго закона Ньютона, подразделением всех сил на
внутренние и внешние, определением замкнутой системы и третьим законом
Ньютона.

n
K


dpсист
  Fi   Fkвнутр 
dt
i 1
k 1
J
 внеш
F
 00  0
 j
(5.8)
j 1
Сумма внешних сил равна нулю вследствие определения замкнутой
системы, а сумму внутренних сил можно представить в виде суммы пар
противоположно-направленных сил, удовлетворяющих третьему закону
Ньютона. Так как производная от полного импульса равна нулю, то

pсист  const
Замечание. Данное доказательство справедливо в рамках механики, в
других разделах физики для доказательства требуется использовать
соответствующие законы этих разделов. В то же время закон сохранения
импульса - фундаментальный закон природы (справедлив для любых явлений
природы), так как является следствием однородности пространства.
5.5. Центр масс
Центром масс (центром инерции) системы материальных точек
называется воображаемая точка C, радиус-вектор, которой равен

m
r
 ii
n

rc 
I 1
n
m
i 1
,
(5.9)
i
где mi и ri - масса и радиус – вектор i  ой материальной точки. В случае
сплошных тел суммы заменяются интегралами по объему тела. Сделаем два
важных замечания относительно введенного понятия. Часто вместо него
используют понятие центра тяжести тела, которое предполагает
однородность гравитационного поля во всех точках тела. Однако, это
несправедливо для достаточно крупных тел, поэтому предпочтительнее
использовать всегда применимое понятие центра масс. Хотя для тел сложной
формы точка центра масс может находиться вне тела, принято прилагать
результирующую силу именно к центру масс. Также точка центра масс
обладает следующим важным свойством.
Импульс системы материальных точек равен произведению массы
системы на скорость поступательного движения ее центра масс.


pсист  mVc .
(5.10)
Это свойство обеспечивает возможность использования системы
отсчета центра масс – очень удобной инерциальной системы отсчета.
5.6. Работа силы
5.6.1. Работа постоянной силы
Понятие работы возникает как развитие золотого правила механики,
полученного для простых механизмов типа рычага или блока.
 
A  F s
Рис. 5.2. Работа постоянной силы
Для постоянной силы и прямолинейного перемещения работой силы
называется скалярное произведение вектора силы на вектор перемещения.
Используя определение скалярного произведения это определение
можно записать иначе (рис.5.2)
A  F  S  cos 
(5.11)
Здесь  - угол между векторами силы и перемещения. Однако в
большинстве случаев движения тел не соблюдаются оба условия
справедливости формулы (5.11), поэтому необходимо обобщить определение
на случай переменной силы и криволинейной траектории движения.
5.6.2. Работа переменной силы

Рассмотрим перемещение материальной точки под действием силы F
вдоль криволинейной траектории от точки B до точки С (рис.5.3).
Рис. 5.3. Работа переменной силы
Разобьем траекторию на маленькие отрезки ds i , такие, что на каждом
из них силу можно считать постоянной, а перемещение – прямолинейным.
Тогда на каждом отрезке для расчета элементарной работы dАi можно
воспользоваться формулой (5.11)
dAi  Fi dsi cos  i
(5.12)
Просуммировав частные работы (5.12) по траектории BС получим
приближенное выражение для полной работы
 
A   Fi dsi
(5.13)
i
Для получения точного выражения надо найти предел сумм (5.13) при
стремлении длин отрезков к нулю. Этот предел, как известно, называется
интегралом, то есть
A 

С
А   F  cos ds
B
(5.14)
Формула (5.14) – это и есть искомое общее определение работы силы.
Так как согласно геометрическому смыслу интеграла его значение
численно равно площади под графиком подынтегральной функции, то работу
можно определить как на рис.5.4.
Рис. 5.4. Вычисление работы
5.7. Энергия
Энергией
называется
скалярная
физическая
величина,
характеризующая общую количественную меру различных процессов и
видов взаимодействия.
В физике обычно используют конструктивное определение полной
энергии как суммы частных энергий, для которых можно записать
конкретные выражения.
Механическая энергия характеризует движение и взаимодействие тел и
равна сумме кинетической и потенциальной энергий.
5.7.1. Кинетическая энергия
Кинетическая энергия 𝐾𝑖 материальной точки с массой 𝑚𝑖 ,
движущейся со скоростью 𝑣𝑖 в заданной инерциальной системе отсчета или
имеющей импульс 𝑝𝑖 , равна
mi vi2
pi2
Ki 

2
2mi
(5.15)
Кинетическая энергия K системы материальных точек равна сумме
n
mi vi2
pi2
K   Ki  

2
i 1
i 1
i 1 2mi
n
n
Теорема о связи энергии и работы
Теорема. Работа результирующей
кинетической энергии на концах траектории.
Докажем эту теорему.
Aрез
силы
C
  C dp 
  mv 2
  Fрез ds  
v dt  m  v dv 
dt
2
B
B
B
C
(5.16)
равна
изменению
C
 KC  K B
B
Первое равенство следует из определения работы, второе из второго
закона Ньютона и определения скорости, третье – из определения импульса,
а четвертое и пятое из правил интегрирования.
5.7.2. Консервативные силы
Если под действием силы происходит перемещение тела из одного
положения в другое и работа, совершаемая при этом, не зависит от того, по
какой траектории это перемещение произошло, а зависит только от
начального и конечного положений, то такая сила называется
консервативной.
Данное определение можно записать формально так (рис.5.5)
Здесь 1-й и 2-ой пути – два произвольных пути, соединяющих точки В
иС .
Рис. 5.5. К определению консервативной силы
Напомним, что произвольная замкнутая кривая в пространстве
называется замкнутым контуром, а интеграл вдоль такой кривой
контурным интегралом. Эти понятия дают возможность сформулировать
другое определение консервативных сил.
Сила называется консервативной, если ее работа по любому
замкнутому контуру равна нулю.
 
F
 ds  0
Можно доказать, что оба определения эквивалентны.
Второе определение, в частности, позволяет показать, что силы трения,
которые всегда направлены противоположно направлению движения,
являются неконсервативными.
5.7.3. Потенциальная энергия
Работа консервативных сил, приложенных к телу, равна изменению
потенциальной энергии этого тела, взятому с обратным знаком.
U  U C  U B   Aкон
(5.17)
При этом потенциальная энергия определяется с точностью до
константы, так как при увеличении значения потенциальной энергии во всех
точках на одну и ту же величину разность U не изменится. Для
определенности необходимо выбрать начальную точку (начальный уровень)
и задать в ней значение потенциальной энергии (начальное значение). Выбор
начального уровня и начального значения произволен и обычно вызван
упрощением выражения в каждом конкретном случае. Таким образом,
потенциальная энергия в точке с радиус-вектором 𝑟 равна разности ее
значения в начальной точке ⃗⃗⃗
𝑟0 и работы силы по перемещению из начальной
в рассматриваемую точку.

r
 


U (r )  U (r0 )   F ds

r0
5.7.4. Вычисление сил
В механике часто приходится решать обратную задачу, а именно
находить значение силы по заданному выражению для потенциальной
энергии. То есть, если известно выражение для потенциальной энергии
U  U ( x, y , z )
то
U
U
U
Fz  
Fx  
Fy  
z
x
y
Например, если источники силового поля распределены непрерывно в
некоторой области пространства, то вычисление по принципу суперпозиции
потенциальной энергии математически значительно более простая задача,
чем вычисление вектора силы.
5.7.5. Закон сохранения механической энергии
В системе тел, между которыми действуют консервативные силы,
механическая энергия сохраняется, т. е. не изменяется со временем
K  U  Е  const
Для доказательства закона используем теорему о связи энергии и
работы и определение потенциальной энергии.
В замкнутой системе тел, силы взаимодействия между которыми
консервативны, взаимные превращения механической энергии в другие виды
отсутствуют. Такие системы называются замкнутыми консервативными
системами.
5.7.6. Закон сохранения полной энергии
Существует еще один вид систем – диссипативные системы – такие
системы, в которых механическая энергия постепенно уменьшается за счет
преобразования в другие (немеханические) формы энергии.
В замкнутой системе при наличии силы трения, которая не является
консервативной, полная механическая энергия системы при движении
убывает. В этом случае закон сохранения механической энергии не
справедлив.
Пусть на материальную точку действуют 3 силы: консервативная,
трения и внешняя неконсервативная, тогда (подробнее смотри в [5])




Fрез  Fконс  Fтр  Fвн.неконс
Согласно теореме о связи энергии и работы
(5.18)




(
F

F

F
)
d
s
K
конс
тр
вн
.
неконс

C
B
(5.19)

Действие диссипативной силы Fтр приводит к переходу части
механической энергии в тепло, поэтому определим изменение внутренней
C


энергии следующим образом U внутр    Fтр ds . Тогда, используя определение
B
изменения потенциальной энергии U , получим


F
d
s
 K  U  U внутр
вн
.
неконс

C
(5.20)
B
Если внешняя неконсервативная сила отсутствует, то сумма изменений
энергий равна нулю. Следовательно
K  U  U внутр  const
Аналогичное рассмотрение для замкнутой диссипативной системы
позволяет утверждать, что это соотношение справедливо также и в этом
случае. Таким образом в общем случае можно использовать закон
сохранения полной энергии, которая включает кроме механической еще
внутреннюю энергию тел.
Закон сохранения полной энергии
В замкнутой системе полная энергия сохраняется.
В общем случае во внутреннюю энергию помимо тепловой энергии
могут входить ядерная, химическая, электромагнитная и т.д.