Задачи на работу - Новосибирский государственный университет

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР
Математика
8 класс
Задачи на работу
Новосибирск
Задачи на работу.
Основными компонентами в задачах на работу являются: работа,
производительность труда и время.
Производительность – это работа, выполненная за единицу
времени (иначе, скорость работы). Если обозначить через
A – объем выполненной работы,
p – производительность труда,
t – время,
то можно записать равенство:
A p t , которое называется формулой работы.
Из основной формулы получаем еще две:
A
p
– формула для вычисления производительности
t
(объем работы A и время ее выполнения t известны).
A
– формула для вычисления времени (если объем
t
p
работы A и производительность труда p известны).
Все задачи на работу можно условно разделить на две группы:
задачи, в которых выполняемый объем работы известен или
его нужно определить (например, количество
изготовленных деталей, количество га вспаханной земли,
объем бассейна и т.д.);
задачи, в которых вообще не сказано, какая работа
выполняется или эта работа задана неявно (в таких задачах
зачастую задано только время).
При решении задач второй группы удобно ввести самим единицу
работы, равную всей работе. Тогда производительность труда есть
часть всей работы, выполненной за единицу времени. Но можно
поступить и привычным способом: обозначить объем работы через
A . Вы обнаружите, что при решении уравнения или системы
уравнений эта переменная «исчезнет», т.е. обе части уравнения
будут разделены на A .
При решении задач необходимо особое внимание обратить на то,
чтобы единицы измерения каждой величины были одинаковыми.
2
Как и другие текстовые задачи, задачи на работу можно решать как
арифметическим способом (составлять числовые выражения с
данными величинами и находить их значения), так и
алгебраическим способом (введением неизвестных и составлением
уравнения или системы уравнений). При решении задач
алгебраическим способом не нужно бояться большого количества
введенных неизвестных. Во время анализа задачи и решения
системы значение некоторых переменных могут вообще не
понадобиться.
Решим несколько задач арифметическим способом.
Задача 1.
Обезьяна за 2 часа срывает 64 кг бананов, а туземец за 3 часа – 72
кг. За сколько часов они нарвут 336 кг бананов?
Решение.
Определим, сколько бананов в час срывает каждый.
64 : 2 32 (кг) бананов в час – производительность труда
обезьяны.
72 : 3 24 (кг) бананов в час – производительность труда
туземца.
Их совместная производительность труда:
32 24 56 (кг) бананов в час.
Теперь определим искомое время:
336 : 56 6 (ч).
Ответ: за 6 часов.
Задача 2. Сергей может покрасить забор за 20 минут, а Егор – за 30
минут. За сколько минут, работая вместе, они могут покрасить
забор?
Решение. Вся работа – это покраска забора. Площадь забора
неизвестна, поэтому конкретно узнать производительность труда
каждого (например, сколько кв. метров они покрасят за 1 минуту)
нельзя. Значит, площадь всего забора мы примем за единицу
площади, тогда производительность работы каждого будет
выражаться дробью – частью забора, покрашенной за единицу
времени.
3
Примем всю работу за 1, тогда за 1 минуту Сергей покрасит
часть забора, а Егор –
1
20
1
часть забора. Работая вместе, они за 1
30
минуту покрасят
1
1
5
1
часть забора – это их совместная
20 30 60 12
производительность труда.
A
По формуле t
определим время, необходимое для совместной
P
покраски всего забора:
1
t
12 (мин).
1
12
Ответ: за 12 минут.
Задача 3.
Лошадь съедает копну сена за 1 сутки, корова может съесть такую
же копну за 3 суток, а овца за 6 суток. За какое время съедят эту
копну лошадь, корова и овца вместе.
Решение.
Вся работа – это съедание копны сена. Объем копны неизвестен.
Обозначим всю работу за 1. Тогда за 1 сутки лошадь съест 1 копну
1
1
сена, корова – копны и овца – часть копны. Вместе они съедят
3
6
1 1 3
1
копны за сутки (это их совместная
3 6 2
производительность труда, т.е. скорость поедания).
Найдем время, за которое лошадь, корова и овца съедят 1 копну
сена:
A
1
2
t
(суток).
P 3
3
2
2
Ответ: за
суток или 16 часов.
3
4
Следующие задачи решим алгебраическим способом.
Задача 4.
Бригада рыбаков должна была по плану выловить за несколько
дней 1800 ц рыбы. Треть этого срока был шторм, вследствие чего
плановое задание ежедневно не довыполнялось на 20 ц. Однако в
остальные дни бригаде удавалось ежедневно вылавливать на 20 ц
больше дневной нормы, и плановое задание было выполнено за
один день до срока. Сколько центнеров рыбы в день должна была
бригада вылавливать по плану?
Решение.
Пусть x центнеров в день должна была вылавливать бригада
рыбаков по плану, тогда все задание бригада должна была
1800
600
выполнить за
дней. За треть этого срока, т.е. за
дней,
x
x
600
x 20 ц рыбы. Остальное задание бригада
бригада выловила
x
1200
1 дней, вылавливая каждый день по
смогла выполнить за
x
x 20 ц рыбы. Т.к. плановое задание было выполнено, то
составляем уравнение:
600
1200
x 20
1 x 20 1800 .
x
x
Решаем его:
12000
24000
600
1200
x 20 1800 .
x
x
Умножим обе части уравнения на x 0 :
600 x 12000 1200 x 24000 x 2 20 x 1800 x .
x 2 20 x 12000 0 .
x1,2
10
100 12000
10 110
x1 100 ; x2
120 (посторонний корень по смыслу
задачи).
Итак, 100 ц – дневная норма по плану.
Проверка:
5
1) 1800 : 100 18 (дней) – срок работы.
2) 80 6 480 (ц) рыбы выловили в шторм.
3) 18 6 1 11 (дней) работала бригада, перевыполняя
дневную норму на 20 ц.
4) 120 11 1320 (ц) – улов за 11 дней.
5) 480 1320 1800 (ц) – весь улов по плану.
Ответ: 100 ц.
Рассмотрим задачу на движение, где путь, пройденный
движущимися телами, рассматривается как совместная работа.
Особенностью этой задачи является то, что в ней нет никаких
данных о пройденном расстоянии, а единственной данной
величиной является время. В таких случаях удобно все расстояние
принять за 1.
Задача 5.
Из города А выехал автомобиль и одновременно навстречу ему из
города В выехал автобус. Двигаясь без остановки и с постоянными
скоростями, они встретились через 1 ч 12 мин после начала
движения. За сколько часов смогут преодолеть расстояние от
города А до города В автомобиль и автобус в отдельности, если
автомобиль прибыл в город В на 1 час раньше, чем автобус в город
А?
Решение.
Пусть для прохождения расстояния от города А до города В
автомобилю необходимо x ч, а автобусу y ч. Согласно условию
задачи имеем уравнение: y x 1 .
1
За 1 час автомобиль преодолевает
часть всего пути, а автобус –
x
6
1
часть пути. Через 1 ч 12 мин, т.е. ч, они встретились, значит
5
y
преодолели все расстояние от А до В.
1 1 6
1.
Получаем второе уравнение:
x y 5
Решаем систему:
6
y
x 1,
1
x
1
y
6
5
1.
(1)
y
x
x 1,
y 5
.
xy
6
2x 1 5
.
x2 x 6
5x 2 7 x 6 0 ; ( x 0 , x
1 ).
7
49 120 7 13
x1, 2
;
10
10
x1 2 , x2
0.6 (посторонний корень по смыслу задачи).
Соответственно, y 2 1 3 .
Итак, расстояние от А до В автомобиль сможет преодолеть за 2
часа, а автобус – за 3 часа.
Ответ: 2 ч; 3 ч.
Замечание.
Если обозначить расстояние от А до В через S км, то мы получим
систему:
y x 1,
S S 6
S.
x y 5
Разделив обе части второго уравнения на S, мы получаем систему
(1). Мы убедились, что числовая характеристика расстояния в
задаче не играет никакой роли, и поэтому удобнее всего принять
его за 1, что мы и сделали в начале решения данной задачи.
Решим для сравнения следующие две задачи двумя способами –
арифметическим и алгебраическим.
Выбор наиболее рационального способа – за Вами.
7
Задача 6.
Одна мастерская может переплести за один день 120 книг, а вторая
мастерская – 90 книг. Две мастерские выполнили заказ библиотеки
по переплетению 2460 книг. Сколько дней работала каждая
мастерская, если вторая работала на 4 дня больше первой?
Решение.
I способ (арифметический).
Т.к. вторая мастерская работала на 4 дня дольше первой, то за это
время ею было переплетено 90 4 360 книг. На их совместную
работу осталось 2460 360 2100 книг. За один день обе
мастерские переплетают 120 90 210 книг, следовательно, они
выполнят оставшуюся работу за 2100 : 210 10 дней.
Итак, первая мастерская работала 10 дней, а вторая – 14 дней.
II способ (алгебраический).
Пусть первая мастерская работала x дней, а вторая мастерская –
(x 4) дней. При этом первая переплела 120 x книг, а вторая –
90 ( x 4) . По условию задачи известно, что они выполнили заказ
в 2460 книг. Составляем уравнение: 120 x 90( x 4) 2460 ,
решением которого является x 10 .
Итак, 10 дней работала первая мастерская и 14 дней вторая.
Ответ: 10 дней; 14 дней.
Задача 7.
Две бригады слесарей должны были выполнить некоторое задание
за 16 дней. После 14 дней их совместной работы вторая бригада
получила другое задание, поэтому первая бригада закончила
оставшуюся часть работы за 6 дней. За сколько дней могла бы
выполнить задание каждая бригада, работая отдельно?
Решение.
I способ (арифметический).
Обозначим объем всей выполненной двумя бригадами работы за 1.
1
часть работы в день – их совместная производительность труда.
16
Т.к. вместе они работали 14 дней, то за это время они сделали
1 7
14
всей работы.
16 8
8
1
часть всей работы. С ней
8
справилась первая бригада за 6 дней, значит можно определить ее
1
1
производительность труда: : 6
.
8
48
1
Итак,
часть всей работы в день выполняла первая бригада,
48
значит, все задание она могла бы выполнить за 48 дней
1
48 ).
(1 :
48
Найдем производительность труда второй бригады:
1
1 3 1 2
1
. Отсюда вторая бригада может
16 48
48
48 24
справиться со всей работой за 24 дня.
II способ (алгебраический).
Объем выполненного задания конкретно не указан, поэтому всю
выполненную работу примем за 1.
Пусть за x дней первая бригада смогла бы выполнить все задание,
а за y дней – вторая.
1
– производительность труда первой бригады,
x
1
– производительность труда второй бригады,
y
1 1
– их совместная производительность.
x y
Согласно условию задачи получаем уравнение:
1 1
16 1 .
x y
Т.к. 14 дней они работали совместно, а затем в течение 6 дней
заканчивала работу первая бригада, то можно составить второе
уравнение:
1 1
1
1
1
14
6 1 или 20
14
1.
x y
x
x
y
После этого осталось сделать
9
Итак, решаем систему:
1 1 1
,
x y 16
20 14
1.
x
y
Умножим первое уравнение системы на 14 и вычтем его из второго
уравнения. Получим:
6 1
, отсюда x 48 .
x 8
Находим соответствующее значение второй переменной: y 24 .
Ответ: за 48 дней; за 24 дня.
Задача 8.
Из двух портов А и В навстречу друг другу вышли два парохода.
Скорость каждого постоянна. Первый пароход прибыл в порт В
через 16 ч после встречи, а второй – в порт А через 25 ч после
встречи. За какое время проходит путь от А до В каждый пароход?
Решение.
Примем расстояние от А до В за 1.
Обозначим через t ч время, прошедшее с начала движения до
встречи пароходов.
Путь от А до В пароходы проходят соответственно: за (t 16) ч –
первый и за (t 25) ч – второй пароход.
1
часть пути проходит первый пароход за 1 час.
t 16
1
часть пути проходит второй пароход за 1 час.
t 25
1
1
– такую часть пути они совместно проходят
t 16 t 25
каждый час.
До встречи пароходы прошли совместно путь, равный 1, значит,
получаем уравнение:
1
1
t 1.
t 16 t 25
10
Решаем его:
2t 41 t
1.
t 16 t 25
2t 2 41t t 2 41t 400 .
t 2 400 .
t 20 (отрицательный корень является посторонним).
t 16 36 (ч) – время, затраченное первым пароходом на
прохождение пути АВ.
t 25 45 (ч) – время, затраченное вторым пароходом на
прохождение пути АВ.
Приведем другое решение этой задачи(обозначения очевидны).
S2
S1
С одной стороны, V1
. С другой стороны V1
. Отсюда
16
tвст р
имеем
S1
tвст р
t вст р
S
S2
или 1
S2
16
Аналогично имеем V2
Из (1) и (2) имеем:
16
S2
tвст р
(1).
или V2
tвст р
25
16
tвст р
S1
S
. Отсюда 1
S2
25
2
, т.е. tвст
р
25
tвст р
(2).
400 .
Отсюда tвстр 20 (ч)(отрицательный корень посторонний по
смыслу задачи).
Зная tвст р , определяем искомые величины t1 36 ч и t2 45 ч.
Ответ: 36 ч; 45 ч.
Рассмотрим решение задачи, которая, на первый взгляд, является
довольно «запутанной» по содержанию. Однако познакомившись с
ее решением, Вы обнаружите, что особых математических знаний
она не требует - необходим лишь здравый смысл.
Задача 9.
Два экскаватора разной конструкции должны проложить две
траншеи одинакового поперечного сечения длиной в 960 метров и
180 метров. Вся работа продолжалась 22 дня, в течение которых
11
первый экскаватор прокладывал большую траншею. Второй же
экскаватор начал работать на 6 дней позднее первого, отрыл
меньшую траншею, три дня ремонтировался и затем помогал
первому. Если бы не нужно было тратить времени на ремонт, то
работа была бы закончена за 21 день. Сколько метров траншеи
может отрыть в день каждый экскаватор?
Решение.
Пусть первый экскаватор прокладывает x м в день, а второй – y м
в день. Через t ч обозначим время, в течение которого второй
экскаватор отрыл меньшую траншею.
Первый экскаватор работал один 9 t часов и проложил 9 t x
м большей траншеи. Затем 13 t часов ( 22 (9 t ) 13 t ) они
работали совместно и проложили еще 13 t x y м. В
результате они закончили работу в большей траншее длиной 960 м,
поэтому получаем уравнение: 9 t x 13 t x y 960 .
Второй экскаватор за t ч проложил меньшую траншею в 180 м,
поэтому имеем второе уравнение t y 180 .
Проанализируем работу при условии без ремонта.
Первый экскаватор работал один 6 t часов и проложил 6 t x
м. Затем за 15 t часов ( 21 6 t 15 t ) совместной работы
они проложили еще 15 t x y м, закончив большую траншею.
Составляем третье уравнение:
6 t x 15 t x y 960 .
Необходимо решить систему 3-х уравнений с тремя неизвестными
x, y, t.
9 t x 13 t x y 960,
6 t x 15 t x y 960,
t y 180.
Упростим первые два уравнения системы:
9 x tx 13x 13 y tx ty 960,
6 x tx 15 x 15 y tx ty 960,
t y 180.
12
22 x 13 y ty 960, (1)
21x 15 y ty 960, (2)
ty 180.
(3)
Вычитая почленно из уравнения (1) уравнение (2) имеем:
x 2 y 0 или x 2 y .
Подставляем в уравнение (1) вместо x выражение 2 y , а вместо ty
число 180 (согласно уравнению (3)). Получим уравнение с одной
переменной y :
22 2 y 13 y 180 960 .
57 y 1140 .
y 20 .
180 180
Тогда x 40 и t
9 (дней).
y
20
Итак, 40 м в день может проложить первый экскаватор и 20 м в
день – второй экскаватор.
Ответ: 40 м; 20 м.
При решении задач иногда приходится вводить много неизвестных.
Очень важно в этом случае при помощи этих переменных
сформулировать то, что необходимо найти по требованию задачи.
Определять значение каждой переменной скорее всего не придется.
Проиллюстрируем это на решении следующей задачи.
Задача 10.
Резервуар снабжается водой по пяти трубам. Первая труба
наполняет резервуар за 48 мин; вторая, третья и четвертая, работая
одновременно, – за 12 мин; вторая, третья и пятая – за 24 мин и,
наконец, пятая и четвертая – за 36 мин. За сколько времени
наполняют резервуар все пять труб при одновременной работе?
Решение.
Введем обозначение неизвестных:
V – объем резервуара;
13
p1 , p2 , p 3 , p 4 , p 5 – производительности насосов
соответственно.
Необходимо определить время наполнения резервуара совместно
пятью трубами. Для этого используем формулу
V
t
.
p1 p2 p3 p4 p5
Легко видеть, что производительность отдельных насосов знать
необязательно, главное - определить их совместную
производительность, т.е. сумму ( p1 p2 p3 p4 p5 ) .
Согласно условию задачи, составляем четыре уравнения, которые
образуют систему.
V
p1
,
48
V
p2
p3
p4
,
12
V
p2
p3
p5
,
24
V
p4
p5
.
36
Почленно сложим все уравнения этой системы, предварительно
2 V
умножив обе части первого уравнения на 2 ( 2 p1
или
48
V
2 p1
).
24
Получим уравнение:
V V V V
2 ( p1 p2 p3 p4 p5 )
.
24 12 36 24
Упростим его:
7V
2 p1 p2 p3 p4 p5
.
36
Отсюда
7V
p1 p2 p3 p4 p5
.
72
Определяем время наполнения резервуара:
14
t
p1
p2
V
p3
p4
p5
V
7V
72
72
.
7
72
мин.
7
Замечание. Поскольку объем резервуара не задан, то можно было
принять V за 1.
Ответ:
Рассмотрим решение ещё нескольких задач на совместную работу.
Задача 11.
Бак водокачки наполняется водой с помощью нескольких насосов.
Сначала включили три насоса одинаковой производительности;
через 2,5 часа после начала их работы подключили еще два насоса
другой, но также одинаковой производительности. В результате
через 1 час после подключения насосов воды в баке до полного
объема не хватало 15м 3 , а еще через час бак был полон. Один из
двух насосов, подключенных во вторую очередь, мог бы наполнить
бак за 40 часов. Найти объем бака.
Решение.
Пусть V – объем бака, x м 3 в час – производительность каждого
из трех насосов, включенных в первую очередь, а y м 3 в час –
производительность каждого из двух насосов, включенных во
вторую очередь.
Сначала 2,5 часа работали три насоса и налили (3x 2,5) м 3 воды.
Затем подключили еще два насоса, и в течение одного часа
работали все пять насосов совместно и налили (3x 2 y ) м 3 воды.
В результате до полного объема не хватало 15м 3 , поэтому это
условие дает первое уравнение:
10,5x 2 y V 15 .
Еще через час совместной работы бак водокачки был полон (было
долито 15м 3 ), значит, составляем второе уравнение:
3x 2 y 15 .
Условие, что один из двух насосов второй очереди может
наполнить бак за 40 ч, дает третье уравнение:
15
40 y V .
Имеем систему:
10,5x 2 y V 15,
3x 2 y 15,
40 y V .
Из третьего уравнения подставим в первое вместо V выражение
40 y и решим систему двух уравнений с двумя неизвестными x и
y:
10,5 x 2 y 40 y 15,
10,5 x 38 y
15,
или
3x 2 y 15.
3x 2 y 15.
Домножим второе уравнение на 19 и сложим полученное
уравнение с первым. В результате получим уравнение:
67,5x 270 .
x 4.
Из второго уравнения последней системы определяем: y 1,5 .
Из условия 40 y V находим: V 60 .
Ответ: 60м 3 .
Задача 12.
Двое рабочих взялись выполнить некоторую работу за 30 дней.
Через 6 дней один из них заболел, а другой продолжал работу и
закончил ее за 40 дней. За сколько дней каждый из них в
отдельности мог бы выполнить эту работу?
Решение.
I способ. Примем всю работу за 1.
Пусть за x дней может выполнить всю работу первый рабочий, а за
1
y дней – второй. Тогда за 1 час первый рабочий выполнит часть
x
1
работы, а второй – .
y
Всю работу совместно они могут выполнить за 30 дней, поэтому
получаем первое уравнение:
16
1
x
1
y
30 1 .
1 1
6 часть
x y
работы, после чего второй рабочий за 40 дней закончит работу,
1
выполнив
40 часть работы. Имеем уравнение:
y
За 6 дней совместной работы они выполнят
1 1
40
6
x y
y
Решаем систему:
1 1
1
,
x y 30
1
x
1
y
6
40
y
1.
1.
Подставим во второе уравнение вместо суммы
1
x
1
1
дробь
и
y
30
получим уравнение
1
40
6
1 , решением которого является y 50 .
30
y
Из первого уравнения системы определяем: x 75 .
Необходимо отметить, что исходные числовые данные позволяют
решить эту задачу арифметическим способом.
6 1
II способ. За 6 дней совместной работы рабочие выполнят
30 5
4
часть всей работы, тогда оставшиеся
всей работы выполнит
5
второй рабочий за 40 дней, значит, за 1 день он выполнит
4
1
: 40
часть работы. Очевидно, что всю работу он сможет
5
50
выполнить за 50 дней.
17
1
часть работы.
30
Определим часть работы, выполненную первым рабочим за 1 час:
1
1
2
1
.
30 50 150 75
Значит, одному первому рабочему для выполнения всей работы
нужно 75 дней.
Ответ: 75 дней; 50 дней.
Совместно за 1 день рабочие выполняют
Задача 13.
Две машинистки должны были перепечатать рукопись. Сперва
первая из них работала 1,5 дня, после чего начала работать вторая,
и они печатали вместе в течение 7 дней. На выполнение всей
работы одной второй машинистке потребовалось бы на 3 дня
меньше, чем первой. За сколько дней может перепечатать рукопись
каждая из них в отдельности?
Решение.
Объем работы примем за 1.
Пусть первая машинистка может перепечатать рукопись за x дней,
а вторая – за y дней.
1
часть рукописи перепечатывает первая машинистка за
x
1
один день,
часть рукописи – вторая.
y
1
За 1,5 дня первая машинистка выполнила 1,5
часть работы, а за
x
1 1
7 всей
7 дней их совместной работы они перепечатали
x y
работы, тем самым закончив ее. Получаем уравнение:
3
1 1
7 1.
2x
x y
На выполнение всей работы второй машинистке потребовалось бы
на 3 дня меньше, чем первой. Это условие дает второе уравнение:
x y 3.
18
Решаем систему способом подстановки:
x y 3,
17
2x
7
y
1.
y x 3,
17
7
1.
2x x 3
Решаем второе уравнение системы:
17 x 3 14 x 2 x x 3 ;
2 x 2 37 x 51 0 ;
37
1369 408 37 31
x1, 2
;
4
4
3
.
x1 17 ; x2
2
Оба корня удовлетворяют условиям 2x
0и x 3
0 , но x
3
2
является посторонним корнем, т.к. по смыслу задачи x 3 .
Итак, первой машинистке необходимо 17 дней для
перепечатывания всей рукописи, а второй y x 3 17 3 14
дней.
Ответ: 17 дней; 14 дней.
Задачи для самостоятельного решения
1. Два поезда отправляются из пунктов А и В навстречу друг
другу. Они встретятся на половине пути, если поезд из А
выйдет на 2 ч раньше, чем поезд из В. Если же оба поезда
выйдут одновременно, то через 2 ч расстояние между ними
1
составит
расстояния между пунктами А и В. За какие
4
промежутки времени каждый поезд проходит весь путь?
2. Бригада лесорубов должна была по плану заготовить за
несколько дней 216 м 3 древесины. Первые три дня бригада
выполняла ежедневно установленную планом норму, а затем
19
3.
4.
5.
6.
7.
8.
каждый день заготавливала 8 м 3 сверх плана. Поэтому за день
до срока было заготовлено 232 м 3 древесины. Сколько
кубических метров древесины в день должна была бригада
заготавливать по плану?
Три тракторные бригады вместе вспахивают поле за 4 дня. Это
же поле первая и вторая бригады вместе вспахивают за 6 дней, а
первая и третья вместе – за 8 дней. Во сколько раз больше
площадь, вспахиваемая за день второй бригадой, по сравнению
с площадью, вспахиваемой за день третьей бригадой?
Четыре плотника хотят построить дом. Первый плотник может
построить дом за год, второй – за два года, третий – за три года,
четвертый – за четыре года. Спрашивается, за сколько лет они
построят дом при совместной работе?
Автомобиль проезжает расстояние от А до В за 1 ч. Автомобиль
выехал из А, и одновременно из В вышел пешеход. Автомобиль
встретил пешехода, довез его до А и затем прибыл в В, затратив
на весь путь 2 ч 40 мин. За какое время может пройти путь от В
до А пешеход?
При одновременной работе двух насосов пруд был очищен за 2
ч 55 мин. За сколько времени мог бы очистить пруд каждый
насос, работая отдельно, если один из них может эту работу
выполнить на 2 ч быстрее другого?
Отправляясь в путешествие, турист рассчитывал истратить в
дороге 7200 рублей. В течение первых 5 дней его расходы
совпадали с расчетными; затем он стал расходовать в день в
среднем на 100 рублей больше, чем предполагал, и,
задержавшись в пути на 1 день, вернулся домой, истратив на
все путешествие на 2300 рублей больше, чем намечал
первоначально. Сколько дней продолжалось путешествие?
При испытании на экономичность двух двигателей одинаковой
мощности было установлено, что один израсходовал 600 г
бензина, а другой, работавший на 2 ч меньше, израсходовал 384
г. Если бы первый двигатель расходовал в час столько бензина,
сколько второй, а второй столько, сколько первый, то за то же
время работы расход бензина в обоих двигателях был бы
одинаковым. Сколько бензина в час расходовал каждый
двигатель?
20
9. В зале кинотеатра имеются две двери. После сеанса зрители
выходят через обе двери в течение трех минут. Если их
выпускать через одну большую дверь, то выход из зала займет
1
времени на 2
мин меньше, чем в том случае, если их
2
выпускать через меньшую дверь. Сколько времени требуется
для выпуска зрителей из зала кино через каждую дверь в
отдельности?
10. В бассейн проведены четыре трубы. Когда открыты первая,
вторая и третья трубы, бассейн наполняется за 12 мин; когда
открыты вторая и четвертая трубы – за 15 мин; когда открыты
только первая, третья и четвертая трубы – за 20 мин. За какое
время наполнится бассейн, если открыть все четыре трубы?
11. Три бригады вспахали два поля общей площадью 120 га. Первое
поле было вспахано за 3 дня, причем все три бригады работали
вместе. Второе поле было вспахано за 6 дней первой и второй
бригадами. Если бы все три бригады проработали на втором
поле 1 день, то оставшуюся часть второго поля первая бригада
могла бы вспахать за 8 дней. Сколько гектаров в день
вспахивала вторая бригада?
12. Первый рабочий изготовил 60 деталей на три часа быстрее
второго. За сколько часов второй рабочий изготовит 90 деталей,
если, работая вместе, они изготовят за один час 30 деталей?
13. Две машинистки за 1 рабочий день могут перепечатать 310
листов рукописи. Если производительность первой машинистки
уменьшить на 25%, а производительность второй увеличить на
10%, то за один день их совместной работы будет напечатана
271 страница. Сколько страниц в день может напечатать вторая
машинистка после увеличения производительности ее работы?
14. В бассейн проведены две трубы, подающая и отводящая,
причем через первую бассейн наполняется на 2 часа дольше,
1
чем через вторую опорожняется. При заполненном на
3
бассейне были открыты обе трубы, и бассейн оказался пустым
спустя 8 часов. За сколько часов, действуя отдельно, первая
труба наполнит, а вторая опорожнит бассейн?
© Специализированный учебно-научный центр, 2012
21